Merkzettel „Differentialrechnung“ II

Merkzettel „Differentialrechnung“ II
02.05.2016
Grundlagen:
1. MWS Sei f(x) stetig auf [a,b] und diff. auf (a,b): ∃𝜉 ∈ (𝑎, 𝑏): f′(𝜉) =
2. MWS Sei f(x) stetig auf [a,b] und diff. auf (a,b): ∃𝜉 ∈ (𝑎, 𝑏): f
Stetig diff. auf (a,b): [∃ 𝑓 ′ 𝑎𝑢𝑓 (𝑎, 𝑏) ]˄ [𝑓′ 𝑠𝑡𝑒𝑡𝑖𝑔 𝑎𝑢𝑓 (𝑎, 𝑏)]
f(𝑏)−f(𝑎)
Satz v. Rolle:
𝑏−𝑎
′ (𝜉) (g(𝑏)
f(𝑎) = f(𝑏): ∃𝜉 ∈ (𝑎, 𝑏): f ′ (𝜉) = 0
− g(𝑎)) = g′(𝜉) (f(𝑏) − f(𝑎))
[stetig diff. auf (a, b)]˄ [∃ f ′ (𝑎+ ) , f ′ (𝑏− )]
Stetig diff. auf [a,b]:
∃ 𝑎𝑙𝑙𝑒 𝑅𝑖𝑐ℎ𝑡𝑢𝑛𝑔𝑠𝑎𝑏𝑙.
𝑠𝑡𝑒𝑡𝑖𝑔
𝑠𝑡𝑒𝑡𝑖𝑔 (𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑒𝑙𝑙)𝑑𝑖𝑓𝑓𝑏𝑎𝑟 ⇒ { 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑖𝑓𝑓𝑏𝑎𝑟
; 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑖𝑓𝑓𝑏𝑎𝑟 ⇒ {
𝑝𝑎𝑟𝑡. 𝑑𝑖𝑓𝑓𝑏𝑎𝑟
𝑠𝑡𝑒𝑡𝑖𝑔
Grundableitungen
1
(𝑥 𝑛 )′ = 𝑛𝑥 𝑛−1
(ln 𝑥)′ =
(sin 𝑥)′ = cos 𝑥
(tan 𝑥)′ =
(cos 𝑥)′ = − sin 𝑥
(cot 𝑥)′ = −
(sinh 𝑥)′ = (
′
𝑒 𝑥 −𝑒 −𝑥 ′
) = cosh 𝑥 =
2
(tanh 𝑥) = (
(𝑙𝑔𝑎 𝑥)′ =
𝑥
1
= 1 + tan² 𝑥
cos² 𝑥
1
= −(1 + cot² 𝑥)
sin2 𝑥
𝑒 𝑥 +𝑒 −𝑥
(arsinh 𝑥)′ =
) = 1 − tanh² 𝑥 =
1
1
1
(arcsin 𝑥)′ =
(arccos 𝑥)′ = −
1
1
√1 − 𝑥²
𝑒 𝑥 +𝑒 −𝑥 ′
(𝑥 > 1) (artanh 𝑥)′ =
1
1−𝑥²
2
) = 1 − cotanh² 𝑥 =
(|𝑥| < 1)
1
1 + 𝑥²
𝑒 𝑥 −𝑒 −𝑥
𝑒 𝑥 +𝑒 −𝑥 ′
𝑒 𝑥 −𝑒 −𝑥
1
1+𝑥²
(arccot 𝑥)′ = −
) = sinh 𝑥 =
2
(cotanh 𝑥) = (
√𝑥²−1
(arctan 𝑥)′ =
√1−𝑥²
′
cosh² 𝑥
(arcosh 𝑥)′ =
√𝑥²+1
1
(𝑎 𝑥 )′ = 𝑎 𝑥 ln 𝑎 (𝑓 −1 (𝑥))′ = f′(𝑓−1(𝑥))
