Asymptotische Analysis Fragen zur Prüfungsvorbereitung

Asymptotische Analysis
Fragen zur Prüfungsvorbereitung
1. Was versteht man unter einer asymptotischen Entwicklung? Gib zwei wesentlich verschiedene Beispiele an.
2. Wie findet man zu einer gegebenen asymptotischen Entwicklung eine Funktion die diese
Entwicklung besitzt?
3. Skizzieren Sie die (reelle) Methode von Laplace zur asymptotischen Abschätzung von
Integralen. Wie kann man diese anwenden, um das asymptotische Verhalten der Funktion
Z ∞
e−t tz−1 dt
Γ(z) =
0
für z → +∞ zu untersuchen? Besitzt Γ(z) eine asymptotische Entwicklung?
4. Skizzieren Sie die Sattelpunktmethode anhand eines (gut) gewählten Beispiels.
5. Was besagt der Satz von Phragmén–Lindelöf?
6. Erzeugendenfunktionen helfen Rekursionsgleichungen zu lösen. Wie? Löse damit eine Rekursionsgleichungen der Form
an+k = bn +
k−1
X
αν an+ν
ν=0
für gegebene Koeffizienten α0 , . . . , αk−1 ∈ C und eine gegebene höchstens exponentiell
wachsende Folge (bn )n∈N0 .
7. Welcher Zusammenhang besteht zwischen Polen der meromorphen Fortsetzung einer Erzeugendenfunktion und asymptotischen Entwicklungen der zugrundeliegenden Folge?
8. Definiere die Laplacetransformation und skizziere ihre wesentlichen Eigenschaften.
9. Wie kann man die Laplacetransformation nutzen, um gewöhnliche Differentialgleichungen
der Form
m−1
X
∂tm f (t) =
αk ∂tk f (t) + g(t),
t ≥ 0,
k=0
mit Koeffizienten α0 , . . . , αm−1 ∈ C und einer gegebenen höchstens exponentiell wachsenden Funktion g zu lösen. Was kann man über das asymptotische Verhalten der Lösungen
aussagen?
10. Definiere die Mellintransformation und skizziere ihre wesentlichen Eigenschaften.
11. Wie kann man die Mellintransformation nutzen, um gewöhnliche Differentialgleichungen
der Form
m−1
X
(t∂t )m f (t) =
αk (t∂t )k f (t) + g(t),
t ≥ 1,
k=0
mit Koeffizienten α0 , . . . , αm−1 ∈ C und einer gegebenen höchstens polynomial wachsenden
Funktion g zu lösen. Was kann man über das asymptotische Verhalten der Lösungen
aussagen?
12. Nenne Paare abelscher und tauberscher Sätze.
13. Wozu kann man Dirichletreihen nutzen?
14. Sei nun A(z) eine auf einem Gebiet U holomorphe matrixwertige Funktion. Diskutiere
das Verhalten der Eigenwerte und Eigenprojektoren von A(z) in der Nähe eines Punktes
z0 ∈ U . Welche möglichen Fälle treten dabei auf?
15. Sei A(ρ) eine von einem (reellen) Parameter ρ abhängende Familie von Matrizen. Gebe
nichttriviale Bedingungen dafür an, dass die Eigenwerte der Matrizen eine asymptotische
Entwicklung im Parameter ρ für ρ → 0 besitzen.
16. Gegeben sei eine gewöhnliche Differentialgleichung
m
X
αk (z)∂zk f (z) = 0
k=0
auf einem Gebiet Ω ⊂ C und mit meromorphen Koeffizienten αk ∈ M(Ω). Klassifiziere
reguläre und singuläre Punkte der Gleichung. Wie verhalten sich Lösungen in der Nähe
dieser Punkte?
17. Gegeben sei ein System gewöhnlicher Differentialgleichungen
∂t U = A(t)U
mit einer von t abhängenden Koeffizientenmatrix A(t) ∈ C(R; Cd×d ), so dass der Grenzwert der Koeffizientenmatrix limt→∞ A(t) = A∞ ∈ Cd×d im Unendlichen existiert. Gib
nichttriviale Bedingungen dafür an, dass ein Fundamentalsystem von Lösungen existiert,
welches sich für t → ∞ wie entsprechende Lösungen der Gleichung ∂t V = A∞ V verhält.
Wie beweist man solche Aussagen?

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