年 番号 1 次の にあてはまる数または式を記入せよ.ただし , においては, コ コ につ 小値 づくかっこ内の選択肢から適切なものを A か B の記号で答えよ. (1) 2 つの円 x2 + y2 = 1,(x ¡ 2)2 + y2 = R2 (R > 0) が異なる 2 つの交点を持つのは ア <R< イ (1) 関数 y = f(x) は,x = が成立するときである.このとき,O(0; 0),A(2; 0) とおき,交点の ア 氏名 のとき極大値 イ ア から エ で表される 2 点 ( ア ; オ イ ),( ウ カ (4) (2) で求めた接線 ` と (3) で求めた放物線 C0 で囲まれた部分の面積は cos ÎOPA = ウ 実数解を持つような µ の範囲は, および キ < µ < ク である. B (3) p と q を正の整数とするとき,x の 2 次方程式 x2 ¡ 2 px + q = 0 は異なる 2 つの実数解を持つ オ <µ< カ とする.これらの解を ® と ¯ で表すとき,r = ® ¡ ¯ と p; q の間には,関係式 r2 = が成り立つ.したがって,もし r が整数ならば,r は コ ケ ( A : 偶数,B : 奇数)である.こ のとき,2 次方程式の解を q と r を用いてあらわすと x = サ § シ となる. (4) 1 つのサイコロを 2 回続けて投げるとき,1 回目に出る目を a,2 回目に出る目を b とし,x の 2 次方程式 x2 ¡ ax + b = 0 Ý 1 を考える.2 次方程式 1 が実数解を持たない確率は である.2 次方程式 1 が実数解を持つとき,それが重解である条件付き確率は 2 次方程式 1 の解が 2 つとも自然数になる確率は タ え方で 510 を 9 進数で表すと, ソ である.よって,310 は ツ セ ス である. である. チ 桁の 10 進数である.同様の考 桁である.ただし,log10 3 = 0:4771,log10 5 = 0:6990 とする. ( 京都薬科大学 2016 ) 2 次の ; ,q = ク ) が 2 次関 エ キ である. である. ( 京都薬科大学 2016 ) が成立するので,ÎOPA = 90± となるのは R = エ のときである. p p (2) x の 2 次方程式 x2 ¡ 4x sin µ + 4 + 2 ¡ (2 + 2 2) cos µ = 0 (0 5 µ < 2¼) が異なる 2 つの (5) 310 = 10x となる x は のとき極 である. 数 y = x2 + px + q で与えられる放物線 C0 上にあるとき,p = 1 つを P とすると ウ をとる. エ (2) 点 (1; ¡2) における曲線 C の接線 ` の方程式は y = (3) (1) の をとる.また,x = にあてはまる数または式を記入せよ. 3 次関数 y = f(x) = x2 (x ¡ 3) で与えられる曲線を C とする. 3 次の にあてはまる式を記入せよ. ¡ ! ¡! ¡ ! ¡! 空間の異なる 3 点 O,A,B に対して, a = OA, b = OB とおく.線分 AB を k : l に内分 する点を C とおくと ¡! OC = ア ¡ ! a + イ ¡ ! b と表される.また,線分 AB を m : n (m > n) に外分する点を D とおくと ¡! OD = ウ ¡ ! a + エ ¡ ! b ¡¡! ¡ ! ¡¡! ¡ ! と表される.さらに,pm ¡ qn Ë 0 をみたす正の数 p; q について,OA0 = p a ,OB0 = q b をみたす 2 点 A0 ,B0 をとり,直線 OC,OD がそれぞれ直線 A0 B0 と交わる点を C0 ,D0 とおく ¡¡! ¡¡! と OC0 ,OD0 はそれぞれ ¡¡!0 OC = オ ¡ ! a + カ ¡ ! b; ¡¡!0 OD = と表される.よって,C0 は線分 A0 B0 を サ : シ キ : ケ ¡ ! a + コ ク ¡ ! b に内分する点で,D0 は線分 A0 B0 を に外分する点である. ここで,点 C が線分 AB を内分する比の値 m k と,点 D が線分 AB を外分する比の値 に n l ついて,これら 2 つの比の商を c(A; B; C; D) = k l m n = kn lm とおくとき,点 C0 が 線分 A0 B0 を内分する比の値と点 D0 が 線分 A0 B0 を外分する比の商 c(A0 ; B0 ; C0 ; D0 ) は,k; l; m; n を用いると ス と表せる. ( 京都薬科大学 2016 )
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