Übung 5 - Universität zu Köln

Institut für Theoretische Physik der
Universität zu Köln, Sommersemester 2016
Prof. Dr. Joachim Krug
Dr. Stefan Nowak
Theoretische Physik in 2 Semestern II
5. Übung
http://www.thp.uni-koeln.de/~sn/ss16/
Abgabe:
Dienstag, 24. Mai 2016 bis 12:00 Uhr im Kasten vor der Theoretischen Physik
17. Teilchen im endlichen Kastenpotential
3+2+2+8+8=23 Punkte
Betrachten Sie ein eindimensionales Kastenpotential gegeben durch
(
0
für |x| ≤ a/2 ,
V (x) =
V0 für |x| > a/2 ,
(1)
wobei 0 < E < V0 gelten soll. Das Potential hat offensichtlich drei verschiedene Bereiche (Links,
Mitte, Rechts), weswegen der Ansatz

κL x

für x ≤ −a/2 ,
L e
ik
x
−ik
x
u(x) = A e M + B e M
(2)
für − a/2 < x < a/2 ,

 −κR x
Re
für x ≥ a/2 ,
verwendet werden sollte.
a) Bestimmen Sie mit Hilfe der stationären Schrödingergleichung κL , kM und κR .
b) Begründen Sie, dass es keinen Term in der Wellenfunktion gibt, der proportional zu e−κL x
im linken Bereich bzw. proportional zu eκR x im rechten Bereich des Potentials ist.
c) Aufgrund der Symmetrie des Potentials in (1) muss auch die Wellenfunktion entweder symmetrisch oder antisymmetrisch sein, d.h. es muss entweder u(x) = u(−x) oder
u(x) = −u(−x) gelten. Welche Bedingungen ergeben sich in beiden Fällen dadurch an die
Koeffizienten A, B, L und R?
d) Zusätzlich soll sowohl die Wellenfunktion u(x) als auch ihre Ableitung u0 (x) überall stetig
sein, insbesondere an den Stellen ±a/2. Führen Sie die dimensionslosen, reellen Größen
X = a k2M und Y = a 2κL = a κ2 R ein und zeigen Sie, dass die Stetigkeitsbedingungen im
symmetrischen Fall auf Y = X tan(X) und im antisymmetrischen Fall auf Y = −X cot(X)
führen.
e) Eine weitere Bedingung, die sich aus den Werten von κL , κR und kM aus Teil a) ergibt, ist
2V
0
X 2 + Y 2 = ρ2 , wobei ρ2 = ma
nur vom Potential, nicht aber von der Energie abhängt.
2~2
Diese Bedingung lässt sich leider nicht analytisch mit den Bedingungen aus Teil d) in Einklang bringen. Wir können dies aber grafisch lösen: Zeichnen Sie die Bedingungen aus Teil
d) und e) in ein X-Y -Diagramm, d.h. stellen Sie die möglichen Y als Funktion von X dar.
Die Schnittpunkte beider Kurven entsprechen dann den Werten für X und Y , die beide
Bedingungen erfüllen. Gibt es immer Lösungen? Wie hängt die Anzahl symmetrischer bzw.
antisymmetrischer Lösungen von a und V0 ab? Interpretieren Sie das Ergebnis.
Hinweis: Es genügt, den Bereich X > 0 und Y > 0 zu betrachten. Beim Zeichnen der
Funktionen dürfen Sie sich gerne von einem Computerprogramm Ihrer Wahl helfen lassen.
18. Harmonischer Oszillator
7+5=12 Punkte
In der Vorlesung wurde gezeigt, dass die Grundzustands-Wellenfunktion u(0) des eindimensionalen harmonischen Oszillators durch die Gleichung âu(0) = 0 bestimmt ist, wobei â den
p Absteigeoperator bezeichnet. Durch Einführung der dimensionslosen Ortskoordinate ξ = x mω/~
lautet diese Gleichung explizit
1
d
√ ξ+
u(0) (ξ) = 0 .
(3)
dξ
2
2
a) Zeigen Sie, dass eine Gauss-Funktion A e−βξ eine Lösung von Gleichung (3) ist. Bestimmen
Sie ihre Breite β und die Normierungskonstante A.
Hinweis: Die Ergebnisse von Aufgabe 4 dürften bei der Normierung hilfreich sein.
b) Weitere Eigenfunktionen u(n) lassen sich durch Anwenden des Aufsteigeoperators
1
d
†
â = √ ξ −
dξ
2
auf u(n−1) gewinnen. Bestimmen Sie auf diese Weise u(1) und u(2) . Verifizieren Sie für die
beiden Beispiele, dass u(n) von der Form u(n) (ξ) ∼ Hn (ξ) u(0) (ξ) ist, wobei Hn ein Polynom
vom Grad n ist.
19. Drehimpulsoperator
2+8+5=15 Punkte
Der Drehimpulsoperator ist definiert als
~ op = ~rop × p~op
L
   
x̂
p̂x
= ŷ  × p̂y  .
ẑ
p̂z
a) Wie lauten die drei Komponenten L̂x , L̂y und L̂z in Ortsdarstellung?
b) Berechnen Sie den Kommutator [L̂i , L̂j ] für alle i, j ∈ {x, y, z}.
Hinweis: Zusammengefasst kann man das Ergebnis schreiben als [L̂i , L̂j ] = i~εijk Lk , wobei
εijk das Levi-Civita-Symbol ist.
c) Zeigen Sie, dass das Quadrat des Drehimpulsoperators (L̂2 = L̂2x + L̂2y + L̂2z ) mit allen
Komponenten vertauscht, also [L̂2 , L̂i ] = 0.
Hinweis: Verwenden Sie die Identität [ÂB̂, Ĉ] = Â[B̂, Ĉ] + [Â, Ĉ]B̂ aus Aufgabe 14b).

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