Fakultät für Ingenieurswissenschaften
Bachelorstudiengang Biomedizinische Technik
Prof. Dr. W. Langguth
Klausuraufgabensammlung Mathematik
Klausuraufgaben zur Mathematik 1 - 3
von
Wolfgang Langguth
Aufgabenstellungen mit Ergebnissen
Version 4.5.3
Bearbeitung unter Mitwirkung von
Dipl.-Math. Ulrich Sonn
Dipl.-Ing. Rolf Kröner-Naumann
Dipl. Math. Kerstin Webel
7. April 2016
Hochschule für Technik und Wirtschaft
Fachbereich Elektrotechnik
Studiengang Biomedizinische Technik
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
2 Mathematik 1
2.1 Vektorrechnung . .
2.2 Ungleichungen . .
2.3 Determinanten und
2.4 Funktionen . . . .
2.5 Komplexe Zahlen .
2
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3
3
13
16
32
38
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44
44
49
52
59
65
67
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Laplacetransformation
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73
73
85
89
97
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. . . . . . . . . . . . . . . .
Lineare Gleichungssysteme
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
3 Mathematik 2
3.1 Differentialrechnung . . . . . . . . .
3.2 Grenzwerte . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Integrale . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Taylorreihen . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Fourierreihen . . . . . . . . . . . . .
3.6 Gewöhnliche Differentialgleichungen
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4 Mathematik 3
4.1 Laplacetransformation . . . . . . . . . .
4.2 Gewöhnliche Differentialgleichungen und
4.3 Funktionen mehrerer Variabler . . . . .
4.4 Eigenwerte und Eigenvektoren . . . . . .
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5 Lösungen Mathematik 1
5.1 Vektorrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Determinanten und Lineare Gleichungssysteme
5.4 Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5 Komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . .
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105
105
109
111
119
121
6 Lösungen Mathematik 2
6.1 Differentialrechnung . . . . . . . . .
6.2 Grenzwerte . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Integrale . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4 Taylorreihen . . . . . . . . . . . . . .
6.5 Fourierreihen . . . . . . . . . . . . .
6.6 Gewöhnliche Differentialgleichungen
.
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124
124
126
127
130
132
133
. . . . . . . . . . . . .
Laplacetransformation
. . . . . . . . . . . . .
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136
136
139
141
144
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7 Lösungen Mathematik 3
7.1 Laplacetransformation . . . . . . . . . .
7.2 Gewöhnliche Differentialgleichungen und
7.3 Funktionen mehrerer Variabler . . . . .
7.4 Eigenwerte und Eigenvektoren . . . . . .
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8 Formelsammlung
151
9 Abbildungen
153
Abbildungsverzeichnis
171
1
Kapitel 1
Einleitung
Die Aufgaben sind den Mathematik - Klausuren von Prof. Dr. W. Langguth im (alten)
Fachbereich Elektrotechnik und dem Bachelor - Studiengang Biomedizinische Technik seit
etwa dem Jahr 2000 entnommen worden und sollen den Studierenden zur eigenständigen
und zielgerichteten Vorbereitung auf die Klausuren dienen. Lösungen in Form von Endergebnissen sind zur Kontrolle, Musterlösungen jedoch prinzipiell nicht angegeben, da sie
von den Studierenden selbst im Rahmen der Klausurvorbereitung erarbeitet werden sollen.
Eigene Lösungen oder Lösungswege und Probleme, die bei der Lösung auftreten, können
in den Übungsstunden zur Mathematik besprochen werden. Auch in der Vorlesung besteht
Gelegenheit zur Diskussion offener Fragen.
Die vorliegende Version 4.5.3 beinhaltet alle bis WS 15/16 erstellten Klausuren und Midterms. Zukünftige Klausuren werden fortwährend eingearbeitet.
Bis zum WS 11/12 war die Benutzung von Taschenrechnern und Formelsammlungen in den
Klausuren erlaubt. Seither sind den Klausuren die benötigten Formeln und Werte beigefügt,
weitere Hilfsmittel, Unterlagen oder Formelsammlungen dürfen nicht verwendet werden. Zur
Bearbeitung der ab SS 12 gestellten Aufgaben sind daher die den Klausuren beigefügten Formeln und Werte zusammengestellt und in Kapitel 8 beigefügt. Diese Aufgaben lassen sich
also nur mit Hilfe der beiliegenden Formelsammlung und ohne weitere Hilfsmittel lösen.
Sollten Sie Fehler oder Unklarheiten entdecken oder aber Fragen haben, bitte schicken Sie
mir eine E-Mail oder nehmen Sie mit mir Rücksprache.
[email protected]
Tel. 0681 - 5867-279
Saarbrücken, den 7. April 2016
gez. Wolfgang Langguth
c Wolfgang Langguth
2
Kapitel 2
Mathematik 1
2.1
Vektorrechnung
1. (a) Untersuchen Sie, ob die vier Punkte
P = (1, 2, 2), Q = (3, 5, 6), R = (1, 3, 2), S = (5, 2, 3)
des R3 in einer Ebene liegen.
(b) Berechnen Sie die Fläche des Dreicks, das von den Punkten P, Q, und R aufgespannt wird.
(22.03.2001)
2. Die Vektoren ~a und ~b schließen einen Winkel von π4 ein. Gesucht ist der Flächeninhalt
des Dreiecks, das von den Vektoren ~a − 3~b und 4~a + 3~b aufgespannt wird, wenn |~a| =
|~b| = 9 gilt.
(29.08.2001)
3. (a) Spannen folgende Vektoren ein rechtwinkliges Dreieck auf?






6
2
4
~a =  3  , ~b =  1  , ~c =  2  .
−1
1
−2
Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks.
(b) Finden Sie die allgemeine Form
der folgende Gleichung erfüllt:
 des
 Vektors
 ~u , 
1
1
~u × ~a = ~b × ~a mit ~a =  1  , ~b =  1 .
−2
0
(04.03.2002)
4. (a) Die Eckpunkte eines Dreiecks sind gegeben durch die Ortsvektoren






6
2
4
~a =  3  , ~b =  1  , ~c =  2  .
−1
1
−2
Ist das Dreieck rechtwinklig? Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks.
(b) Finden Sie die allgemeine Form des
Gleichung
 Vektors
 ~u , der
 folgende


 erfüllt:
1
1
1
(~u − ~c) × ~a = ~b × ~a mit ~a =  1  , ~b =  1 , ~c =  1 .
−2
0
1
(30.08.2002)
5. (a) Untersuchen Sie, ob die vier Punkte
P = (1, 2, 3), Q = (3, 5, 7), R = (1, 3, 9), S = (5, 2, 1)
des R3 in einer Ebene liegen.
3
(b) Berechnen Sie die Fläche des Dreicks, das von den Punkten P, Q, und R aufgespannt wird.
(21.03.2003)
6. (a) Gegeben seien drei Eckpunkte eines Würfels
O = (0, 0, 0), A = (6, 7, 6), B = (2, 6, −9).
Diese Punkte sind die Eckpunkte der Kanten OA und OB. Bestimmen Sie das Volumen des Würfels und den Endpunkt C der dritten, vom Ursprung ausgehenden
Kante OC.
(b) Berechnen Sie die Fläche des Dreiecks, das von den Punkten O, A, und B aufgespannt wird.
(06.10.2003)
7. Gegeben seien die Eckpunkte einer Pyramide
 
 


 
1
1
0
4
O =  0 , A =  1 , B =  4 , C =  2 .
4
0
0
0
(a) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche ABC.
(b) Berechnen Sie das Volumen der Pyramide.
(c) Berechnen Sie die Höhe der Pyramide in Bezug auf die Grundfläche ABC.
(04.03.2004)
8. Die Vektoren ~a, |~a| = 4 und ~b, |~b| = 5 schließen einen Winkel von φ = π/3 ein.
(a) Berechnen Sie die Fläche des Dreiecks, das von den Vektoren ~u = 3~a − 4~b und
~v = ~a + 2~b aufgespannt wird.
(b) Wie groß ist das Volumen des Körpers, das von diesem Dreieck und dem Vektor
~c, |~c| = 2 aufgespannt wird, der mit der (~u, ~v ) - Ebene einen Winkel von δ = π/4
einschließt?
(30.07.2004)
9. Die Vektoren ~a = (2, 5, 7) und ~b = (3, 1, 4) spannen ein Parallelogramm auf. Berechnen
Sie
(a) die Länge der beiden Diagonalen des Parallelogramms, den Schnittwinkel der
Diagonalen und die Fläche des Parallelogramms.
(b) Wie groß ist der Winkel zwischen dem Vektor ~c = (1, 0, 0) und der von den
Vektoren ~a und ~b aufgespannten Ebene?
(28.02.2005)
10. Die Vektoren ~a = (1, 2, 3) und ~b = (3, 5, 7) spannen ein Parallelogramm auf. Berechnen
Sie
(a) die Länge der beiden Diagonalen des Parallelogramms, den Schnittwinkel der
Diagonalen und die Fläche des Parallelogramms.
(b) Wie groß ist der Winkel zwischen dem Vektor ~c = (0, 2, 0) und der von den
Vektoren ~a und ~b aufgespannten Ebene?
(29.08.2005)
11. Die Vektoren ~a = (1, 2, 4) und ~b = (3, 6, 8) spannen ein Parallelogramm auf. Berechnen
Sie
(a) die Länge der beiden Diagonalen des Parallelogramms, den Schnittwinkel der
Diagonalen und die Fläche des Parallelogramms.
4
(b) Wie groß ist der Winkel zwischen dem Vektor ~c = (0, 2, 1) und der von den
Vektoren ~a und ~b aufgespannten Ebene?
(13.03.2006)
a| = 3
12. Die Vektoren
~a und ~b schließen einen Winkel von 3π
4 ein und haben die Beträge |~
~
~
und b = 4. Bestimmen Sie zwei solche Vektoren ~a und b und berechnen Sie den
Flächeninhalt des Dreiecks, das von den Vektoren ~c = ~a +2~b und d~ = ~a −4~b aufgespannt
wird.
(28.02.2007)
a |= 4
13. Die Vektoren ~a und ~b schließen einen Winkel von 5π
4 ein und haben die Beträge | ~
~
~
und | b |= 2. Bestimmen Sie zwei solche Vektoren ~a und b und berechnen Sie den
Flächeninhalt des Dreiecks, das von den Vektoren ~c = ~a + ~b und d~ = ~a − ~b aufgespannt
wird.
(13.08.2007)
14. (a) Liegen die folgenden vier Punkte des R3 in einer Ebene?
A = (−1, 2, 4), B = (0, 3, 5), C = (1, 7, 3), D = (−1, 1, 5)
(b) Sind die Punkte A, B und D die Eckpunkte eines rechtwinkligen Dreiecks?
(c) Berechnen Sie die Fläche des Dreiecks, das von den Punkten A, B, und C aufgespannt wird.
(09.01.2008)
15. (a) Die Eckpunkte eines Dreiecks sind gegeben durch die Ortsvektoren



 
3
2
2
~ =  −3  , C
~ =  5 .
~ =  5 , B
A
3
7
7

Ist das Dreieck rechtwinklig? Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks.
(b) Finden Sie die allgemeine Form des Vektors ~u , der



1
~ a−~b) = ~c×(~a−~b) mit ã =  2  , b̃ = 
(~u+d)×(~
−2
folgende Gleichung erfüllt:

 
 
1
2
1
1  , c̃ =  1  , d̃ =  1  .
1
1
2
(26.02.2008)
16. Die Vektoren ~a und ~b schließen einen Winkel von 3π
a |= 2
8 ein und haben die Beträge | ~
und | ~b |= 3. Bestimmen Sie zunächst zwei solche Vektoren ~a und ~b. Bestimmen Sie
dann den reellen Parameter λ so, dass die Vektoren ~c = ~a +λ~b und d~ = ~a −λ~b ein rechtwinkliges Dreieck aufspannen. Berechnen Sie den Flächeninhalt dieses rechtwinkligen
Dreiecks.
(5.08.2008)
17. Die Vektoren ~a und ~b schließen einen Winkel von
und | ~b |= 4.
3π
5
ein und sind vom Betrag | ~a |= 3
(a) Bestimmen Sie zunächst zwei solche Vektoren ~a und ~b.
(b) Bestimmen Sie dann den reellen Parameter λ so, dass die Vektoren ~c = 2~a − λ~b
und d~ = ~a + λ~b ein gleichschenkliges Dreieck aufspannen.
(c) Berechnen Sie den Flächeninhalt dieses Dreiecks. Welchen Winkel schließen die
beiden gleichen Schenkel miteinander ein? Wie groß sind die beiden anderen Winkel des Dreiecks?
(06.01.2009)
5
18. Gegeben seien die Ortsvektoren der Punkte A, B, C, D:
 

 
 
√ 
1
4
2
2+ 2
~ =  2 ,B
~ =
~ =  5 ,D
~ =  3 .
,C
A
3
3
5
5
3
(a) Bilden die Punkte A, B, C, D die Eckpunkte eines Parallelogramms?
(b) Sind die Punkte A, B, C die Eckpunkte eines gleichseitigen oder eines gleichschenkligen Dreiecks?
(c) Berechnen Sie die Winkel und die Fläche des Dreiecks ABC.
(18.02.2009)
a |= 2
19. Die Vektoren ~a und ~b schließen einen Winkel von 2π
3 ein und haben die Beträge | ~
und | ~b |= 2. Bestimmen Sie den reellen Parameter λ so, dass der Summenvektor der
Vektoren ~c = ~a + 2 λ~b und d~ = ~a − 3 λ~b die Länge 8 hat. Welchen Winkel schließen die
Vektoren ~c und d~ ein? Bestimmen Sie einen Vektor ~e der Läge 1, der senkrecht auf ~c
und d~ steht. Wie groß ist der Rauminhalt des Spats, der von den Vektoren ~c, d~ und ~e
aufgespannt wird?
(24.08.2009)
20. Die Vektoren ~a und ~b schließen einen Winkel von
und | ~b |= 2.
3π
4
ein und sind vom Betrag | ~a |= 1
(a) Bestimmen Sie den reellen Parameter λ so, dass die Vektoren ~c = ~a − λ~b und
d~ = ~a + λ~b ein rechtwinkliges Dreieck aufspannen.
(b) Berechnen Sie explizit den Flächeninhalt, die Länge der drei Seiten und die
beiden restlichen Winkel des Dreiecks.
(c) Liegt der Vektor ~e = π ~a + π ~b in der gleichen Ebene wie das Dreieck?
6
3
(07.01.2010)
21. (a) Gegeben
 seien
 die Vektoren:






2
−1
3
5
~a =  −1  , ~b =  2  , ~c =  0  , d~ =  4  .
3
0
−1
−3
~ und (~a × ~b) × (~c × d).
~
Berechnen Sie (~a × ~b) · (~c × d)
(b) Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Parallelogramms, dessen Diagonalen gegeben sind durch die Vektoren 2m
~ − ~n und 4m
~ − 5~n. Dabei sind m
~ und ~n zwei
Einheitsvektoren die einen Winkel von π/4 miteinander einschließen.
(08.03.2010)
22. (a) Gegeben
seien dieVektoren:

 
 
 
1
−1
1
5
~a = −1 , ~b =  0  , ~c =  0  , d~ = −2 .
−1
5
5
2
~ und ((~a × ~b) × ~c ) × d.
~
Berechnen Sie (~a × ~b) · (~c × d)
(b) Die beiden Einheitsvektoren m
~ und ~n schließen einen Winkel von π/3 ein. Die
Diagonalen einer Schar von Parallelogrammen sind gegeben durch die Vektoren
2m
~ − λ~n und 4m
~ − 5~n, λ sei ein reeller Parameter. Für welche Werte von λ hat
das zugehörige Parallelogramm einen Flächeninhalt von 3 FE?
(23.08.2010)
23. (a) m
~ und n seien zwei Einheitsvektoren, die einen Winkel von π4 miteinander einschließen. √
√
~c = m
~ − 2 2 λ ~n und d~ = m
~ + 2 2 ~n seien die Diagonalen eines Parallelogramms.
i. Für welche(n) Wert(e) von λ haben die Diagonalen einen Schnittwinkel von
π
4?
6
ii. Berechnen Sie allgemein für alle und speziell für diese(n) Wert(e) von λ den
Flächeninhalt des Parallelogramms.
(b) Berechnen Sie für beliebige Vektoren ~a, ~b und ~c des R3 den Ausdruck
h
i
~a + 2 ~b − ~c · ~a − ~b × ~a − 2 ~b − ~c
Vereinfachen Sie Ihr Ergebnis so weit wie möglich!
(15.01.2011)
24. (a) Für welche(n) Wert(e) von λ liegen die drei Vektoren


 


λ
1
1
→
−
−
→
→
a =  1 , b =  1 , −
c = 1 
4
2
−1
in einer Ebene?
−
Berechnen Sie dafür die Darstellung (Linearkombination) des Vektors →
a durch
→
−
→
−
b und c .
→
−
π
→
ein. Berechnen
(b) Die (neuen!) Vektoren −
a und b schließen einen Winkel von
4
→
−
→
−
→
−
Sie den Flächeninhalt des Dreiecks, das von den
−
Vektoren c = a − 2 b und
→
−
→
−
→
→
→
d = 3−
a + 2 b aufgespannt wird, wenn |−
a | = b = 5 gilt.
(25.07.2011)
25. Gegeben seien die Punkte P1 (2, 1, −3), P2 (−3, 3, 5), P3 (1, 4, 1). Berechnen Sie anhand
elementarer Überlegungen und ohne eine fertige Formel zu verwenden, den Abstand
des Punktes P1 von der Geraden, die durch die Punkte P2 und P3 geht.
(21.03.2011)
26. (a) Vereinfachen Sie die beiden folgenden Ausdrücke so weit wie möglich:
i. (2~a + 5~b − 3~c) · (~a − 3~b − 4~c)
ii. (2~a + 5~b − 3~c) × (~a − 3~b − 4~c)
~
(b) Zerlegen
Vektor
 ~a in Komponenten senkrecht und parallel zum Vektor b
 den 
 Sie
−2
−5
~a = −1 , ~b =  3 
2
4
(c) ~u und ~v seien zwei Einheitsvektoren mit ∠(~u, ~v ) = π6 . Berechnen Sie die Länge
der Diagonalen sowie die Fläche des von den Vektoren ~a = 2~u + ~v und ~b = ~u − 2~v
aufgespannten Parallelogramms.
Hinweis: cos( π6 ) =
1
2
√
3, sin( π6 ) =
1
2
(10.01.2012)
 
 
1
−2
13
1
27. (a) Gegeben seien die drei Vektoren ~a =  1  , ~b =  1  und ~c = −5
4
−1
−1
5
Stellen, falls möglich, den Vektor ~c als Linearkombination der beiden anderen
Vektoren dar.
 
 
1
1
(b) Gegeben seien die Vektoren ~a = −1 und ~b = k , k ∈ R sowie die Gleichung
2
k


~r × ~a = ~b
(2.1)
i. Bestimmen Sie alle Werte von k, für denen die Gl. (2.1) Lösungen haben
kann
ii. Berechnen Sie für jeden Wert von k die entsprechende Lösungsmannigfaltigkeit ~r
7
(19.03.2012)
28. (a) Berechnen Sie mit Hilfe der Vektorrechnung den Abstand zwischen einer Ecke
eines Einheitswürfels (Würfel der Kantenlänge 1) und einer seiner Diagonalen,
die nicht durch diese Ecke geht.
(b) Gegeben seien die drei Punkte P, Q und R mit den Ortsvektoren p~, ~q, ~r, die die
Ebene E definieren.
i. Zeigen Sie, dass der Vektor
~s = ~p × ~q + ~q × ~r + ~r × ~p
(2.2)
senkrecht auf der Ebene E steht.
ii. Finden Sie mit Hilfe des Vektors ~s einen Ausdruck für den Abstand der Ebene
E vom Ursprung.
(30.07.2012)
29. (a) Ausgehend vom Punkt C wird ein Dreieck von den beiden Vektoren ~a und ~b mit
dem Zwischenwinkel γ aufgespannt. Berechnen Sie die Länge der Seitenhalbierenden vom Punkt C zur gegenüberliegenden Seite des Dreiecks, c.
π
(b) ~u und ~v seien zwei Einheitsvektoren mit ∢(~u, ~v ) = , λ ein reeller Parameter.
4
Berechnen Sie die Länge der Diagonalen sowie die Fläche des von den Vektoren
~a = ~u + λ ~v und ~b = ~u − 3~v aufgespannten
Parallelogramms. Für welchen Wert
√
von λ hat die Fläche den Wert 2 ?
π 1√
1√
2, sin
2
=
4
2
4
2
(c) Welche geometrischen Eigenschaften die die Vektoren ~a, ~b, ~c, d~ zueinander haben
können Sie jeweils aus den beiden folgenden Gleichungen ableiten?
~ =0
i. (~a × ~b) · (~c × d)
Hinweis: cos
π
=
~ =0
ii. (~a × ~b) × (~c × d)
(10.01.2013)
30. (a) ~u und ~v seien zwei beliebige Vektoren des R3 . Zeigen Sie allgemein, dass die
Vektoren ~u + ~v und ~u − ~v genau dann senkrecht zueinander stehen, wenn |~u| = |~v |
gilt.
(b) Die Punkte A, B und C haben die Ortsvektoren
 
 
 
1
−2
3
~a = 2 , ~b =  3  , ~c = −1
4
5
2
i. Zeigen Sie, dass der Punkt P = (1 − 3λ, 2 + λ, 4 + λ), λ ∈ R auf der Geraden
durch A und B liegt. Berechnen Sie den Abstand von P zu C als Funktion
von λ . Wie groß ist der kürzeste Abstand, und in welcher geometrischen
Situation tritt er ein?
ii. Finden Sie einen Vektor senkrecht zu AB und AC, wie lautet die Gleichung
der Ebene ABC?
iii. Zeigen Sie, dass der Punkt D = (2, −2, 11) in einer zur Ebene ABC senkrechten Ebene liegt und dass AD senkrecht zu AB steht. Berechnen Sie das
Volumen der schiefen Pyramide (Tetrahedron), die (das) von ABCD aufgespannt wird.
(22.02.2013)
31. (a) Gegeben sind zwei Punkte A(2, 2, −5) und B(−3, 1, 3). Bestimmen Sie die Menge
alller Punke C(x, y, z), so dass das Volumen der durch den Koordinatenursprung
O, A, B und C aufgespannten Pyramide gleich 4 ist.
8
(b) Bestimmen Sie die Zahlen r, s, t und einen Vektor ~c so, dass die drei Vektoren
√ 
 
2
0
2
 
~a =  1  , ~b = s und ~c
2
t
r
paarweise orthogonal sind und den Betrag 1 haben.
 