(𝑒 𝑥 )′ = 𝑒 𝑥
(cosh 𝑥)′ = (
2
𝑒 𝑥 −𝑒 −𝑥 ′
𝑒 𝑥 +𝑒 −𝑥
1
𝑥 ln 𝑎
1
sinh² 𝑥
(arcoth 𝑥)′ =
1
1−𝑥²
(|𝑥| > 1)
Ableitungsmethoden:
(𝑓𝑔)′ = 𝑓 ′ 𝑔 + 𝑓𝑔′
(𝑓 𝑔 )′ = (𝑔′ ln 𝑓 +
𝑓 ′
(𝑓𝑔ℎ)′ = 𝑓 ′ 𝑔ℎ + 𝑓𝑔′ ℎ + 𝑓𝑔ℎ′
𝑓′𝑔
𝑓
( ) =
) 𝑓 𝑔 ; 𝑤𝑒𝑔𝑒𝑛 𝐴𝑛𝑠𝑎𝑡𝑧: 𝑦 = 𝑓 𝑔 → ln 𝑦 = 𝑔 ln 𝑓 →
ln 𝑦 𝑑𝑦
𝑑𝑦 𝑑𝑥
′
𝑓 ′ 𝑔−𝑓𝑔′
𝑔
𝑑𝑓 𝑑𝑔
[𝑓(𝑔(𝑥))] = 𝑑𝑔 𝑑𝑥
𝑔²
1
1
𝑦
𝑓
= 𝑦 ′ = 𝑔′ ln 𝑓 + 𝑓 ′ 𝑔
Ableitung von Funktionen in Parameterdarstellung in ℝ²:
𝑦′ =
𝑑𝑦 𝑑𝑡 𝑑𝑦 1 𝑦̇
=
=
𝑑𝑡 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝑥̇ 𝑥̇
𝑦 ′′ =
𝑑𝑦 ′ 𝑑𝑡 𝑑𝑦′ 1 𝑥̇ 𝑦̈ − 𝑥̈ 𝑦̇
=
=
𝑑𝑡 𝑑𝑥
𝑑𝑡 𝑥̇
𝑥̇ 3
Kurvendiskussion:
𝑦 = f(𝑥):
𝑁𝑆𝑇: f(𝑥𝑛 ) = 0;
𝐸: f ′ (𝑥𝑒 ) = 0 ˄ [f ′′ (𝑥𝑒 ) ≠ 0 ˅ 𝑒𝑟𝑠𝑡𝑒 𝑎𝑛 𝑥𝑒 𝑛𝑖𝑐ℎ𝑡 𝑣𝑒𝑟𝑠𝑐ℎ𝑤𝑖𝑛𝑑𝑒𝑛𝑑𝑒 𝐴𝑏𝑙𝑒𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 𝑖𝑠𝑡 𝑔𝑒𝑟𝑎𝑑𝑒]
𝑀𝐼𝑁: f ′′ (𝑥𝑒 ) > 0 ˅ [f ′′ (𝑥𝑒 ) = 0 ˄ 𝑒𝑟𝑠𝑡𝑒 𝑎𝑛 𝑥𝑒 𝑛𝑖𝑐ℎ𝑡 𝑣𝑒𝑟𝑠𝑐ℎ𝑤𝑖𝑛𝑑𝑒𝑛𝑑𝑒 𝐴𝑏𝑙𝑒𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 > 0 ("𝑆𝑎𝑡𝑡𝑒𝑙𝑝𝑢𝑛𝑘𝑡")]
𝑀𝐴𝑋: f ′′ (𝑥𝑒 ) < 0 ˅ [f ′′ (𝑥𝑒 ) = 0 ˄ 𝑒𝑟𝑠𝑡𝑒 𝑎𝑛 𝑥𝑒 𝑛𝑖𝑐ℎ𝑡 𝑣𝑒𝑟𝑠𝑐ℎ𝑤𝑖𝑛𝑑𝑒𝑛𝑑𝑒 𝐴𝑏𝑙𝑒𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 < 0 ("𝑆𝑎𝑡𝑡𝑒𝑙𝑝𝑢𝑛𝑘𝑡")]
𝑊: f ′′ (𝑥𝑤 ) = 0 ˄ [f ′′′ (𝑥𝑤 ) ≠ 0 ˅ 𝑒𝑟𝑠𝑡𝑒 𝑎𝑛 𝑥𝑤 𝑛𝑖𝑐ℎ𝑡 𝑣𝑒𝑟𝑠𝑐ℎ𝑤𝑖𝑛𝑑𝑒𝑛𝑑𝑒 𝐴𝑏𝑙𝑒𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 𝑖𝑠𝑡 𝑢𝑛𝑔𝑒𝑟𝑎𝑑𝑒. ]
Konvex auf Intervall I: f ′′ (𝑥) ≥ 0; strikt konvex: f ′′ (𝑥) > 0; konkav: f ′′ (𝑥) ≤ 0; strikt konkav: f ′′ (𝑥) < 0; ∀𝑥 ∈ 𝐼.
