Einführung in die Physik I Ausflug in die Vektoranalysis ( ) ( ( ) (

Einführung in die Physik I
Ausflug in die Vektoranalysis
O. von der Lühe und U. Landgraf
Vektoranalysis
•
•
Wir haben physikalische Größen
kennenrgelernt, die Funktionen des
Ortes X sind – Felder
Diese können Skalare oder
Vektoren sein. Beispiel:
r r
( )
– ortsabhängiges Kraftfeld F X
– Arbeit W, welche vom Ursprung
r
ausgehend zum Ort X geleistet
wird
•
•
Neben Ableitungen von Funktionen
nach der Zeit spielen auch Ableitungen nach dem Ort eine Rolle
Da der Ort ein Vektor ist, kann die
Operation „Ableitung nach dem
Ort“ einen vektoriellen Charakter
annehmen
Dynamik des Massenpunkts 3
( )
r
W X = W ( x, y , z )
⎛ f x ( x, y , z ) ⎞
r r
r
⎜
⎟
F X = F ( x, y , z ) = ⎜ f y ( x, y , z ) ⎟
⎜ f ( x, y , z ) ⎟
⎝ z
⎠
( )
d
f ( x, y , z , t )
dt
⎛ ∂ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ∂x ⎟
∂
Ortsableitung ⎜ ⎟ f ( x, y, z , t )
⎜ ∂y ⎟
⎜ ∂ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ∂z ⎠
Zeitableitung
2
1
Differentialoperatoren
• Bedeutung der „runden“
Differetialsymbole:
– Ableitung der Funktion nur in
die Richtung der jeweiligen
Koordinatenachse
– „partielle Ableitung“
• Das Ergebnis kann, je nach
Charakter der abgeleiteten
Funktion, ein Skalar oder ein
Vektor sein
Beispiel:
f ( x, y , z ) = a ⋅ x 2 + b ⋅ y 3 + c ⋅ z 4
∂
f ( x, y , z ) = 2 ⋅ a ⋅ x
∂x
∂
f ( x, y , z ) = 3 ⋅ b ⋅ y 2
∂y
∂
f ( x, y , z ) = 4 ⋅ c ⋅ z 3
∂z
⎛ ∂ ⎞
⎜ ⎟
⎛ 2⋅a ⋅ x ⎞
⎜ ∂x ⎟
⎜ ∂ ⎟ f ( x, y , z ) = ⎜ 3 ⋅ b ⋅ y 2 ⎟
⎜
⎟
⎜ ∂y ⎟
⎜ 4 ⋅ c ⋅ z3 ⎟
⎜ ∂ ⎟
⎝
⎠
⎜ ⎟
⎝ ∂z ⎠
Dynamik des Massenpunkts 3
3
Die wichtigsten Differentialoperationen - Gradient
" Nabla"
• Gradient eines Skalarfeldes
⎛d ⎞
⎜ ⎟
⎜ dx ⎟
r ⎜d ⎟
∇=
⎜ dy ⎟
⎜d ⎟
⎜ ⎟
⎝ dz ⎠
• Ergibt ein Vektorfeld
• Die Vektoren zeigen in die
Richtung der stärksten
Änderung des Skalarfeldes
Dynamik des Massenpunkts 3
⎛ ∂ ⎞
⎛∂
⎞
⎜ ⎟
⎜
f ( x, y , z )⎟
⎜ ∂x ⎟
⎜ ∂x
⎟
r
∂
∂
∇ f ( x, y , z ) = ⎜ ⎟ f ( x, y , z ) = ⎜
f ( x, y , z )⎟
⎜ ∂y ⎟
⎜ ∂y
⎟
⎜ ∂ ⎟
⎜∂
⎟
⎜ ⎟
⎜
f ( x, y , z ) ⎟
⎝ ∂z ⎠
⎝ ∂z
⎠
4
2
Die wichtigsten Differentialoperationen - Gradient
• Beispiel in zwei Dimensionen:
• Skalare Funktion
z(x,y) = x2 + y2
• Gradient
⎛ ∂ ⎞
⎜ ⎟
r
∇ z ( x, y ) = ⎜ ∂∂x ⎟ x 2 + y 2
⎜ ⎟
⎜ ∂y ⎟
⎝ ⎠
⎛ ∂ 2
⎞
x + y2 ⎟
⎜
∂
x
⎜
⎟
= ∂
2
2 ⎟
⎜
⎜ ∂y x + y ⎟
⎝
⎠
⎛ 2x ⎞
= ⎜⎜ ⎟⎟
⎝2y⎠
(
)
(
(
Skalare Funktion
)
)
Gradientenfeld
Dynamik des Massenpunkts 3
5
Die wichtigsten Differentialoperationen - Divergenz
• Divergenz eines Vektorfeldes
(Skalarprodukt)
• Ergibt ein Skalarfeld
• Hat einen großen Betrag,
wenn die Pfeile des
Vektorfeldes auseinander
(positiv) oder aufeinander zu
(negativ) verlaufen
⎛ ∂ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ∂x ⎟ ⎛ f x (x, y, z )⎞
r r
⎟
∂ ⎜
∇ ⋅ f ( x, y , z ) = ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ f y ( x, y , z )⎟
⎜ ∂y ⎟
⎜ ∂ ⎟ ⎜⎝ f z (x, y, z ) ⎟⎠
⎜ ⎟
⎝ ∂z ⎠
∂
∂
∂
f x ( x, y , z ) +
f y ( x, y , z ) +
f z ( x, y , z )
=
∂x
∂y
∂z
• Misst Quellen und Senken
von gerichteten Größen
Divergenz positiv
Dynamik des Massenpunkts 3
Vektorfeld
Divergenz negativ
6
3
Die wichtigsten Differentialoperationen - Rotation
• Rotation eines Vektorfeldes
(Vektorprodukt)
• Ergibt ein Vektorfeld
• Hat einen großen Betrag, wenn
die Pfeile des Vektorfeldes einen
Wirbel bilden
• Ergebnisvektor steht senkrecht
auf der Wirbelebene
(Rechte-Hand-Regel)
⎛ ∂ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ∂x ⎟ ⎛ f x (x, y, z )⎞
r r
⎟
⎜
∂
∇ × f ( x, y , z ) = ⎜ ⎟ × ⎜ f y ( x, y , z )⎟
⎜ ∂y ⎟
⎜ ∂ ⎟ ⎜⎝ f z (x, y, z ) ⎟⎠
⎜ ⎟
⎝ ∂z ⎠
∂
∂
⎛
⎞
f z ( x, y , z ) −
f y ( x, y , z ) ⎟
⎜
∂
∂
y
z
⎜
⎟
∂
⎜ ∂
⎟
=⎜
f z ( x, y , z ) −
f x ( x, y , z ) ⎟
∂x
∂z
⎜∂
⎟
∂
⎜⎜
f y ( x, y , z ) −
f x (x, y, z )⎟⎟
∂
∂
x
y
⎝
⎠
Rotation
Vektorfeld
Rotation
Dynamik des Massenpunkts 3
7
4

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