 
1
2
(c) Gegeben sind die Vektoren ~a =  2  und ~b = −3. Bestimmen Sie einen
−1
5
Vektor ~c mit der Länge 3, der normal zu ~a ist und für den der Absolubetrag des
Vektorprodukts ~b × ~c maximal ist.
(d) Alterativ- oder Zusatzaufgabe
(pro Teilaufgabe 0,5 Punkte)
i. Eine Gerade g : ~x = ~a + λ~u ist parallel zur Ebene e : ~n · ~x − ~n · ~b = 0 wenn:
A) ~u × ~n = 0
B) ~u · ~n = ~0
C) ~u × ~b = ~0
ii. Die Ebene e1 : ~x = ~a +λ~u +µ~v steht senkrecht auf die Ebene e2 : ~n ·~x −~n ·~b = 0
wenn:
A)(~u × ~v )·~n = ~0 B) (~u × ~v ) × ~n = ~0
 
1
iii. der Punkt P (1|2|0) hat von der Ebene  2  · ~x = 3 den Abstand:
2
1
2
A) 0
B)
C)
D) 1
E) keinen der genannten Abstände
3
3
(29.07.2013)
32. (a) Gegeben sind die Vektoren ~a, ~b ∈ R3 \{~0} mit |~a| = |~b| und ~a⊥~b.
Es seien:
~x = ~a + β~b
~y = ~b + α~a
mit α, β ∈ R
Welcher Zusammenhang muss zwischen α und β bestehen, damit ~x orthogonal
zu ~y ist?
(b) In einem kartesischen Koordinatensystem sind das Quadrat ABCD mit den Eckpunkten A (6|1|-3), B (2|3|1),
C (0|7|-3), D (4|5|-7) und die Gerade:

gegeben.

 
13
7
g : ~x =  2  + λ 1
−1
2
i. Bestimmen Sie alle Punkte S der Geraden g so, dass die Pyramide ABCDS
mit der Spitze S das Volumen mit der Maßzahl 72 besitzt. Bestimmen Sie
−→
dazu zuerst den Kantenvektor AS.
ii. Zeigen Sie mit Hilfe der Vektorrechnung, dass die Pyramide ABCDS mit
der Spitze S (-1|0|-5) eine senkrechte Pyramide ist. (’senkrecht’ bedeutet:
Die Spitze der Pyramide liegt senkrecht über dem Diagonalenschnittpunkt)
(c) Zusatzaufgabe (Antworten Sie ohne Begründung)
Betrachtet werden die Vektoren ~a, ~b und ~c des Vektorraums R3 . Sind die folgenden Aussagen wahr oder falsch?
i. Sind ~a und ~b linear unabhängig, so auch die drei Vektoren ~a, ~b und ~c.
9
ii. Sind sowohl ~a und ~b als auch ~b und ~c linear unabhängig, so auch die Vektoren
~a, ~b und ~c.
iii. Sind die Vektoren ~a und ~b linear unabhängig und ist der Vektor ~c nicht
Linearkombination von ~a und ~b, so sind auch die drei Vektoren ~a, ~b und ~c
linear unabhängig.
(13.01.2014)
33. (a) Es seien ~a und ~b Vektoren des R3 mit folgenden Eigenschaften:
|~a × ~b| = 2
~a · ~b = −2
√
|~a| = 2
Berechnen Sie den Winkel zwischen ~a und ~b sowie den Betrag von ~b.
(b) Gegeben sind die Ebene e : 4x1 + 3x2 + 6x3 = 24 und der Punkt P (2|2|5).
i. Vom Punkt P aus fällt ein Kügelchen parallel zur x3 -Achse auf die Ebene e.
Bestimmen Sie die Koordinaten des Auftreffpunktes R des Kügelchens auf
die Ebene e.
ii. Berechnen Sie die Schnittgerade der Ebene e mit der x1 − x2 -Ebene (Spurgerade).
iii. Nach dem Auftreffen des Kügelchens auf die Ebene e rollt es auf kürzestem
Weg zur x1 − x2 -Ebene. Berechnen Sie die Koordinaten des Auftreffpunktes
in der x1 − x2 -Ebene.
(18.02.2014)
34. (a) Ein Lichtstrahl verläuft durch den Punkt A (10|-1|2) und wird an der Ebene mit
der Gleichung e: x1 + x2 − x3 − 1 = 0 reflektiert. Der reflektierte Strahl verläuft
durch den Punkt B (4|1|4). Bestimmen Sie eine Gleichung der Gerade, die den
reflektierten Strahl beschreibt.
(b) In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A (5|2|-1), B (3|6|3)
und D (1|-2|1) gegeben.
~ und AD
~ orthogonal sind und gleiche Bei. Zeigen Sie, dass die Vektoren AB
träge haben.
ii. Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes C so, dass ABCD ein Quadrat
wird. Bestimmen Sie die Koordinaten des Quadratmittelpunktes M.
iii. Das Quadrat ABCD ist die Grundfläche einer Pyramide mit der Spitze S
(6|0|6). Zeigen Sie, dass M S die Höhe der Pyramide ist. Berechnen Sie das
Volumen der Pyramide.
iv. Zeigen Sie, dass die Ebene e : 10x1 + x2 + 4x3 = 48 die Pyramide aus iii)
in einer Trapezfläche schneidet. Ist dieses Trapez gleichschenklig? Zeigen Sie
zunächst, dass die Ebene e die Punkte A und B enthält.
(04.08.2014)
35. (a) Es seien ~a0 und ~b0 zwei Einheitsvektoren, die aufeinander senkrecht stehen, und
~ = 45◦ ?
es sei ~c = ~a0 + 2~b0 und d~=~a0 + λ~b0 . Für welches λ ∈ R gilt |∡(~c; d)|
(b) Berechnen Sie die Länge der Höhe hb des Dreiecks mit den Eckpunkten A(2|1|0),
B(4|3| − 1) und C(5|4|3).
(c) Zusatzaufgabe
10
i. Für welche Werte von k ∈ R sind die folgenden Vektoren komplanar?
 
 
 
k
2
1
~a = 2 ~b = k  ~c = −1
0
1
−1
ii. Gegeben seien die beiden Folgen:
< an >= 3, 8, 13, 18, 23, ...
1
1
, 64
, ...
< bn >= 4, 1, 41 , 16
Wie nennt man diese Folgen? Geben Sie das Bildungsgesetz für die Folge
< an > und < bn > an.
(15.12.2014)
36. (a) Prüfen Sie, ob es Parameter a, b ∈ R gibt, so dass die Gerade g und die Ebene e
parallel sind und den Abstand 1 haben.
 
 
 
a
a
1
g : ~x = 1 + λ  b  und e :  2  ~x − 9 = 0
0
0
−2
(b) Ein Würfel hat die Eckpunkte A(1|2|0), B(5|2|0), C, D(1|6|0), E(1|2|4), F , G,
H. Berechnen Sie die fehlenden Koordinaten der Eckpunkte des Würfels sowie
jeweils die Eckpunkte seines Schattens in der x1 − x2 -Ebene, wenn der Würfel
von parallelem Licht der Richtung ~v = (2|3| − 3) beleuchtet wird.
(20.03.2015)
37. (a) Gegeben ist die Ebene e : x1 + x2 − 2x3 = 0. Zeigen Sie, dass alle Geraden der
Schar:
 
 
1
−2
gk : ~x = 1 + λ  0 
k
−1
parallel zur Ebene e sind. Bestimmen Sie diejenige Gerade der Schar, welche in e
liegt.
(b) Ein Stahlblock hat die Form eines quadratischen Pyramidenstumpfes. Die Seitenlänge der Grundfläche beträgt 8 cm, diejenige der Deckfläche beträgt 4 cm, die
Höhe beträgt 8 cm. Der Koordinatenursprung liegt im Mittelpunkt der Grundfläche.
Mit einem Laserstrahl, der auf der Strecke mit P (−3, 5|9, 5|6) und Q(−6|16|8)
erzeugt wird, durchbohrt man den Stahlblock.
i. Wo liegen Ein- und Austrittspunkt des Laserstrahls?
ii. Wie lang ist der Bohrkanal?
(17.09.2015)
38. (a) Bestimmen Sie b so, dass die Punkte A(1|2|b), B(2|b|4), C(5|6|7) auf einer Geraden liegen.
(b) Gegeben sind die Gerade g:

und der Punkt M(2|4|2).

 
7
−4
~x =  2  + λ  4 
−2
2
i. Wie lautet die Gleichung in Koordinatenform der Ebene e1 , die g und M
enthält?
11
ii. Fällen Sie von M das Lot auf g. Geben Sie die Koordinaten des Lotfußpunktes
L an. Berechnen Sie die Länge des Lotes.
(c) Zusatzaufgabe: Sind die folgenden Vektoren linear unabhängig oder linear abhängig?
 
 
 
2
1
−3
~a = 5 ~b = −4 ~c =  9 
8
6
−7
(11.1.2016)
 
 
1
1
39. (a) Gegeben sind die Gerade g : ~x = 0+λ  1  und die Ebene mit der Gleichung
4
−1
e : 2x1 + x2 = −4.
i. Begründen Sie, dass g und e nicht parallel sind und berechnen Sie den Schnittpunkt.
ii. Berechnen Sie eine Spiegelgerade von g zu e.
 
7
(b) Bestimmen Sie die Gleichung der Ebenen, die zur Ebene e : −4 · ~x − 18 = 0
4
parallel verlaufen und den Abstand 3 vom Nullpunkt haben. Wie viele solcher
Ebenen gibt es?
(22.2.2016)
12
2.2
Ungleichungen
Gegeben sind die folgenden Ungleichungen. Führen Sie für die Funktionen auf beiden Seiten
der Ungleichung eine erste allgemeine Kurvendiskussion durch (Nullstellen, Polstellen, asymptotisches Verhalten, keine Ableitungen) und skizzieren Sie beide Funktionen. Bestimmen
Sie die reelle Lösungsmenge der Ungleichung.
1.
x2 + 2x − 1 ≥ 4x + 1
(22.03.2001)
2.
x2 + 3x − 5 ≥ 5x + 1
(29.08.2001)
3.
−x2 − 5x + 1 ≥ 6x + 5
(04.03.2002)
4.
x2 − 5x + 1 ≥ 6x + 5
(30.08.2002)
5.
2x2 + 3x − 1 ≥ 5x + 10
(21.03.2003)
6.
−x2 − 3x + 1 ≥ 15x + 10
(06.10.2003)
2
−3x +5
2x+1
7.
x2 + 5 >
8.
−2x2 + 7 >
9.
x+3>
10.
x2 + 6 >
−3x2 +6
4x+1
(29.08.2005)
11.
x2 + 4 >
−9x2 +12
6x−3
(13.03.2006)
12.
2x2 − 5 >
13.
x2 − 5 >
−2x2 +5
2x−1
14.
x2 − 3 <
4x2 +x−6
x+2
15.
x2 − 2x − 3 ≤
−2x2 +2x+6
3x−2
(26.02.2008)
16.
x3 − 2x − 3 >
−2x2 −5x+6
3x−2
(05.08.2008)
17.
x3 − 3x − 1 <
2x2 +5x+2
x−2
(06.01.2009)
18.
x2 −3x+2
x−3
>
19.
x
3x2 −2
x
2x+1
20.
x3 − 3x − 1 ≤
21.
x
3 x 2 −4
≤
x
2 x+3
(08.03.2010)
22.
2x
3 x 2 −4
≤
x
2 x+6
(23.03.2010)
23.
x
3x2 −3
(04.04.2004)
−x2 +7
2x+1
(30.07.2004)
x+18
3x−2
>
(28.02.2005)
−4x2 +10
2x−1
(28.02.2007)
((13.08.2007)
(09.01.2008)
x2 −4x+3
x−2
24.08.2009)
x2 +8x+3
x−3
x2
x+5
−x<
(18.02.2009)
−
4
3
(07.01.2010)
(15.01.2011)
x
Gibt es Bereiche, in denen Sie eventuell relative Extrema oder Wendepunkte erwarten?
Begründen Sie Ihre Antwort!
x2 +5
3 x+1
24.
x2 + 5 ≤
25.
2x2 − 2 ≤
26.
3x−4
2x+3
27.
x2 + x − 4 ≥
28.
1
x−2
29.
x+2
x2 +x−2
x2 −2x+2
x−1
−5≤
≥
5x−5
x2 −4
(21.03.2011)
+6x
(25.07.2011)
+ 6x
10−14x
4x−4
x2 −4
x+1
−
+1≤
(10.01.2012)
(19.03.2012)
+ 6x
4
x−1
2
x−1
(30.07.2012)
−
1
x+2
(10.01.2013)
13
30.
(x+5)2 (x−1)
(x2 +6x+5)(x+5)
31.
x2 −x−2
x2 +3x+2
32.
f (x) =
x−2
2
33.
f (x) =
2(x2 −6x+9)
(x+3)2
≥
≥
1
x+1
x2 +2x−1
x+2
+
1
x−1
(22.02.2013)
+x−2
(29.07.2013)
−2
< − 21 x2 − 2x − 2 = g(x)
(13.01.2014)
< 14 x2 − 32 x +
(18.02.2014)
9
4
= g(x)
34. (a) Diskutieren Sie den Verlauf der gebrochenrationalen Funktion
f (x) =
(x + 1)2 (x2 + x − 2)
x3 + 5x2 + 6x
Untersuchen Sie dabei die Funktion auf Definitionslücken, Null- und Polstellen,
Asymptoten und den Schnittpunkt mit der y-Achse.
(b) Für welche Werte von x ∈ R gilt: f (x) ≥ x + 1
(4.8.2014)
35. Betrachten Sie die Ungleichung
f (x) =
(x + 3)2 (x − 1)
1
≤
+ x − 3 = g(x)
3
2
x + 7x + 15x + 9
x+1
(a) Untersuchen Sie die Funktionen f (x) und g(x) auf ihre Definitionsmengen, Nullstellen, Polstellen, y-Achsenabschnitte. Betrachten Sie ebenfalls die Annäherung
an die Asymptote und gegebenenfalls die Annäherungen an die Polstelle.
(b) Bestimmen Sie die Schnittstellen der Funktionen f (x) und g(x).
(c) Skizzieren Sie die Funktionen f (x) und g(x) in ein gemeinsames Koordinatensystem. Zeichnen Sie die wesentlichen Bestimmungsmerkmale in die Skizze ein.
Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Ungleichung.
(15.12.2014)
36. Betrachten Sie die Ungleichung
f (x) =
x3
5x2 + 10x
−2x
< 2
= g(x)
2
+ 2x − 3x − 6
x −3
(a) Untersuchen Sie die Funktionen f (x) und g(x) auf ihre Definitionsmengen, Nullstellen, Polstellen, y-Achsenabschnitte. Betrachten Sie ebenfalls die Annäherung
an die Asymptote und gegebenenfalls die Annäherungen an die Polstellen.
(b) Bestimmen Sie die Schnittstellen der Funktionen f (x) und g(x).
(c) Skizzieren Sie die Funktionen f (x) und g(x) in ein gemeinsames Koordinatensystem. Zeichnen Sie die wesentlichen Bestimmungsmerkmale in die Skizze ein.
Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Ungleichung.
(20.03.2015)
37. Betrachten Sie die Ungleichung
f (x) =
− 21 x2 + 2x − 2
2x2 − 4x
+
1
>
= g(x)
x3 − 2x2 − x + 2
x−2
(a) Untersuchen Sie die Funktionen f (x) und g(x) auf ihre Definitionsmengen, Nullstellen, Polstellen, y-Achsenabschnitte. Betrachten Sie ebenfalls die Annäherung
an die Asymptote und gegebenenfalls die Annäherungen an die Polstellen.
(b) Bestimmen Sie die Schnittstellen der Funktionen f (x) und g(x).
(c) Skizzieren Sie die Funktionen f (x) und g(x) in ein gemeinsames Koordinatensystem. Zeichnen Sie die wesentlichen Bestimmungsmerkmale in die Skizze ein.
Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Ungleichung.
(17.09.2015)
14
38. Betrachten Sie die Ungleichung
f (x) =
2
1
x2 + 4x + 4
+2≤
−
= g(x)
(x2 + x − 2)(x + 2)
x−1 x+2
(a) Untersuchen Sie die Funktionen f (x) und g(x) auf ihre Definitionsmengen, Nullstellen, Polstellen, y-Achsenabschnitte. Betrachten Sie ebenfalls die Annäherung
an die Asymptote und gegebenenfalls die Annäherungen an die Polstelle.
(b) Bestimmen Sie die Schnittstellen der Funktionen f (x) und g(x).
(c) Skizzieren Sie die Funktionen f (x) und g(x) in ein gemeinsames Koordinatensystem. Zeichnen Sie die wesentlichen Bestimmungsmerkmale in die Skizze ein.
Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Ungleichung.
(11.1.2016)
39. Betrachten Sie die Ungleichung
f (x) =
x2
x+2
2
1
+1≤
−
= g(x)
+x−2
x−1 x+2
(a) Untersuchen Sie die Funktionen f (x) und g(x) auf ihre Definitionsmengen, Nullstellen, Polstellen, y-Achsenabschnitte. Betrachten Sie ebenfalls die Annäherung
an die Asymptote und gegebenenfalls die Annäherungen an die Polstellen.
(b) Bestimmen Sie die Schnittstellen der Funktionen f (x) und g(x).
(c) Skizzieren Sie die Funktionen f (x) und g(x) in ein gemeinsames Koordinatensystem. Zeichnen Sie die wesentlichen Bestimmungsmerkmale in die Skizze ein.
Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Ungleichung.
(22.2.2016)
15
2.3
Determinanten und Lineare Gleichungssysteme
1. Betrachten Sie das folgende Lineare Gleichungssystem (LGLS)


 

1
1
1
x
−1
 −1
a
1  y  =  3 
2 −4 −2
z
−1
(a) Gibt es Werte des reellen Parameters a, für den das Gleichungssystem lösbar
oder unlösbar ist? Gibt es Werte von a, für die es eindeutig lösbar ist oder für die
es unendlich viele Lösungen hat? Geben Sie ggf. die entsprechenden Werte mit
Begründung an.
(b) Bestimmen Sie die eindeutige Lösung des LGLS für einen von Ihnen passend
gewählten Wert des Parameters a.
(22.03.2001)
2. (a) Entwickeln Sie folgende Determinante durch geeignete Rückführung auf einfachere Determinanten
2
−3
|A| =
7
8
−1
3 −5
5 −4
6
−2
1
4
5 −3
2
(b) Untersuchen Sie folgendes Gleichungssystem auf seine eindeutige Lösbarkeit.
1.2x − 0.9y + 1.5z = 2.4
0.8x − 0.5y + 2.5z = 1.8
1.6x − 1.2y + 2.0z = 3.2
Je nach Lösbarkeit geben Sie an: Die Lösung, die Anzahl der von einander abhängigen Gleichungen, oder die Anzahl der Gleichungen, die zueinander in Widerspruch stehen.
(29.08.2001)
3. (a) Zeigen Sie durch elementare Umformungen, die den Wert der Determinante nicht
verändern, dass die folgende Determinate verschwindet:
−1 2 0
2 8 6
|A| =
−1 16 2
1 6 4
6
15
15
12
(b) Untersuchen Sie, ob das folgende inhomogene lineare Gleichungssystem eine eindeutige Lösung hat:
3x + 2y + 2z = −2
−2x − 4y − 3z = 7
−4x − 5y − 2z = −7
(04.03.2002)
4. (a) Überprüfen Sie mittels elementarer Umformungen, die den Wert der Determinante nicht verändern, ob die folgende Determinante verschwindet. Dokumentieren
und begründen Sie die, von Ihnen vorgenommenen Umformungen nachvollziehbar!
−1
2
|A| =
−1
1
16
1
4
8
3
0
3
1
2
2
5
5
4
(b) Überprüfen Sie, ob das folgende inhomogene lineare Gleichungssystem eine Lösung hat:
3x + 2y + z = −2
−2x − 4y − 2z = 7
−4x − 5y − 4z = −7
(30.08.2002)
5. Betrachten Sie das folgende Lineare Gleichungssystem (LGLS) mit dem reellen Parameter a:


 

2
1
1
x
−1
 −2
a
1  y  =  3 
2 −4 −2
z
−1
(a) Gibt es Werte des reellen Parameters a, für den das Gleichungssystem lösbar
oder unlösbar ist? Gibt es Werte von a, für die es eindeutig lösbar ist oder für die
es unendlich viele Lösungen hat? Geben Sie ggf. die entsprechenden Werte mit
Begründung an.
(b) Bestimmen Sie die eindeutige Lösung des LGLS für einen von Ihnen passend
gewählten Wert des Paramters a.
(21.03.2003)
6. (a) Untersuchen Sie die Lösungsstruktur des folgenden linearen Gleichungssystems
und bestimmen Sie alle Lösungen:
2x − 5y + 2z = 0
x + 4y − 3z = 1
2x − 18y + 10z = −2
(b) Berechnen Sie die Determinante:
a
2
0 0
−2
b
2 0
|A| =
0 −2
c 2
0
0 −2 d
(06.10.2003)
7. (a) Untersuchen Sie das Lösungscverhalten des folgenden linearen Gleichungssystems:
x1 + 2x2 + 3x3 = b1
4x1 + 5x2 + 6x3 = b2
7x1 + 8x2 + 9x3 = b3
Welche Beziehung muß zwischen den Größen b1 , b2 und b3 bestehen, damit das
Gleichungssystem lösbar ist? Wählen Sie dementsprechende Werte und berechnen
Sie die allgemeine Lösung.
(b) Berechnen Sie den Rang der Matrix C:

1
2
3
4
 3
1
5
6
C=
 1 −3 −1 −2
5
0
7
8




(04.03.2004)
17
8. (a) Untersuchen Sie das Lösungsverhalten des folgenden linearen Gleichungssystems:
3x1 + 4x2 + 5x3 = b1
6x1 + 7x2 + 8x3 = b2
9x1 + 10x2 + 11x3 = 0
Welche Beziehung muß zwischen den Größen b1 6= 0 und b2 6= 0 bestehen, damit das Gleichungssystem lösbar ist? Wählen Sie dementsprechende Werte und
berechnen Sie dafür die allgemeine Lösung.
(b) Für welche reellen oder komplexen Werte von t verschwindet die Determinante
der folgenden Matrix B:


t+1
2
−t
B =  −2 t − 2 0 
t
2
t
(30.07.2004)
9. (a) Gegeben ist das folgende lineare Gleichungssystem in Abhängigkeit des Parameters b:
x1 + 2x2 + 9x3 = 1
4x1 + 6x2 + 8x3 = 2
3x1 + 7x2 + bx3 = 4
Für welchen Wert von b ist dieses Gleichungssystem überhaupt lösbar? Geben Sie
eine allgemeine Lösung an.
(b) Berechnen Sie die Determinante der Matrix C. Wie groß ist der Rang von C
abhängig vom Wert des Parameters b?

5
 3

C=
1
5

2
3
4
1
5
6 

−3 −1 −2 
b
7
8
(28.02.2005)
10. (a) Gegeben ist das folgende lineare Gleichungssystem in Abhängigkeit des Parameters b:
x1 + 2x2 + 3x3 = 1
4x1 + 5x2 + 6x3 = 2
7x1 + 8x2 + bx3 = 3
Welche Bedingung muß b erfüllen, damit dieses Gleichungssystem überhaupt lösbar ist? Geben Sie eine allgemeine Lösung an.
(b) Berechnen Sie die Determinante der Matrix C. Wie groß ist der Rang von C
abhängig vom Wert des Parameters a?


