Z - Prof. Dr.-Ing. Johannes Wandinger

2. Flächenträgheitsmomente
09.05.16
2.1 Definitionen
2.2 Zusammengesetzte Querschnitte
2.3 Hauptachsen
Prof. Dr. Wandinger
3. Balken
TM 2 3.2-1
09.05.16
2.1 Definitionen
●
Flächenträgheitsmomente:
–
Die zur Berechnung der Spannungen eingeführten Integrale
I y =∫ z 2 dA , I z =∫ y 2 dA , I yz =−∫ y z dA
A
A
A
heißen Flächenträgheitsmomente oder Flächenmomente
zweiter Ordnung.
–
Flächenträgheitsmomente sind geometrische Kennwerte
des Querschnitts.
–
Die Flächenträgheitsmomente Iy und Iz werden als axiale
Flächenträgheitsmomente bezeichnet.
Prof. Dr. Wandinger
3. Balken
TM 2 3.2-2
09.05.16
2.1 Definitionen
–
Das Flächenträgheitsmoment Iyz
wird als Deviationsmoment bezeichnet.
–
Die axialen Flächenträgheitsmomente sind immer positiv.
–
Das Deviationsmoment kann
positiv, negativ oder null sein.
–
Das Deviationsmoment ist null,
wenn eine der Achsen eine
Symmetrieachse ist.
Prof. Dr. Wandinger
3. Balken
S
y
z dA
dA z
y
-y
z
y z dA+(−y ) z dA=0
TM 2 3.2-3
2.1 Definitionen
●
09.05.16
Trägheitsradien:
–
Die Größen
√
√
Iy
Iz
i y=
, i z=
A
A
haben die Einheit einer Länge.
–
Sie werden als Trägheitsradien bezeichnet.
–
Mit den Trägheitsradien gilt:
I y =i 2y A , I z =i 2z A
Prof. Dr. Wandinger
3. Balken
TM 2 3.2-4
09.05.16
2.1 Definitionen
●
Beispiel: Rechteckquerschnitt
–
Mit dA = b dz folgt:
I y =∫ z 2 dA=
A
3 h /2
[ ]
–
∫
z 2 b dz
−h /2
z
=b
3
–
h /2
b
h3 h3
1
=b
+
= b h3
24 24 12
− h /2
(
)
Vertauschen von b und h ergibt:
1
I z= b3 h
12
Aus der Symmetrie folgt: I yz =0
Prof. Dr. Wandinger
3. Balken
h
y
dz
dA
z
TM 2 3.2-5
09.05.16
2.1 Definitionen
–
Mit A = b h gilt für die Trägheitsradien:
√
√
b h3
h
b3 h
b
i y=
=
, i z=
=
12 b h 2 √ 3
12 b h 2 √ 3
●
Beispiel: Kreisquerschnitt
–
Wegen der Rotationssymmetrie sind
die Flächenträgheitsmomente für alle
Achsen gleich:
1
1 ( 2 2)
I y =I z = ( I y + I z )= ∫ z + y dA
2
2A
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3. Balken
R
r
y
dr
dA
z
TM 2 3.2-6
09.05.16
2.1 Definitionen
–
2
2
2
Mit z +y =r und dA=2 π r dr folgt:
R
R
1
∫ ( z + y ) dA=∫ r (2 π r )dr =2 π ∫ r dr = 2 π R 4
A
0
0
2
2
2
3
–
1
4
Damit gilt: I y =I z = π R
4
–
Mit A=π R folgt für die Trägheitsradien:
2
√
π R4 R
1 2
i y =i z =
=
→ I y =I z = R A
2
2
4
4πR
Prof. Dr. Wandinger
3. Balken
TM 2 3.2-7
09.05.16
2.1 Definitionen
●
Beispiel: Kreisring
–
–
Die Beziehungen für den Kreisring lassen sich durch Bilden
der Differenzen aus den Beziehungen für den Kreis herleiten:
1
I y =I z = π ( R 4a −R i4 )
4
Ra
Mit dem mittleren Radius
1
y
R m= ( R a + R i )
Ri
2
und der Wandstärke t =R a −R i folgt:
R 4a −R i4= ( R 2a + R 2i )( R 2a −R 2i )
z
=( R 2a + R 2i ) ( R a + R i ) ( R a −R i )=( R 2a + R 2i )⋅2 R m t
Prof. Dr. Wandinger
3. Balken
TM 2 3.2-8
09.05.16
2.1 Definitionen
–
Mit R a =R m +t /2 und R i =R m −t / 2 folgt:
2
2
2
t
t
t
R 2a + R 2i =R 2m 1+
+ R 2m 1−
=2 R 2m 1+
2 Rm
2 Rm
4 R 2m
(
–
) (
)
Damit ist gezeigt:
2
t
R 4a −R i4=4 R 3m t 1+
4 R 2m
(
–
(
)
)
2
t
→ I y =I z =π R 3m t 1+
4 R 2m
(
)
Für dünnwandige Kreisringe ( t ≪ R m ) gilt die Näherung:
I y =I z ≈π R 3m t
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3. Balken
TM 2 3.2-9
2.2 Zusammengesetzte Querschnitte
●
●
09.05.16
Aufgabenstellung:
–
Für einfache Flächen sind die Flächenträgheitsmomente tabelliert.
