Polarkoordinaten
Vektorfeld mit Polarkoordinaten
Gradient, Divergenz, Rotation und Laplace-Operator in Polarkoordinaten
Gradient des Skalarfeldes Φ(r, ϕ)
→
Divergenz des Vektorfeldes v(r, ϕ)
Divergenz
Umrechnung des Laplace-Operators ∆ auf Polarkoordinaten
Gradient in Polarkoordinaten, alternativ
Gradienten
Zylinderkoordinaten
Kugelkoordinaten
Linienelemente
Christoffel-Symbole für Polarkoordinaten
Links
1
Polarkoordinaten
r
1
bc
2π
ϕ
y
1
bc
1
Die Grafik veranschaulicht die Abbildung
(ϕ, r) −→ (x, y)
x = r · cos ϕ
y = r · sin ϕ
c Roolfs
2
x
bc
bc
bc
bc
Vektorfeld mit Polarkoordinaten
bc
→
v
bc
bc
P
r
ϕ
bc
bc
bc
bc
bc
bc
Ein rotationssymmetrisches Vektorfeld kann vermutlich einfach mit Polarkoordinaten beschrieben
→
werden. Ein Punkt P auf dem Kreis wird mit (ϕ, r) erfasst. Der angehängte Vektor v dreht sich mit.
Sein Winkel in einer Polarkoordinatendarstellung wäre jedoch vom Punkt P abhängig.
Die 2. Grafik beinhaltet die Idee einer zweckmäßigeren Vorgehensweise.
bc
→
v
bc
→
eϕ
→
P
er
bc
r
ϕ
bc
bc
→
→
Der Punkt P wird begleitet von 2 orthogonalen Einheitsvektoren er und eϕ . Sie sind nur von ϕ
→
abhängig und lassen sich leicht ermitteln. v wird als Linearkombination dieser Vektoren dargestellt.
c Roolfs
3
Vektorfeld mit Polarkoordinaten
→
v
→
eϕ
→
er
P
bc
r
ϕ
cos ϕ
bc
→
er =
cos ϕ
,
sin ϕ
→
eϕ =
sin ϕ
− sin ϕ
,
cos ϕ
bc
→
nebenbei: er =
∂
∂r
r cos ϕ
,
r sin ϕ
→
1 ∂
eϕ = r
∂ϕ
|
r cos ϕ
r sin ϕ
{z
}
auf Länge 1 gebracht
→
Ein Vektor v lässt sich mit diesen Basisvektoren (tangential für r bzw. ϕ = const)
→
→
→
v = vr er +vϕ eϕ
in der Form
→
darstellen. Die Umrechnung von kartesischen Koordinaten v = (vx , vy )T in dieses System
→ →
→
→
erfolgt mit (Skalarprodukt, v · er = | v | · | er | · cos α = vr , entsprechend vϕ ):
vr = vx cos ϕ + vy sin ϕ
x = r cos ϕ
vϕ = −vx sin ϕ + vy cos ϕ
y = r sin ϕ
Gegeben ist ein Geschwindigkeitsfeld.
→
1
(−y, x)T
x2 + y 2
1
vr = 2
(−y cos ϕ + x sin ϕ)
x + y2
1
= 2 (−r sin ϕ cos ϕ + r cos ϕ sin ϕ) = 0
r
v (x, y) =
P hat die Koordinaten (x, y) = (r cos ϕ, r sin ϕ)
1
(y sin ϕ + x cos ϕ)
x2 + y 2
1
1
= 2 (r sin2 ϕ + r cos2 ϕ) = r
r
vϕ =
Das Geschwindigkeitsfeld besitzt somit nur eine tangentiale Komponente:
v (r, ϕ) = 0 er + 1r eϕ
→
→
→
c Roolfs
4
Gradient, Divergenz, Rotation und Laplace-Operator in Polarkoordinaten
Skalarfeld
Φ(r, ϕ)
Vektorfeld
→
→
→
v (r, ϕ) = vr(r, ϕ) er + vϕ(r, ϕ) eϕ
Gradient des Skalarfeldes
∂Φ → 1 ∂Φ →
er +
eϕ
∂r
r ∂ϕ
→
1 ∂
1 ∂vϕ
div v(r, ϕ) =
(r vr ) +
r ∂r
r ∂ϕ
grad Φ(r, ϕ) =
Divergenz des Vektorfeldes
Rotation des Vektorfeldes
→
[ rot v(r, ϕ) ]z =
1 ∂
1 ∂vr
(r vϕ ) −
r ∂r
r ∂ϕ
Es existiert nur eine Komponente in z-Richtung.