1
2
3
5
 1
1
5
6 

C=
 1 −3 −1 −2 
5
a
7
8
(29.08.2005)
18
11. (a) Gegeben ist das folgende lineare Gleichungssystem in Abhängigkeit des Parameters b:
2x1 + 3x2 + 4x3 = 2
5x1 + 6x2 + 7x3 = 3
8x1 + 9x2 + bx3 = 4
Welche Bedingung kan man an b stellen, so daß dieses Gleichungssystem lösbar
ist? Geben Sie sämtliche Lösungen an.
(b) Berechnen Sie die Determinante der Matrix C. Wie groß ist der Rang von C
abhängig vom Wert des Parameters b?


2
3
4
6
 1
1
5
6 

C=
 1 −3 −1 −2 
5
b
7
8
(13.03.2006)
12. Betrachten Sie folgendes Lineares Gleischungssystem (LGS):
ax1 + x2 + x3 = −1
−2x1 + ax2 + x3 = 3
2x1 − 4x2 − x3 = −1
(a) Diskutieren Sie die Lösungsstruktur dieses inhomogenen und des zugehörigen
homogenen LGS in Abhängigkeit des reellen Parameters a.
(b) Berechnen Sie die Lösung des inhomogenen LGS für a = 4 und die Lösung des
homogenen LGS für a = 0 .
(28.02.2007)
13. Betrachten Sie folgendes lineares Gleichungssystem (LGS):
2ax1 + x2 + x3
−2x1 + ax2 − x3
x1 − 4x2 + x3
=
=
−1
1
=
−1
(a) Diskutieren Sie die Lösungsstruktur diese inhomogenen und des zugehörigen LGS
in Abhängigkeit des reellen Parameters a.
(b) Berechnen Sie die Lösung des inhomogenen LGS für a = 0 und des homogenen
LGS für a = 3.
(13.08.2007)
14. Untersuchen Sie das Lösungsverhalten des folgenden linearen Gleichungssystems:
2x1 + x2 + 1x3
3x1 + 2x2 + 3x3
= a
= b
4x1 + 3x2 + 5x3
= 1
Welche Beziehung muss zwischen den Größen a 6= 0 und b =
6 0 bestehen, damit das
Gleichungssystem lösbar ist? Wählen Sie dementsprechende Werte und berechnen Sie
die allgemeine Lösung.
(09.01.2008)
15. Betrachten Sie das folgende Lineare Gleichungssystem


 
1 1 2
x1
 1 2 a   x2  = 
1 2 b
x3
(LGS)

2
3 
3
(a) Diskutieren Sie die Lösbarkeit und die Lösungsstruktur des LGS in Abhängigkeit
der reellen Parameter a und b.
19
(b) Bestimmen Sie die eindeutige Lösung des LGS für einen von Ihnen passend gewählten Satz von Werten der Parameter a und b.
(26.02.2008)
16. Berechnen Sie die Determinante der Matrix C. Wie groß ist der Rang von C abhängig
von den Werten der Parameters a und b?


1 2
3
4
 3 1
5
6 

C=
 a 3 −1 −2 
5 b
7
8
(26.02.2008)
17. Betrachten Sie folgendes lineares Gleichungssystem (LGS):
x + ay + 2z
4x + 6y + az
= 2
= 6
2x + 3y + 6z
= 3
(a) Diskutieren Sie die Lösungsstruktur diese inhomogenen und des zugehörigen homogenen LGS in Abhängigkeit des reellen Parameters a.
(b) Berechnen Sie die Lösung des inhomogenen LGS für a = 12 und für a = 3.
(05.08.2008)
18. Berechnen Sie die Determinante der Matrix C. Wie
von den Werten der Parameter a und b?

a 3 4 1
 3 a b 2
C =
 a 3 1 1
5 a 7 4
groß ist der Rang von C abhängig




Erläutern und begründen Sie die Abhängigkeit der Determinante vom Parameter b !
(05.08.2008)
19. Untersuchen Sie das Lösungsverhalten des folgenden linearen Gleichungssystems:
x1 + ax2 + x3
2x1 + ax2 + 6x3
=
=
1
1
ax1 + x2 + x3
=
1
(a) Gibt es Werte des reellen Parameters a für die das Gleichungssystem genau eine,
keine oder unendlich viele Lösungen hat?
(b) Bestimmen und wählen Sie für jeden Fall - sofern möglich - die entsprechenden
Werte für a und berechnen Sie die jeweils zugehörige Lösung, bzw. bestimmen
Sie den Wert von a für den es ggf. keine Lösung gibt.
(c) Begründen Sie in jedem Fall möglichst detailliert das Lösungsverhalten des Systems
(6.1.2009)
20. Betrachten Sie folgendes lineares Gleichungssystem (LGS):
3x1 + 3x2 + 5x3
9x1 + 6x2 + 11x3
=
=
a1
a2
2x1 + x2 + 2x3
=
a3
(a) Diskutieren Sie die Lösungsstruktur des zugehörigen homogenen LGS sowie die
des inhomogenen LGS in Abhängigkeit der reellen Parameter a1 , a2 , a3 .
20
(b) Berechnen Sie die Lösung des inhomogenen LGS für einen geeignet gewählten
Parametersatz, für den das LGS lösbar ist.
(18.02.2009)
21. Berechnen Sie die Determinante der Matrix C. Wie
von den Werten der reellen Parameter a und b?

1 a 1 a
 a 3 a 4

C=
1 2 1 3
4 b 1 8
groß ist der Rang von C abhängig




Erläutern und begründen Sie die Abhängigkeit der Determinante vom Parameter b
(18.02.2009)
22. Betrachten Sie folgendes lineares Gleichungssystem (LGS):
2 x1 + x2 + 4 x3
=
0
4 x1 + 2 x2 + a x3
x1 + a x2 + 2x3
=
=
0
15
(a) Diskutieren Sie die Lösungsstruktur diese inhomogenen und des zugehörigen homogenen LGS in Abhängigkeit des reellen Parameters a.
(b) Berechnen Sie die Lösung des inhomogenen LGS für a = 2 und für a = 8.
(24.08.2009)
23. Berechnen Sie die Determinante der Matrix C. Wie
von den Werten der Parameter a und b?

3 a 2 4
 a 1 2 b
C=
 3 a 2 1
a 2 1 a
groß ist der Rang von C abhängig




Begründen Sie die Art der Abhängigkeit der Determinante vom Parameter b ! (24.08.2009)
24. Untersuchen Sie das Lösungsverhalten des folgenden linearen Gleichungssystems:
x1 + ax2 + x3
=
ax1 + x2 + 2x3
ax1 + x2 + 3x3
=
=
−1
1
1
(a) Gibt es Wertemengen des reellen Parameters a für die das Gleichungssystem
keine, genau eine oder unendlich viele Lösungen hat? Bestimmen Sie für jeden
dieser Fälle die entsprechenden Wertemengen von a.
(b) Berechnen Sie - falls möglich - für jeden Fall, für den es genau eine oder mehrere
Lösungen gibt, die entsprechende Lösungsmenge des LGS. Wählen Sie dazu je
einen repräsentativen Wert für a aus der jeweiligen Wertemenge von a.
(c) Begründen Sie in jedem Fall möglichst detailliert das Lösungsverhalten des Systems.
(07.01.2010)
25. Untersuchen Sie das Lösungsverhalten des folgenden linearen Gleichungssystems:
2 x1 + x2 + x3
4 x1 + 5 x2 + 3 x3
=
=
a
b
3 x1 + 3 x2 + 2x3
=
1
a, b ∈ R
Welche Beziehung muss zwischen den Parametern a und b bestehen, damit das Gleichungssystem lösbar ist? Wählen Sie einen dementsprechenden Parametersatz und
berechnen Sie die zugehörige Lösung.
(08.03.2010)
21
26. Berechnen Sie die Determinante der Matrix C.

1+a
 1
C =
 1
1
1
1+b
1
1
1
1
1+c
1

1
1 

1 
1+d
(08.03.2010)
27. Untersuchen Sie das Lösungsverhalten des folgenden linearen Gleichungssystems:
2 x1 + x2 + x3 = 1
4 x1 + 5 x2 + a x3 = 1
a x1 + 3 x2 + 2x3 = 1
a∈R
Berechnen Sie für jeden Fall, für den das Gleichungssystems lösbar ist, die, eine oder
die allgemeine Lösung.
(23.08.2010)
28. Berechnen Sie die Determinante der Matrix C.

2
1
1 1 + b

C =
1 1+c
2
1
1
1+b
1
1

1+a
1 

1 
1+d
(23.08.2010)
29. Untersuchen Sie das Lösungsverhalten das folgende lineare inhomogene und das zugeordnete homogene Gleichungssystem:
a x1 − x2 + x3 = 2
3x1 + a x2 + 2x3 = −2
x1 − 2x2 + x3 = 1
a x1 − x2 + x3 = 0
3x1 + a x2 + 2x3 = 0
x1 − 2x2 + x3 = 0
(a) Diskutieren Sie die möglichen Lösungsmannigfaltigkeiten der Gleichungssysteme
in Abhängigkeit vom Wert des reellen Parameters a .
(b) Berechnen Sie für alle möglichen Fälle je eine exemplarische Lösung für einen von
Ihnen gewählten Wert von a.
(c) Begründen Sie in jedem Fall möglichst detailliert das Lösungsverhalten des Systems.
(15.01.2011)
30. Untersuchen Sie das Lösungsverhalten des folgenden linearen Gleichungssystems:
2 x1 + 3 x2 + x3 = −1
−4 x1 − 8 x2 − 3 x3 = 7
−2 x1 − 5 x2 − 2x3 = a
a∈R
Bestimmen Sie die Lösung des zugehörigen homogenen linearen Gleichungssystems.
Gibt es Werte für a, für die das inhomogene Gleichungssystem Lösungen hat? Wie
viele Werte können dies maximal sein? Begründen Sie Ihre Antwort. Bestimmen Sie
ggf. diese Lösungen.
(21.03.2011)
31. Berechnen Sie die folgende Determinante durch elementare Umformungen ohne die
explizite Berechnung von (3, 3) - oder (2, 2) - Unterdeterminanten:
1 −1 3 −5
−3 2 −4 6 C=
4 7 −2 2
8
5 −3 π (21.03.2011)
22
32. Untersuchen Sie das Lösungsverhalten des folgenden linearen Gleichungssystems:
x1 +
x1 +
x2 +
(1 + a) x2 +
x3 =
x3 =
x1 +
x2 +
(1 + a) x3 =
a
2a,
b
a, b ∈ R
Bestimmen Sie die Lösungen des inhomogenen und des zugehörigen homogenen linearen Gleichungssystems in Abhängigkeit der reellen Parameter a und b.
(25.07.2011)
33. Zeigen Sie:
x +x
2
1
2
x1 − x2
2
x1
y1 + y2
2
y1 − y2
2
y1
1 1 x1
1 = 2 x
2
1
y1 y2 (25.07.2011)
34. (a) Gegeben seien die Matrizen
3 −p
A=
,
1 2q
p
B=
q
0
q
Für welche Werte der Parameter p und q gilt AB = BA?
(b) Gegeben sei die Koeffizientenmatrix A

2 −1
A = −1 2
1
4
und die rechte Seite ~b :

 
3
u
−2 , ~b =  v 
9
w
i. Welcher Bedingung müssen u, v und w genügen, damit das Gleichungssystem
A ~x = ~b lösbar ist?
ii. Es sei u = 0 und v = 1. Für welchen Wert von w ist das Gleichungssystem
lösbar und wie lautet die Lösung?
x
35. (a) Berechnen Sie die Matrizen X =
z
y
u
(10.01.2012)
1 0
2
mit der Eigenschaft X =
0 1
(b) Bestimmen Sie die Lösungen des folgenden linearen Gleichungssystems in Abhängigkeit der reellen Parameter a und b.
a2 x1 +
5 x2 +
x3 =
a x1 + (a + 3) x2 +
x1 +
2 x2 +
3 x3 =
x3 =
b
0,
0
a, b ∈ R
(19.03.2012)
36. Berechnen Sie für alle Werte der reellen Parameter a, b ∈ R den Rang der Matrix
1 2 3 4
4 3 2 1
A = a 2 3 4 4 3 2 b (19.03.2012)
23
37. (a) Gegeben seien die Matrizen


−3 −8 12
7 −9
A= 3
1
2 −2
und
B=A−E
mit der Einheitsmatrix E. Berechnen Sie A2 und auf möglichst einfache Art und
Weise AB und B2
(b) Bestimmen Sie die Koeffizienten a0 , a1 und a2 so, dass das die Parabel
y(x) = a0 + a1 x + a2 x2
durch die Punkte mit den Koordinaten (x, y) = (2, −3), (9, 4) und (t, 4) verläuft.
Finden Sie die Lösungen für alle t ∈ R
(30.07.2012)
38. Bestimmen Sie die Nullstellen von
2
x + x − 6
D(x) = x2 − 3
x−3
39. Gegeben sei die Koeffizientenmatrix A

1 1
0 1
A=
0 0
a 0
4x − 8
3x − 5
x−3
14
7 6
(30.07.2012)
und die rechte Seite ~b :

 
0 0
1
1
1 0
 , ~b =  
1
1 1
0 1
1
(a) Diskutieren Sie die Lösungsstruktur des homogenen A~x = ~0 und des inhomogenen
A~x = ~b Gleichungssystems in Abhängigkeit des reellen Parameters a.
(b) Bestimmen Sie die nichttriviale Lösung des homogenen, sowie je eine Lösung für
die verschiedene Lösungstypen des inhomogenen Systems.
(10.01.2013)
40. (a) Gegeben sei das folgende Gleichungssystem:
x + y + 3z = 5
y+z =a
by + z = 2
i. Für welche Werte von a und b hat das Gleichungssystem keine Lösung?
ii. Für welche Werte von a und b hat das Gleichungssystem genau eine Lösung?
iii. Für welche Werte von a und b hat das Gleichungssystem unendlich viele
Lösungen?
(b) Lösen Sie das folgende lineare Gleichungssystem
x1 + x2 + 2x3 − x4 − 4x5 = 0
−x1 + x3 + 2x4 − 5x5 = 0
2x1 − x2 − 5x3 − 4x4 + 15x5 = 0
2x1 + 3x2 + 7x3 − x4 − 17x5 = 0
(22.02.2013)
41. (a) Bewerten Sie folgenden Aussagen mit richtig oder falsch:
◮ Sie brauchen keine Begründungen anzugeben!
i. det((2A)−1 (AT )(2AT )) = det(A) für alle regulären Matrizen A.
ii. Gilt: det(AB −1 ) = det(A−1 B), so gilt auch: A = B.
24
iii. Die quadratischen Matrizen A und AT haben immer den gleichen Rang.
iv. A = (aij ) sei die 2013 × 2013 Matrix mit
(
1 , für i ≤ j,
aij =
0 , für i > j.
Dann besitzt A eine Inverse.
(b) Von der Matrix A und ihrer Inversen A−1 sind folgende
und z sind unbekannt:



1 0
z
1 −1
4  , A−1 = y −3
A = 0 z
0 −1 −3
0 z
Elemente bekannt, x, y

x
−4
z
Bestimmen Sie die Matrix X so, dass gilt: A−1 XA = A2 + A
(22.02.2013)
42. (a) Gegeben ist das Gleichungssystem A~x = ~b mit


1 1 −2
2 −1 −1

A=
4 1
1
0 1 −5
Für welche rechte Seiten ~b ist das Gleichungssystem lösbar?
(b) Lösen Sie das folgende lineare Gleichungssystem
5x1 + 2x2 + x3 − x4 = 2
−x1 − 2x3 + 2x4 = 0
x1 + 4x2 = 4
2x1 + x2 + 7x3 − 7x4 = 1
Ist das Gleichungssystem auch für beliebige rechte Seiten lösbar?
(c) Alternativ- oder Zusatzaufgabe
Bestimmen Sie jene Zahlen λ ∈ R für die das Gleichungssystem
2x + y + z = 0
−2λx + λy + 9z = 6
2x + 2y + λz = 1
i. eindeutig lösbar ist,
ii. keine Lösung besitzt,
iii. unendlich viele Lösungen besitzt.
(29.07.2013)
43. (a) Bewerten Sie folgenden Aussagen mit richtig oder falsch :
◮ Sie brauchen im Teil a) keine Begründungen anzugeben!
i. A sei eine 3 × 3 Matrix mit der Determinante |A| = 0.
A. A~x = ~0 hat eine nichttriviale Lösung.
B. A~x = ~b hat mindestens eine Lösung für jedes ~b ∈ R3 .
C. Für jede 3 × 3 Matrix B gilt |A + B| = |B|.
D. Für jede 3 × 3 Matrix B gilt |A B| = 0.
E. Es gibt einen Vektor ~b ∈ R3 so, dass für die erweiterte Koeffizientnmatrix
~
[A,
b ] gilt
~ [A, b ] > |A|.
ii. Die n × n Matrizen A und B sind regulär und besitzen beide eine Inverse.
Welche der folgenden Matrizen muss keine Inverse besitzt?
25
A. A + B
B. ABA−1
C. B −1
D. AB
E. Die Einheitsmatrix
F. A−1
iii. Alternativ- oder Zusatzaufgabe

1 0
Gegeben sei die Marix A = 2 −1
2 −2
sen Matrix A−1 gegeben durch:
A. (1, 0, −2)
B. (−1, 2, −1)
C. (1, −2, 1)
D. (2, −2, 1)
E. (−1, 0, 2)
F. (1, 1, −1)

0
(b) Zeigen Sie, dass für die Matrix P = 0
1

1
1. Dann ist die erste Zeile der inver1

1 0
0 1 gilt: P −1 = P 2 .
0 0
(29.07.2013)
44. (a) Man bestimme alle a und b, für die weder A noch B invertierbar sind.
a+b−1 0
A=
0
3
5
0
B=
0 2a − 3b − 7
(b) Gegeben sei das folgende lineare Gleichungssystem:
2x1 + x2 + 2x3 = 1
−x1 + 2x2 + bx3 = 2
−bx1 + 2x2 + 4x3 = 2
Diskutieren Sie das Lösungsverhalten in Abhängigkeit vom Parameter b. Geben
Sie alle möglichen Lösungen an.
(c) Bekannt sei, dass:
a
d
g
b
e
h
c f = −6
i
Man berechne damit die folgenden Determinanten:
d
i. g
a
e
h
b
f i c
3a 3b 3c ii. −d −e −f 4g 4h 4i 26
−3a
−3b
−3c e
f iii. d
g − 4d h − 4e i − 4f (d) Zusatzaufgabe (Antworten Sie ohne Begründung)
i. Wahr oder falsch?
Ist A schiefsymmetrisch und invertierbar, so ist auch A−1 invertierbar.
ii. Sei A eine (2x3)-Matrix mit Einträgen in R. Welche Werte für den Rang von
A sind möglich?
A.
B.
C.
D.
E.
F.
0
1
2
3
4
5
(13.01.2014)
45. (a) Man bestimme alle a, b und c, für die A symmetrisch ist.

2 a − 2b + 2c
5
A = 3
0
−2

2a + b + c
a+c 
7
(b) Wie müssen die Koeffizienten a, b und c gewählt sein, damit das Gleichungssystem
ax + by − 3z = −3
−2x − by + cz = −1
ax + 3y − cz = −3
die Lösung x = 1, y = −1 und z = 2 hat?
(c) Begründen Sie (kurz), warum die folgenden Determinanten verschwinden:
−1
4
−5 1
−10
i. −2
6 −12 30 −4 −3 −4 ii. −20 15 −20
2
4
2 (d) Zusatzaufgabe (Antworten Sie ohne Begründung)
i. Welche Aussagen über Determinanten sind richtig?
A.
B.
C.
D.
Determinanten sind nur für quadratische Matrizen definiert.
Ist det(A) = 0, so ist die Matrix A invertierbar.
Bei zwei Matrizen A und B gilt: det(A · B) = det(A) · det(B)
Matrix B entsteht durch A durch Vertauschen zweier Zeilen oder Spalten.
Es gilt: det(B) = (−1)i+j det(A)
ii. Welche Aussagen über lineare Gleichungssysteme (LGS) sind richtig?
A. Ein homogenes lineares Gleichungssystem mit mehr Unbekannten als
Gleichungen besitzt nur die triviale Lösung.
B. Wenn det(A) 6= 0, so ist das lineare Gleichungssystem A~x = ~b eindeutig
lösbar.
27
C. Wenn det(A) = 0, so hat das homogene lineare Gleichungssystem A~x = ~0
nur die triviale Lösung.
D. Die Cramersche Regel eignet sich eher für größere LGS, die Gaußsche
Elimination eher für kleinere.
(18.02.2014)
46. (a) Welche Lösung besitzt die Gleichung
λ − 1
0
1
1−λ
−2
0
(b) Zusatzaufgabe
2 1 = 0 ?
1 − λ
Berechnen Sie die folgende 4-reihigen Determinanten.
4 1 3 0
1 0 1 0
0 −2 1 4
1 0 5 0
(18.02.2014)
47. (a) Lösen Sie das folgende lineare Gleichungssystem in Abhängigkeit vom Parameter
t.
2x1 + 4x2 + 2x3 = 12t
2x1 + 12x2 + 7x3 = 12t + 7
x1 + 10x2 + 6x3 = 7t + 8
Wann besitzt das Gleichungssystem keine Lösung, unendlich viele Lösungen, genau eine Lösung? Berechnen Sie alle möglichen Lösungen.
(b) Gegeben sei die folgende Matrix

0
0
A=
0
1

0 0 1
1 0 0

0 −1 0
0 0 0
Berechnen Sie A2 . Was schließen Sie daraus? Was können Sie über die Determinante aussagen?
(c) Zeigen Sie, dass
1
a
2
a
1
b
b2
1 c = (b − a)(c − a)(c − b)
c2 48. (a) Man bestimme alle reellen Zahlen a,

a+1
a + 2
A=
 2
−a
(4.8.2014)
für die A invertierbar ist.

a
3
2−a
2
8
a 

1
3
1 
−1 a − 5 1 − a
(b) Bestimmen Sie die Koeffizienten a, b und c so, dass die Parabel
f (x) = ax2 + bx + c
durch die Punkte P (2|k), Q(4|2), und R(6| − 5) verläuft. Finden Sie die Lösungen
für alle k ∈ R.
28
(c) Bekannt sei, dass:
a
|A| = d
g
b
e
h
c f = −7.
i
Man bestimme:
i.
ii.
iii.
iv.
det(3A)
det(A−1 )
det(2AT )
det((2A)−1 )
(4.8.2014)
49. (a) Durch die Punkte P (−3|3) und Q(3|0) verlaufen unendlich viele Parabeln.
i. Stellen Sie ein lineares Gleichungssystem für die Koeffizienten a, b, c der Parabelgleichung y = ax2 + bx + c auf.
ii. Bestimmen Sie die Lösungsmenge dieses Gleichungssystems.
(b) Berechnen Sie die Determinante durch Reduktion der gegebenen Matrix auf Zeilenstufenform.


