同じものを含む順列

　同じものを含む順列
第１章　場合の数と確率
§１　場合の数
pp.27-28
目標


同じものを含む順列の総数を求めることができ
る
経路の問題に同じものを含む順列の考え方を応
用できる
2
キーワード

同じものを含む順列

カタラン数
3
同じものを含む順列


A, A, A, A, B, B, B, C, Cを一列に並べる順列を
考える
A, B, Cの順に配置を決めていく方法
✔

組合せの利用
A１, A2, A3, A4, B１, B2, B3, C１, C2として区別し
て一列に並べた後, それぞれの文字について区
別をなくす方法
✔
順列の利用
4
同じものを含む順列

A, B, Cの順に配置を決めていく方法
✔
組合せの利用
①　Aを４か所にいれる
A
A
A
A
A
A
②　Bを３か所にいれる
A
B
A
B
B
③　Cを２か所にいれる（自動的に決まる）
A
B
A
B
①かつ②かつ③より
C
C
A
A
B
5
同じものを含む順列

A１, A2, A3, A4, B１, B2, B3, C１, C2として区別し
て一列に並べた後, それぞれの文字について区
別をなくす方法
②を計算するとき分母の
✔
和は分子の数に一致する
４＋３＋２＝９
順列の利用
①　区別して一列に並べる
A１
B２
A４
B３
C１
C２
A３
A２
B１
A
A
B
②　同じ文字同士の区別をなくす
A
B
A
B
C
C
6
経路の問題への応用

A地点からB地点へ遠回りせずに移動するとき
の最短経路は何通りあるか
B
A
進行方向を矢印（→と↑）で表してその並びを考える
7
経路の問題への応用
同じものを含む７つの矢印
を一列に並べる順列を考えればいいから
↑
→
→
→
↑
↑
→
（通り）
別解）
（通り）
8
カタラン数の利用

次の交差点までの経路数を書き込んでいく
B
１
４
10
20
35
１
３
６
10
15
１
２
３
４
５
A
１
１
１
１
カタラン数については数Bの数列のときに機会があれば説明したいと思います。
トーナメントの山の作り方や積の（　）の付け方, 多角形を三角形に分割するこ
とを考えるときにカタラン数が現れるので興味のある人は調べてみて下さい。
9
演習

教科書p.28を解きなさい

クリアーp.102を解きなさい

チャート式pp.238-239を解きなさい
10

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