Laplace-Operator
∆Φ(r, ϕ) =
Beispiele
→
div (r er ) =
1 ∂ 2
(r ) = 2
r ∂r
Geschwindigkeitsfeld
→
v (x, y) =
x2
1
(−y, x)T
+ y2
in Polardarstellung (siehe oben):
→
v (r, ϕ) = 1r eϕ
→
1
→
div ( r eϕ ) =
1 ∂ 1
( )= 0
r ∂ϕ r
[rot ( 1r eϕ )]z =
→
(r > 0)
1 ∂
1
(r ) = 0
r ∂r r
Das Feld ist also quellen- und wirbelfrei.
c Roolfs
5
∂2Φ
1 ∂Φ
1 ∂2Φ
+
+
∂r2
r ∂r
r2 ∂ϕ2
Gradient des Skalarfeldes Φ(r, ϕ)
∂Φ → 1 ∂Φ →
er +
eϕ
∂r
r ∂ϕ
grad Φ(r, ϕ) =
Zu
(ϕ, r)
−→
(x, y)
x = r · cos ϕ
y = r · sin ϕ
existiert (r > 0) eine Umkehrabbildung:
ψ: (x, y)
−→
(ϕ, r)
Dies ermöglicht die Darstellung:
Φ(r, ϕ) = Φ(ψ(r · cos ϕ, r · sin ϕ) )
= f (r · cos ϕ, r · sin ϕ)
Beide Seiten können nun nach r und ϕ partiell abgeleitet werden.
Das Ergebnis lautet (allgemeine Kettenregel):
∂f
∂Φ
cos ϕ
sin ϕ
∂x
∂r
∂Φ =
∂f
−r sin ϕ r cos ϕ
∂ϕ
∂y
nebenbei: transponierte Jacobi-Matrix
Mit der inversen Matrix stellen wir um:
∂f
cos ϕ
∂x
∂f =
sin ϕ
∂y
Mit den Basisvektoren
!
cos ϕ
→
er =
,
sin ϕ
∂Φ
sin ϕ
−
r ∂r
cos ϕ ∂Φ
∂ϕ
r
→
eϕ =
− sin ϕ
cos ϕ
!
erhalten wir den Gradienten.
c Roolfs
6
→
Divergenz des Vektorfeldes v(r, ϕ)
→
→
→
v (r, ϕ) = vr(r, ϕ) er + vϕ(r, ϕ) eϕ
→
er =
!
cos ϕ
,
sin ϕ
→
div v(r, ϕ) =
→
eϕ =
− sin ϕ
cos ϕ
!
1 ∂
1 ∂vϕ
(r vr ) +
r ∂r
r ∂ϕ
Der Matrizengleichung
∂f
cos ϕ
∂x
=
∂f
sin ϕ
∂y
∂Φ
sin ϕ
r ∂r
cos ϕ ∂Φ
∂ϕ
r
−
entnehmen wir die Differentialoperatoren
∂
∂
sin ϕ ∂
= cos ϕ −
∂x
∂r
r ∂ϕ
∂
∂
cos ϕ ∂
= sin ϕ +
∂y
∂r
r ∂ϕ
und ermitteln mit ihnen die Divergenz:
→
div v(r, ϕ) = ( cos ϕ
∂
sin ϕ ∂
−
) (vr cos ϕ − vϕ sin ϕ)
∂r
r ∂ϕ
∂
cos ϕ ∂
+( sin ϕ +
) (vr sin ϕ + vϕ cos ϕ) = . . . . . . siehe oben
∂r
r ∂ϕ
Übersichtlichere Schreibweise siehe nächste Seite.
c Roolfs
7
Divergenz
→
r=
→
er
=
→
∂r
∂r
!
r cos ϕ
r sin ϕ
!
cos ϕ
→
, eϕ =
sin ϕ
!
→
→
− sin ϕ
∂r ∂r
sind die normierten Ableitungen ∂r , ∂ϕ .
cos ϕ
→
,
∂r
∂ϕ
sind die Tangentenvektoren an die Koordinatenlinien in einem bestimmten Punkt.
Eine Koordinate wird fest gewählt, die zweite ist variabel.
