2. Flächenträgheitsmomente 09.05.16 2.1 Definitionen 2.2 Zusammengesetzte Querschnitte 2.3 Hauptachsen Prof. Dr. Wandinger 3. Balken TM 2 3.2-1 09.05.16 2.1 Definitionen ● Flächenträgheitsmomente: – Die zur Berechnung der Spannungen eingeführten Integrale I y =∫ z 2 dA , I z =∫ y 2 dA , I yz =−∫ y z dA A A A heißen Flächenträgheitsmomente oder Flächenmomente zweiter Ordnung. – Flächenträgheitsmomente sind geometrische Kennwerte des Querschnitts. – Die Flächenträgheitsmomente Iy und Iz werden als axiale Flächenträgheitsmomente bezeichnet. Prof. Dr. Wandinger 3. Balken TM 2 3.2-2 09.05.16 2.1 Definitionen – Das Flächenträgheitsmoment Iyz wird als Deviationsmoment bezeichnet. – Die axialen Flächenträgheitsmomente sind immer positiv. – Das Deviationsmoment kann positiv, negativ oder null sein. – Das Deviationsmoment ist null, wenn eine der Achsen eine Symmetrieachse ist. Prof. Dr. Wandinger 3. Balken S y z dA dA z y -y z y z dA+(−y ) z dA=0 TM 2 3.2-3 2.1 Definitionen ● 09.05.16 Trägheitsradien: – Die Größen √ √ Iy Iz i y= , i z= A A haben die Einheit einer Länge. – Sie werden als Trägheitsradien bezeichnet. – Mit den Trägheitsradien gilt: I y =i 2y A , I z =i 2z A Prof. Dr. Wandinger 3. Balken TM 2 3.2-4 09.05.16 2.1 Definitionen ● Beispiel: Rechteckquerschnitt – Mit dA = b dz folgt: I y =∫ z 2 dA= A 3 h /2 [ ] – ∫ z 2 b dz −h /2 z =b 3 – h /2 b h3 h3 1 =b + = b h3 24 24 12 − h /2 ( ) Vertauschen von b und h ergibt: 1 I z= b3 h 12 Aus der Symmetrie folgt: I yz =0 Prof. Dr. Wandinger 3. Balken h y dz dA z TM 2 3.2-5 09.05.16 2.1 Definitionen – Mit A = b h gilt für die Trägheitsradien: √ √ b h3 h b3 h b i y= = , i z= = 12 b h 2 √ 3 12 b h 2 √ 3 ● Beispiel: Kreisquerschnitt – Wegen der Rotationssymmetrie sind die Flächenträgheitsmomente für alle Achsen gleich: 1 1 ( 2 2) I y =I z = ( I y + I z )= ∫ z + y dA 2 2A Prof. Dr. Wandinger 3. Balken R r y dr dA z TM 2 3.2-6 09.05.16 2.1 Definitionen – 2 2 2 Mit z +y =r und dA=2 π r dr folgt: R R 1 ∫ ( z + y ) dA=∫ r (2 π r )dr =2 π ∫ r dr = 2 π R 4 A 0 0 2 2 2 3 – 1 4 Damit gilt: I y =I z = π R 4 – Mit A=π R folgt für die Trägheitsradien: 2 √ π R4 R 1 2 i y =i z = = → I y =I z = R A 2 2 4 4πR Prof. Dr. Wandinger 3. Balken TM 2 3.2-7 09.05.16 2.1 Definitionen ● Beispiel: Kreisring – – Die Beziehungen für den Kreisring lassen sich durch Bilden der Differenzen aus den Beziehungen für den Kreis herleiten: 1 I y =I z = π ( R 4a −R i4 ) 4 Ra Mit dem mittleren Radius 1 y R m= ( R a + R i ) Ri 2 und der Wandstärke t =R a −R i folgt: R 4a −R i4= ( R 2a + R 