𝑧 = f(𝑥, 𝑦):
𝐸: 𝐿ö𝑠𝑒 𝐺𝑙𝑒𝑖𝑐ℎ𝑢𝑛𝑔𝑠𝑠𝑦𝑠𝑡𝑒𝑚 𝑧𝑥 (𝑥, 𝑦) = 0; 𝑧𝑦 (𝑥, 𝑦) = 0 → 𝑝𝑟𝑢̈ 𝑓𝑒 𝑜𝑏 𝑧𝑥𝑥 (𝑥𝑒 , 𝑦𝑒 )𝑧𝑦𝑦 (𝑥𝑒 , 𝑦𝑒 ) − 𝑧𝑥𝑦 (𝑥𝑒 , 𝑦𝑒 ) > 0
𝑀𝐼𝑁: 𝑧𝑥𝑥 (𝑥𝑒 , 𝑦𝑒 ) > 0; 𝑀𝐴𝑋: 𝑧𝑥𝑥 (𝑥𝑒 , 𝑦𝑒 ) < 0
2
𝜕 𝑓
Hesse𝜕𝑥 2
Matrix
H(f(𝑥, 𝑦)) = ( 𝜕2 𝑓
von f(x,y):
𝜕𝑦𝜕𝑥
𝜕2 𝑓
𝜕𝑥𝜕𝑦
)
𝜕2 𝑓
𝜕𝑦 2
𝑓𝑥𝑥
HesseMatrix von H(f(𝑥, 𝑦, 𝑧)) = (𝑓𝑦𝑥
f(x,y,z):
𝑓𝑥𝑧
𝑓𝑥𝑦
𝑓𝑦𝑦
𝑓𝑦𝑧
𝑓𝑥𝑧
𝑓𝑦𝑧 )
𝑓𝑧𝑧
⃗⃗; 𝐺𝐿𝑆 𝑙ö𝑠𝑒𝑛. → 𝑟⃗𝑠
⃗⃗f(𝑟⃗) = 0
𝑆𝑡𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛ä𝑟𝑒𝑟 𝑃𝑢𝑛𝑘𝑡 𝑟⃗𝑠 : ∇
⃗⃗} ]
𝑀𝐼𝑁 (𝑒𝑙𝑙𝑖𝑝𝑡𝑖𝑠𝑐ℎ): H(f(𝑟⃗𝑠 )) 𝑝𝑜𝑠. 𝑑𝑒𝑓. ⇔ [∀: 𝜆 > 0] ⇔ [∀: det(𝑀𝑘 ) > 0] ⇔ [𝑥⃗ 𝑇 𝐻𝑥⃗ > 0 ∀𝑥⃗ ∈ ℝ𝑛 \{0
𝑧 = f(𝑟⃗) 𝑀𝐴𝑋 (𝑒𝑙𝑙𝑖𝑝𝑡. ): H(f(𝑟⃗𝑠 )) 𝑛𝑒𝑔. 𝑑𝑒𝑓. ⇔ [∀: 𝜆 < 0] ⇔ [sgn(det(𝑀𝑘 )) = (−1)𝑘 , 𝑘 = 1 … 𝑛] ⇔ [𝑥⃗ 𝑇 𝐻𝑥⃗ < 0 ∀𝑥⃗ ∈ ℝ𝑛 \{0
⃗⃗} ]
𝑆𝑎𝑡𝑡𝑒𝑙𝑝𝑘𝑡. (ℎ𝑦𝑝𝑒𝑟𝑏. ): H(f(𝑟⃗𝑠 )) 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑓. 𝑟𝑒𝑔. ⇔ [∃: 𝜆 < 0 ˄ ∃: 𝜆 > 0˄ ∄: 𝜆 = 0] ⇔ [det(H(f(𝑟⃗𝑠 ))) < 0] ⇔ [𝑥⃗ 𝑇 𝐻𝑥⃗ ∈ ℝ+− ]
𝑝𝑎𝑟𝑎𝑏𝑜𝑙𝑖𝑠𝑐ℎ: H(f(𝑟⃗𝑠 )) 𝑠𝑖𝑛𝑔𝑢𝑙ä𝑟 ⇔ [∃: 𝜆 = 0] ⇔ [det(H(f(𝑟⃗𝑠 ))) = 0]
Finden von Extremalstellen mit Nebenbedingungen mittels Lagrange-Multiplikatoren:
𝐺𝑒𝑔. : 𝐹𝑢𝑛𝑘𝑡𝑖𝑜𝑛 f(𝑥, 𝑦, 𝑧) ; 𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑧𝑖𝑡𝑒 𝑁𝑒𝑏𝑒𝑛𝑏𝑒𝑑𝑖𝑛𝑔𝑢𝑛𝑔𝑒𝑛 φ𝑖 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0; 𝑖 = 1 … 𝑛; 𝑓, φ𝑖 𝑠𝑡𝑒𝑡𝑖𝑔 𝑑𝑖𝑓𝑓. 𝑏𝑎𝑟