→
div v(r, ϕ) =
→
→
∂ → 1 ∂ →
( ∂r
er + r ∂ϕ eϕ) · ( vr er + vϕ eϕ )
|
∇
∂
{z
∂v
→
}
Skalarprodukt
Nabla-Operator
→
→
∂
→
→
∂vϕ
1
∂
→
∂
→
→
= er · [ ∂r (vr er ) + ∂r (vϕ eϕ) ] + r eϕ · [ ∂ϕ (vr er ) + ∂ϕ (vϕ eϕ) ]
→
∂e
→
∂ eϕ
→
1
→
∂v
Produktregel
→
→
∂e
∂vϕ
→
→
∂ eϕ
= er · [ ∂rr er + vr ∂rr + ∂r eϕ + vϕ ∂r ] + r eϕ · [ ∂ϕr er + vr ∂ϕr + ∂ϕ eϕ + vϕ ∂ϕ ]
|{z}
|{z}
|{z}
|{z}
0
→
∂v
0
→
1
1 ∂ vϕ
= ∂rr + r vr + r ∂ϕ ,
→ →
→ →
er · eϕ = eϕ · er = 0,
→
→
1 ∂
1 ∂ vϕ
= r ∂r (r vr ) + r ∂ϕ
→
→
→
eϕ
div v(r, ϕ) = ∇· v =
zusammengefasst
1 ∂
1 ∂vϕ
(r vr ) +
r ∂r
r ∂ϕ
c Roolfs
8
→
→
→ →
eϕ · eϕ = er · er = 1
→
− er
Umrechnung des Laplace-Operators ∆ auf Polarkoordinaten
∆=
∂2
∂2
1 ∂
∂2
1 ∂2
+
=
.
.
.
.
.
.
=
+
+
∂x2
∂y 2
r ∂r
∂r2
r2 ∂ϕ2
Den Laplaceoperator erhalten wir, in dem wir in den Ausdruck für die Divergenz
→
→
div v(r, ϕ) = ∇· v =
1 ∂
1 ∂vϕ
(r vr ) +
r ∂r
r ∂ϕ
den speziellen Vektor
∂f
∂f
v = ∇f = ∂r er + 1r ∂ϕ eϕ
|{z}
| {z }
→
→
vr
∆f = ∇ · ∇f
1 ∂
→
einsetzen.
vϕ
∂f
1 ∂ 1 ∂f
= r ∂r r ∂r + r ∂ϕ r ∂ϕ
1 ∂f
∂ 2f
1 ∂2f
= r ∂r + ∂r2 + r2 ∂ϕ2
Produktregel
c Roolfs
9
Gradient in Polarkoordinaten, alternativ
Für die infinitesimale Änderung einer skalaren Funktion f gilt:
∂f
∂f
df (x, y) = ∂x dx + ∂y dy
→
= ∇f · d x
Diese Beziehung ist für den Vektor (Gradient) ∇f von f charakteristisch.
→
Wegen des Skalarprodukts ist df nicht davon abhängig, welche Basis ∇f und x zugrunde liegt.
Der Gradient zeigt an jeder Stelle in die Richtung des steilsten Anstieges von f .
Die Änderung des Skalarfeldes in Polarkoordinaten zwischen den Punkten
→
→
→
r = (ϕ, r) und r + d r = (ϕ + dϕ, r + dr) lautet (siehe ϕ, r-Koordinatensystem):
∂f
∂f
df = ∂r dr + ∂ϕ dϕ ∗
→
= ∇f · d r
r
y
→
eϕ
→
bc
er
(r, ϕ)
bc
x
2π ϕ
Wir ermitteln den Term für df (Wert bleibt gleich) im x, y-Koordinatensystem.
→
→
→
→
Für d r gilt hier der Zusammenhang: d r = dr er + r dϕ eϕ
→ ∂f
→
∂f
∂r ist nun die Ableitung in Richtung er , ∂ϕ die in Richtung eϕ .
→
→
Der Gradient von f ist mit er und eϕ darstellbar:
→
→
→
→
→
es folgt
→
→
r+
→
→
∇f · d r = (a er + b eϕ ) · (dr er + rdϕ eϕ )
= adr + br dϕ
dϕ
ϕ
∂f
1 ∂f
Der Vergleich mit ∗ ergibt a = ∂r , b = r ∂ϕ , d. h.
∂f
→
1 ∂f
dr
dr
→
r
x
→
∇f = ∂r er + r ∂ϕ eϕ
dr
→
ϕ
rd
∇f = a er + b eϕ ,
y
Nabla-Operator
c Roolfs
10
∂
→
1 ∂
→
∇ = ∂r er + r ∂ϕ eϕ
Gradienten
Polarkoordinaten
y
!
r cos ϕ
r sin ϕ
→
r=
→
eϕ
→
rdϕ
∂f → 1 ∂f →
∇f = ∂r er + r ∂ϕ eϕ
er
(r, ϕ)
x
→
→ →
er , eϕ
→
∂r ∂r
sind die normierten Ableitungen
,
.