2i )( R 2a −R 2i ) z =( R 2a + R 2i ) ( R a + R i ) ( R a −R i )=( R 2a + R 2i )⋅2 R m t Prof. Dr. Wandinger 3. Balken TM 2 3.2-8 09.05.16 2.1 Definitionen – Mit R a =R m +t /2 und R i =R m −t / 2 folgt: 2 2 2 t t t R 2a + R 2i =R 2m 1+ + R 2m 1− =2 R 2m 1+ 2 Rm 2 Rm 4 R 2m ( – ) ( ) Damit ist gezeigt: 2 t R 4a −R i4=4 R 3m t 1+ 4 R 2m ( – ( ) ) 2 t → I y =I z =π R 3m t 1+ 4 R 2m ( ) Für dünnwandige Kreisringe ( t ≪ R m ) gilt die Näherung: I y =I z ≈π R 3m t Prof. Dr. Wandinger 3. Balken TM 2 3.2-9 2.2 Zusammengesetzte Querschnitte ● ● 09.05.16 Aufgabenstellung: – Für einfache Flächen sind die Flächenträgheitsmomente tabelliert. – Gesucht sind die Flächenträgheitsmomente für einen Querschnitt, der aus Teilflächen zusammengesetzt ist, deren Flächenträgheitsmomente bekannt sind. Lösungsweg: – Es gilt: I y =∫ z 2 dA=∑∫ z 2 dA=∑ I yi A Ai I z =∫ y 2 dA=∑∫ y 2 dA=∑ I zi A Prof. Dr. Wandinger Ai 3. Balken TM 2 3.2-10 09.05.16 2.2 Zusammengesetzte Querschnitte – – – Die Flächenträgheitsmomente des zusammengesetzten Querschnitts sind die Summen der Flächenträgheitsmomente der Teilflächen. Dazu werden die Flächenträgheitsmomente der Teilflächen bezüglich dem gemeinsamen Flächenschwerpunkt benötigt. Die tabellierten Werte beziehen sich auf die Schwerpunkte der Teilflächen. Prof. Dr. Wandinger 3. Balken S3 A3 y S2 S A2 A1 S1 z TM 2 3.2-11 09.05.16 2.2 Zusammengesetzte Querschnitte ● Parallelverschiebung des Koordinatensystems: – Gegeben: ● ● – Flächenträgheitsmomente IY , IZ und IYZ bezüglich dem Koordinatensystem SYZ Koordinaten yS und zS des Schwerpunkts S im Koordinatensystem Byz yS B y S zS Y Gesucht: ● Flächenträgheitsmomente Iy , Iz und Iyz bezüglich dem in den Punkt B parallel verschobenen Koordinatensystem Byz Prof. Dr. Wandinger 3. Balken Z z TM 2 3.2-12 2.2 Zusammengesetzte Querschnitte – 09.05.16 Mit y=Y + y S , z=Z + z s gilt: 2 I y =∫ z dA=∫ ( Z + z S ) dA=∫ ( Z +2 Z z S + z S ) dA 2 A A =∫ Z 2 dA+2 z S ∫ Z dA+ z A A 2 2 A 2 S 2 dA=I + z ∫ Y SA A 2 I z =∫ y 2 dA=∫ ( Y + y S ) dA=I Z + y 2S A A A I yz =−∫ y z dA=−∫ ( Y + y S ) ( Z + z S ) dA=I YZ −y S z S A A Prof. Dr. Wandinger A 3. Balken TM 2 3.2-13 2.2 Zusammengesetzte Querschnitte – 09.05.16 Ergebnis (Satz von Steiner): Iy = IY + z 2S A Iz = IZ + y 2S A I yz = I YZ − y S z S A – Dabei sind yS und zS die Koordinaten des Flächenschwerpunkts der Teilfläche im gemeinsamen Koordinatensystem. Prof. Dr. Wandinger 3. Balken TM 2 3.2-14 09.05.16 2.2 Zusammengesetzte Querschnitte ● Beispiel: I-Träger – – Der gemeinsame Schwerpunkt liegt