⃗⃗(f(𝑥, 𝑦, 𝑧) + 𝜆1 (φ1(𝑥, 𝑦, 𝑧)) + ⋯ + 𝜆𝑛 (φ𝑛 (𝑥, 𝑦, 𝑧))) = 0 → 𝐿ö𝑠𝑒 𝐺𝐿𝑆 → 𝑥𝐸 , 𝑦𝐸 , 𝑧𝐸
∇
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-1-
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Differentialgleichungen (Grad: Höchste Potenz von y(n); Ordnung bzw. Rang: Höchste Ableitung n von y(n))
Homogene DG erster Ordnung
mit trennbaren Variablen
Gleichgradige („homogene“) DG
erster Ordnung
𝑦 ′ = 𝑓(𝑥, 𝑦)
𝑈𝑚𝑓𝑜𝑟𝑚𝑒𝑛 𝑧𝑢
𝑦
𝑦′ = 𝑓 ( )
𝑥
𝐴𝑛𝑠𝑎𝑡𝑧: 𝑧 =
𝑦
𝑑𝑧
→ 𝑦 = 𝑥𝑧 → 𝑦 ′ = 𝑥 ′ 𝑧 + 𝑧 ′ 𝑥 = 𝑧 +
𝑥
𝑥
𝑑𝑥
Zweimaliges Integrieren
𝑦 ′′ = 𝑓(𝑥)
′′
Homogene DG zweiter Ordnung, die sich 𝑦 = 𝑓(𝑥, 𝑦′)
𝑦 ′′ = 𝑓(𝑦)
auf homogene DG erster Ordnung
𝑦 ′′ = 𝑓(𝑦, 𝑦′)
zurückführen lässt
𝐴𝑛𝑠𝑎𝑡𝑧: 𝑦 ′ = 𝑝 → 𝑦 ′′ =
𝐴𝑛𝑠𝑎𝑡𝑧: 𝑦 ′ = 𝑝 → 𝑦 ′′ =
𝑦 ′′ = 𝑓(𝑦′)
Inhomogene DG erster Ordnung mit
𝑦 ′ = 𝑎𝑦 + 𝑠(𝑥)
konstantem Koeffizienten → Prama I, 5.1
y(𝑥) = 𝐶𝑒
Inhomogene DG erster Ordnung mit
variablem Koeffizienten → Prama I, 5.2
𝑦 ′ = a(𝑥) 𝑦 + 𝑠(𝑥)
Inhomogene DG erster Ordnung mit
variablem Koeffizienten
-> „Variation der Konstanten“
𝑦 ′ + 𝑎(𝑥)𝑦 = 𝑠(𝑥)
Inhomogene DG zweiter Ordnung mit
variablen Koeffizienten:
-> „Variation der Konstanten“
Lineare DG höherer Ordnung mit
konstanten Koeffizienten:
Homogene Lösung
