UNIVERSITÄT FREIBURG Naturwissenschaftliche Fakultät Department Mathematik Frühlingssemester 2016 Propädeutische Statistik – Übungsblatt 7 Abzugeben bis Mittwoch 27. April 2016, 8:30 Uhr (Postfach Prop. Statistik Physik 2. Stock) Aufgabe 1. Loi exponentielle Les autobus de la Poste desservant des régions de montagne sont concernés par certains problèmes : chutes de pierre, passage de troupeaux, déneigement, etc... On suppose que la distance (en km) parcourue par un 1 . bus jusqu’à tomber sur un tel évènement suit un loi exponentielle de paramètre λ = 80 a) Démontrer que la densité de la v.a. exponentielle est bien une fonction de densité. b) Calculer la probabilité que la distance parcourue avant un incident soit i) comprise entre 60 et 100 km. ii) supérieure à 250 km. iii) égale à 75 km. c) A l’aide d’une intégration par parties, calculer la distance moyenne (espérance) parcourue sans incident. Aufgabe 2. Normalverteilung Sei X eine Zufallsvariable, welche N (0, 1)–normalverteilt ist und sei Y eine Zufallsvariable, welche N (20, 4)– normalverteilt ist. (a) Berechne P (X ≤ 0.56), P (X ≥ −0.72) und P (−0.02 ≤ X ≤ 2.12). (b) Berechne c, d ∈ R, sodass P (X ≥ c) = 0.1 und P (−d ≤ X ≤ d) = 0.98. (c) Berechne P (Y ≥ 22), P (15 ≤ Y ≤ 19) und P ({Y ≤ 12} ∪ {Y ≥ 25}). Hinweis : i) Für eine standardisierte Normalverteilung X ∼ N (0, 1) gilt: Für u > 0 ist P (X ≤ −u) = 1−P (X ≤ u). ii) Für eine Normalverteilung Y ∼ N (µ, σ) folgt Y σ−µ einer standardisierten Normalverteilung N (0, 1). Aufgabe 3. Normalverteilung - Anwendung Dans un groupe humain, l’étude de l’index céphalique I (rapport en % de la largeur du crâne à sa longueur) a fourni les données suivantes : 58 % de dolichocéphales (I ≤ 75) 38 % de mésocéphales (75 < I ≤ 80) 4 % de brachycéphales (I > 80). p En supposant que I soit assimilée à une variable aléatoire normale, déterminer µ = E(I) et σ = var(I). Aufgabe 4. Simulation - Vers le théorème limite central A l’aide de SPSS, a) SPSS : Simuler 200 réalisations d’une v.a. binomiale X dans les cas suivants (établir l’histogramme dans chaque cas) : i) n = 10, p = 0.6 ii) n = 20, p = 0.6 iii) n = 50, p = 0.6 iv) n = 100, p = 0.6 b) Qu’observez-vous graphiquement (forme, moyenne, variance) c) Donner une explication, en mots et à l’aide d’un exemple concret de ce que vous observez. d) Reprendre X ∼ Bin(50, 0.6) et calculer P (X < 40.5) en vous inspirant de ce que vous observez.