im Schnittpunkt der Symmetrieachsen. Oberer Gurt: A 1=b t 1 1 I Y 1 = b t 3 , I Z 1= b 3 t 12 12 h t y S 1=0 , z S 1=− + 2 2 ( Prof. Dr. Wandinger 2 S1 ( S1 t S = S2 y ) 2 ) 3. Balken h d S3 h t y A 1=0 , z A1 = + bt 2 2 2 S1 b t z TM 2 3.2-15 2.2 Zusammengesetzte Querschnitte 09.05.16 2 2 3 b t3 1 ( 2 h b t t t b t 2 I y 1= + h +2 h t +t ) bt = 3+6 + 4 2 , I z 1= 12 4 12 h 12 h ( – Steg: ) A 2 =h d , y S 2=z S 2 =0 d h3 d3 h I Y 2= =I y 2 , I Z 2 = =I z 2 12 12 – h t Unterer Gurt: A 3=A1 =b t , y S 3 =0 , z S 3= + 2 2 I Y 3=I Y 1 , I Z 3=I Z 1 h2 b t t t2 b3 t I y 3 =I y 1 = 3+6 + 4 2 , I z 3=I z 1 = 12 h 12 h ( Prof. Dr. Wandinger ) 3. Balken TM 2 3.2-16 2.2 Zusammengesetzte Querschnitte – 09.05.16 Gesamt: h2 b t t t 2 d h3 I y =I y 1 + I y 2 + I y 3 = 3+6 + 4 2 + 6 h 12 h ( ) b3 t d 3 h b3 h t d 3 I z =I z 1 + I z 2 + I z 3= + = 2 + 3 6 12 12 h b ( – ) Vereinfachung für dünnwandige Querschnitte: h 2 b t d h3 b3 t t ≪h , d ≪b → I y = + , I z= 2 12 6 Prof. Dr. Wandinger 3. Balken TM 2 3.2-17 09.05.16 2.3 Hauptachsen ● Drehung des Koordinatensystems: – Gegeben: ● – Flächenträgheitsmomente Iy , Iz und Iyz bezüglich dem Koordinatensystem Syz. Gesucht: ● φ y Flächenträgheitsmomente Iη , Iζ und Iηζ im Koordinatensystem Sηζ, das gegenüber dem Koordinatensystem Syz um den Winkel φ gedreht ist. Prof. Dr. Wandinger S 3. Balken η z ζ TM 2 3.2-18 09.05.16 2.3 Hauptachsen – Koordinaten von Punkt P: y=r cos(α) , z=r sin (α) η=r cos (β) , ζ=r sin (β) – y β η Mit β = α – φ folgt: α φ r P ζ z η=r cos (α−ϕ)=r ( cos(α)cos (ϕ)+sin (α)sin (ϕ) ) =y cos(ϕ)+ z sin (ϕ) ζ=r sin (α−ϕ)=r ( sin (α)cos(ϕ)−cos(α)sin (ϕ) ) =z cos(ϕ)−y sin (ϕ) Prof. Dr. Wandinger 3. Balken TM 2 3.2-19 09.05.16 2.3 Hauptachsen – Damit berechnen sich die Integranden zu 2 2 η =( y cos(ϕ)+ z sin (ϕ) ) =y 2 cos 2 (ϕ)+2 y z sin (ϕ)cos(ϕ)+ z 2 sin 2 (ϕ) 2 ζ 2 = ( z cos (ϕ)−y sin (ϕ) ) =z 2 cos 2 (ϕ)−2 y z sin (ϕ)cos(ϕ)+y 2 sin 2 (ϕ) ηζ =( y cos(ϕ)+ z sin (ϕ) )( z cos(ϕ)−y sin (ϕ) ) =( z 2 −y 2 ) sin (ϕ)cos(ϕ)+y z ( cos 2 (ϕ)−sin 2 (ϕ) ) – Trigonometrische Beziehungen: 2 sin (ϕ)cos(ϕ)=sin (2 ϕ) , cos2 (ϕ)−sin 2 (ϕ)=cos (2 ϕ) 1 1 2 sin (ϕ)= ( 1−cos(2 ϕ) ) , cos (ϕ)= ( 1+ cos(2 ϕ) ) 2 2 2 Prof. Dr. Wandinger 3. Balken TM 2 3.2-20 2.3 Hauptachsen – 09.05.16 Mit den angegebenen trigonometrischen Beziehungen folgt nach Integration über die Fläche: Iη = Iζ = I ηζ = Prof. Dr. Wandinger 1 (I y+I z) + 2 1 (I y+I z) − 2 − 1 ( I y−I z ) cos(2 ϕ) + I yz sin (2 ϕ) 2 1 ( I y−I z ) cos(2 ϕ) − I yz sin (2 ϕ) 2 1 ( I y −I z ) sin (2 ϕ) + I yz cos(2 ϕ) 