超速で経路積分簡単のため1次元で考える。ハミルトニアンは ^ H = ^K +

超速で経路積分
簡単のため１次元で考える。ハミルトニアンは
^ =K
^ + V^
H
2
^ = p^ ;
K
2m
^
V = V (^
x):
シュレーディンガー方程式は
@
^
iñ
h j†(t)i = Hj†(t)i:
@t
波動関数は
(1)
def
†(x; t) = hxj†(t)i:
^ が時間に依存しない場合）
Ａ．Trotter 分解を用いた議論（H
1é （１）の解
1
^
j†(t)i = e iñh Ht j†(0)i
より
1
^
†(x; t) = hxje iñh Ht j†(0)i
=
=
Z
Z
1
1
Ä1
1
Ä1
^
dx0 hxje iñh Ht jx0 ihx0 j†(0)i
dx0 G(x; x0 ; t)†(x0 ; 0)
ここで「プロパゲーター」G(x; x0 ; t) を
1
def
^
G(x; x0 ; t) = hxje iñh Ht jx0 i
と定義・導入した。G(x; x0 ; t) は、時刻 t の波動関数が時刻 t = 0 の波動関数から
「どのように伝わってきた」か、を表している。
いわゆる Trotter 分解（公式）
^
^
ê
^
^
eA+B = lim eA=N eB=N
N !1
ëN
を用いると、Åt = t=N として
G(x; x0 ; t) =
ê
^
^
h) V Å t=(iñ
h)
lim hxj eKÅt=(iñ
e
N !1
ëN
を得る。つまり
def
ê
^
^
h) V Å t=(iñ
h)
GN (x; x0 ; t) = hxj eKÅ t=(iñ
e
と置くと
G(x; x0 ; t) =
lim GN (x; x0 ; t)
N !1
が成立する。
1
ëN
jx0 i
jx0 i
2é GN (x; x0 ; t) の評価
N 番目
ëê ^ N Ä1 番目
ë
^ t=(iñ
KÅ
h) V^ Åt=(iñ
h)
KÅ t=(iñ
h) V^ Å t=(iñ
h)
ê
GN (x; x0 ; t) = hxj e
e
e
ê
1 番目
ë
^ t=(iñ
KÅ
h) V^ Å t=(iñ
h)
ÅÅÅ e
e
e
この表式の括弧と括弧の間に、座標の固有状態からなる完全系を入れていくと
GN (x; x0 ; t) =
ê
^
Z
dxN Ä1
^
Z
Z
dxN Ä2 ÅÅÅ dx1
ë
ê
^
^
ë
h) V Åt=(iñ
h)
h) V Å t=(iñ
h)
Çhxj eKÅ t=(iñ
e
jxN Ä1 ihxN Ä1 j eKÅ t=(iñ
e
jxN Ä2 ihxN Ä2 j ÅÅÅ
ê
^
^
ë
h) V Åt=(iñ
h)
e
jx0 i
ÅÅÅjx1 ihx1 j eKÅ t=(iñ
ここで
def
^
ê
^
ë
h) V Åt=(iñ
h)
K(x0 ; x; Åt) = hx0 j eKÅ t=(iñ
e
jxi
と定義すると、xN = x として
GN (x; x0 ; t) =
Z
dxN Ä1
Z
Z
dxN Ä2 ÅÅÅ dx1
†N Ä1
Y
k=0
!