–
Gesucht sind die Flächenträgheitsmomente für einen Querschnitt, der aus Teilflächen zusammengesetzt ist, deren
Flächenträgheitsmomente bekannt sind.
Lösungsweg:
–
Es gilt:
I y =∫ z 2 dA=∑∫ z 2 dA=∑ I yi
A
Ai
I z =∫ y 2 dA=∑∫ y 2 dA=∑ I zi
A
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Ai
3. Balken
TM 2 3.2-10
09.05.16
2.2 Zusammengesetzte Querschnitte
–
–
–
Die Flächenträgheitsmomente des
zusammengesetzten Querschnitts
sind die Summen der Flächenträgheitsmomente der Teilflächen.
Dazu werden die Flächenträgheitsmomente der Teilflächen bezüglich
dem gemeinsamen Flächenschwerpunkt benötigt.
Die tabellierten Werte beziehen sich
auf die Schwerpunkte der Teilflächen.
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3. Balken
S3
A3
y
S2
S
A2
A1
S1
z
TM 2 3.2-11
09.05.16
2.2 Zusammengesetzte Querschnitte
●
Parallelverschiebung des Koordinatensystems:
–
Gegeben:
●
●
–
Flächenträgheitsmomente IY , IZ und IYZ
bezüglich dem Koordinatensystem SYZ
Koordinaten yS und zS des Schwerpunkts
S im Koordinatensystem Byz
yS
B
y
S
zS
Y
Gesucht:
●
Flächenträgheitsmomente Iy , Iz und Iyz
bezüglich dem in den Punkt B parallel
verschobenen Koordinatensystem Byz
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3. Balken
Z
z
TM 2 3.2-12
2.2 Zusammengesetzte Querschnitte
–
09.05.16
Mit y=Y + y S , z=Z + z s gilt:
2
I y =∫ z dA=∫ ( Z + z S ) dA=∫ ( Z +2 Z z S + z S ) dA
2
A
A
=∫ Z 2 dA+2 z S ∫ Z dA+ z
A
A
2
2
A
2
S
2
dA=I
+
z
∫
Y
SA
A
2
I z =∫ y 2 dA=∫ ( Y + y S ) dA=I Z + y 2S A
A
A
I yz =−∫ y z dA=−∫ ( Y + y S ) ( Z + z S ) dA=I YZ −y S z S A
A
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A
3. Balken
TM 2 3.2-13
2.2 Zusammengesetzte Querschnitte
–
09.05.16
Ergebnis (Satz von Steiner):
Iy = IY +
z 2S A
Iz = IZ +
y 2S A
I yz = I YZ − y S z S A
–
Dabei sind yS und zS die Koordinaten des Flächenschwerpunkts der Teilfläche im gemeinsamen Koordinatensystem.
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3. Balken
TM 2 3.2-14
09.05.16
2.2 Zusammengesetzte Querschnitte
●
Beispiel: I-Träger
–
–
Der gemeinsame Schwerpunkt
liegt im Schnittpunkt der Symmetrieachsen.