1 −2 3
1
 5 −9 6
3


−1 2 −6 −2
2
8
6
1
(c) Man zeige ohne direkte Berechnung der
sin(α) cos(α)
sin(β) cos(β)
sin(γ) cos(γ)
Determinante:
sin(α + δ)
sin(β + δ) = 0
sin(γ + δ) (d) Zusatzaufgabe Welche der folgenden Aussagen ist falsch?
Sei A eine (n, n) -Matrix mit Rg(A) = 3.
i. Ist n = 3, dann ist det(A) 6= 0.
ii. Ist n < 3, dann ist det(A) = 0.
iii. Ist n > 3, dann ist det(A) = 0.
(20.03.2015)
50. Lösen Sie das folgende System mit der Cramerschen Regel
4x + 5y = 2
11x + y + 2z = 3
x + 5y + 2z = 1
(20.03.2015)
51. (a) Diskutieren Sie das Lösungsverhalten des folgenden linearen Gleichungssystems
in Abhängigkeit vom Parameter t.
3x1 − 2x2 + 2x3 = 1
−2x1 + 5x2 − 6x3 = 0
4x1 + 3x2 − 2x3 = 3
6x1 − 2x2 + 3x3 = t
(b) Berechnen Sie die Nullstellen von:
2
x + x − 6 4x − 8 14
2
3x − 5 7 D(x) = x − 3
x−3
x−3 6
29
(c) Man zeige, dass unabhängig von α, β und γ die Matrix A nie invertierbar ist.:
 2

sin (α) sin2 (β) sin2 (γ)
A = cos2 (α) cos2 (β) cos2 (γ)
1
1
1
(17.09.2015)
52. Lösen Sie das folgende System mit der Cramerschen Regel
1x + 2z = 6
−3x + 4y + 6z = 30
−x − 2y + 3z = 8
(17.09.2015)
53. (a) Bestimmen Sie in Abhängigkeit von t ∈ R die Lösungsmenge des Gleichungssystems
x1 − x2 + x3 + (1 − t)x4 = 1
t x1 − (t + 1)x2 − t2 x4 = t
x1 + x2 + (2t + 1)x3 + (1 + t)x4 = t2
.
(b) Berechnen Sie die Inverse der folgenden Matrix


a 1 1
 1 a 1
1 1 a
Für welche Werte von a ∈ R existiert die Inverse?

1
1
(c) Zusatzaufgabe: Gegeben sei die Matrix A =  1 −1
−1 1
Welche der folgenden Aussagen ist richtig?
i.
ii.
iii.
iv.

−1
1
1
A ist regulär
Es gilt Rg(A) < 3
A−1 existiert
Es gilt det(A) 6= 0
(11.1.2016)
54. (a) Gegeben sei die Matrix

3
B = 2
2
2 6
1 3
3 1

3
2
4
 
b1
i. Gibt es eine Lösung der Gleichung B · ~x = ~b mit ~b = b2 ?
b3
 
4
ii. Wie lautet die Lösung für ~b = 1?
7
(b) Gegeben sind die folgenden Matrizen




