Geometrie 3

Aufgaben zur Vorlesung Geometrie
PD Dr. Jörg Jahnel
Blatt 3
Sommersemester 2016
1. Zeigen Sie, dass der Flächeninhalt eines Dreiecks mit den

0 c2 b2 1
 c2 0 a2 1
1
F 2 = − det 
 b2 a2 0 1
16
1 1 1 0
Seitenlängen a, b, c




beträgt.
R
2. Es seien abcd und aefg zwei Quadrate in 2 mit einem gemeinsamen Eckpunkt, die sich
darüber hinaus aber nicht überlappen mögen. Zeigen Sie:
a) Die Dreiecke ade und agb haben den gleichen Flächeninhalt.
b) Es sei m der Mittelpunkt von de. Dann steht die Gerade am auf der Geraden gb senkrecht.
[Man sagt, die Seitenhalbierende in ade stimmt mit der Höhe in agb überein.]
R
R
3. Es seien L1 = {x ∈ 2 | (n1 , x) = 0} und L2 = {x ∈ 2 | (n2 , x) = 0} zwei Geraden in der
Ebene 2 und S1 bzw. S2 die Spiegelungen an diesen Geraden. Zeigen Sie
R
S1 S2 = S2 S1
R
⇐⇒
L1 = L2 oder (n1 , n2 ) = 0 .
R
4. Es sei F : 2 → 2 eine Bewegung. Schreibe wie in der Vorlesung F = T ◦U mit einer orthogonalen linearen Abbildung U und einer Verschiebung T : x 7→ x + t. Es werde vorausgesetzt,
daß F keinen Fixpunkt besitzt. Zeigen Sie:
a) Das lineare Gleichungssystem
(U − id)(x) = −t
ist widersprüchlich.
b) U hat den Eigenwert 1.
c) Es ist U = id oder U ∈ O(2)\SO(2).
d) F ist entweder eine Translation oder eine Schubspiegelung (= Spiegelung an einer Geraden
gefolgt von einer Translation in Richtung der Spiegelungsgeraden).
Abgabetermin: Dienstag, 2. Mai 2016, vor der Vorlesung