4. Linien - Prof. Dr.-Ing. Johannes Wandinger

4. Linien
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25.06.15
Die Berechnung des Volumenmittelpunkts von linienförmigen Gebilden mit konstanter Querschnittsfläche führt
auf den Begriff des Linienschwerpunkts.
Dabei muss vorausgesetzt werden, dass die Querschnittsabmessungen klein gegenüber dem Krümmungsradius sind.
Prof. Dr. Wandinger
2. Schwerpunkt
TM 1 2.4-1
25.06.15
4. Linien
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Volumenmittelpunkt einer
Linie mit konstantem
Querschnitt:
y
–
V=AL
Querschnittsfläche A
–
Für das Volumenelement
gilt:
dV = A ds
–
Daraus folgt:
L
yS
S
y
ds
x
Prof. Dr. Wandinger
xS
Für das Volumen gilt:
x
2. Schwerpunkt
1
1
x S = ∫ x dV = ∫ x ds
V V
L L
1
1
y S = ∫ y dV = ∫ y ds
V V
L L
TM 1 2.4-2
25.06.15
4. Linien
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Beispiel: Kreisbogen
–
Bogenlänge:
s=r ϕ → ds=r d ϕ
y
y
–
–
φ
x
Prof. Dr. Wandinger
L=r π
2
s
r
Länge:
x
2. Schwerpunkt
Koordinaten:
x=r cos (ϕ)
y=r sin (ϕ)
TM 1 2.4-3
25.06.15
4. Linien
–
Integrale:
π/ 2
π/2
ϕ=π/ 2
2
2
2
x
ds=
r
cos(ϕ)r
d
ϕ=r
cos(ϕ)d
ϕ=r
sin
(ϕ)
=r
[
]ϕ=0
∫
∫
∫
L
0
0
π/ 2
π/2
∫ y ds= ∫ r sin (ϕ) r d ϕ=r
L
–
0
2
ϕ=π /2
2
sin
(ϕ)d
ϕ=r
−cos(ϕ)
=r
[
]
∫
ϕ=0
2
0
Schwerpunkt:
r2
2
r2
2
x S=
= π r , y S=
=π r
r π /2
r π/2
Prof. Dr. Wandinger
2. Schwerpunkt
TM 1 2.4-4
4. Linien
●
25.06.15
Zusammengesetzte Linien:
–
Der Schwerpunkt kann aus den Längen und den Koordinaten der Schwerpunkte der Teillinien berechnet werden:
1
1
x S = ∑ x Si L i , y S = ∑ y Si L i
L
L
–
Die Koordinaten der Schwerpunkte elementarer Linien sind
tabelliert.
Prof. Dr. Wandinger
2. Schwerpunkt
TM 1 2.4-5
25.06.15
4. Linien
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Beispiel: Stoßstange
y
Symmetrie:
–
Gerades Stück:
r
L 1 =b , x S 1 =0
r
b
x
2r/π
y S =0
–
x S 1 L 1=0
–
Enden:
L 2= π r
2
2
2
x S 2 =r − π r =r 1− π
(
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2. Schwerpunkt
)
TM 1 2.4-6
25.06.15
4. Linien
2 π
x S 2 L 2 =r 1− π ⋅ r = π −1 r 2
2
2
(
–
)
(
)
Gesamt:
L=∑ L i =b+2⋅π r=b+π r ,
2
( π−2 ) r
π −1 r 2 = ( π−2 ) r 2
x
L
=2
∑ Si i 2
(
)
2
r π−2
→ xS =
=
r
b+π r
b 1+π r /b
Prof. Dr. Wandinger
2. Schwerpunkt
TM 1 2.4-7

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