2 −3 1
t
t −1
1
s
A = 1 2 −1 und M = 1 1
5
1 −2 0
4 −1 −7
−1
Bestimmen Sie die reellen Zahlen s,
t, sodass M = A gilt. Lösen Sie das lineare
2
Gleichungssystem A~x = ~b für ~b =  3 .
−1
30
(c) Zusatzaufgabe
i. Die Matrizen A und B seien über R definiert. Welche der folgenden Aussagen
ist richtig?
A. Man kann jede Matrix mit sich selbst multiplizieren.
B.
C.
D.
E.
Man kann das Produkt A · B bilden, wenn die folgenden Zahlen gleich
sind:
Die Anzahl der Zeilen von A und die Anzahl der Spalten von B.
Die Anzahl der Spalten von A und die Anzahl der Zeilen von B.
Die Anzahl der Spalten von A und die Anzahl der Spalten von B.
Die Anzahl der Zeilen von A sowie die Anzahl der Zeilen und Spalten
von B.
ii. Welche der folgenden Aussagen ist richtig?
A.
B.
C.
D.
Jedes lineare Gleichungssystem hat mindestens eine Lösung.
Jedes homogene lineare Gleichungssystem hat mindestens eine Lösung.
Jedes homogene lineare Gleichungssystem hat mindestens zwei Lösungen.
Jedes homogene lineare Gleichungssystem über R, dass mindestens zwei
Lösungen hat, hat unendlich viele.
E. Jedes inhomogene lineare Gleichungssystem hat höchstens eine Lösung.
(22.2.2016)
55. (a) Man zeige mit Hilfe des Laplaceschen Entwicklungssatzes (ohne die Verwendung
der Regel von Sarrus), dass für x, y ∈ R gilt:
x
−y
|A| = 0
−1
y 0
1 x −1 0 = (x2 + y 2 + 1)2
1 x −y
0 y
x
(b) Sei A eine 3x3 Matrix mit |A| = 2. Man bestimme:
i.
ii.
iii.
iv.
det(−2A)
det(A3 )
det(3AT )
det(A−1 )
31
2.4
Funktionen
1. (a) Lösen Sie die Gleichung
sin(x) sin(2x) = 2 cos(x)
(b) Zeigen Sie unter Verwendung der Definition der Hyperbelfunktionen
cosh2 (x) + sinh2 (x) = cosh(2x)
(22.03.2001)
2. (a) Lösen Sie die Gleichung
cos(x) cos(2x) = 2 cos(x)
(b) Zeigen Sie unter Verwendung der Definition der trigonometrischen Funktionen
cos(2x) + sin2 (x) = cos2 (x)
(29.08.2001)
3. Zeigen Sie unter Verwendung der Definition der trigonometrischen Funktionen
cos2 (x) =
1
(1 + cos(2x))
2
(04.03.2002)
4. Zeigen Sie unter Verwendung der Eulersch’en Beziehung die Richtigkeit folgender Beziehung
cos(2x) = 1 − 2 sin2 (x)
(30.08.2002)
5. (a) Bestimmen Sie die reellen Lösungswerte von x der Gleichung
sin(x) sin(2x) = cos(x)
(b) Zeigen Sie unter Verwendung der Definition der Hyperbelfunktionen
sinh(2x) = 2 sinh(x) cosh(x)
(21.03.2003)
6. (a) Lösen Sie die Gleichung
ln(x3 ) + 3 ln(x2 ) − ln(2x) = 10
(b) Bestimmen Sie die reellen Lösungswerte der Gleichung
sin(2x) = cot(x) im Intervall x ∈ [−2π, 2π]
(06.10.2003)
7. (a) Lösen Sie die Gleichung tan(x) = sin(2x) für alle reelle Werte von x.
(b) Zeigen Sie unter Verwendung der Definition der Hyperbelfunktionen
cosh(2x) = sinh2 (x) + cosh2 (x) = 2 cosh2 (x) − 1.
(04.03.2004)
8. (a) Lösen Sie die Gleichung cot(x) = cos(2x) + 1 für alle reelle Werte von x.
(b) Zeigen Sie entweder unter Verwendung der Eulerschen Relation oder der Additionstheoreme der trigonometrischen Funktionen
sin(3x) = 3 sin(x) − 4 sin3 (x).
(30.07.2004)
32
9. (a) Lösen Sie die Gleichung sin(x)(cos(2x) + 1) = sin(2x) für alle reelle Werte von x.
(b) Zeigen Sie unter Verwendung der Eulerschen Formel
sin(3x) = 3 sin(x) − 4 sin3 (x).
(28.02.2005)
10. (a) Lösen Sie die Gleichung sin(x)(cos(2x) + 1) = 2 sin(2x) für alle reelle Werte von
x.
(b) Zeigen Sie unter Verwendung der Definition der hyperbolischen Funktionen
coth(2x) =
1 + coth2 (x)
.
2 coth(x)
(29.08.2005)
11. (a) Lösen Sie die Gleichung sin(2x)(cos(4x) + 1) = 2 sin(4x) für alle reelle Werte von
x.
(b) Zeigen Sie unter Verwendung der Definition der hyperbolischen Funktionen
coth(6x) =
1 + coth2 (3x)
.
2 coth(3x)
(13.03.2006)
12. (a) Lösen Sie die Gleichung cot(x) sin(2x) = cos(x) für alle reellen Werte von x.
(b) Zeigen Sie unter Verwendung der Definition der hyperbolischen Funktionen
tanh(6x) = 2
coth(3x)
1 + coth2 (3x)
(28.02.2007)
13. (a) Lösen Sie für alle reellen Werte von x die Gleichung:
tan(x) cos(2x) = sin(x).
(b) Zeigen Sie unter Verwendung der Definition der hyperbolischen Funktionen, dass
gilt:
x
sinh(x)
tanh
=
.
2
1 + cosh(x)
(13.08.2007)
14. (a) Lösen Sie für alle reellen Werte von x die Gleichung:
ln(x4 ) + 2 ln(x2 ) − (ln(2x))2 = 10.
(b) Zeigen Sie unter Verwendung der Eulerschen Relation, dass gilt:
cos(3x) = 4 cos3 (x) − 3 cos(x).
(26.02.2008)
15. (a) Bestimmen Sie alle reellen Lösungen der Gleichung:
−2e4x − 2e2x + 2e2x
2
− 1 = 0.
(b) Zeigen Sie unter Verwendung der Eulerschen Formel:
4 sin(x)3 + sin(3x) − 3 sin(x) = 0.
(05.08.2008)
33
16. (a) Bestimmen Sie alle reellen Lösungen der Gleichung:
sinh(x)2 · exp(x) − cosh(x) = 0,
mit
exp(x) = ex .
(b) Zeigen Sie unter Verwendung der Eulerschen Formel:
cos(3x) − 4 cos(x)3 + 3 cos(x) = 0.
(18.02.2009)
17. (a) Lösen Sie die Gleichung:
1
1
4 x − 3 x− 2 = 3 x+ 2 − 2 2 x−1
(b) Finden Sie alle reellen Lösungen der Gleichung:
2 sin2 (x) + sin2 (2 x) = 2.
(24.08.2009)
18. (a) Lösen Sie die Gleichung:
x
1
1
2 2 − 6 x+ 2 − 6 x− 2 + 2 2 x+1 = 0
(b) Finden Sie alle reellen Lösungen der Gleichung:
2 cos2 (x) = 2 − sin2 (2 x).
(8.3.2010)
19. (a) Lösen Sie die Gleichung:
1
1
2 4 x − 16 x+ 3 − 16 x+ 2 + a · 2 2 x+1 = 0, a ∈ R
Ist die Gleichung für alle Werte von a lösbar?
(b) Finden Sie alle reellen Lösungen der Gleichung:
2 sin2 (x) + cos2 (2 x) − 2 = 0
(23.08.2010)
20. Lösen Sie die Gleichung:
5
1
3 a 2 x − 2 x+ 2 − 2 x− 2 + a 2 x+1 = 0,
a>0
(21.03.2011)
21. (a) Vereinfachen Sie durch entsprechende Umformungen:
ln(ln(x))
i. f (x) = x ln(x) . Bestimmen Sie den Definitionsbereich von f (x).
ii. f (x) = sin(arctan(x))
(b) Lösen Sie die Gleichung
aα+x + baβ−x = c,
a, c > 0
(25.07.2011)
22. (a) Bestimmen Sie alle Lösungen der Gleichung
2 cos2 (x) + sin2 (2x) − 2 = 0
34
(b) Berechnen Sie aus den drei Gleichungen
(a b)r = 3 , a−r =
1
1
, a r = 16
2
die drei positiven Zahlen a, b, r ∈ R+ .
(19.03.2001)
23. Bestimmen Sie jeweils alle Lösungen der Gleichungen
ln(x) ln(x)
3
4
25
+
=
(a)
4
3
12
(b) tan(x) + tan(2x) = 0
(30.07.2012)
24. (a) Bestimmen Sie alle Lösungen der Gleichungen
(i)
(ii)
2
log9 (3−x ) = −2
√
ln( x) = ln(32 ) − ln(3)
(b) Berechnen Sie aus den drei Gleichungen
(a b)r = 5 , a−r =
1
1
, a r = 16
2
die drei positiven Zahlen a, b, r ∈ R+ .
(22.02.2013)
25. (a) Vereinfachen Sie folgenden Ausdruck und bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich.
√
√ √
√
( x3 − 8)( x + 2) p 2
√
f (x) =
+ (x + 2)2 − 8x2
x + 2x + 2
(b) Bestimmen Sie die reellen Lösungen der Gleichungen
(i)
aex − be−x = 0, a, b > 0
(ii) e2x + ex − ln(e2 ) = 0
(iii) Zusatzaufgabe
2
2
(1 Punkt)
2
cosh(x) + sinh(x) − ln(e ) = 0
(c) Beweisen Sie:
2 sinh
x 2
2
= cosh(x) − 1
(22.02.2013)
26. (a) Die Funktion
1
y = ln
2
1+x
1−x
mit |x| < 1 ist Umkehrfunktion welcher Funktion?
(b) Welche Lösung besitzt die folgende trigonometrische Gleichung?
2(sin(x) + cos3 (x)) = − sin(x) · sin(2x)
(c) Zusatzaufgabe: Zeigen Sie, dass für jedes x ∈ R gilt:
cosh2 (x) − sinh2 (x) = 1
(18.02.2014)
35
27. (a) Zeigen Sie, dass für jedes x ≥ 1 gilt, dass
p
p
ln(x + x2 − 1) + ln(x − x2 − 1) = 0
(b) Zeigen Sie, dass
cosh2 (x) =
1
(cosh(2x) + 1)
2
(4.8.2014)
28. (a) Bestimmen Sie alle Lösungen der Gleichung:
ln(x)
1
ln(x)
+ (2)
=2
2
(b) Zeigen Sie, dass für jedes x ≥ 1 gilt:
p
p
ln(x + x2 − 1) + ln(x − x2 − 1) = 0
(c) Lösen Sie die folgenden Gleichung und geben Sie alle möglichen Lösungen an.
1
3
sin(x) − sin2 (x) =
2
2
(d) Zusatzaufgabe 1: Welche der folgenden Aussagen ist richtig?
Eine reelle Funktion f ist an der Stelle x stetig, wenn...
i. ... es für jedes δ > 0 ein ǫ > 0 gibt, so dass aus |x′ −x| < δ folgt |f (x′ )−f (x)| <
ǫ.
ii. ... es für jedes ǫ > 0 ein δ > 0 gibt, so dass aus |x′ −x| < δ folgt |f (x′ )−f (x)| <
ǫ.
iii. ... jede Folge < f (xn ) > von Funktionswerten konvergiert.
(e) Zusatzaufgabe 2: Welche der folgenden Gleichungen beschreibt einen Kreis?
Geben Sie gegebenenfalls den Mittelpunkt und den Radius an.
i.
ii.
iii.
iv.
x2 + y 2 − 4x − 8y − 5 = 0
x2 + y 2 + 2x − 4y + 20 = 0
x2 + y 2 − 4x + 6y = −20
x2 + y 2 − 6x + 10y = −18
(20.03.2015)
29. (a) Bestimmen Sie alle Lösungen der Gleichung:
xlg(x) + 100x− lg(x) − 20 = 0
(b) Lösen Sie die folgende Gleichung und geben Sie alle möglichen Lösungen an:
9x · 3x
2
+1
= (27x )x
(c) Lösen Sie die folgenden Gleichung und geben Sie alle möglichen Lösungen an.
2 cos2 (x) + sin2 (2x) − 2 = 0
(d) Zusatzaufgabe 1:
Welche Kegelschnitte werden durch die folgenden algebraischen Gleichungen dargestellt?
i. x2 + y 2 − 2x − 4y − 20 = 0
ii. x2 − y 2 − 4 = 0
(e) Zusatzaufgabe 2:
Bestimmen Sie das Bildungsgesetz der unendlichen Folge: < an >= 21 ; 43 ; 94 ; ...
(17.09.2015)
36
30. (a) Bestimmen Sie die Lösungen für x ∈ R der Gleichung
e2x+4 − 3ex · e2 = −2.
(b) Bestimmen Sie die Lösungen für x ∈ R der Gleichung:
1
1
+ ln( ) = 1.
ln(x)
x
(c) Zeigen Sie unter Verwendung der Eulerschen Formel:
sin(4x) = 4 sin(x) cos3 (x) − 4 sin3 (x) cos(x)
(22.2.2016)
37
2.5
Komplexe Zahlen
1. Bestimmen Sie Betrag und Phase sowie alle Quadratwurzeln der komplexen Zahl
z=
j3
2−j
+ (j − 1)2
(22.03.2001)
2. (a) Geben Sie die Bereiche in der komplexen Zahlenebene an, in denen ein Punkt z
liegen kann, der folgende Ungleichungen erfüllt:
π
π
< arg(z) ≤
4
4
p
√
4
2
(b) Bestimmen Sie alle Werte von −8 + 8j 3, j = −1.
2 < |z| ≤ 7 und −
(29.08.2001)
3. (a) z1 und z2 seien zwei komplexe Zahlen. Zeigen Sie, dass gilt:
z1 |z1 |
=
z2 |z2 | .
(b) Bestimmen Sie alle Werte von
1/6
1 1p
6j
, j 2 = −1.
− +
4 4
(04.03.2002)
4. (a) z1 und z2 seien zwei komplexe Zahlen. Zeigen Sie, dass gilt:
|z1 z2 | = |z1 ||z2 |.
(b) Bestimmen Sie durch explizite Rechnung alle Werte von
1/4
(1 + j)
, j 2 = −1.
in Polarform und kartesischer Form.
(30.08.2002)
5. (a) Geben Sie die Bereiche in der komplexen Zahlenebene an, in denen ein Punkt z
liegen kann, der folgende Ungleichungen erfüllt:
1 < |z| ≤ 2 und 0 < arg(z) ≤
(b) Bestimmen Sie alle Werte von
3π
4
p
√
−2 + 2j 3 − j, j 2 = −1.
6. (a) Bestimmen Sie alle Werte von
s
3
(21.03.2003)
(1 + j)2 2
, j = −1
1−j
in kartesischer Form.
(b) Welche Bedingungen muss ein Punkt z = x + jy der komplexen Zahlenebene
erfüllen, um sich innerhalb eines Kreises mit dem Mittelpunkt z0 = a + jb und
dem Radius r zu befinden?
(06.10.2003)
7. (a) Bestimmen Sie alle Lösungen der Gleichung
5
2 − 2j
z3 =
, j 2 = −1.
2 + 2j
38
(b) Berechnen Sie Real- und Imaginärteil von
π
− j ln(2) , j 2 = −1.
z = cot
4
Hinweis: Benutzen Sie die Eulersche Formel für sin(x) und cos(x).
(04.03.2004)
8. (a) Bestimmen Sie alle Lösungen der Gleichung
4
z =
3 − 3j
3 + 3j
9
, j 2 = −1.
(b) Berechnen Sie Real- und Imaginärteil von
z = tan(3 − j), j 2 = −1.
Hinweis: Benutzen Sie die Eulersche Formel für sin(x) und cos(x).
(30.07.2004)
9. (a) Bestimmen Sie alle Lösungen der Gleichung
z 6 + 2z 3 + 2 = 0, j 2 = −1.
(b) Berechnen Sie Real- und Imaginärteil von
π
z = tan
− j ln(3) , j 2 = −1.
4
Hinweis: Benutzen Sie die Eulersche Formel für sin(x) und cos(x).
(28.02.2005)
10. (a) Berechnen Sie Real- und Imaginärteil von
π
z = sin
+ j ln(2) , j 2 = −1.
2
Hinweis: Benutzen Sie die Eulersche Formel für sin(x) und cos(x).
(b) Bestimmen Sie alle Lösungen der Gleichung
z5 =
4 − 4j
4 + 4j
6
, j 2 = −1.
(29.08.2005)
11. (a) Berechnen Sie Real- und Imaginärteil von
z = sin(π + j ln(3)), j 2 = −1.
Hinweis: Benutzen Sie die Eulersche Formel für sin(x) und cos(x).
(b) Bestimmen Sie alle Lösungen der Gleichung
6
z =
3 − 4j
3 + 4j
3
, j 2 = −1.
(13.03.2006)
12. Betrachten Sie die komplexe Zahl
a=
2j 3
3 − 2j
, j 2 = −1.
+ (j + 2)2
(a) Berechnen Sie Real- und Imaginärteil sowie Betrag und Phase von a.
(b) Berechnen Sie sämtliche Lösungen der Gleichung z 4 = a und geben Sie diese in
kartesischer Darstellung an.
39
(28.2.2007)
13. (a) Berechnen Sie Real- und Imaginärteil sowie Betrag und Phase der komplexen
Zahl a,
1 − 2j
a=
, j 2 = −1.
3
2j + (j + 3)2
(b) Berechnen Sie sämtliche Lösungen der Gleichung
j
, j 2 = −1.
32
Geben Sie die Lösungen in kartesischer Darstellung an. Skizzieren Sie die Lage
der Zahl b und aller Lösungen der Gleichung in der Gauß’schen Zahlenebene.
z5 = b =
(13.08.2007)
14. (a) Berechnen Sie Real- und Imaginärteil sowie Betrag und Phase der komplexen
Zahl a,
1
4 − 2j
j 2 = −1.
a=
2 + 1+j,
3
4j + (2j + 1)
(b) Berechnen Sie sämtliche Lösungen der Gleichung
z 4 = b = 1 + j,
j 2 = −1.
Geben Sie die Lösungen in kartesischer Darstellung an. Skizzieren Sie die Lage
der Zahl b und aller Lösungen der Gleichung in der Gauß’schen Zahlenebene.
(26.02.2008)
15. (a) Berechnen Sie Real- und Imaginärteil sowie Betrag und Phase der komplexen
Zahl a,
4 − 2j
j
a=
j 2 = −1.
2 + 1 + 2j ,
4j 5 + (2j 3 + 1)
(b) Berechnen Sie sämtliche Lösungen der Gleichung
z 5 = b = 1 − 2j,
j 2 = −1.
Geben Sie die Lösungen in kartesischer Darstellung an. Skizzieren Sie die Lage
der Zahl b und aller Lösungen der Gleichung in der Gauß’schen Zahlenebene.
(05.08.2008)
16. (a) Berechnen Sie Real- und Imaginärteil sowie Betrag und Phase der komplexen
Zahl za ,
1−j
1
za =
j 2 = −1.
3 − 1−j,
3
3
3j + (1 − j )
(b) Berechnen Sie sämtliche Lösungen der Gleichung
z 4 = zb = 8 − 4j,
j 2 = −1.
Geben Sie die Lösungen in kartesischer Darstellung an. Skizzieren Sie die Lage
der Zahl zb und aller Lösungen in der Gauß’schen Zahlenebene.
(18.02.2009)
17. (a) Berechnen Sie Real- und Imaginärteil sowie Betrag und Phase der komplexen
Zahl a:
a=
2−j
j
+
,
j 3 + (1 + j)4
1−j
j 2 = −1
(b) Berechnen Sie sämtliche Lösungen der Gleichung
z2 = b = 1 +
p
−1 + j
Geben Sie die Lösungen in Polarkoordinaten und in kartesischer Darstellung an.
Skizzieren Sie die Lage von b und aller Lösungen der Gleichung in der Gauß’schen
Zahlenebene.
(8.3.2010)
40
18. (a) Berechnen Sie Real- und Imaginärteil sowie Betrag und Phase der komplexen
Zahl a:
a=
2+j
j
+
,
j 5 + 2(1 − j)3
1 − 2j
j 2 = −1
(b) Berechnen Sie sämtliche Lösungen der Gleichung
z2 = b = 1 + j −
p
−2 − j
Geben Sie die Lösungen in Polarkoordinaten und in kartesischer Darstellung an.
Skizzieren Sie die Lage von b und aller Lösungen der Gleichung in der Gauß’schen
Zahlenebene.
(23.08.2010)
19. (a) z1 , z2 ∈ C seien zwei komplexe Zahlen. Zeigen Sie, dass allgemein gilt:
z1 |z1 |
=
z2 |z2 |
(b) Berechnen Sie sämtliche Lösungen der Gleichung
√
z3 = b = 1 + j 3
Geben Sie die Lösungen in kartesischer Darstellung an. Skizzieren Sie die Lage
von b und aller Lösungen der Gleichung in der Gauß’schen Zahlenebene.
(21.3.2011)
20. (a) Welche Menge in der komplexen Ebene wird durch
π
3π
M = z 1 ≤ |z| < 2, ≤ arg(ϕ) <
4
4
beschrieben?
(b) Berechnen Sie sämtliche Lösungen der Gleichung
s
1−j
2
z =b=1+j 1+
1+j
Geben Sie die Lösungen in kartesischer Darstellung an. Skizzieren Sie die Lagen
von b und aller Lösungen der Gleichung in der Gauß’schen Zahlenebene.
(25.07.2011)
21. (a) Welche Menge in der komplexen Ebene wird durch
M = {z = x + jy ∈ C | |4z − 5j| ≤ Im(4z − 3j) ∩ |z + j| ≤ 4} , j 2 = −1
beschrieben? Bilden Sie dazu die Durchschnitssmenge der Mengen
M1 = {z ∈ C | |4z − 5j| ≤ Im(4z − 3j)} und M2 = {z ∈ C | |z + j| ≤ 4} ,
(b) Bestimmen Sie die Real- und Imaginärteile folgender komplexer Zahlen z = x+jy:
√ 7
i. z = 1 + 3j
2 + 3j
ii. z =
4 − 5j
iii. z 2 = 1 + j
(19.03.2012)
22. (a) Bestimmen Sie die Real- und Imaginärteile folgender komplexer Zahlen z = x+jy:
!5
1
√ i. z =
j 1 − 3j
41
1 + 3j
ii. z = 1 + j 3 ·
4 − 6j
1
iii. z = (1 − j) 3
(b) Welche komplexen Zahlen erfüllen die Gleichung |z + 1 + j| = |z − 1 − j| ?
(30.07.2012)
23. (a) Welche Figur in der komplexen Ebene wird durch
t jt
M = z = x + jy ∈ C | z =
e , t ∈ [0, 4π] , j 2 = −1
2π
beschrieben? Skizzieren Sie die Figur.
(b) Bestimmen Sie die Real- und Imaginärteile folgender komplexer Zahlen z = x+jy:
7
i. z = (3 + 3j)
2 − 3j
ii. z =
−4 + 5j
iii. z 2 = 1 + j
(22.02.2013)
24. (a) Welche Punktmenge in C wird durch folgende Ungleichungen festgelegt:
zz ∗ < 3(z + z ∗ ) + 1 und ℜ(z) > 1
Skizzieren Sie die Punktmenge in der Gauß’schen Zahlenebene
(b) Berechnen Sie Realteil, Imagnärteil und Betrag von z ∈ C, sowie z 2 und |z|2 .
1 − 2j
6−j
3 − 6j
+
z=
3+j
1+j
1+j
(c) Bestimmen Sie die Lösungen der Gleichung
√ !3
−1
+
j
3
z 4 + 2j
z = 0,
2
z∈C
(29.07.2013)
25. (a) Lösen Sie die quadratische Gleichung
z 4 + 4z 2 + 16 = 0
Wie lassen sich die Lösungen in der Gaußschen Zahlenebene deuten?
(b) Bestimmen Sie den Real- und Imaginärteil von
sin(
π
+ j ln(4))
6
(18.02.2014)
26. (a) Die Polynomfunktion f (z) = z 4 + 6z 3 + 10z 2 − 2z − 15 besitzt an der Stelle
z1 = −2 − j eine komplexe Nullstelle. Wo liegen die restlichen Nullstellen? Wie
lautet die Zerlegung des Polynoms in Linearfaktoren?
(b) Für welchen reellen Wert a gilt die folgende Gleichung?
3 − 7j
= a + 5j
z+z
Geben Sie alle komplexen Zahlen z an, für die diese dann gilt!
(c) Geben Sie eine komplexe Zahl an, für die
z + z = 10 und z · z = 100
gilt.
42
(d) Welche Werte nimmt die folgende Funktion f (z) mit dem komplexen Argument
z an?
|z| |z|
f (z) =
+
z
z
27. (a) Bestimmen Sie sämtliche Lösungen der Gleichung:
√
z 2 = (− 3 + j)3
(b) Welche Menge in der komplexen Ebene wird durch
M = {z ∈ C| |z + 2j| ≤ 3,
π
3π
≤ arg(φ) ≤
}
2
4
(c) Zeigen Sie:
sin(x − jy) = sin(x) cosh(y) − j cos(x) sinh(y)
(d) Zusatzaufgabe 1: Wie viele komplexe Zahlen zi gibt es, für die z 4 = 1 gilt?
i. Keine, da alle Lösungen reell sind
ii. Die einzigen Lösungen sind +1 und -1
iii. Es gibt mehr als zwei Lösungen
iv. Es gibt vier verschiedene Lösungen
(e) Zusatzaufgabe 2: Bestimmen Sie a, b ∈ R.
(2 + 3j) · (a + bj) = 13
(20.03.2015)
28. (a) Bestimmen Sie sämtliche Lösungen der Gleichung:
√
√
z 3 = (4 2 + 32j)2
(b) Zeige, dass
z=
3j 30 − j 19
=1+j
2j − 1
(c) Zusatzaufgabe
Bestimmen Sie a, b ∈ R so, dass (2 + 2j) · (a + bj) = 8j
(17.09.2015)
4
1+j
.
1−j
(b) Skizzieren Sie folgende Teilmengen der komplexen Ebene. Begründen Sie Ihre
Skizze.
√
i. M1 = {z ∈ C||z − j| = |z + j| = 2}
ii. M2 = {z ∈ C||1 − z| ≥ |1 + z|}
(c) Berechnen Sie sämtliche Lösungen der Gleichung
29. (a) Bestimmen Sie den Real- und Imaginärteil von z =
z 4 = −1 + j
Geben Sie die Lösung in der trigonometrischen Form an und zeichnen Sie die
Lösungen in die Gaußsche Zahlenebene ein. Was fällt Ihnen auf?
(d) Zusatzaufgabe
i. Welche Aussage ist richtig? Die Abbildung z 7→ jz ist
A. eine Spiegelung an der reellen Achse.
B. eine Spiegelung an der imaginären Achse.
C. eine Spiegelung an der ersten Winkelhalbierenden.
D. eine Drehung um π2 .
E. eine Drehung um π.
ii. Welches ist das Argument der komplexen Zahl (sin( π6 ) + j cos( π6 ))8 ?
A. π6
B. 2π
3
C. 4π
3
D. 8π
3
(22.2.2016)
43
Kapitel 3
Mathematik 2
3.1
Differentialrechnung
Berechnen Sie die erste Ableitung der folgenden Funktionen nach der Variablen x. Vereinfachen Sie Ihr Ergebnis so weit wie möglich.
p
1. f (x) = cos(x) xcos(2x) + x ln(x)
(07.08.2001)
p
2. f (x) = sin(x) xsin(3x) + x exp(x)
(04.04.2002)
3. f (x) = x4 cot(x4 ) + x2 arctan( x1 )
(09.08.2002)
4. f (x) = x3 cot(x5 ) + x3 arccot( x12 )
(27.03.2003)
5. f (x) = sinh(x3 ) ln2 (ax) + cos(x2 ) tan(x2 ), a reell
(10.10.2003)
6. f (x) = x5 coth(2x) ln(bx) − sin(x4 ) cot(x4 ), b reell
(07.04.2004)
7. f (x) = xa sinh(4x) exp(ax) − cos2 (x2 ) tan(x2 ), a reell
(06.08.2004)
8. f (x) = xa cosh(−ax) exp(−3x) − sin2 (x4 ) cot(x4 ), a reell
(07.03.2005)
9. f (x) = xb cos(4ax) exp(−ax) − sinh3 (x2 ) coth(x2 ), a, b reell
(26.07.2005)
10. f (x) = xb tan(x3 ) − x4 · arccot( x12 ), b reell
(01.03.2006)
11. f (x) = xb sin(4bx) exp(−ax2 ) − sinh3 (x4 ) coth(x4 ), a,b reell
p
12. f (x) = exp( ln(ax)) + sin(bx)xtan(x) , a,b reell
(05.03.2007)
14. f (x) = cos(x) ln(x)sin(x) + cos(ex cos(x3 ))
(03.03.2008)
13. f (x) = exp((ln(ax))2 ) + cot(x sin(x2 )),
n
15. f (x) = sin(x) arctan(x)x + ecos(x)e
a reell
x3
2
17. f (x) = cos(x)ecos(bx) + sin(sin(sin(x)2 ))
18. f (x) = cos(x) (tan(x))ln(x ) + esin(x) cot(x
19. f (x) = sin(x2 ) sin(x2 ) cos(x
2
)−1
+√
(20.08.2007)
(16.06.2008)
16. f (x) = cos(x2 )(2x)cos(2x) + cos(tan(x2 ) cos(x2 ))
2
(21.06.2007)
2
(05.03.2009)
)
sinh(x)
cosh(x) e sinh(x)
20. f (x) = sin(x2 ) ecos(ax) ln(bx)−bx + sin(cos((ex )2 ))
p
n ln(c x2 )
21. f (x) = cos( sin(ax)) + cos(bx) ee
)
√
n
2
22. f (x) = sin( x) cot(x2 ) ex + cos(esin(x ) )
p
23. f (x) = sin(x2 ) asin(bx) ln(cx) + cos(ln((ex )2 )), a,b,c ∈ R+
44
(28.07.2008)
(06.07.2009)
(25.08.2009)
(09.03.2010)
(02.06.2010)
(26.08.2010)
(22.03.2011)
24. f (x) = sinh (tanh (ln (2 x))) +
q
√
a cos a x + eax ,
a∈R
Hinweis: Prüfen Sie, ob Vereinfachungen möglich sind.
25. f (x) = cosh (ln(a tanh(b sin(x)))) + cos 1 − sin2 (x) bcos(bx)
(15.06.2011)
a,b ∈ R+ (02.08.2011)
26. Berechnen Sie die zweite Ableitung der Funktion f (x) nach der Variablen x:
q
2
f (x) = e x + ln (x)
Vereinfachen Sie Ihr Ergebnis so weit wie möglich!
(02.02.2012)
27. Betrachten Sie die Funktion
f (x) = tan arcsin x2
1√
2.
2
Welchen Wert hat f (x0 ) an der Nullstelle von t(x) : t(x0 ) = 0 ? Schätzen Sie diesen
Wert ab.
(15.06.2012)
Bestimmen Sie die Tangente t(x) an die Funktion f (x) im Punkt x =
28. Betrachten Sie die Funktion
f (x) = sin arctan
!!
√
1 − x2
,x>0
x
(a) Bestimmen Sie die Sekante, die durch die Kurvenpunkte bei x = 0 und x = 1
geht.
(b) In welchem Punkt berührt die Tangente mit der gleichen Steigung wie diese Sekante die Funktion f (x)?
(c) In welchen Punkten schneidet diese Tangente die x- und die y-Achse?
(22.08.2012)
29. Betrachten Sie die Funktion
y = f (x) = ea ln(x)+b , a, b ∈ R
Bestimmen Sie die Parameter a und b so, dass die Steigung der Funktion bei x = e
den Wert 10 hat und ihre Krümmung dort verschwindet. Skizzieren Sie die Funktion
und finden Sie eine Erklärung für Ihr Ergebnis.
(28.02.2013)
30. (a) Betrachten Sie den Kreis mit dem Radius R = 2 um den Koordinatenursprung
y 2 + x2 = 4
Bestimmen Sie im ersten Quadranten die vier regelmäßig angeordneten Tangenten an den Kreis, die, fortgesetzt auf alle vier Quadranten, den Kreis durch ein
regelmäßiges 12-Eck approximieren.
Wie groß ist die maximale radiale Abweichung des 12-Ecks von der Kreislinie?
(Hinweis: Skizzieren Sie zunächst zum Überblick den Kreis mit dem ihn umschreibenden 12-Eck. Beginnen Sie dazu das Zeichnen des Polygons mit der waagerechten Tangente durch den Punkt P (0|2). Betrachten Sie dann für die Rechnung nur noch den 1. Quadranten.)
(b) Zusatzaufgabe Sei f (x) = arcsin(x). Was ist der Wert von f ′ (0)?
a) π
b) 1
d) 0
e) keiner von diesen
c)
1
2
(12.06.2013)
45
31. (a) Bestimmen Sie die Zahlen a, b und c so, dass für die Funktion
f (x) = (1 + x) ln(a + b x2 + c x3 )
gilt:
f (1) = 1, f (2) = 0. f (0) + f ′ (0) = 1.
√
(b) Betrachten Sie die Wurzelfunktion f (x) = 1 + x im II. Quadranten der (x, y)Ebene (x < 0, y > 0).
Bestimmen Sie den Auflagepunkt P (x0 , y0 ) der Tangenten an f (x) so, daß die
Strecke zwischen der Nullstelle der Tangenten und ihrem Schnittpunkt mit der
y-Achse minimal wird.
Hinweise:
a) Statt der Länge der Strecke können Sie auch deren Quadrat minimieren
b) Beachten Sie, dass die x-Werte möglicher Extrema im Definitionsbeeich von
f (x) liegen müssen.
(c) Alternativ- oder Zusatzaufgabe: Zeigen Sie, dass für x > 0 gilt:
p
x
√
< ln(x + 1 + x2 ) < x
1 + x2
Hinweis: Nutzen Sie den 1. Mittelwertsatz der Diffentialrechnung im Intervall
(0, x)
(12.08.2013)
32. (a) Gegeben ist die Funktionenschar
f (x) = a · (1 − x) · eb·(1−x)
mit a, b ∈ R
Bestimmen Sie Parameter a und b so, dass die Funktion im Punkt P (3| − 6e−1 )
eine horizontale Tangente hat.
(b) Gegeben ist die Funktion
g : [0; ∞[→ R
g(x) =
4 − 2x
x+1
Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes C auf dem Graphen von g so, dass
die Normale des Graphen von g parallel zur 1. Winkelhalbierenden ist.
(c) Zusatzaufgabe (Antworten Sie ohne Begründung)
Sei f (x) = 2e−x . Bestimmen Sie die 5. Ableitung:
a) f (5) (x) = −32e−x
2e−x
b) f (5) (x) = −2e−x
c) f (5) (x) = 32e−x
d) f (5) (x) =
(20.02.2014)
33. (a) Gegeben sei die durch a parametrisierte Funktionenschar fa (x) = ax3 + x mit
a ∈ R. An diese Kurvenschar werden in deren Schnittpunkten mit der Geraden
x = x0 die Tangenten gelegt. Zeigen Sie, dass sich alle Tangenten der Kurvenschar im gleichen Punkt schneiden.
(b) Für welche reellen Werte von a schneiden sich die Graphen von y =
rechtwinklig?
x2
a
und y =
a
x2
(c) Zusatzaufgabe :
Bestimmen Sie die Ableitung der Umkehrfunktion von f (x) = tan(x)
(11.06.2014)
34.
wie 28.
(11.08.2014)
46
35. (a) Wo besitzt die Funktion f (x) = ln(1, 5 − cos2 (x)) waagerechte Tangenten?
Geben Sie 4 Kurvenpunkte an.
4
(b) An den Graphen der Funktion f (x) = x+1
wird die Tangente im Punkt P (u|f (u))
gelegt. Sie schneidet die y-Achse im Punkt Q. Die Punkte P, Q und der Ursprung
O bilden ein Dreieck. Bestimmen Sie die Koordinaten von P so, dass der Flächeninhalt einen maximalen Inhalt hat.
(c) Zusatzaufgabe :
2
Berechnen Sie die Ableitung von f (x) = cos(x)ecos(bx ) + sin(sin(sin(x3 )))
(23.02.2015)
36. (a) Bestimmen Sie alle Punkte des Graphen der Funktion f (x) =