Oberer Gurt: A 1=b t
1
1
I Y 1 = b t 3 , I Z 1= b 3 t
12
12
h t
y S 1=0 , z S 1=− +
2 2
(
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2
S1
(
S1
t
S = S2
y
)
2
)
3. Balken
h
d
S3
h t
y A 1=0 , z A1 = +
bt
2 2
2
S1
b
t
z
TM 2 3.2-15
2.2 Zusammengesetzte Querschnitte
09.05.16
2
2
3
b t3 1 ( 2
h
b
t
t
t
b
t
2
I y 1=
+ h +2 h t +t ) bt =
3+6 + 4 2 , I z 1=
12 4
12
h
12
h
(
–
Steg:
)
A 2 =h d , y S 2=z S 2 =0
d h3
d3 h
I Y 2=
=I y 2 , I Z 2 =
=I z 2
12
12
–
h t
Unterer Gurt: A 3=A1 =b t , y S 3 =0 , z S 3= +
2 2
I Y 3=I Y 1 , I Z 3=I Z 1
h2 b t
t
t2
b3 t
I y 3 =I y 1 =
3+6 + 4 2 , I z 3=I z 1 =
12
h
12
h
(
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)
3. Balken
TM 2 3.2-16
2.2 Zusammengesetzte Querschnitte
–
09.05.16
Gesamt:
h2 b t
t
t 2 d h3
I y =I y 1 + I y 2 + I y 3 =
3+6 + 4 2 +
6
h
12
h
(
)
b3 t d 3 h b3 h t d 3
I z =I z 1 + I z 2 + I z 3=
+
=
2 + 3
6
12
12
h b
(
–
)
Vereinfachung für dünnwandige Querschnitte:
h 2 b t d h3
b3 t
t ≪h , d ≪b → I y =
+
, I z=
2
12
6
Prof. Dr. Wandinger
3. Balken
TM 2 3.2-17
09.05.16
2.3 Hauptachsen
●
Drehung des Koordinatensystems:
–
Gegeben:
●
–
Flächenträgheitsmomente Iy , Iz und
Iyz bezüglich dem Koordinatensystem Syz.
Gesucht:
●
φ
y
Flächenträgheitsmomente Iη , Iζ und
Iηζ im Koordinatensystem Sηζ, das
gegenüber dem Koordinatensystem
Syz um den Winkel φ gedreht ist.
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S
3. Balken
η
z
ζ
TM 2 3.2-18
09.05.16
2.3 Hauptachsen
–
Koordinaten von Punkt P:
y=r cos(α) , z=r sin (α)
η=r cos (β) , ζ=r sin (β)
–
y
β
η
Mit β = α – φ folgt:
α
φ
r
P
ζ
z
η=r cos (α−ϕ)=r ( cos(α)cos (ϕ)+sin (α)sin (ϕ) )
=y cos(ϕ)+ z sin (ϕ)
ζ=r sin (α−ϕ)=r ( sin (α)cos(ϕ)−cos(α)sin (ϕ) )
=z cos(ϕ)−y sin (ϕ)
Prof. Dr. Wandinger
3. Balken
TM 2 3.2-19
09.05.16
2.3 Hauptachsen
–
Damit berechnen sich die Integranden zu
2
2
η =( y cos(ϕ)+ z sin (ϕ) )
=y 2 cos 2 (ϕ)+2 y z sin (ϕ)cos(ϕ)+ z 2 sin 2 (ϕ)
2
ζ 2 = ( z cos (ϕ)−y sin (ϕ) )
=z 2 cos 2 (ϕ)−2 y z sin (ϕ)cos(ϕ)+y 2 sin 2 (ϕ)
ηζ =( y cos(ϕ)+ z sin (ϕ) )( z cos(ϕ)−y sin (ϕ) )
=( z 2 −y 2 ) sin (ϕ)cos(ϕ)+y z ( cos 2 (ϕ)−sin 2 (ϕ) )
–
Trigonometrische Beziehungen:
2 sin (ϕ)cos(ϕ)=sin (2 ϕ) , cos2 (ϕ)−sin 2 (ϕ)=cos (2 ϕ)
1
1
2
sin (ϕ)= ( 1−cos(2 ϕ) ) , cos (ϕ)= ( 1+ cos(2 ϕ) )
2
2
2
Prof. Dr. Wandinger
3. Balken
TM 2 3.2-20
2.3 Hauptachsen
–
09.05.16
Mit den angegebenen trigonometrischen Beziehungen folgt
nach Integration über die Fläche:
Iη
=
Iζ
=
I ηζ =
Prof. Dr. Wandinger
1
(I y+I z) +
2
1
(I y+I z) −
2
−
1
( I y−I z ) cos(2 ϕ) + I yz sin (2 ϕ)
2
1
( I y−I z ) cos(2 ϕ) − I yz sin (2 ϕ)
2
1
( I y −I z ) sin (2 ϕ) + I yz cos(2 ϕ)
2
3. Balken
TM 2 3.2-21
2.3 Hauptachsen
●
09.05.16
Hauptachsen:
–
Die Transformationsformeln für die Flächenträgheitsmomente haben die gleiche Form wie die Transformationsformeln für die Spannungen.