∂r ∂ϕ
Der Gradient enthält die mit einem Normierungsfaktor versehenen partiellen Ableitungen von f .
Beachte hierzu:
∂→
r
∂f
df
df
r = , ∂ϕ = dϕ ,
Änderungsrate rdϕ
∂ϕ
Zylinderkoordinaten
∂f
→
1 ∂f
→
1 ∂f
→
∂f
→
∇f = ∂r er + r ∂ϕ eϕ + ∂z ez
Kugelkoordinaten
∂f
→
1
∂f
→
∇f = ∂r er + r ∂ϑ eϑ + r sin ϑ ∂ϕ eϕ
allgemein
→
→
→
→
eu , ev , ew sind die normierten Ableitungen
∇f =
1
→
| ∂∂ur |
→
→
∂r ∂r ∂r
,
,
.
∂u ∂v ∂w
∂f →
1 ∂f →
1 ∂f →
e + → ∂w ew
∂u eu + ∂→
r ∂v v
∂r
| ∂v |
| ∂w |
c Roolfs
11
Zylinderkoordinaten
z
→
ez
→
eϕ
(x | y | z)
→
z er
ϕ
y
x
p
r
x2 + y 2
ϕ = arctan(y/x)
z
z
x
r cos ϕ
y = r sin ϕ ∗,
z
z
r
Basisvektoren (Tangentialvektoren an die Koordinatenlinien,
jeweils zwei Koordinaten werden fest gewählt, die dritte ist variabel,
∗ nach r, ϕ und z ableiten und normieren,
Basisvektoren krummliniger Koordinaten sind von Punkt zu Punkt verschieden.
Man spricht in diesem Zusammenhang vom begleitenden Dreibein.
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
er × eϕ = ez , eϕ × ez = er , ez × er = eϕ , rechtshändig, r eϕ unnormiert, r eϕ · r eϕ = r 2 )
cos ϕ
→
er = sin ϕ,
0
− sin ϕ
→
eϕ = cos ϕ,
0
0
→
ez = 0 ,
1
1 0 0
metrischer Tensor 0 r 2 0
0 0 1
Beispiele
x − yz
→
F (x, y, z) = y + xz
z
in Polarkoordinaten:
r cos ϕ − r sin ϕ · z
→
F (r, ϕ, z) = r sin ϕ + r cos ϕ · z
0
→
→
→
= r er + rz eϕ + z ez
→
→
→
→
F (r, ϕ, z) = r er + eϕ + ez
in kartesischen Koordinaten:
c Roolfs
12
cos ϕ
− sin ϕ
0
→
F = r sin ϕ + cos ϕ + 0
0
0
1
r cos ϕ − sin ϕ
= r sin ϕ + cos ϕ
1
x−
= y +
y
x2 +y 2
√ y2 2
x +y
√
1
Zylinderkoordinaten
z
→
ez
→
eϕ
(x | y | z)
→
z er
ϕ
y
r
x
p
r
x2 + y 2
ϕ = arctan(y/x)
z
z
x
r cos ϕ
→
y = r sin ϕ = r,
z
z
kovariante Basis (unnormierte Tangentialvektoren an die Koordinatenlinien)
cos ϕ
→
∂r
b1 = ∂r = sin ϕ ,
0
→
−r sin ϕ
→
∂r
b2 = ∂ϕ = r cos ϕ,
0
→
1 0 0
kovarianter metrischer Tensor gij = 0 r 2 0
0 0 1
0
→
∂r
b3 = ∂z = 0
1
→
1 0 0
kontravarianter metrischer Tensor (siehe Tensoren) gij = 0 1/r 2 0
0 0 1
→ →
kontravariante (duale, reziproke) Basis (bi · bj = δi,j )
→
b1 =
→
→
→
b2 × b3
→
→ →
(b1 × b2 )· b3
→
b1 = b1 ,
→
cos ϕ
= sin ϕ ,
0
1
→
b2 = r2 b2 ,
→
→
b2 =
→
→
b3 × b1
→
→ →
(b1 × b2 )· b3
− sin ϕ
1
= r cos ϕ,
0
→
b3 = b3
Für eine orthonormierte Basis verschwindet der Unterschied zwischen
ko- und kontravariant.