Tangente den Winkel 135◦ mit der x-Achse bildet.
x+2
x−2
in welchen die
(b) Zeigen sie mit Hilfe des Mittelwertsatzes
ln(x) < x − 1
für alle x > 1.
(c) Gegeben sei die nichtlineare Funktion y = 12 (1 − u)2 . Zeichnen Sie zunächst die
Funktion im Intervall u = [0; 3]. Linearisieren Sie die Funktion im Punkt u = 2
und zeichnen Sie die linearisierte Funktion in den obigen Graphen ein. Berechnen
Sie für u = 2, 1 den Wert von y mit Hilfe der nichtlinearen und der linearisierten
Funktion. Wie groß ist der Fehler?
(d) Zusatzaufgabe: Berechnen Sie explizit die erste Ableitung von
f (x) = cos(x) ln(x)sin(x) + cos(ex cos(x3 ))
(12.06.2015)
37. (a) Linearisieren Sie die Funktion y =
π2
in der Umgebung der Stelle x0 = π
sin(x) − x
2
(b) Gegeben ist die Funktionenschar fa : R → R; x 7→ 2ax · e2−ax mit a ∈ R\{0}.
i. Bestimmen Sie den Parameter so, dass der Graph von fa im Ursprung die
Steigung 21 e2 hat.
ii. Zeigen Sie, dass alle Extrempunkte der Schar auf einer Hyperbel liegen und
geben Sie deren Funktionsgleichung an.
iii. Zeigen Sie, dass der Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen jeder Scharfunktion fa und der x-Achse über dem Intervall [0, ∞[ endlich ist und nicht
von a abhängt.
(c) Gegeben ist die Funktion
g : [0; ∞[→ R
g(x) =
4 − 2x
x+1
Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes C auf dem Graphen von g so, dass
die Normale des Graphen von g parallel zur 1. Winkelhalbierenden ist.
(d) Zusatzaufgabe
i. Berechnen Sie die erste Ableitung der folgenden Funktion nach der Variablen
x, a, b, c ∈ R+ .
p
f (x) = sin(x2 ) · asin(bx) ln(cx) + cos(ln((ex )2 ))
ii. Berechnen Sie mit Hilfe des Satzes über die Ableitung der Umkehrfunktion
1
von f (x) = 2x
für x > 0.
(03.09.2015)
38. (a) Sei f (x) = ae−bx mit a, b > 0. Bestimmen Sie den Schnittpunkt der Tangente an
f (x) bei x = 0 mit der x-Achse.
47
(b) Bestimmen Sie die Zahlen a, b und c so, dass für die Funktion:
f (x) = (1 + x) ln(a + bx2 + cx3 )
gilt:
f (1) = 1, f (2) = 0, f (0) + f ′ (0) = 1
(22.2.2016)
48
3.2
Grenzwerte
Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte:
ln(x)
1. lim cos(x)−1
x
(07.08.2001)
x→0+
2. lim
x→0+
sin(x)−x
2x2
ln( sin(x)
)
x
x→0+ cos(x)−1
ln2 (x)
(04.04.2002)
3. lim
(09.08.2002)
sin(3x)−3x
x→0+ x(cos(2x)−1)
4. lim
(27.03.2003)
5. Für welche reellen Werte von a existiert der Grenzwert
lim x(cos(2x)−1)
ln(x)
,
sin(4x)−ax
x→0+
und für welche(n) Wert(e) existiert er nicht?
(10.10.2003)
6. lim
x→0+
7. lim
x→0+
1
x
−
1
sin(x)
ln(1−cos(x))
ln(x)
8. (a) lim
x→0+
(07.04.2004)
(06.08.2004)
ln(sin(x))
ln(x)
(b) lim (sin(x))
sin(x)
x→π
(07.03.2005)
ln(x−sin(x))
ln(x)
(26.07.2005)
10. lim
sin(x2 )
x sin(x)
(01.03.2006)
11. lim
ln(2x−sin(2x))
ln(x)
(05.03.2007)
9. lim
x→0+
x→0+
x→0+
x sin(ax)
x→0+ 1−cos(bx)
(21.06.2007)
12. lim
13. lim
x(1−cos(ax))
,
sin(bx3 )
14. lim
x(x−sin(ax))
1−cos(bx)
x→0
x→0
a, b reell
,
(20.08.2007)
a, b reell
cos(ax)−1
bx
−bx )
x→0 x(2x−e +e
15. lim
,
(03.03.2008)
a, b reell
(16.06.2008)
16. Für welchen Wert des reellen Parameters a existiert der folgende Grenzwert?
Berechnen
Sie den Grenzwert
für diesen Wert von a.
1
lim x12 − cos(ax)−1
, a reell
(28.07.2008)
x→0
17. lim
x→0
18. lim
x→0
19. lim
x→0
ln(1−cos(2x))
ln(ax)
1
x sin(x)
x (x−tan(a x))
1−cos(b x)
,
,
a reell
(05.03.2009)
a, b 6= 0 ,reell.
(06.07.2009)
− cot2 (x)
(25.08.2009)
20. limπ cos(x)cos(2x) + 1
(09.03.2010)
x→ 2
1−cos(x)2
2
x→0 sin(ax )
21. lim
,
a 6= 0, reell.
(03.06.2010)
22. lim x1 ( x1 − cot(x))
(26.08.2010)
x→0
49
x
−1
sin
2
23. lim sin(x)
(22.03.2011)
24. Berechnen
Sie den Grenzwert:
1
2
lim x2 + cos(x)−1
(15.06.2011)
x→π
x→0
25. lim
x→0
1
sin(x)
+
1
ln(1−x)
26. lim [ln(x) ln(1 − x)]
x→1
27. lim
x→∞
x ln
a x+1
a x−1
sin(x+x3 )−x
3
3
x→0 sin(x ) cos(x )
28. lim
,
(02.08.2011)
(02.02.2012)
(15.06.2012)
a∈R
(22.08.2012)
29. Bestimmen Sie auf geeignete Weise den Grenzwert
lim tanh(c ln(x)), c ∈ R in Abhängigkeit des Parameters c.
x→0
(28.02.2013)
30. Berechnen Sie den Grenzwert
1
)f (x) mit
lim (1 + f (x)
x→∞
ii) f (x) = ex ,
i) f (x) = x,
iii) f (x) = coth(x)
(12.06.2013)
√
1− cos(x)
√
x→0 1−cos( x)
31. lim
32. lim
x→1
1
ln(x)
34.
1
1−x
(20.02.2014)
eax −(1+x)a−1
x
x→0
3x
lim 2x+1
2x
x→∞
33. (a) lim
(b)
+
(12.08.2013)
(11.06.2014)
wie 28.
(11.08.2014)
35. Berechnen Sie den folgenden Grenzwert:
2
ex − x2 − 1
2
x→0 (ex − 1)x2
lim
(23.02.2015)
36. (a) Die Tangentensteigung der Kardiode r = 1 + cos(φ), mit 0 ≤ φ ≤ 2π wird nach
der Formel
y ′ (φ) =
−2 cos2 (φ) − cos(φ) + 1
sin(φ) + sin(2φ)
berechnet. Wie verläuft die Tangente an der Stelle φ = π bzw. wie groß ist dort
ihre Steigung?
(b) Berechnen Sie den Grenzwert
1
lim x +
x→∞
ln(1 − x1 )
(c) Zusatzaufgabe :
Bestimmen Sie a, b ∈ R so, dass die Funktion
(
x2 + 41 x falls x ≤
f (x) =
ax + b falls x > 12
1
2
differenzierbar ist.
(12.06.2015)
50
37. Berechnen Sie den folgenden Grenzwert:
lim (ln(x))
x−1
x→1
(03.09.2015)
38. Berechnen Sie den folgenden Grenzwert:
x
lim (x − π) tan( )
2
x→π
(22.2.2016)
51
3.3
Integrale
1. Berechnen Sie explizit folgende Integrale
Z
A=
5
cosh (x)dx, B =
Z
Z
3
x ln(2x) ln(3b)dx, C =
x2 + 2x + 29
dx
x3 + 4x2 + 29x
(07.08.2001)
2. Berechnen Sie explizit folgende Integrale
A=
Z
sinh5 (2x)dx, B =
Z
x2 ln(3x) ln(4a)dx, C =
Z
x2 + 2x + 28
dx
x3 + 6x2 + 28x
(04.04.2002)
3. Berechnen Sie explizit folgende Integrale
A=
Z
dx
q
, B=
x 9 + 16 ln2 (x)
Z
1
ln(ln(x))dx, C =
x
Z
x3 + x − 1
dx
(x2 + 1)(x − 1)
(09.08.2002)
4. Berechnen Sie explizit folgende Integrale
A=
Z
dx
q
, B=
x 4 − 8 ln2 (x2 )
Z
3
2
x ln (x)dx, C =
Z
x3 + x − 1
dx
(x2 − 4)(x + 1)
(27.03.2003)
5. Berechnen Sie explizit folgende Integrale
A=
Z
cos(x) dx
, B=
1 − cos(x)
Z
sin(ln(x))dx, C =
Z
x3 + x2 + x + 1
dx
x3 + x2 + x
(10.10.2003)
6. Berechnen Sie explizit folgende Integrale
A=
Z
∞
exp(−4x2 + ln(x))dx, B =
0
Z
x ln2 (4x)dx, C =
Z
1
dx
1 + x3
(07.04.2004)
7. Berechnen Sie explizit folgende Integrale
A=
Z
0
π/2
sin(x) cos(x)
dx, B =
1 + sin(x)
Z
sin(x) ln(cos2 (x))dx, C =
Z
6x3 + 8x + 4
dx
(x2 + 16)(x2 + 36)
(06.08.2004)
52
8. Berechnen Sie explizit folgende Integrale
A=
Z
x
√
dx, B =
2
x +x−1
Z
exp(−δt) cos(ωt)dt, C =
Z
3x + 5
dx
(x − 1)(x + 5)(x + 7)2
(07.03.2005)
9. Berechnen Sie explizit folgende Integrale
A=
,
Z
Z
(exp(2x) + 3) exp(x)
dx
dx, B =
(exp(2x) + 16)(exp(2x) + 32)
sin(x) + 2 cos(x)
Z
2x − 1
dx
C=
(x + 1)(x + 3)(x2 + 16)
(26.07.2005)
10. Berechnen Sie explizit folgende Integrale
A=
Z
√
x
dx, B =
2
x − 4x + 7
Z
exp(−δt) sin(ωt)dt, C =
Z
2x + 4
dx
(x + 2)(x + 3)(x2 + 36)
(01.03.2006)
11. Berechnen Sie explizit folgende Integrale
A=
Z
dx
, B=
sin(2x) + 2 cos(x)
Z
x
dx, C =
cos2 (x)
Z
2x − 1
dx
(x + 2)(x + 4)(x2 + 9)
(05.03.2007)
12. Berechnen Sie explizit folgende Integrale
A=
Z
sin(x)dx
, B=
cos(x) + sin(2x)
Z
x
dx, C =
sin2 (x)
Z
x3 − x2 + 1
dx
(x − 2)(x − 1)(x2 + 2x + 2)
(21.06.2007)
13. Berechnen Sie explizit folgende Integrale
Z
Z
dx
A=
dx, B = cos(ln(x))dx,
sin(x) + cos(x) + 1
C=
Z
x3 + x2 + x + 2
dx
x3 + 2x2 + x
(20.08.2007)
14. Berechnen Sie explizit folgende Integrale
Z
Z
cos(x)
x
A=
dx, B =
dx,
sin(x) − cos(2x)
(tan(x))2
C=
Z
(x2
x−1
dx
− 1)(x + 1)(x2 + 4)
(03.03.2008)
15. Berechnen Sie explizit folgende Integrale
Z
Z
A = x2 cos(x3 ) sin(2x3 )dx, B =
π/2
cos(x) ln(3 sin(x)n )dx
π/4
(16.06.2008)
53
16. Berechnen Sie explizit folgende Integrale
A=
Z
x sin(x2 )
dx,
cos(2x2 )
Z
C=
B=
Z
π/2
sin(x) ln((1 + cos(x))3 )dx
π/4
x2 − 1
dx
(x2 − 4)(x + 1)(x2 + 9)
(28.07.2008)
17. Berechnen Sie explizit folgende Integrale
A=
Z
Z ln(2)
x2 cos(x3 )
dx,
B
=
cosh(x) ln((1 + sinh(x))2 )dx
sin(x3 ) + 1
0
Z
2x3 − 3x2 + 1
C=
dx
(x2 + 2x + 4)(x − 1)(x2 − 9)
(05.03.2009)
18. Berechnen Sie explizit folgende Integrale
A=
Z
√
2π
x sin(x2 ) cos(2x2 ) dx,
B=
0
19. Berechnen Sie explizit folgende Integrale
Z √ 2
Z 2
x cos(x)
x +4
A=
dx,
B
=
dx
x3
sin3 (x)
Z
C=
x arctan(x)
√
dx
1 + x2
(06.07.2009)
Z
x3
x4 + 1
dx
− x2 + x − 1
(25.08.2009)
20. Berechnen Sie explizit folgende Integrale
Z
Z
Z
√
√
3 cos(x) + 7 sin(x)
x3 − 2 x2 + 4
A=
dx B = ln 1 − x + 1 + x dx C =
dx
5
5 cos(x) + 2 sin(x)
x − 4 x4 + 4 x3
(09.03.2010)
21. Berechnen Sie explizit folgende Integrale
A=
Z
0
π/2
sin(2x) cos(x)
dx,
1 + cos(x)
B=
Z
ln(2)
0
sinh(x) ln 1 + cosh(x)2 dx
Es dürfen nur die Grundintegrale aus dem Skript verwendet werden.
(03.06.2010)
22. Berechnen Sie explizit folgende Integrale
Z
Z
Z
p
cos(x)
x5 + 1
A=
dx B = ln x + 1 + x2 dx C =
dx
cos(x) + sin(x)
x6 + x4
Es dürfen nur die Grundintegrale aus dem Skript verwendet werden.
(26.08.2010)
23. Berechnen Sie explizit folgende Integrale
Z
Z
Z
x3 − 2 x2 + 1
tan(x)
A=
dx B = cosh(x) ln(1 + ex ) dx C =
dx
5
1 + tan(x)
x − 3 x4 + 3 x3 − x2
Es dürfen nur die Grundintegrale aus dem Skript verwendet werden.
54
(22.03.2011)
24. Berechnen Sie explizit (nur die Rückführung auf Grundintegrale ist erlaubt, keine
Formelsammlung) folgende Integrale
A=
Z
0
∞
1
dx,
sinh(x) + 3 cosh(x)
B=
Z
x
dx
sinh2 (x)
Bevor Sie das Integral A berechnen, überlegen Sie, was das Ergebnis sein könnte.
Skizzieren Sie Ihre Überlegungen.
(15.06.2011)
25. Berechnen Sie explizit folgende Integrale
Z
Z
Z
1
x3 + 2 x2 + x − 3
bx
A=
dx,
B
=
x
sin(a
x)
e
dx,
C
=
dx
x3 − 3 x2 + 4 x − 2
a2 sin2 (x) + b2 cos2 (x)
(02.08.2011)
a, b ∈ R
26. Berechnen Sie explizit folgende Integrale
Z
Z
Z
x2 − x − 2
3
2 sin(x)
dx
C
=
dx
A = tan (x) dx, B = x
cos3 (x)
x5 − 5x4 + 9x3 − 9x2 + 8x − 4
(02.02.2012)
27. Berechnen Sie die Integrale
A=
Z
B=
Z
√
1−3 x
√ dx,
1+3 x
1
0
3
x2 ln x3
dx
Begründen Sie das numerische Ergebnis von B mathematisch exakt!
28. Berechnen Sie die Integrale
A=
Z
4x
√
dx
2
1 − x (3 + x2 )
B=
Z
x2 ln(
p
4
x2 + 1) dx
(15.06.2012)
(22.08.2012)
29. Berechnen Sie das uneigentliche Integral
C=
Z∞
−∞
1
e3x
dx
1 + ex
(22.08.2012)
30. Berechnen Sie explizit folgende Integrale
Z
1
A=
cot3 (a ln(bx)) dx, a, b ∈ R,
x
B=
Z
12x3 + 36
√
dx
5
3x + 2
(28.02.2013)
31. Berechnen Sie explizit das folgende Integral
Z 4
x + 5 x3 + 16 x2 + 26 x + 22
C=
dx
x3 + 3 x2 + 7 x + 5
und als Alternative oder als Zusatzaufgabe (3 Punkte) berechnen Sie:
Z
1
C=
dx
1 + x4
Hinweis und Vorschlag: Bestimmen Sie hier zunächst die komplexen Nullstellen des
Nenner und faktorisieren Sie ihn dann in zwei reelle Polynome 2. Grades als Grundlage
für die PBZ.
(28.02.2013)
55
32. (a) Berechnen Sie die Integrale
A=
Z
B=
Z
p
sin(2x) 2 cos(x) − 1 dx
√
cos( x) dx
(b) Zusatzaufgabe
i. Sei f (x) = arcsin(x). Was ist der Wert von f ′ (0)?
a) π
b) 1
c)
d) 0
e) keiner von diesen
1
2
ii. f (x) sei eine stetige Funktion mit folgenden Eigenschaften:
f ′′ (x) = cos(x), f ′ (π) = 2 und f (0) = 4. Welchen Wert hat f (π)?
a) 2
b) 2π
d) 6 + 2π
e) 0
c) π + 2
iii. Welcher der folgenden Ausdrücke liefert die Fläche zwischen den Kurven
y = x2 und y = 2x?
Z 2
Z 2
Z 0
Z 2
a)
(x2 − 2x)dx
b)
(2x − x2 )dx
c)
(x2 − 2x)dx +
(2x − x2 )dx
−2
2
Z
d) −2
2
(x − 2x)dx
−2
−2
0
e) keiner von diesen
Rx
iv. Es sei F (x) = 0 f (t)dt mit f (t) aus der nebenstehenden Abbildung. Welche
der folgenden Aussagen sind richtig?
1
x
−5
−4
−3
−1
−2
0
1
0
I. F (−2) > F (−4)
II. F (2) > F (1)
III. F (0) > 0
IV. F (−1) = 0
−1
−2
y
−3
−4
a) nur I. ist richtig
d) nur I. und II. sind richtig
b) nur II. ist richtig
e) nur II. und IV. sind richtig
c) nur III. ist richtig
f ) keine ist richtig
v. Welches der folgenden Integrale berechnet den Rauminhalt des Körpers, der
durch Rotation des durch die Kurven y = x2 und y = x im Intervall [0, 1]
begrenzten Gebiets um die x-Achse entsteht?
Z 1
Z 1
Z 1
π(x2 − x4 )2 dx
a)
π(x2 − x4 )dx
b)
π(x − x2 )2 dx
c)
d)
Z
0
0
0
1
√
π( y − y)dx
vi. Das Integral
R ln √3
0
ex
1+e2x dx
e)
Z
0
0
1
π(y − y 2 )dx
hat den Wert
a) ln 2
b) 1
π
4
e) 0
d)
56
c)
π
12
(12.06.2013)
33. (a) Berechnen Sie die Integrale
A=
Z
9
0
B=
Z
q
√
4 − x dx
2
x3 ex
dx
(1 + x2 )2
(b) Alternativ- oder Zusatzaufgabe
i. Gegeben seien folgende Integrale:
Z 1
Z 0
(1)
x dx
(2)
x dx
0
−1
(3)
Z
1
x2 dx
−1
(4)
Z
1
x3 dx
−1
In welchen Fällen entspricht der Wert des Integrals dem Flächeninhalt der
vom Funktionsgraphen und der x-Achse über dem Integrationsbereich eingeschlossenen Fläche?
A.
B.
C.
D.
E.
in allen Fällen
nur in (3)
in (1) und (2)
in (1) und (3)
in (1), (2) und (4)
ii. Welche Stammfunktion hat das Integral J =
a)
sin(x3/2 )
+C
x3/2
2
b) cos( √ ) + C
x
Z
√
cos( x)
√
dx
x
2
c) sin( √ ) + C
x
√
d) cos( x) + C
√
e) 2 sin( x) + C
(12.08.2013)
34. Berechnen Sie das Integral
C =4
Z
1+x
dx
x4 + 2x2 + 1
(12.08.2013)
35. (a) Berechnen Sie explizit folgende Integrale
Z
1
p
dx
A=
2
cos (x) · tan(x)
B=
C=
Z
Z
x·
cos(x)
dx
sin3 (x)
5x2 − 7x + 20
dx
x3 − 3x2 + 12x − 10
(b) Zusatzaufgabe (Antworten Sie ohne Begründung)
Rb
Für welchen Wert von b > 0 gilt: 0 ( 31 x3 − x) dx = 0?
a) 1
b)
√
3
c) 2
d)
√
6
(20.02.2014)
36. (a) Berechnen Sie die Integrale
√
3
R √
1− 4 x
√
A=
dx
x
R
B = (1 − x2 ) cot(x) sin(x)x dx
57
(b) Zusatzaufgabe :
Berechnen Sie das Volumen des Drehkörpers, der entsteht, wenn die Fläche zwischen den Graphen der Funktionen f (x) = 4 und g(x) = x2 über dem Intervall
I = [0; 4] Fläche um die x−Achse rotiert.
(11.06.2014)
37.
wie 28.
(11.08.2014)
38.
wie 29.
(11.08.2014)
39. Berechnen Sie explizit folgende Integrale. Lösen Sie dabei das Integral A mit Hilfe
von Substitution und das Integral C mit Partialbruchzerlegung.
Z
x5
dx
A=
1 + x4
B=
Z
e
C=
Z
x5
dx
1 + x4
√
x+1
dx
(23.02.2015)
40. Berechnen Sie explizit folgende Integrale
Z √π
A=
x · sin(x2 ) · cos(2x2 ) dx
0
B=
Z
x2 · cos(x)
dx
sin3 (x)
(12.06.2015)
41. Berechnen Sie explizit folgende Integrale
Z
x · arcsin(x2 )
√
A=
dx
1 − x4
B=
C=
Z
Z
artanh(x) dx
x2 − x − 2
dx
x5 − 5x4 + 9x3 − 9x2 + 8x − 4
(03.09.2015)
42. Berechnen Sie explizit folgende Integrale.
Z π6
sin(x) · sin(2x)
A=
dx
1 + sin(x)
0
B=
C=
Z
Z
x · ln2 (8x3 ) dx
2
dx
x4 + 2x3 + 2 + x
(22.2.2016)
58
3.4
Taylorreihen
1. Entwickeln Sie für die Funktion
f (x) =
1 − cos(x)
x
durch Reihenentwicklung eine Näherungsformel, deren Fehler im Intervall |x| ≤ 1
kleiner als 0.001 ist. Sie können zur Lösung bekannte Taylorreihen verwenden.
(07.08.2001)
2. Entwickeln Sie für die Funktion
f (x) =
x − sin(x)
x3
durch Reihenentwicklung eine Näherungsformel, deren Fehler im Intervall |x| ≤ 0.5
kleiner als 0.001 ist. Sie können zur Lösung bekannte Taylorreihen verwenden.
(04.04.2002)
3. Bestimmmen Sie genügend viele Glieder der Taylor-Reihe der Funktion
1
f (x) = √
1 + x5
um die Funktion an der Stelle x = 0.5 auf sechs Dezimalstellen genau auszuwerten.
(09.08.2002)
4. Bestimmmen Sie genügend viele Glieder der Taylor-Reihe der Funktion
f (x) = √
3
1
1 + x5
um die Funktion an der Stelle x = 0.5 auf sechs Dezimalstellen genau auszuwerten.
Berechnen Sie damit den Wert von f (x) an dieser Stelle mit dieser Genauigkeit.
(27.03.2003)
5. Entwickeln Sie für die Funktion
f (x) =
1 − cos(x)
2x2
durch Reihenentwicklung eine Näherungsformel, deren Fehler im Intervall |x| ≤ 0.7
kleiner als 1.5 · 10−4 ist. Sie können zur Lösung bekannte Taylorreihen verwenden.
(10.10.2003)
6. Entwickeln Sie das folgende Integral durch Reihenentwicklung des Integranden bis zur
vierten Dezimale genau:
2
Z π/6 sin(2x)
I=
dx.
x
0
Sie können bekannte Taylor-Reihen unter Angabe der Quelle und der dort angegebenen
Formel benutzen. Begründen Sie Ihr Ergebnis durch eine Fehlerabschätzung.
(07.04.2004)
7. Entwickeln Sie das folgende Integral durch Reihenentwicklung des Integranden bis zur
dritten Dezimale genau:
Z 0.6
I=
x exp(−x2 )dx.
0
Sie können bekannte Taylor-Reihen unter Angabe der Quelle und der dort angegebenen
Formel benutzen. Wie viele Terme der Taylor-Reihe benötigen Sie? Begründen Sie Ihr
Ergebnis durch eine Fehlerabschätzung.
(06.08.2004)
59
8. Entwickeln Sie das folgende Integral durch Reihenentwicklung des Integranden auf
sechs Dezimalen genau:
Z 0.9
sin(−x2 )
dx.
I=
x
0
Sie können bekannte Taylor-Reihen unter Angabe der Quelle und der dort angegebenen
Formel benutzen. Wie viele Terme der Taylor-Reihe benötigen Sie? Begründen Sie Ihr
Ergebnis durch eine Fehlerabschätzung.
(07.03.2005)
9. Entwickeln Sie das folgende Integral durch Reihenentwicklung des Integranden bis zur
vierten Dezimale genau:
Z
0.9
I=
x tanh(−x2 )dx.
0
Sie können bekannte Taylor-Reihen unter Angabe der Quelle und der dort angegebenen
Formel benutzen. Wie viele Terme der Taylor-Reihe benötigen Sie? Begründen Sie Ihr
Ergebnis durch eine Fehlerabschätzung und vergleichen Sie die Fehlerabschätzung mit
dem tatsächlichen Fehler.
????
(26.07.2005)
10. Bestimmmen Sie genügend viele Glieder der Taylor-Reihe der Funktion
x
(1 + x4 )1/3
f (x) =
um die Funktion an der Stelle x = 0.6 auf fünf Dezimalstellen genau zu berechnen. Wie
viele Terme der Taylor-Reihe benötigen Sie? Begründen Sie Ihr Ergebnis durch eine
Fehlerabschätzung und vergleichen Sie die Fehlerabschätzung mit dem tatsächlichen
Fehler.
(01.03.2006)
11. Berechnen Sie das folgende Integral durch Reihenentwicklung des Integranden bis zur
vierten Dezimale genau:
Z 0.5
I=
x2 tanh(−2x2 )dx
0
Sie können bekannte Taylorreihen unter Angabe der Quelle und der dort angegebenen
Formel benutzen. Wie viele Terme der Taylorreihe benötigen Sie? Begründen Sie Ihr
Ergebnis durch eine Fehlerabschätzung und vergleichen Sie die Fehlerabschätzung mit
dem tatsächlichen Fehler.
(05.03.2007)
12. Berechnen Sie das folgende Integral durch Reihenentwicklung des Integranden auf eine
Genauigkeit von 1 × 10−9 :
I=
Z
0.5
0
1 − cos(x2 )
dx
x4
Sie können bekannte Taylorreihen unter Angabe der Quelle und der dort angegebenen
Formel benutzen. Wie viel Terme der Taylorreihe benötigen Sie? Begründen Sie Ihr
Ergebnis durch eine Fehlerabschätzung.
(20.08.2007)
13. Berechnen Sie das folgende Integral durch Reihenentwicklung des Integranden auf eine
Genauigkeit von 1 × 10−7 :
I=
Z
π/3
x sin(−x2 )dx
0
Sie können bekannte Taylorreihen unter Angabe der Quelle und der dort angegebenen
Formel benutzen. Wie viele Terme der Taylorreihe benötigen Sie? Begründen Sie Ihr
60
Ergebnis durch eine Fehlerabschätzung.
Berechnen Sie den exakten Wert des Integrals und vergleichen Sie es mit Ihrem Ergebnis. Wie groß ist der wirkliche Fehler? (0.5 Zusatzpunkte).
(03.03.2008)
14. Berechnen Sie das folgende Integral durch Reihenentwicklung des Integranden auf eine
Genauigkeit von 1 × 10−9 :
I=
Z
π/4
x2 (1 − cos(−x3 ))dx
0
Sie können bekannte Taylorreihen unter Angabe der Quelle und der dort angegebenen
Formel benutzen. Wie viele Terme der Taylorreihe benötigen Sie? Begründen Sie Ihr
Ergebnis durch eine Fehlerabschätzung.Wie groß ist der exakte Fehler? Vergleichen Sie
ihn mit Ihrem Ergebnis und kommentieren Sie!
(28.7.2008)
15. Berechnen Sie das folgende Integral durch Reihenentwicklung des Integranden auf eine
Genauigkeit von 1 × 10−7 :
I=
Z
0.5
√
4
0
x3
dx
1 + x3
Sie können bekannte Taylorreihen unter Angabe der Quelle und der dort angegebenen
Formel benutzen. Wie viele Terme der Taylorreihe benötigen Sie? Begründen Sie Ihr
Ergebnis durch eine Fehlerabschätzung.
(05.03.2009)
16. Berechnen Sie die Reihenentwicklung des folgenden unbestimmten Integrals unter Benutzung bekannter Taylorreihen:
I(x) =
Z
e−x
dx
x3
Berechnen Sie nun das das bestimmte Integral
I=
Z
0.2
0.1
e−x
dx
x3
auf eine Genauigkeit von 1×10−4. Wie viele Terme der Reihenentwicklung des Integrals
benötigen Sie? Begründen Sie Ihr Ergebnis durch eine Fehlerabschätzung. (25.08.2009)
17. Berechnen Sie die ersten 5 Terme der Reihenentwicklung des folgenden unbestimmten
Integrals unter Benutzung bekannter Taylorreihen:
Z p
I(x) =
cos(x) dx
Berechnen Sie nun das das bestimmte Integral
I=
Z
π/6
0
p
cos(x) dx
auf eine Genauigkeit von 1×10−3. Wie viele Terme der Reihenentwicklung des Integrals
benötigen Sie? Begründen Sie Ihr Ergebnis durch eine möglichst exakte Fehlerabschätzung.
(09.03.2010)
18. Berechnen Sie die ersten 6 Terme der Reihenentwicklung des folgenden unbestimmten
Integrals unter Benutzung bekannter Taylorreihen:
Z
x2
√
I(x) =
dx
3
1 + x5
61
Berechnen Sie nun das das bestimmte Integral
Z 0.4
x2
√
dx
I=
3
1 + x5
0
auf eine Genauigkeit von 1 × 10−10 . Wie viele Terme der Reihenentwicklung des Integrals benötigen Sie? Begründen Sie Ihr Ergebnis durch eine möglichst exakte Fehlerabschätzung.
(26.08.2010)
19. Berechnen Sie ein Polynom Pn (x) als Näherungsfunktion für die Funktion
sin(x)
,
1 + cos(x)
f (x) =
die diese im Intervall I = [0, 2] mit einer absoluten Genauigkeit von ǫ = 0.1 approximiert.
Wie viele Terme der Reihenentwicklung benötigen Sie? Begründen Sie Ihr Ergebnis
durch eine möglichst exakte, zumindest mit einer heuristischen Fehlerabschätzung.
Sie dürfen dazu bekannte Taylorreihen unter Angabe der Quelle und der verwendeten
Formel verwenden.
(22.03.2011)
20. Berechnen Sie das Integral
J =
Z
2
3
cos(x) e−x dx
0
mit Hilfe einer Reihenentwicklung auf eine Genauigkeit von 5 Dezimalstellen. Führen
Sie eine Fehlerabschätzung durch und vergleichen Sie Ihr Ergebnis mit dem tatsächlichen Fehler.
Sie dürfen dazu bekannte Taylorreihen unter Angabe der verwendeten Formel verwenden.
(02.08.2011)
21. Berechnen Sie ein Polynom P4 (x) vom Grad 4 als Näherungsfunktion für die Funktion
f (x) = (1 + x)2 ln(1 + x)
Zeigen Sie, dass der Fehler ǫ(x) = |f (x) − P4 (x)| des Polynoms im Intervall x ∈ [0, 0.1]
1
kleiner ist als 10−6 .
(02.02.2012)
3
22. Berechnen Sie das Taylor’sche Näherungspolynom 2. Ordnung, P2 (x), der Funktion
f (x) = ln 1 + sin(x)
um den Entwicklungspunkt x0 = 0 und zeigen Sie, dass gilt
|f (x) − P2 (x)| ≤ 2 · 10−4 für x ∈ [0, 0.1]
Bemerkung: Sollten Sie das Leibnitz-Kriterium verwenden wollen, so müßten Sie zunächst zeigen, dass die Taylorreihe von f (x) alternierend ist.
(22.08.2012)
23. Betrachten Sie die Funktion
f (x) =
1
4+x
(a) Bestimmen Sie die allgemeine Form der Mac Laurin’schen Reihe (Taylor Reihe
um x = 0) von f (x) und berechnen Sie deren Konvergenzradius.
(b) Bestimmen Sie die allgemeine Form der Taylor Reihe von f (x) um x = 1 und
berechnen Sie deren Konvergenzradius.
(c) Bestimmen Sie die allgemeine Form der Taylor Reihe von g(x) = ln(x + 4) um
x = 1 und berechnen Sie deren Konvergenzradius.
(d) Gibt es für die von Ihnen gefundenen Konvergenzradien eine gemeinsame Erklärung? Wenn ja, welche?
62
(28.02.2013)
1
1+x
24. Betrachten Sie die Funktion f (x) =
(a) Berechnen Sie explizit (ohne Formelsammlung) die allgemeine Form der beiden
Taylorreihen um die Entwicklungspunkte x0 = 0 und x0 = 2 und bestimmen Sie
deren Konvergenzradien.
(b) Beide Reihen sollen approximiert werden durch die ersten vier Terme der jeweiligen Taylorreihe. Schätzen Sie dazu nur die Fehler der beiden Approximationen
ab, die am Punkt x = 1 zu erwarten sind. (Berechenen Sie nicht den Wert der
Approximation!). Erklären Sie ihr Ergebnis.
(c) Berechnen Sie die allgemeine Form der McLaurin’schen Reihe der Funktion ln(1+
x)
(d) Alternativ- oder Zusatzaufgabe
i. Welche der folgenden Potenzreihen stellt die Funktion f (x) =
a) 1 + x2 + x4 + x6 + x8 + ... b)
d) x2 + x4 + x6 + x8 + ...
x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 + ...
x2
dar?
1 − x2
c) x2 + x3 + x4 + x5 + ...
x2 − x4 + x6 − x8 + ...
e)
ii. Welche der folgenden Funktionen hat die Taylorreihen- Entwicklung
x4
x5
x6
xn+3
+
+
+ ... +
+ ...
2!
3!
4!
(n + 1)!
a) − 3 sin(x) + 3x2
− cos(x2 ) + 1
b)
2
d) ex − x2 − 1
x2 ex − x3 − x2
e)
c) − x2 cos(x) + x2
(12.08.2013)
25. Berechnen Sie von
f (x) = x · sin(x)
das Taylorpolynom um die Stelle x0 = π bis zur dritten Ordnung.
(20.02.2014)
26.
wie 22.
(11.08.2014)
27. (a) Bestimmen Sie für die Funktion f (x) = x · (1 + e−x ) die ersten vier zum Entwicklungspunkt x0 = 0 gehörenden Taylor-Polynome. Skizzieren Sie ihre Graphen und
den Graphen von f (x) über dem Intervall −1 ≤ x ≤ 4. Welche Abschätzung für
f (1) − T3 (1) erhält man aus der Restgliedformel von Lagrange?
(b) Zusatzaufgabe
In der Taylorreihe um x0 = 0 der Funktion
Z
2
ex − 1
dx
x
ist der Koeffizient vor x6 :
i)
1
4
ii)
1
6
iii)
1
8
iv)
1
18
v)
1
36
oder vi)
1
48
?
(23.02.2015)
28. (a) Bestimmen Sie das Taylorpolynom 4. Grades um die Entwicklungsstelle x0 = 1
1
für die Funktion f (x) = , x ∈ (0, 5; 1, 5).
x
(b) Schätzen Sie den Betrag des Restgliedes R4 (x, x0 ) für x0 = 1 durch 2 ab.
(03.09.2015)
63
√
29. (a) Um den Wert 1, 1√
zu berechnen, verwendet Ihr Taschenrechner ein Taylor- Polynom von f (x) = 1 + x für x0 = 0. Machen Sie es ihm nach, indem Sie das
Taylor-Polynom von f (x) bis zur 4. Ordnung berechnen und dann 0, 1 einsetzen.
Genügen die Terme aus, um den Wert auf 5 Dezimalen genau zu berechnen?
(b) Zusatzaufgabe In der Taylorreihe um x0 = 0 der Funktion
Z
cos(x) − 1
dx
x2
ist der Koeffizient vor x3 :
i)
1
4
ii)
1
6
iii)
1
72
iv)
1
180
v)
1
3600
64
oder vi)
1
48
?
(22.2.2016)
3.5
Fourierreihen
1. Zeichnen Sie die folgende Funktion der Periode T = 8 und berechnen Sie ihre FourierReihe:
2 − t für −4 ≤ t ≤ 0
f (t) =
t − 6 für 0 ≤ t ≤ 4
(24.03.1998)
2. Berechnen Sie die Fourier-Reihe der folgenden Funktion der Periode