𝑑𝑦
= 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 | ∫ → ln 𝑦 = ∫ 𝑓(𝑥)
𝑦
𝑎𝑥
𝑥
+∫ 𝑒
𝑑𝑝 𝑑𝑝 𝑑𝑦
𝑑𝑝
=
=
𝑝
𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑝
𝑑𝑥
𝑎(𝑥−𝑢)
s(𝑢) 𝑑𝑢
𝑢=0
𝑥
y(𝑥) = 𝐶𝑒 Λ(𝑥) + ∫𝑢=0 𝑒 Λ(𝑥)−Λ(𝑢) s(𝑢) 𝑑𝑢
𝑥
𝑥
Λ(𝑥) = ∫𝜏=0 a(𝜏) 𝑑𝜏 ; Λ(𝑥) − Λ(𝑢) = ∫𝜏=𝑢 a(𝜏) 𝑑𝜏
𝐸𝑟𝑚𝑖𝑡𝑡𝑙𝑒 𝑦ℎ (𝑥, 𝐶) → 𝐴𝑛𝑠𝑎𝑡𝑧 𝑦𝑝 (𝑥, 𝑐(𝑥))
𝐴𝑏𝑙𝑒𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔𝑒𝑛 𝑖𝑛 𝐷𝐺 𝑒𝑖𝑛𝑠𝑒𝑡𝑧𝑒𝑛 →
𝑐 ′ (𝑥) 𝑏𝑒𝑠𝑡𝑖𝑚𝑚𝑒𝑛 | ∫ → 𝑐(𝑥) → 𝑦 = 𝑦ℎ + 𝑦𝑝 (𝑥, 𝑐(𝑥))
𝐸𝑟𝑚𝑖𝑡𝑡𝑙𝑒 𝑦ℎ1 (𝑥) , 𝑦ℎ2 (𝑥) → 𝑦ℎ = 𝑐1 𝑦ℎ1 (𝑥) + 𝑐2 𝑦ℎ2 (𝑥)
𝐴𝑛𝑠𝑎𝑡𝑧: 𝑦𝑝 (𝑥) = 𝑐1 (𝑥) 𝑦ℎ1 (𝑥) + 𝑐2 (𝑥) 𝑦ℎ2 (𝑥) →
𝑦 ′′ + a(𝑥) 𝑦 ′ + b(𝑥) 𝑦 = 𝑠(𝑥) 𝐺𝐿𝑆: 𝒚𝒉𝟏 (𝒙) 𝒄′𝟏 (𝒙) + 𝒚𝒉𝟐 (𝒙) 𝒄′𝟐 (𝒙) = 𝟎
𝐺𝐿𝑆: 𝒚′𝒉𝟏 (𝒙) 𝒄′𝟏 (𝒙) + 𝒚′𝒉𝟐 (𝒙) 𝒄′𝟐 (𝒙) = 𝒔(𝒙) →
𝑐𝑖′ (𝑥) 𝑏𝑒𝑠𝑡𝑖𝑚𝑚𝑒𝑛 | ∫ → 𝑐𝑖 (𝑥) → 𝑦 = 𝑦ℎ + 𝑦𝑝 (𝑥, 𝑐𝑖 (𝑥))
𝑦 ′′ + 𝑎1 𝑦 ′ + 𝑎2 𝑦 = 0
Char. Gleichung („CG“) 𝜆2 + 𝑎1 𝜆 + 𝑎2 = 0 → 𝜆1 , 𝜆2 … 𝜆𝑛
𝐅𝟏: 𝜆1, 𝜆2 ∈ ℝ ∧ 𝜆1 ≠ 𝜆2
𝑦ℎ = 𝐶1 𝑒 𝜆1, 𝑥 + 𝐶2 𝑒 𝜆2,𝑥 + ⋯
𝐅𝟐: 𝜆1, 𝜆2 ∈ ℝ ∧ 𝜆1 = 𝜆2 = 𝜆 𝑦ℎ = (𝐶1 + 𝐶2 𝑥)𝑒 𝜆𝑥 + ⋯
𝐅𝟑: 𝜆1 = 𝛼 + 𝑖𝛽; 𝜆2 = 𝛼 − 𝑖𝛽
′′
𝑦ℎ = 𝑒 𝛼𝑥 (𝐶1 sin 𝛽𝑥 + 𝐶2 cos 𝛽𝑥) + ⋯
′
𝑦 + 𝑎1 𝑦 + 𝑎2 𝑦 = 𝑠(𝑥)
𝐅𝟏: 𝑠(𝑥) = 𝑃𝑜𝑙𝑦𝑛𝑜𝑚 𝐺𝑟𝑎𝑑 𝑛
Ansatz yp (s.u.), ableiten, in DG einsetzen, Koeffizientenvergleich
𝑦𝑝 = 𝑏𝑜 + 𝑏1 𝑥 + 𝑏2 𝑥 2 + − ⋯ + 𝑏𝑟 𝑥 𝑛
- m ist keine Wurzel der CG:
𝑦𝑝 = 𝑏𝑒 𝑚𝑥
Inhomogene lineare DG höherer
- m ist einfache Wurzel der CG: 𝑦𝑝 = 𝑏𝑥𝑒 𝑚𝑥
Ordnung mit konstanten Koeffizienten 𝐅𝟐: 𝑠(𝑥) = 𝑎𝑒 𝑚𝑥
- m ist doppelte Wurzel der CG: 𝑦𝑝 = 𝑏𝑥²𝑒 𝑚𝑥
und speziellen Störfunktionen
- sin ωx und cos ωx nicht in yh: 𝑦𝑝 = 𝐴 sin 𝜔𝑥 + 𝐵 cos 𝜔𝑥
𝐅𝟑: 𝑠(𝑥) = 𝑎 sin 𝜔𝑥 + 𝑏 cos 𝜔𝑥
Inhomogene Lösung:
- sin ωx oder cos ωx Teil von yh: 𝑦𝑝 = 𝐴𝑥 sin 𝜔𝑥 + 𝐵𝑥 cos 𝜔𝑥
𝐅𝟒: Kombination aus F1, F2 und Additive oder multiplikative Kombination aus den
F3 (additiv oder multiplikativ) entsprechenden Ansätzen für yp
𝑑𝑦 ′
Spezialansatz für inhomogene lineare DG
𝑧 = 𝑦1−𝑛 → 𝑏𝑒𝑟𝑒𝑐ℎ𝑛𝑒 𝑦(𝑧) → 𝑦 ′ =
𝑧 →
erster Ordnung mit variablem Koeffi𝑦 ′ + 𝑎(𝑥)𝑦 = 𝑥𝑦 𝑛
𝑑𝑧
n
′
𝐷𝐺
𝑧
+
𝑎(𝑥)𝑧
=
𝑥
→
𝑙ö𝑠𝑒𝑛
𝑖𝑛
𝑧
zienten und Störfunktion der Form xy
𝜕𝑝
𝜕𝑞
𝑝(𝑥, 𝑦) + 𝑞(𝑥, 𝑦)𝑦 ′ = 0 →
𝑃𝑟𝑢̈ 𝑓𝑒:
≟
→ 𝑤𝑒𝑛𝑛 𝑛𝑒𝑖𝑛: 𝑓𝑖𝑛𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡. 𝐹𝑎𝑘𝑡𝑜𝑟 a(𝑥, 𝑦) →
𝜕𝑦
𝜕𝑥
Exakte, nicht separable DG erster
𝑝(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥 + 𝑞(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑦 = 0
ϕ(𝑥,
𝑦)
=
𝑝(𝑥,
𝑦) 𝑑𝑥 + C(𝑦) = ∫ 𝑞(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥 + D(𝑥) →
∫
𝜕𝑝
𝜕𝑞
Ordnung
𝑤𝑜𝑏𝑒𝑖
=
→ 𝑏𝑒𝑠𝑡𝑖𝑚𝑚𝑒 C(𝑦) 𝑢𝑛𝑑 D(𝑥) → 𝑙ö𝑠𝑒 ϕ(𝑥, 𝑦) 𝑛𝑎𝑐ℎ 𝑦 𝑎𝑢𝑓.
