6. Übungsblatt - Statistik 2, SoSe 2015 1. Die Zufallsvariablen X1

6. Übungsblatt - Statistik 2, SoSe 2015
1. Die Zufallsvariablen X1 , . . . , Xn seien i.i.d. exponentialverteilt mit unbekanntem Parameter λ > 0, d.h., die Dichte von Xi ist gegeben durch
fXi (x) =

λe−λx
0
falls x ≥ 0
sonst.
Bestimmen Sie E(Xi ) und einen Momentenschätzer für λ.
2. Die Zufallsvariablen X1 , . . . , Xn seien i.i.d. Poisson-verteilt mit unbekanntem
Parameter λ > 0, d.h., die Wahrscheinlichkeitsfunktion von Xi ist gegeben
durch
λk e−λ
für k = 0, 1, 2, . . .
pXi (k) =
k!
Bestimmen Sie E(Xi ) und einen Momentenschätzer für λ.
Hinweis: Um E(Xi ) zu berechnen, können Sie das folgende Argument verwenden:
∞
X
∞
∞
∞
X
X
X
λk e−λ
λk−1
d λk
λk
−λ
−λ
−λ d
k
=e λ
k
=e λ
=e λ
= λ.
k!
k!
dλ k=0 k!
k=0
k=0
k=0 dλ k!
3. Die Zufallsvariablen X1 , . . . , Xn seien i.i.d. Binomial-verteilt mit den Parametern m ∈ N und ρ ∈ [0, 1], d.h., die Wahrscheinlichkeitsfunktion von Xi
ist gegeben durch
!
m k
ρ (1 − ρ)m−k für k = 0, 1, . . . , m.
pXi (k) =
k
Bestimmen Sie einen Momentenschätzer für m und ρ (Hinweis: Sie können
verwenden, dass E(Xi ) = mρ und V ar(Xi ) = mρ(1 − ρ)).
4. Die Zufallsvariablen X1 , . . . , Xn seien i.i.d. und Xi habe die Dichte

1/(2θ)
fXi (x) = 
0
falls − θ < x < θ
sonst.
Bestimmen Sie einen Momentenschätzer für θ.
Hinweis: Verwenden Sie ein geeignetes Moment.
1
0.960
0.950
0.940
Wert des Schätzers
0
2000
4000
6000
8000
10000
p
Abbildung 1: θ̂p (x1 , . . . , x5 ) in Abhängigkeit von p.
5. Die Zufallsvariablen X1 , . . . , Xn seien i.i.d. und Xi habe die Dichte
fXi (x) =

1/θ
0
falls 0 ≤ x ≤ θ
sonst.
(a) Leiten Sie eine allgemeine Formel für das p−te Moment von Xi her.
(b) Verwenden Sie nun das p−te Moment, um θ mit der Momentenmethode zu schätzen. Der so erhaltene Schätzer θ̂p hängt vom verwendeten
Moment ab.
(c) Angenommen n = 5 und Sie beobachten die Realisierungen
x1
0.12
x2
0.68
x3
0.94
x4
0.66
x5
0.24.
Welchem Wert nähert sich die Folge θ̂p (x1 , . . . , x5 ) an, wenn p groß wird
(vgl. Abbildung 1)? Der Wert dem sich die Folge θ̂p (x1 , . . . , x5 ) annähert
ist eine Funktion der Stichprobe x1 , . . . , x5 . Können Sie diese Funktion
erraten (oder sogar herleiten)?
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6. In einer Schachtel befinden sich 6 Kugeln, die entweder weiß oder rot sind.
Die Anzahl θ der roten Kugeln ist unbekannt (θ ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}). Angenommen es wird 4 Mal (unabhängig voneinander) mit Zurücklegen eine
Kugel aus der Schachtel gezogen. Bestimmen Sie die Likelihood-Funktion
und den Maximum-Likelihood-Schätzer für θ.
7. Angenommen X1 , . . . , Xn sind i.i.d. mit Dichte

θxθ x−θ−1
fθ,x0 (x) = 
0
falls x ≥ x0
sonst,
0
wobei θ > 1 und x0 > 0 gilt. Angenommen x0 > 0 ist bekannt. Leiten Sie
den Maximum-Likelihood-Schätzer für θ her. Bestimmen Sie einen Momentenschätzer für θ.
8. Angenommen X1 , . . . , Xn sind i.i.d. mit Dichte
fθ (x) =

 x e−x2 /(2θ2 )
θ2
0
für x ≥ 0
sonst,
wobei θ > 0 ist. Bestimmen Sie den Maximum-Likelihood-Schätzer, und
einen Momentenschätzer für θ.
9. Angenommen X1 , . . . , Xn sind i.i.d. mit Dichte
fθ (x) =

eθ−x
0
falls x ≥ θ
sonst,
wobei θ ∈ R ist. Bestimmen Sie die Likelihood-Funktion, und den MaximumLikelihood-Schätzer für θ. Bestimmen Sie außerdem einen Momentenschätzer
für θ.
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