–
Daher gibt es zwei senkrecht aufeinander stehende Richtungen, für die das Deviationsmoment verschwindet.
–
Diese Richtungen heißen Hauptachsen.
–
Die zugehörigen Flächenträgheitsmomente heißen Hauptträgheitsmomente.
Prof. Dr. Wandinger
3. Balken
TM 2 3.2-22
09.05.16
2.3 Hauptachsen
–
Wie bei den Spannungen folgt:
1
I 1/2 = ( I y + I z )±
2
√(
I y −I z
2
2
)
+I
2
yz
, tan (2 ϕ H )=
2 I yz
I y −I z
–
Die Hauptträgheitsmomente werden so nummeriert, dass
I1 > I2 gilt.
–
Wird der Querschnitt um eine Hauptachse gedreht, so dreht
das aus den Biegespannungen resultierende Moment um
diese Achse.
Prof. Dr. Wandinger
3. Balken
TM 2 3.2-23
09.05.16
2.3 Hauptachsen
–
Bestimmung von φ1:
●
●
●
Der Taschenrechner liefert einen Wert für φH zwischen -45°
und 45°.
Wie bei den Hauptspannungen gilt für den Winkel φ1 :
Iyz > 0
Iyz < 0
φA > 0
φ1 = φH
φ1 = φH - 90°
φA < 0
φ1 = φH + 90°
φ1 = φH
φ1 und Iyz haben das gleiche Vorzeichen.
Prof. Dr. Wandinger
3. Balken
TM 2 3.2-24
09.05.16
2.3 Hauptachsen
●
Mohrscher Trägheitskreis:
Iyz
P
Iyz
I2
φ1
1
-Iyz
Iz
M
Iy
Iy , Iz
2
Q
½(I1 + I2)
Prof. Dr. Wandinger
I1
2φ1
φ1
3. Balken
½(I1 - I2)
TM 2 3.2-25
09.05.16
2.3 Hauptachsen
●
Beispiel: Z-Profil
–
Gegeben ist das abgebildete
dünnwandige Z-Profil.
–
Zu berechnen sind:
●
●
–
Flächenträgheitsmomente im
eingezeichneten Koordinatensystem
Hauptträgheitsmomente und
Hauptachsen
Der Flächenschwerpunkt liegt
im Symmetriezentrum.
Prof. Dr. Wandinger
3. Balken
a
y
a
t
S
a
t≪a
a
z
TM 2 3.2-26
09.05.16
2.3 Hauptachsen
–
Flächenträgheitsmomente:
3
Profil 1
Profil 2
Profil 3
Summe
A
ta
2ta
ta
yS
a/2
0
-a/2
zS
a
0
-a
IY
0
2a 3 t/3
0
2a 3 t/3
IZ
a 3 t/12
0
a 3 t/12
a 3 t/6
yS2A
a 3 t/4
0
a 3 t/4
a 3 t/2
2
3
a t
0
3
a t
2a t
-a 3 t/2
0
-a 3 t/2
-a 3 t
zS A
-y S z S A
Prof. Dr. Wandinger
3. Balken
4ta
y
3
2
1
z
8
2
I y = a3 t , I z = a3 t
3
3
3
I yz =−a t
TM 2 3.2-27
09.05.16
2.3 Hauptachsen
–
Mohrscher Trägheitskreis:
Iyz
Q
1
Iz
I2
Iy
2φ1
Iyz
I1
Iy , Iz
P
2
Prof. Dr. Wandinger
3. Balken
TM 2 3.2-28
09.05.16
2.3 Hauptachsen
–
Hauptachsentransformation:
tan (2 ϕ H )=
−2
=−1 → 2 ϕ H =−45°
8/3−2/3
I yz < 0 → ϕ1=−22,5 °
1
I y+ I z 5 3
I y −I z
= a t,
=a 3 t
2
3
2
√(
I y −I z
2
2
)
y
S
+ I 2yz = √ 2 a 3 t
3
3
→ I 1=3,081 a t , I 2 =0,2525 a t
Prof. Dr. Wandinger
φ1
3. Balken
2
z
TM 2 3.2-29

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