𝜕𝑦
𝜕𝑝
Ermittlung des integrierenden
Faktors
𝜕𝑦
𝜕𝑝
𝜕𝑦
𝜕𝑝
𝜕𝑦
Schwingende Feder mit Dämpfung
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𝜕𝑥
𝜕𝑞
= p′ (𝑥) ∧
= p′ (𝑦) ∧
𝜕𝑥
𝜕𝑞
𝜕𝑥
= p′ (𝑥, 𝑦) ∨
= q′ (𝑥) , 𝑜𝑑𝑒𝑟 𝑧. 𝐵. 𝑥: 𝐿ö𝑠𝑒 𝐷𝐺 𝜕 [𝑝(𝑥, 𝑦)𝑎(𝑥)] = 𝜕 [𝑞(𝑥, 𝑦)𝑎(𝑥)] 𝑛𝑎𝑐ℎ 𝑎
𝜕𝑦
𝜕𝑥
= q′ (𝑦)
𝑚𝑖𝑡𝑡𝑒𝑙𝑠 𝑆𝑒𝑝𝑎𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒𝑟 𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑛
𝜕𝑞
𝜕𝑥
= q′ (𝑥, 𝑦)
𝜕
𝜕𝑦
𝜕
[𝑝(𝑥, 𝑦)𝑥 𝛼 𝑦 𝛽 ] = 𝜕𝑥 [𝑞(𝑥, 𝑦)𝑥 𝛼 𝑦 𝛽 ] →
𝑢𝑛𝑑 𝑝 𝑢𝑛𝑑 𝑞 𝑠𝑖𝑛𝑑 𝑃𝑜𝑙𝑦𝑛𝑜𝑚𝑒. 𝑎𝑢𝑓𝑙ö𝑠𝑒𝑛 𝑛𝑎𝑐ℎ 𝛼 𝑢𝑛𝑑 𝛽 𝑚𝑖𝑡 𝐾𝑉 𝑓ü𝑟 𝑎𝑙𝑙𝑒 𝑥 𝑛 𝑦 𝑛
𝑟
𝑘
𝐹 = 𝐹𝑔𝑟𝑎𝑣 − 𝐹𝑑ä𝑚𝑝𝑓 − 𝐹𝐹𝑒𝑑𝑒𝑟 𝑚𝑢̈ = 𝑚𝑔 − 𝑟𝑢̇ − 𝑘𝑢 𝑢̈ + 𝑢̇ + 𝑢 = 𝑔
𝑟
𝑘
𝑚
𝑚
𝑟
𝑘
𝜌 = ; 𝜔0 = √
𝑢̈
=
𝑔
−
𝑢̇
−
𝑢
2𝑚
𝑚
𝑚𝑎 = 𝑚𝑔 − 𝑟𝑣 − 𝑘𝑢
𝑢̈ + 2𝜌𝑢̇ + 𝜔02 𝑢 = 𝑔
𝑚
𝑚
-2-
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Sonstiges:
𝜕𝑓(𝑟⃗)
𝜕
Nabla
Operator:
⃗⃗=
∇
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑥
𝜕𝑓(𝑟⃗)
Gradient
⃗⃗ f(𝑟⃗) =
grad f(𝑟⃗) = ∇
von f(𝑟⃗) :
( 𝜕𝑧 )
(
𝜕𝑣𝑧(𝑟⃗)
𝑣𝑥 (𝑟⃗)
𝑣𝑥 (𝑟⃗)
Rotation
rot (𝑣𝑦 (𝑟⃗)) = ⃗∇⃗ × (𝑣𝑦 (𝑟⃗)) =
von v
⃗⃗(𝑟⃗):
𝑣𝑧 (𝑟⃗)
𝑣𝑧 (𝑟⃗)
Richtungsableitung Richtung 𝑒⃗
in Punkt 𝑟⃗:
𝜕𝑦
𝜕𝑣𝑥(𝑟⃗)
(
𝜕𝑧
𝜕𝑣𝑦 (𝑟⃗)
𝜕𝑥
−
−
−
𝜕𝑦
𝜕𝑓(𝑟⃗)
𝜕𝑧
Divergenz
von v
⃗⃗(𝑟⃗):
𝑣𝑥 (𝑟⃗)
𝑣𝑥 (𝑟⃗)
⃗⃗ ∙ (𝑣𝑦 (𝑟⃗)) = 𝜕 𝑣𝑥(𝑟⃗) + 𝜕 𝑣𝑦(𝑟⃗) + 𝜕 𝑣𝑧(𝑟⃗)
div (𝑣𝑦 (𝑟⃗)) = ∇
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧
𝑣𝑧 (𝑟⃗)
𝑣𝑧 (𝑟⃗)
LaplaceOperator
von f(𝑟⃗)
⃗⃗2 f(𝑟⃗) = div(grad(f(𝑟⃗))) = ∇