2 3. Balken TM 2 3.2-21 2.3 Hauptachsen ● 09.05.16 Hauptachsen: – Die Transformationsformeln für die Flächenträgheitsmomente haben die gleiche Form wie die Transformationsformeln für die Spannungen. – Daher gibt es zwei senkrecht aufeinander stehende Richtungen, für die das Deviationsmoment verschwindet. – Diese Richtungen heißen Hauptachsen. – Die zugehörigen Flächenträgheitsmomente heißen Hauptträgheitsmomente. Prof. Dr. Wandinger 3. Balken TM 2 3.2-22 09.05.16 2.3 Hauptachsen – Wie bei den Spannungen folgt: 1 I 1/2 = ( I y + I z )± 2 √( I y −I z 2 2 ) +I 2 yz , tan (2 ϕ H )= 2 I yz I y −I z – Die Hauptträgheitsmomente werden so nummeriert, dass I1 > I2 gilt. – Wird der Querschnitt um eine Hauptachse gedreht, so dreht das aus den Biegespannungen resultierende Moment um diese Achse. Prof. Dr. Wandinger 3. Balken TM 2 3.2-23 09.05.16 2.3 Hauptachsen – Bestimmung von φ1: ● ● ● Der Taschenrechner liefert einen Wert für φH zwischen -45° und 45°. Wie bei den Hauptspannungen gilt für den Winkel φ1 : Iyz > 0 Iyz < 0 φA > 0 φ1 = φH φ1 = φH - 90° φA < 0 φ1 = φH + 90° φ1 = φH φ1 und Iyz haben das gleiche Vorzeichen. Prof. Dr. Wandinger 3. Balken TM 2 3.2-24 09.05.16 2.3 Hauptachsen ● Mohrscher Trägheitskreis: Iyz P Iyz I2 φ1 1 -Iyz Iz M Iy Iy , Iz 2 Q ½(I1 + I2) Prof. Dr. Wandinger I1 2φ1 φ1 3. Balken ½(I1 - I2) TM 2 3.2-25 09.05.16 2.3 Hauptachsen ● Beispiel: Z-Profil – Gegeben ist das abgebildete dünnwandige Z-Profil. – Zu berechnen sind: ● ● – Flächenträgheitsmomente im eingezeichneten Koordinatensystem Hauptträgheitsmomente und Hauptachsen Der Flächenschwerpunkt liegt im Symmetriezentrum. Prof. Dr. Wandinger 3. Balken a y a t S a t≪a a z TM 2 3.2-26 09.05.16 2.3 Hauptachsen – Flächenträgheitsmomente: 3 Profil 1 Profil 2 Profil 3 Summe A ta 2ta ta yS a/2 0 -a/2 zS a 0 -a IY 0 2a 3 t/3 0 2a 3 t/3 IZ a 3 t/12 0 a 3 t/12 a 3 t/6 yS2A a 3 t/4 0 a 3 t/4 a 3 t/2 2 3 a t 0 3 a t 2a t -a 3 t/2 0 -a 3 t/2 -a 3 t zS A -y S z S A Prof. Dr. Wandinger 3. Balken 4ta y 3 2 1 z 8 2 I y = a3 t , I z = a3 t 3 3 3 I yz =−a t TM 2 3.2-27 09.05.16 2.3 Hauptachsen – Mohrscher Trägheitskreis: Iyz Q 1 Iz I2 Iy 2φ1 Iyz I1 Iy , Iz P 2 Prof. Dr. Wandinger 3. Balken TM 2 3.2-28 09.05.16 2.3 Hauptachsen – Hauptachsentransformation: tan (2 ϕ H )= −2 =−1 → 2 ϕ H =−45° 8/3−2/3 I yz < 0 → ϕ1=−22,5 ° 1 I y+ I z 5 3 I y −I z = a t, =a 3 t 2 3 2 √( I y −I z 2 2 ) y S + I 2yz = √ 2 a 3 t 3 3 → I 1=3,081 a t , I 2 =0,2525 a t Prof. Dr. Wandinger φ1 3. Balken 2 z TM 2 3.2-29
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