Kondition einer Matrix, Lösung linearer Gleichungssysteme Kondition einer Matrix, Lösung linearer Gleichungssysteme Kondition einer Matrix, Lösung linearer Gleichungssysteme Kondition einer Matrix Die Größe condk·k A =k A k · k A−1 k heißt Kondition der Matrix A und beschreibt die (differentielle) Verstärkung des relativen Fehlers der Daten A und b beim Lösen von Ax = b. Aufgabe Gegeben seien die Matrizen 101 99 101 99 A= ,B = 99 101 −99 101 Man berechne die Konditionszahlen cond∞ A und cond∞ B Kondition einer Matrix, Lösung linearer Gleichungssysteme Zeilenskalierung Unter Zeilenskalierung wird die Multiplikation einer regulären Matrix A ∈ Rn,n mit der Inversen einer P Diagonalmatrix D = diag(d1 , · · · , dn ), wobei di = nj=1 | ai,j | von links verstanden. Die Skalierung wird durchgeführt mit dem Ziel der Verkleinerung der Konditionszahl (κ (DA) 6 κ (A)) bzw. der Verbesserung der numerischen Eigenschaften der Matrix in einem Gleichungssystem in Bezug auf die Fortpflanzung der Dateneingangsfehler ∆A. Kondition einer Matrix, Lösung linearer Gleichungssysteme Aufgabe Gegeben sei die Matrix A ∈ R2,2 mit 7 5 A= 3 2 a) Bestimme zunächst die Kondition cond∞ A bezüglich der Zeilensummennorm. b) Bestimme die Matrix C ∈ R2,2 , die sich aus C = D−1 A ergibt, P wobei D ∈ R2,2 , D = diag(d1 , d2 ) mit di = 2j=1 | ai,j | i = 1, 2. c) Bestimme die Kondition der Matrix C bezüglich der Zeilensummennorm. Kondition einer Matrix, Lösung linearer Gleichungssysteme LU-Zerlegung Sei A ∈ Rn,n regulär. Dann gibt es eine Permutationsmatrix P ∈ Rn,n , eine reguläre obere Dreiecksmatrix U ∈ Rn,n und eine normierte untere Dreiecksmatrix L ∈ Rn,n derart, dass P A = LU Kondition einer Matrix, Lösung linearer Gleichungssysteme Aufgabe Man bestimme eine LU -Zerlegung der Pivoting! 3 2 A = 6 6 9 10 Matrix A mit und ohne 1 3 6
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