⃗⃗ ∙ (∇
⃗⃗ f(𝑟⃗))
∇
Rechenregel:
⃗∇⃗ ∙ (𝑓∇
⃗⃗𝑔) = (∇
⃗⃗𝑓) ∙ (∇
⃗⃗𝑔) + 𝑓∇
⃗⃗2 𝑔
)
𝜕𝑣𝑦(𝑟⃗)
𝜕𝑧
𝜕𝑣𝑧(𝑟⃗)
𝜕𝑥
𝜕𝑣𝑥(𝑟⃗)
𝜕𝑦
)
f(𝑟⃗ + 𝜀𝑒⃗) − f(𝑟⃗)
𝐷𝑒⃗ 𝑓(𝑟⃗) = lim
= ⃗∇⃗ f(𝑟⃗) ∙ 𝑒⃗ Krümmung von r⃗(𝑡):
𝜀→0
𝜀
𝒦(𝑡) =
|r⃗ ′(𝑡) × r⃗ ′′(𝑡)|
|r⃗ ′ (𝑡)|3
𝑦 ′′
1 y=y(x): KK-Mittelpkt.
𝑦′
1
2
2
y=y(x):
𝒦=
3; ρ =
(1 + 𝑦 ′2 ); 𝑦𝑚 = 𝑦 + ′′ (1 + 𝑦 ′2 ); (𝑥 − 𝑥𝑚𝑝 ) + (𝑦 − 𝑦𝑚𝑝 ) = ρ𝑝 ²
𝑥
=
𝑥
−
𝑚
𝒦
𝒦, Radius:
KK-Gleichung:
(1+𝑦 ′2 )2
𝑦 ′′
𝑦
x(𝑡)
r⃗(𝑡) = (
): Krümmung 𝒦
y(𝑡)
Ableitungsformel
Parameterintegral:
x ′ (𝑡) y ′′ (𝑡) − x ′′ (𝑡) y ′(𝑡)
𝒦(𝑡) = |
|
3
(x ′(𝑡)2 + y ′(𝑡)2 )2
b(𝑥)
Fehlerabschätzung
|∆𝑓| 𝑣𝑜𝑛 f(𝑥, 𝑦, 𝑧)
b(𝑥) 𝜕𝑓(𝑥,𝑦)
Sei I(𝑥) = ∫a(𝑥) f(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑦, dann ist I ′ (𝑥) = ∫a(𝑥)
𝜕𝑥
𝜕𝑓
𝜕𝑓
𝜕𝑓
∆𝑥| + | ∆𝑦| + | ∆𝑧|
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧
𝑑𝑦 + b′ (𝑥) f(𝑥, b(𝑥)) − a′ (𝑥) f(𝑥, a(𝑥))
Winkel ψ zwischen Leitstrahl und Tangente bei Polarkoordinatendarstellung r=f(ϕ)
Wronsky
|∆𝑓| = |
ψ = arctan
𝑟
𝑟′
𝑦 (𝑥) 𝑦2 (𝑥)
𝑦1 (𝑥) 𝑢𝑛𝑑 𝑦2 (𝑥) 𝑠𝑖𝑛𝑑 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑟 𝑢𝑛𝑎𝑏ℎä𝑛𝑔𝑖𝑔, 𝑤𝑒𝑛𝑛 ∃𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏]: det ( 1′
) ≠ 0 („𝐹𝑢𝑛𝑑𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙𝑠𝑦𝑠𝑡𝑒𝑚“)
𝑦1 (𝑥) 𝑦2′ (𝑥)
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-3-
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