Aufgaben zur Vorlesung Geometrie PD Dr. Jörg Jahnel Blatt 3 Sommersemester 2016 1. Zeigen Sie, dass der Flächeninhalt eines Dreiecks mit den  0 c2 b2 1  c2 0 a2 1 1 F 2 = − det   b2 a2 0 1 16 1 1 1 0 Seitenlängen a, b, c     beträgt. R 2. Es seien abcd und aefg zwei Quadrate in 2 mit einem gemeinsamen Eckpunkt, die sich darüber hinaus aber nicht überlappen mögen. Zeigen Sie: a) Die Dreiecke ade und agb haben den gleichen Flächeninhalt. b) Es sei m der Mittelpunkt von de. Dann steht die Gerade am auf der Geraden gb senkrecht. [Man sagt, die Seitenhalbierende in ade stimmt mit der Höhe in agb überein.] R R 3. Es seien L1 = {x ∈ 2 | (n1 , x) = 0} und L2 = {x ∈ 2 | (n2 , x) = 0} zwei Geraden in der Ebene 2 und S1 bzw. S2 die Spiegelungen an diesen Geraden. Zeigen Sie R S1 S2 = S2 S1 R ⇐⇒ L1 = L2 oder (n1 , n2 ) = 0 . R 4. Es sei F : 2 → 2 eine Bewegung. Schreibe wie in der Vorlesung F = T ◦U mit einer orthogonalen linearen Abbildung U und einer Verschiebung T : x 7→ x + t. Es werde vorausgesetzt, daß F keinen Fixpunkt besitzt. Zeigen Sie: a) Das lineare Gleichungssystem (U − id)(x) = −t ist widersprüchlich. b) U hat den Eigenwert 1. c) Es ist U = id oder U ∈ O(2)\SO(2). d) F ist entweder eine Translation oder eine Schubspiegelung (= Spiegelung an einer Geraden gefolgt von einer Translation in Richtung der Spiegelungsgeraden). Abgabetermin: Dienstag, 2. Mai 2016, vor der Vorlesung