c Roolfs
13
→
b3 =
→
→
b1 × b2
→
→ →
(b1 × b2 )· b3
0
= 0
1
Kugelkoordinaten
z
→
er →
eϕ
(x | y | z)
r
ϑ
→
eϑ
y
ϕ
x
p
r
x2 + y 2 + z 2
p
ϑ = arccos(z/ x2 + y 2 + z 2 )
arctan(y/x)
ϕ
x
r sin ϑ cos ϕ
→
y = r sin ϑ sin ϕ = r,
z
r cos ϑ
Basisvektoren (Tangentialvektoren an die Koordinatenlinien)
sin ϑ cos ϕ
∂r
∂r = sin ϑ sin ϕ ,
cos ϑ
→
→
∂r
| ∂r | =
r cos ϑ cos ϕ
∂r
∂ϑ = r cos ϑ sin ϕ ,
−r sin ϑ
→
−r sin ϑ sin ϕ
∂r
∂ϕ = r sin ϑ cos ϕ,
0
→
→
→
∂r ∂r
∂r · ∂r = 1,
→
→
p
→
∂r
| ∂ϑ | =
sin2 ϑ(cos2 ϕ + sin2 ϕ) + cos2 ϑ = 1,
p
→
∂r
| ∂ϕ | =
∂r ∂r
2
∂ϑ · ∂ϑ = r ,
→
r 2 cos2 ϑ + r 2 sin2 ϑ = r,
p
r 2 sin2 ϑ(sin2 ϕ + cos2 ϕ) = r sin ϑ,
→
∂r ∂r
2
2
∂ϕ · ∂ϕ = r sin ϑ,
c Roolfs
14
sin ϑ cos ϕ
→
er = sin ϑ sin ϕ
cos ϑ
cos ϑ cos ϕ
→
eϑ = cos ϑ sin ϕ
− sin ϑ
− sin ϕ
→
eϕ = cos ϕ
0
1
metrischer Tensor 0
0
0
r2
0
0
0
r 2 sin2 ϑ
Linienelemente
Zylinderkoordinaten
dr
1 0 0
2
2
ds = (dr dϕ dz) 0 r 0 dϕ = dr 2 + r 2 dϕ2 + dz 2
dz
0 0 1
Kugelkoordinaten
1
2
ds = (dr dϑ dϕ) 0
0
0
r2
0
dr
0
0 dϑ = dr 2 + r 2 dϑ2 + sin2 ϑ dϕ2
dϕ
r 2 sin2 ϑ
c Roolfs
15
Christoffel-Symbole für Polarkoordinaten
!
r cos ϕ
r sin ϕ
→
r=
Basis (nicht normiert)
!
→
cos ϕ
∂r
=
,
∂r
sin ϕ
→
∂r
=
∂ϕ
!
−r sin ϕ
r cos ϕ
Die Ableitung eines Vektorfeldes (bezogen auf diese Basis) erfordert auch die Ableitung
→
der Basiselemente, z. B.
→
∂ ∂r
∂ ∂r
oder
.
∂ϕ ∂ϕ
∂r ∂ϕ
Es ist zweckmäßig, die Ableitungen der Basiselemente jeweils als Linearkombinationen
dieser Basiselemente darzustellen. Dabei entstehen 23 Koeffizienten, die Christoffel-Symbole.
Für Zylinderkoordinaten sind es 33 Koeffizienten.
!
!
!
− sin ϕ
cos ϕ
−r sin ϕ
=a
+b
cos ϕ
sin ϕ
r cos ϕ
→
∂ ∂r
=
∂r ∂ϕ
1
Für die Christoffel-Symbole ist hier keine Rechnung erforderlich, a = 0, b = r .
→
∂ ∂r
∂ϕ ∂r
→
führt zum selben Ergebnis.
∂ ∂r
=
∂ϕ ∂ϕ
!
!
!
−r cos ϕ
cos ϕ
−r sin ϕ
=c
+d
−r sin ϕ
sin ϕ
r cos ϕ
Christoffel-Symbole c = −r, d = 0.
r
Die Bezeichnung Γrϕ
(z. B.) für die Koeffizienten erlaubt eine eindeutige Zuordnung.
Der hochgestellte Index Γ...r, Γ...ϕ kennzeichnet das (rechts stehende) Basiselement.
Die tiefgestellten Indizes legen die partielle Ableitung eines bestimmten Basiselements fest.
Wegen der Vertauschbarkeit der Ableitungen ist die Reihenfolge unerheblich. Wir haben daher:
r
ϕ
a = Γrϕ
, b = Γrϕ
,
r
ϕ
c = Γϕϕ
, d = Γϕϕ
,
Christoffel-Symbole ungleich null
1
ϕ
Γrϕ
= Γϕrϕ = r
r
Γϕϕ
= −r
c Roolfs
16
Siehe auch:
Tangentialebene und Gradient
Tensoren und Koordinatentransformation
Startseite
17
© Copyright 2024 ExpyDoc