K(xk+1 ; xk ; Åt)
となる。
3é K(x0 ; x; Åt) の評価
^
^
h) V Åt=(iñ
h)
e
jxi
K(x0 ; x; Åt) = hx0 jeKÅ t=(iñ
^
h)
h)
= hx0 jeKÅ t=(iñ
jxieV (x)Å t=(iñ
運動量の固有状態からなる完全系 fjpig を用いると
Z
^
h)
hx0 jeKÅ t=(iñ
jxi =
=
=
=
=
^
h)
dphx0 jeKÅ t=(iñ
jpihpjxi
Z
dphx0 jep
Z
dpeÄi (2mñh) p hx0 jpihpjxi
Z
dpep
†
1
p
2ôh
ñ
2 Å t=(2miñ
h)
2 Å t=(2miñ
h)
Åt
jpihpjxi
hx0 jpihpjxi
2
!2 Z
Åt
2
i
dpeÄi (2mñh) p e hñ (x Äx)p
0
ここで公式（ReA > 0 ）
Z
1
Ä1
ÄAp2 +Bp
dpe
=
r
ô B2
e 4A
A
を用いると（ReA = 0 のときは A ! A + 0 と考える）
hx0 je
^ t=(iñ
KÅ
h)
jxi =
†
=
r
!2 s
1
p
2ôh
ñ
2
ô2mñ
h
2mñ
h x0 Ä x
exp 4
iÅt
4iÅt
h
ñ
2
m
im
exp 4
i2ôh
ñÅt
h
ñ2
2
†
x0 Ä x
Åt
†
!2
3
Åt5
!2
3
i2 5
jx0 i
よって
K(x0 ; x; Åt) =
r
=
r
4é 以上より
NY
Ä1
k=0
2
m
im
exp 4
i2ôh
ñÅt
h
ñ2
SN = Åt
k=0
"
2
m
i2ôh
ñÅt
ìN
<i m
m
exp : 4
i2ôh
ñÅt
h
ñ 2
K(xk+1 ; xk ; Åt) =
N
Ä1
X
8
†
ír
m xk+1 Ä xk
2
Åt
í
ì2
x0 Ä x
Åt
†
exp
!2
x0 Ä x
Åt
í
3
Åt5 exp [V (x)Åt=(iñ
h)]
!2
3
9
=
Ä V (x)5 Åt;
i
SN ;
h
ñ
ì
#
Ä V (xk )
と書ける。ここで xk = x(tk ) (tk = kÅt) と見ると、
xk+1 Ä xk
! x(t
_ k ) (Åt ! 0)
Åt
となるので、
î
ï
Z t
m
lim SN =
dú x_ 2 (ú) Ä V (x(ú))
N !1
2
0
=
Z
t
0
dúL(x(ú); x(ú
_ ))
= S[x(Å
)] （作用汎関数）
となる。このことから
G(x; x0 ; t)
=
=
def
=
Z
Z
N Z
i
m
lim
dxN Ä1 dxN Ä2 ÅÅÅ dx1 e hñ SN
N !1
i2ôh
ñÅt
i
S[x(Å)]
h
ñ
e
の「連続無限多重積分」
Z
ír
ì
i
x(0)=x0 ;x(t)=x
Dx e hñ S[x(Å)]
という、プロパゲーターに対する経路積分表示が得られる。この表式から、あらゆ
i
る古典軌道が、その軌道に付随した「重み」e hñ S[x(Å)] をもって波動関数の時間発展に
寄与している、と解釈できることになる。
5é 古典極限
古典力学は、形式的には h
ñ ! 0 に対応する（物理的には、S >> h
ñ）
。この極限で、
（停留軌道）である（停
G(x; x0 ; t) に大きく寄与するのは指数関数の肩の「停留点」
留軌道以外は、 h
ñ! 0 で位相が激しく変化し、複素振幅の値が互いにキャンセルし
合って、プロパゲーターに寄与しなくなる）
。このための条件は
éS[x(Å
)] = 0
つまり、最小作用の原理にほかならない。言いかえれば、実現する古典軌道（運動
方程式の解）は、量子力学的には、経路積分値への寄与が最大となる（ò 実現確率
が高い）経路であることを意味している。
3
^ が時間に依存してもＯＫ）
Ｂ．時間差分化を用いた議論（H
ハミルトニアンは
^ =K
^ + V^ (t)
H
2
^ = p^ ;
K
2m
^
V (t) = V (^
x; t):
シュレーディンガー方程式（微分方程式）を差分近似すると
j†(t + Åt)i Ä j†(t)i
Åj†(t)i
iñ
h
= iñ
h
Åt
Åt
^
= Hj†(t)i
となるが、これから
Åt ^
Hj†(t)i
iñ
hì
í
Åt ^
= 1+
H j†(t)i
iñ
h
^
h) V^ (t)Å t=(iñ
h)
ô eKÅt=(iñ
e
j†(t)i （(Åt)2 以上のオーダーの違いを無視）
j†(t + Åt)i = j†(t)i +
Åt = t=N; tk = kÅt として漸化式
^
^
h) V (tk )Å t=(iñ
h)
j†(tk+1 )i = eKÅ t=(iñ
e
j†(tk )i
が成立するので、差分近似のもとでの解の表式
j†(t)i = j†(tN )i
†N Ä1
Y
=
e
^ t=(iñ
KÅ
h) V^ (tk )Åt=(iñ
h)
e
k=0
!
j†(t0 )i
を得る。以下、Ａと同様な議論により、Åt ! 0 (N ! 1) の極限での（差分近似でない、
exact な）波動関数に対する表式
†(x; t) =
Z
1
Ä1
G(x; x0 ; t) =
S[x(Å
)] =
Z
t
dx0 G(x; x0 ; t)†(x0 ; 0);
Z
i
x(0)=x0 ;x(t)=x
Dx e hñ S[x(Å)] ;
dúL[x(ú); x(ú
_ ); ú]
m
L[x(ú); x(ú
_ ); ú] = x_ 2 (ú) Ä V (x(ú); ú)
2
0
を得る。
4

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