T = 2π:
f (t) = A exp(t), t ∈ [0, 2π]
Geben Sie das Amplitudenspektrum bis f = 5ω an.
(xx.xx.xxxx)
3. Berechnen Sie die Fourier-Reihe der folgenden der Periode T = 6:
f (t) =
−t − 4 für
−4 + t für
−3 ≤ t ≤ 0
0≤t≤3
Fertigen Sie zunächst eine Zeichnung der Funkton an und geben Sie das Linienspektrum (erste 5 Spektrallinien) an.
(Sept. 2000)
4. Berechnen Sie die Fourier-Reihe der folgenden Funktion mit der Periode T = 4:
1
−t − 4 für −2 ≤ t ≤ 0
f (t) =
−4 + t für 0 ≤ t ≤ 2
8
Fertigen Sie eine Zeichnung der Funktion an, berechnen Sie die Fourierkoeffizienten
und geben Sie explizit das Linienspektrum der ersten vier Spektrallinien an.
5. Berechnen Sie die Fourier-Reihe der folgenden Funktion mit der Periode T = 2:
1
−t3 − 1 für −1 ≤ t ≤ 0
f (t) =
−2 + t3 für 0 ≤ t ≤ 1
4
Fertigen Sie eine Zeichnung der Funktion an, berechnen Sie die Fourierkoeffizienten
und geben Sie explizit das Linienspektrum der ersten vier Spektrallinien an.
(27.03.2003)
6. Berechnen Sie die Fourierreihe der Funktion
f (t) =
1
(t − π)2 ,
π
0 ≤ t < 2π,
die periodisch auf die Menge der reellen Zahlen fortgesetzt wird.
Fertigen Sie eine Zeichnung der Funktion an, berechnen Sie die Fourierkoeffizienten und
geben Sie die Fourierreihe an. Welche Werte haben die ersten vier Fourierkoeffizienten?
(20.08.2007)
7. Berechnen Sie die Fourierreihe der Funktion
1
f (t) = (t − 1)2 − ,
2
0 ≤ t < 2,
die periodisch mit der Periode T = 2 auf die die Menge der reellen Zahlen fortgesetzt
wird.
Fertigen Sie eine Zeichnung der Funktion an, berechnen Sie die allgemeine Form der
Fourierkoeffizienten an und bn und geben Sie die Fourierreihe an. Welche Werte haben
die ersten vier Fourierkoeffizienten von an und bn ?
(28.07.2008)
65
8. Berechnen Sie die Fourierreihe der Funktion
f (t) = t cos(t),
−π ≤ t < π,
die periodisch mit der Periode T = 2π auf die die Menge der reellen Zahlen fortgesetzt
wird.
Fertigen Sie eine Skizze der Funktion an, berechnen Sie die allgemeine Form der Fourierkoeffizienten an und bn und geben Sie die Fourierreihe an. Welche Werte haben die
ersten vier Fourierkoeffizienten von an und bn ?
(25.08.2009)
9. Berechnen Sie die Fourierreihe der Funktion
f (x) = sinh(ax),
−π ≤ x < π,
a ∈ R,
die periodisch auf die Menge der reellen Zahlen fortgesetzt wird.
Fertigen Sie eine Zeichnung der Funktion an, berechnen Sie die Fourierkoeffizienten und
geben Sie die Fourierreihe an. Skizzieren Sie das Spektrum der periodischen Funktion
für die ersten fünf Fourierkoeffizienten.
(26.08.2010)
10. Gegeben sei die periodische Funktion f (t) der Periode T = π
f (t) =
1 π
− sin(t),
2
4
0≤t≤π
• Bestimmen Sie die zugehörige Kreisfrequenz ω und berechnen Sie die Fourierreihe
von f (t)
• Berechnen und vergleichen Sie die Integrale
Z
2 π 2
J1 =
f (t) dt
π 0
(
)
Z
5
2 π
a0 X
J2 =
f (t)
+
an cos(nωt) + bn sin(nωt) dt
π 0
2
n=1
Kommentieren und erklären Sie die unterschiedlichen Werte der beiden Integrale!
Bemerkung: Sie dürfen Integraltafeln benutzen!
66
(02.08.2011)
3.6
Gewöhnliche Differentialgleichungen
1. Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der gewöhnlichen Differentialgleichung
y ′′ (x) − 3y ′ (x) = (3x + 2) exp(3x) + sin(3x)
Wie lautet die Lösungsschar, die durch den Punkt P (x = 0, y = 1) geht?
(07.08.2001)
2. Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der gewöhnlichen Differentialgleichung
y ′′ (x) − 2y ′ (x) = (2x + 2) exp(3x) + cos(3x)
Gibt es eine Lösungsschar, die durch den Punkt P (x = 0, y = 2) geht? Wenn ja, geben
Sie diese an!
(04.04.2002)
3. Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der gewöhnlichen Differentialgleichung
y ′′ (x) − 2y ′ (x) + y(x) = (2x + 2) exp(x) + 2 sin(x) + cos(3x)
Wie lautet die Lösungsschar, die die Bedingung y ′ (0) = 1 erfüllt?
(10.10.2003)
4. Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der gewöhnlichen Differentialgleichung
y ′′ (x) − 2y ′ (x) + 2y(x) = cos(x) exp(x) + x exp(−x).
Wie lautet die spezielle Lösung zu den Anfangsbedingungen
y(0) = 0, y ′ (0) = 1?
(07.04.2004)
5. Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der gewöhnlichen Differentialgleichung
y ′′ (x) + 3y ′ (x) − 4y(x) = x exp(x) + sin(x).
Wie lautet die spezielle Lösung zu den Anfangsbedingungen
y(0) = 0, y ′ (0) = 0?
(06.08.2004)
6. Bestimmen Sie die homogene und die allgemeine Lösung der gewöhnlichen Differentialgleichung
√
y ′′ (x) + 2y ′ (x) + 3y(x) = x + exp(−x) sin( 2x).
Wie lautet die Lösungsschar zu den Anfangsbedingungen
y(0) = 0, y ′ (0) = beliebig?
(07.03.2005)
7. Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der gewöhnlichen Differentialgleichung
y ′′ (x) + 4y ′ (x) + y(x) = sin(x) + sinh(2x).
Wie lautet die spezielle Lösung zu den Anfangsbedingungen
y(0) = 0, y ′ (0) = 0?
(26.07.2005)
67
8. Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der gewöhnlichen Differentialgleichung
y ′′ (x) − 6y ′ (x) + 5y(x) = sin(x) + exp(5x).
Wie lautet die spezielle Lösung zu den Anfangsbedingungen
y(0) = 0, y ′ (0) = 0?
(01.03.2006)
9. Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der gewöhnlichen Differentialgleichung
y ′′ − 3y ′ + 2y = cos(2x) + sinh(2x)
Wie lautet die spezielle Lösung zu den Anfangsbedingungen
y ′ (0) = 1, y(0) = 1?
(05.03.2007)
10. Berechnen Sie die allgemeine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung
y ′′ (x) + 2y ′ (x) + 2y(x) = (x + 1) sin(x)
Bestimmen Sie die spezielle Lösung zu den Anfangsbedingungen y(0) = 1, y ′ (0) = 1.
(03.03.2008)
11. Gegeben ist die Differentialgleichung (DGl)
y ′′ (t) + 2y ′ (t) = (t + 1)e−2t + sin(2t)
Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der homogenen und der inhomogenen Differentialgleichung. Wie lautet die spezielle Lösung der DGl zu den Anfangsbedingungen
y(0) = 1, y ′ (0) = 0. Gibt es eine Lösungsschar, die durch den Punkt y(t = 0) = 0
geht? Wenn ja, bestimmen Sie sie.
(6.1.2009)
12. Betrachten Sie die Differentialgleichung (DGl)
2y ′′ (t) + 3y ′ (t) + y(t) = (t − 2)e−t + 3 cos(t) − sin(t)
Bestimmen Sie mittels geeigneter Ansätze für die Lösungsfunktion die allgemeine Lösung der homogenen und der inhomogenen DGl. Wie lautet die spezielle Lösung der
DGl zu den Anfangsbedingungen y(0) = 0, und y ′ (0) = 1. Gibt es eine Lösungsschar,
die die Anfangssteigung y ′ (0) = 0 besitzt? Wenn ja, bestimmen Sie diese. (27.02.2009)
13. Berechnen Sie die allgemeine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung
y ′′ (x) + 2y ′ (x) + y(x) = 2ex − 2 cos(x)
Bestimmen Sie die spezielle Lösung zu den Anfangsbedingungen y(0) = 1 und y ′ (0) =
1.
(05.03.2009)
14. Bestimmen Sie mittels geeigneter Ansätze die allgemeine Lösung der Differentialgleichung (DGL)
y ′′ (t) + 3y ′ (t) + 2y(t) = (2t + 1)e−2t − 20 cos(−2t)
Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der homogenen und der inhomogenen DGL. Wie
lautet die spezielle Lösung der DGL zu den Anfangsbedingungen y(0) = 0, y ′ (0) = 1.
Gibt es Lösungen, die durch den Punkt y ′ (t = 0) = 1 gehen? Wenn ja, bestimmen Sie
diese.
(05.01.2010)
68
15. Betrachten Sie die Differentialgleichung (DGl)
2y ′′ (t) − 3y ′ (t) − 2y(t) = 50 (t − 1)e−t/2 + 68 cos(2t)
Bestimmen Sie mittels geeigneter Ansätze für die Lösungsfunktion die allgemeine Lösung der homogenen und der inhomogenen DGl. Wie lautet die spezielle Lösung der
DGl zu den Anfangsbedingungen y(0) = 1, und y ′ (0) = 0. Gibt es Lösungen, die die
zur Zeit t = 0 die Steigung y ′ (0) = 1 besitzen? Wenn ja, bestimmen Sie diese.
(02.03.2010)
16. Gegeben ist die Differentialgleichung (DGl)
y ′′ (x) − 2 y ′ (x) + 5 y(x) = ex (cos(2x) + 1)
Bestimmen Sie die allgemeine Losung der homogenen und der inhomogenen Differentialgleichung. Wie lautet die spezielle Losung der DGl zu den Anfangsbedingungen
y(0) = 1, y ′ (0) = 1? Gibt es Lösungen, die durch den Punkt y(0) = 0 geht? Wenn ja,
bestimmen Sie diese.
(09.03.2010)
17. Betrachten Sie die Differentialgleichung
y ′ (x) − tan(x) y(x) + 2 sin(x) = 0
(a) Bestimmen und diskutieren Sie die allgemeine Lösung.
(b) Bestimmen und diskutieren Sie die speziellen Lösungen zu y(0) = 0 und y(0) = 1.
(15.01.2011)
18. Gegeben ist die Differentialgleichung (DGl)
x x
2 y ′′ (x) + 2 y ′ (x) + y(x) = e− 2 cos(x) + cos
2
Bestimmen Sie die allgemeine Losung der homogenen und der inhomogenen Differentialgleichung. Wie lautet die spezielle Losung der DGl zu den Anfangsbedingungen
1
1
1
y(0) = − , y ′ (0) =
? Gibt es Lösungen, die durch den Punkt y ′ (0) = gehen?
6
12
3
Wenn ja, bestimmen Sie diese.
(22.03.2011)
19. Betrachten Sie die folgende lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten
y ′′ + 2y ′ + 1 + ω 2 y = ekt cos(ωt), k, ω ∈ R
(a) Bestimmen Sie für k = −1 und jeweils für ω = 0 und ω = 2 die allgemeine Lösung yh (t) der zugehörigen homogenen Differentialgleichung und geben Sie
die jeweiligen Ansätze für die speziellen Lösungen ysp (t) an.
(b) Es sei nun k = 0.
Geben Sie für beliebiges ω 6= 0 einen Ansatz für die spezielle Lösung ysp (t) an.
Berechnen Sie eine spezielle Lösung und geben Sie die allgemeine Lösung der
Differentialgleichung an.
1
(c) Berechnen Sie die spezielle Lösung zu den Anfangsbedingungen y(0) =
1 + 4ω 2
und y ′ (0) = 0.
(10.1.2012)
20. Gegeben ist die Differentialgleichung (DGl)
tan(x) y ′ (x) + 1 + tan2 (x) y(x) = tan(x)
für
π
x ∈ 0,
2
Bestimmen Sie die allgemeine Losung der homogenen und der inhomogenen Differentialgleichung. Wie lautet die spezielle Losung der DGl mit lim y(x) = 0? (02.02.2012)
x→0+
69
21. Betrachten Sie die Differentialgleichung (DGl)
d2
d
y(t) + a1 y(t) + a0 y(t) = s(t)
dt2
dt
(3.1)
mit zunächst unbekannten Koeffizienten a1 und a0 und unbekannter Inhomogenität
s(x). Die beiden Funktionen
y1 (t) = sin(t) + 2 et
y2 (t) = sin(t) + et − e−t
seien Lösungen dieser DGl.
(a) Bestimmen Sie mit dieser Information die unbekannten Größen der Differentialgleichung (3.1),
(b) die allgemeine Lösung der Differentialgleichung und
(c) die spezielle Lösung zu den Anfangsbedingungen y(0) = 3 und y ′ (0) = 2.
22. (a) Bestimmen Sie die Lösung des Anfangswertproblems
ty ′ =
1
,
y+1
y(0) = 0
Für welche Werte von t ist die Lösung definiert?
(b) Betrachten Sie das folgende Anfangswertproblem mit dem reellen Parameter a
y ′′ − 2y + y ′ = eat ,
y(0) = 0, y ′ (0) = 0
i. Bestimmen Sie die Lösung für a 6= 1
ii. Bestimmen Sie die Lösung für a = 1
iii. Zeigen Sie, dass sich die Lösung aus (ii) sich als Grenzfall der Lösung aus (i)
ergibt.
(28.02.2013)
23. (a) Betrachten Sie die Differentialgleichung y ′ (t) − 2 t y(t) = 0
i. Lösen Sie die Differentialgleichung zur Anfangsbedingung y(0) = 1.
ii. Bestimmen Sie mit Hilfe eines Polynoms P4 (t) 4. Grades in t als Lösungsansatz die Koeffizienten der Potenzreihe der Lösung der DGl bis zur Ordnung
t4 .
iii. Vergleichen Sie ihr Ergebnis mit der Taylorreihe der exakten Lösung aus
Teilaufgabe (i).
(b) Lösen Sie das Anfangswertproblem
y ′′ (t) − 5y ′ (t) + 6y(t) = 2te3t , y(0) = 0, y ′ (0) = 0
.
(c) Alternativ- oder Zusatzaufgabe
i. Die Lösung der inhomogenen Differentialgleichung 2y ′ (x) + 3y(x) = e−x ist:
a)Ae−1,5x + e−x
b)Ae−1,5x + xe−x
c)Ae1,5x + e−x
d)Ae1,5x + xe−x
ii. Die Bewegung einer an einer Feder aufgehängten Masse werde beschrieben
durch das Anfangswertproblem
y ′′ + γy ′ + y = 0
y(0) = 1, y ′ (0) = 0
und
q werde gelöst durch eine aperiodische Schwingung der Quasi-Frequenz
5
4 . Welchen Wert hat γ?
a) 1
b) 2
d) 4
e) 5
70
c) 3
1
f)
2
iii. Für welchen Wert von ω schwingt das System 2y ′′ + 16y = 3 cos(ωt) in
Resonanz?
√
√
a) 8
b) 2
c) 8
r
r
1
1
f)
d) 4
e)
8
2
iv. y(t) sei die Lösung des Anfangswertproblems y ′ = y − 1 + e2t , y(0) = 1.
Dann ist der Wert von y(1)
a) − 3e + 1 + e2
b) − 2e + 1 + e2
d) 1 + e2
e) e2
c) − e + 1 + e2
f ) e + 1 + e2
(12.08.2013)
24. Gegeben ist die folgende Differentialgleichung:
y ′′ (x) + y(x) = 2 cos(x) + x
(a) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der homogenen und inhomogenen Differentialgleichung.
(b) Wie lautet die spezielle Lösung der Differentialgleichung zu den Anfangsbedingungen y(π) = 2π und y ′ (π) = π?
(20.02.2014)
25.
wie 21.
(11.08.2014)
26. (a) Gegeben ist die folgende Differentialgleichung.
y ′ (x) +
2
2x2 − 1
y(x) = e−x · ln(x)
x
Geben Sie die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung an. Wie lautet die
Lösung der inhomogenen Gleichung, für die y(1) = 1 gilt?
(b) Lösen Sie das folgende Schwingungsproblem:
y ′′ + 6y ′ + 8y = − cos(3t) − 18 sin(3t)
mit y(0) = −2 und y ′ (0) = 0. Wie lautet die sogenannte stationäre Lösung, die
sich nach Ablauf der Einschwingphase einstellt?
(23.02.2015)
27. (a) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung von
y ′ + 4y =
x + 6 −4x
·e
x−2
(b) Gegeben ist die folgende Differentialgleichung
y ′′ (t) + 8y ′ (t) + 7y(t) = 8t · e−7t + cos(t)
i. Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der homogenen und inhomogenen Differentialgleichung.
ii. Wie lautet die spezielle Lösung der Differentialgleichung zu den Anfangsbe32
dingungen y(0) = 0 und y ′ (0) = − 225
?
(c) Zusatzaufgabe
i. Gegeben ist eine lineare und homogene Differentialgleichung, welche y : x 7→
sin(x) als Lösung besitzt. Welche der folgenden Aussagen ist richtig?
A. x 7→ cos(x) ist ebenfalls eine Lösung.
B. x 7→ sin(2x) ist ebenfalls eine Lösung.
C. x 7→ 2 sin(x) ist ebenfalls eine Lösung.
D. x 7→ sin(x) + 2x ist ebenfalls eine Lösung.
71
ii. Welche der folgenden Differentialgleichungen ist linear?
A. (y ′ − 2)2 = y
y
1
y′
+
= 2
2
1−x
1+x
x
2xy
C. y ′ = 2
x + y2
B. y ′′ +
D. y ′′ + y ′ + y 2 = 0
E. y = xy ′ + (y ′ )2
(03.09.2015)
28. (a) Gegeben ist die folgende Differentialgleichung:
2
y ′ (x) + 2x · y(x) − e−x = x
Geben Sie die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung an. Wie lautet die
Lösung der inhomogenen Gleichung, für die y(0) = 1 gilt?
(b) Lösen Sie die folgende Differentialgleichung
y ′′ (x) + 3y ′ (x) = x · e−x
mit y(0) = 1 und y ′ (0) = 2.
(22.2.2016)
72
Kapitel 4
Mathematik 3
4.1
Laplacetransformation
1. Berechnen Sie explizit aus der Definitionsgleichung der Lapacetransformation die Laplacetransformierte F (s) folgender Funktionen f (t) (Sie dürfen Integraltafeln benutzen)
sin(t) für 0 ≤ t ≤ π
a) f(t) =
b) f(t) = t3 exp(−2t).
t
für
t≥π
Für welchen Wertebereich der Laplacevariablen s existieren die Laplacetransformierten
in a) und b) ?
(14.03.1998)
2. Berechnen Sie unter Anwendung geeigneter Sätze zur Laplace - Transformation die
inverse Laplacetransformierte der Funktion
F (s) =
2s + 3
.
s2 − 2s + 5
(14.03.1998)
t
3. Berechnen Sie die Faltung f (t) = t ∗ e und deren Laplacetransformierte F (s) =
L {t ∗ et }.
(14.03.1998)
4. Berechnen Sie explizit aus der Definitionsgleichung der Lapacetransformation die Laplacetransformierte F (s) der Funktionen f (t) (Sie dürfen Integraltafeln benutzen)
sin(t) für 0 ≤ t ≤ π/2
a) f(t) =
b) f(t) = t3 exp(−5t).
1
für
t ≥ π/2
Für welchen Wertebereich der Laplacevariablen s existieren die Laplacetransformierten
in a) und b) ?
(01.03.2002)
5. Berechnen Sie explizit ausgehend von der Definitionsgleichung der Laplacetransformation die Laplacetransformierte F (s) folgender Funktion f (t). Sie dürfen Integraltafeln
unter Angabe der Quelle und der benutzten Formel benutzen
f (t) = t · cosh(2t) · exp(−2t)
Für welchen Wertebereich der Laplacetransformierten s ist die Laplacetransformierte
definiert? Begründen Sie Ihre Antwort!
(02.08.2007)
6. Bestimmen Sie mit einem geeigneten Verfahren die Originalfunktion f (t) der Laplacetransformierten F (s):
1−s
F (s) = 2
(s + 4)(s − 2)
(02.08.2007)
73
7. Berechnen Sie explizit ausgehend von der Definitionsgleichung der Laplacetransformation die Laplacetransformierte F (s) folgender Funktion f (t). Sie dürfen Integraltafeln
unter Angabe der Quelle und der benutzten Formel benutzen
f (t) =
t cos(2t + π)
t
für
für
0≤t≤π
t≥π
Für welchen Wertebereich der Laplacevariablen s ist die Laplacetransformierte F (s)
definiert? Begründen Sie Ihre Antwort!
(08.01.2008)
8. Bestimmen Sie mit geeigneten Verfahren die Originalfunktion f (t) der Laplacetransformierten F (s):
4s − 6
· e−4(s−1)
F (s) = 2
s + 4s + 13
(08.01.2008)
9. Berechnen Sie explizit ausgehend von der Definitionsgleichung der Laplacetransformation die Laplacetransformierte F (s) folgender Funktion f (t). Sie dürfen Integraltafeln
unter Angabe der Quelle und der benutzten Formel benutzen
f (t) = t2 · cosh(t + b) · exp(t), b reell
Für welchen Wertebereich der Laplacetransformierten s ist die Laplacetransformierte
definiert? Begründen Sie Ihre Antwort!
(12.03.2008)
10. Bestimmen Sie mit einem geeigneten Verfahren die Originalfunktion f (t) der Laplacetransformierten F (s):
1 − 2s
F (s) =
(2s2 + 4)(s2 − 1)
(12.03.2008)
11. Berechnen Sie explizit ausgehend von der Definitionsgleichung der Laplacetransformation die Laplacetransformierte F (s) folgender Funktion f (t). Sie dürfen Integraltafeln
unter Angabe der Quelle und der benutzten Formel benutzen
f (t) = t · sinh(2t − b) · exp(at − b), a, b reell
Für welchen Wertebereich der Laplacetransformierten s ist die Laplacetransformierte
definiert? Begründen Sie Ihre Antwort!
(05.08.2008)
12. Bestimmen Sie mit einem geeigneten Verfahren die Originalfunktion f (t) der Laplacetransformierten F (s):
1 + s + s2 + s3
F (s) = 2
(s + 9)(2s2 − 1)
(05.08.2008)
13. Berechnen Sie explizit ausgehend von der Definitionsgleichung der Laplacetransformation die Laplacetransformierte F (s) folgender Funktion f (t). Sie dürfen Integraltafeln unter Angabe der Quelle und der benutzten Formel und / oder Sätze zur
Laplacetransformation unter deren Angabe benutzen.
f (t) =
t sin(πt)
− 32
für
für
0≤t≤
t ≥ 32
3
2
Für welchen Wertebereich der Laplacevariablen s ist die Laplacetransformierte F (s)
definiert? Begründen Sie Ihre Antwort!
(6.1.2009)
74
14. Bestimmen Sie mit einem geeigneten Verfahren die Originalfunktion f (t) der Laplacetransformierten F (s):
s+1
F (s) =
(4s2 + 16)(4s2 − 9)
(6.1.2009)
15. Berechnen Sie explizit ausgehend von der Definitionsgleichung der Laplacetransformation oder unter der Verwendung geeigneter Sätze die Laplacetransformierte F (s)
der folgenden Funktion f (t).
f (t) = t2 · cosh(at − b)e−at+b , a, b ∈ R.
Sie dürfen bei der expliziten Berechnung Integraltafeln unter Angabe der Quelle und
der benutzten Formel benutzen, bei der Verwendung von Sätzen sind diese anzugeben. Für welchen Wertebereich der Laplace- variablen s ist die Laplacetransformierte
definiert? Begründen Sie Ihre Antwort nachvollziehbar!
(27.02.2009)
16. Berechnen Sie explizit ausgehend von der Definitionsgleichung der Laplacetransformation die Laplacetransformierte F (s) der Funktion f (t):
f (t) = t · sin3 (ω · t),
ω ∈ R.
Für welchen Wertebereich der Laplacevariablen s ist die Laplacetransformierte definiert?
Begründen Sie Ihre Antwort!
Hinweis: Sie dürfen Integraltafeln unter Angabe der Quelle und der benutzten Formel
benutzen.
(18.08.2009)
17. Bestimmen Sie mit einem geeigneten Verfahren die Originalfunktion f (t) der Laplacetransformierten F (s):
2 s3 − s2 − 1
F (s) =
(s + 1) 2 (s2 + 1) 2
(18.08.2009)
18. Berechnen Sie explizit ausgehend von der Definitionsgleichung der Laplacetransformation die Laplacetransformierte F (s) folgender Funktion f (t). Sie dürfen Integraltafeln unter Angabe der Quelle und der benutzten Formel und / oder Sätze zur
Laplacetransformation unter deren Angabe benutzen.
f (t) =
t cos(πt) für
2te2−t für
0≤t<2
t≥2
Für welchen Wertebereich der Laplacevariablen s ist die Laplacetransformierte F (s)
definiert? Begründen Sie Ihre Antwort!
(5.1.2010)
19. Bestimmen Sie mit geeigneten Sätzen der Laplacetransformation die Laplacetransformierte F (s) der Originalfunktion f (t):
f (t) = t(t − 1)e−(t−5) sin(3t) cos(3t)
Geben Sie die von Ihnen benutzten Sätze an der entsprechenden Stelle an. Vereinfachen
Sie Ihr Ergebnis so weit wie möglich.
(5.1.2010)
75
20. Berechnen Sie explizit, ausgehend von der Definitionsgleichung der Laplacetransformation und ohne die Verwendung bekannter Sätze zur Laplacetransformation, die
Laplacetransformierte F (s) der Funktion f (t) :
f (t) = cos2 (t) sinh(t) .
Führen Sie die Berechnung durch Rückführung des Laplaceintegrals auf Grundintegrale der Integralrechnung durch. Für welchen Wertebereich der Laplacevariablen
s ist die Laplacetransformierte definiert? Begründen Sie Ihre Antwort im Verlauf der
Rechnung ausführlich, nachvollziehbar und nicht nur formal an den entsprechenden
Stellen!
(02.03.2010)
21. Berechnen Sie die Laplacetransformierte F (s) der Funktion f (t) :
f (t) = t2 sinh(at + b) e−at−b , a, b ∈ R
unter Verwendung geeigneter Sätze, sowie durch Rückführung der Integrale auf Grundintegrale der Integration durch. Für welchen Wertebereich der Laplacevariablen
existiert die Laplacetransformierte? Begründen Sie wiederum Ihre Antwort inhaltlich
und nachvollziehbar im Verlauf der Rechnung!
(02.03.2010)
22. Berechnen Sie ausgehend von der Definitionsgleichung der Laplacetransformation und/oder
unter der Benutzung geeigneter Sätze die Laplacetransformierte F (s) der Funktion
f (t):
f (t) = t · cos2 (ω t) e−t ,
ω ∈ R.
Stellen Sie das Ergebnis so geschlossen wie möglich dar. Für welchen Wertebereich der
Laplacevariablen s ist die Laplacetransformierte definiert? Begründen Sie Ihre Antwort!
Hinweis: Sie dürfen Integraltafeln (aber keine Tafeln zu Laplace-Transformation) unter Angabe der Quelle und der benutzten Formel benutzen.
(30.08.2010)
23. Bestimmen Sie mit einem geeigneten Verfahren die Originalfunktion f (t) der Laplacetransformierten F (s):
F (s) =
s2 − 4
(s + 1) · (s2 + 2 s + 2)
(30.08.2010)
24. Bestimmen Sie mit geeigneten Methoden und Sätzen der Laplacetransformation die
Originalfunktion f (t) der Bildfunktion
F (s) = −
1
2 s + 1 −2 s
+ 2
e
2
s
s (s + 1)
Geben Sie die von Ihnen benutzten Sätze an der entsprechenden Stelle an.
Vereinfachen Sie Ihr Ergebnis so weit wie möglich.
(15.01.2011)
25. Betrachten Sie die Bildfunktion
F (s) =
1
(s − 1) (s + 2)2
(a) Welches Zeitverhalten der Originalfunktion erwarten Sie, ohne dass Sie eine Rücktransformation durchgeführt haben? Welchen Definitionsbereich DF ∈ C erwarten Sie daher für die Bildfunktion?
(b) Berechnen Sie das Verhalten der Zeitfunktion f (t) bei t = 0 und im limes t → ∞?
(c) Erscheinen Ihnen Ihre Ergebnisse glaubwürdig, plausibel und konsistent?
Begründen Sie Ihre Antworten ausführlich.
(15.01.2011)
76
26. Berechnen Sie ausgehend von der Definitionsgleichung der Laplacetransformation und/oder
unter der Benutzung geeigneter Sätze die Laplacetransformierte F (s) der Funktion
f (t):
f (t) = ω t · cos(ω t + φ) e−(ω t+φ) ,
ω ∈ R+ , φ ∈ R.
Stellen Sie das Ergebnis so geschlossen wie möglich dar. Für welchen Wertebereich der
Laplacevariablen s ist die Laplacetransformierte definiert? Begründen Sie Ihre Antwort!
Hinweis: Sie dürfen Integraltafeln (aber keine Tafeln zu Laplace-Transformation) unter Angabe der Quelle und der benutzten Formel benutzen.
(25.08.2011)
27. Bestimmen Sie mit einem geeigneten Verfahren die Originalfunktion f (t) der Laplacetransformierten F (s):
F (s) =
s2 + s − 1
(s2 + 1) (s2 + 2 s + 5)
(25.08.2011)
28. Berechnen Sie explizit1 und/oder unter Benutzung von geeigneten Sätzen2 zur Laplacetransformation einen geschlossenen Ausdruck für die Laplacetransformierte F (s)
von
f (t) = e−2(t−1) t sin(ω(t − 1)) Θ(t − 1)
mit Θ(t) =
1 für
0 für
t>0
t<0
Für welche Werte von s ist F (s) definiert? Begründen Sie dies mathematisch nachvollziehbar und stichhaltig.
(10.1.2012)
29. (a) Berechnen Sie die Originalfunktion3 von
F (s) =
s+2
(s + 1) (s2 + 4 s + 1)
(b) Betrachten Sie die Laplacetransformierte
F (s) =
3s − 1
s2 + 2s − 3
Untersuchen Sie das Grenzwertverhalten der Originalfunktion f (t) bei t = 0 und
für t → ∞ im Bild- und im Originalraum. Kommentieren und erklären Sie Ihre
Ergebnisse.
(10.1.2012)
30. Berechnen Sie ausgehend von der Definitionsgleichung der Laplacetransformation und/oder
unter der Benutzung geeigneter Sätze die Laplacetransformierte F (s) der Funktionen:
f (t) = | cos(ωt)| ,
g(t) = | cos(ωt)| e
−t
ω ∈ R+
Erläutern Sie Ihre Rechnung und stellen Sie das Ergebnis so geschlossen wie möglich
dar.
(22.3.2012)
1 Sie
dürfen die beigefügten Grundintegrale verwenden, ansonsten nur die Laplacetransformierten
der 1, von sin(ωt) und cos(ωt).
2 deren Verwendung ist jeweils anzugeben!
3 die Verwendung der oben angegebenen Laplacetransformierten und von Sätzen zur Laplacetransformation ist wie oben erlaubt
77
31. Bestimmen Sie mit einem geeigneten Verfahren die Originalfunktion f (t) der Laplacetransformierten F (s):
F (s) =
a + b s2
,
s4 − ω 4
a , b ∈ R, ω ∈ R+
(22.3.2012)
32. Berechnen Sie ausgehend von der Definitionsgleichung der Laplacetransformation und/oder
unter der Benutzung geeigneter Sätze die Laplacetransformierte F (s) der Treppenfunktion:

A



2A
f (t) =
 3A


...
für
für
für
usw.
0<t<a
a < t < 2a
2a < t < 3a
...
(30.08.2012)
33. Bestimmen Sie mit einem geeigneten Verfahren die Originalfunktion f (t) der Laplacetransformierten F (s):
F (s) =
3 a2
,
s3 + a3
a ∈R
(30.08.2012)
34. Berechnen Sie die Laplacetransformierte von f (t) = cos2 (t) sowohl über die Definitionsgleichung der Laplacetransformation als auch mit Hilfe des Satzes für periodische
Funktionen. Sind beide Ergebnisse gleich? Bestimmen und begründen Sie in beiden
Fällen den Konvergenzbereich der Laplacetransformation.
(11.01.2013)
35. Berechnen Sie explizit4 und/oder unter Benutzung von geeigneten Sätzen5 zur Laplacetransformation einen geschlossenen Ausdruck für die Laplacetransformierte F (s)
von
1
f (t) = √ e−at (1 − 2at)
πt
2 Rx
2
Hinweis: Φ(x) = √ 0 e−t dt, lim Φ(x) = 1
x→∞
π
(11.01.2013)
36. (a) Berechnen Sie die Originalfunktion6 von
F (s) =
1
2
(s − 2)
(s2
2
+ 2 s + 2)
Begründen Sie den Zusammenhang der Struktur Ihrer Lösung mit dem Polstellenplan von F (s).
(b) Zusatzaufgabe (+ 2 Punkte): Betrachten Sie die Laplacetransformierte
F (s) =
s − 1 + e−s
s2 (1 − e−s )
und bestimmen Sie die zugehörige Originalfunktion.
(11.01.2013)
4 Sie dürfen die beigefügten Grundintegrale verwenden, ansonsten nur die Laplacetransformierten
der 1, von sin(ωt) und cos(ωt).
5 deren Verwendung ist jeweils anzugeben!
6 die Verwendung der oben angegebenen Laplacetransformierten und von Sätzen zur Laplacetransformation ist wie oben erlaubt
78
37. (a) Berechnen Sie die Laplacetransformierte F (s) der Funktion
(
1
für 0 ≤ t < 2
f (t) =
2 −t
e e
für t > 2
Bestimmen Sie durch eine explizite Betrachtung den Konvergenzbereich
von F (s).
(b) Gegeben sei die Laplacetransformierte einer Zeitfunktion f (t) in der Form: L{t f (t)} =
1
. Bestimmen Sie die Laplacetransformierte L{e−t f (2 t)}.
s (s2 + 1)
(07.03.2013)
38. Gegeben sei das Anfangswertproblem

2

− (t − 2 π) + 1
4π 2
y ′′ (t) + 4 y (t) = g(t) =


sin (t) + 1
0 ≤ t < 2π
,
t ≥ 2π
y ′ (0) = 0, y(0) = 0
Berechnen Sie die Laplacetransformierte F (s) = L{y} von y(t).
Berechnen Sie nicht die Lösung y = y(t)!
(07.03.2013)
39. Bestimmen Sie mit einem geeigneten Verfahren die Originalfunktion f (t) der Laplacetransformierten F (s):
F (s) =
s+1
(s − 1)2 (s2 − 4s + 5)2
(07.03.2013)
40. Zusatzaufgabe (Antworten Sie ohne Begründung)
Die Rücktransformation von
F (s) =
s2
2s+1
+ 4s + 13
ist
(a) f (t) = e2t (2 cos(3t) − sin(3t))
(b) f (t) = e−2t (2 cos(3t) − sin(3t))
1
(c) f (t) = 2 cos(3(t + 2)) − sin(3(t + 2))
3
1
(d) f (t) = 2 cos(3(t − 2)) − sin(3(t − 2))
3
(07.03.2013)
41. (a) Berechnen Sie die Laplacetransformierte F (s) der Funktion
(
t
für 0 ≤ t < 2
f (t) =
t e2 e−t für t > 2
Bestimmen Sie durch eine explizite Betrachtung den Konvergenzbereich von F (s).
(b) Gegeben sei die Laplacetransformierte einer Zeitfunktion f (t) in der Form: L{t f (t)} =
1
. Bestimmen Sie die Laplacetransformierte L{e−2t f (2 t)}.
2
2
s (s − 1)
(c) Bestimmen Sie mit einem geeigneten Verfahren die Originalfunktion f (t) der
Laplacetransformierten F (s):
F (s) =
3 s2
,
s3 − 8 a3
79
a ∈R
(d) Alternativ-/ Zusatzaufgabe
Bestimmen Sie mit einem geeigneten Verfahren die Originalfunktion f (t) der
Laplacetransformierten F (s):
F (s) =
s2 + 2 s − 5
2
(s2 + 1) (s2 + 4 s + 5)
(e) Alternativ- und Zusatzaufgabe (Antworten Sie ohne Begründung)
i. Die Laplacetransformation der Funktion
(
1, 0 < t < 1
f (t) =
t, 1 < t
ist gleich:
A. 1s + e−s ( s12 − 2s )
−s
B. 1s + es2
C. − s1 + e−s (− s12 + 2s )
D. − 1s −
e−s
s2
ii. Für die Rücktransformation der Funktion
1
(s + 1)(s2 − 1)
ergibt sich in t = 0:
A.
B.
C.
D.
0
1
0,5
keins von diesen
(23.08.2013)
42. (a) Berechnen Sie unter Anwendung entsprechender Sätze explizit die Laplacetransformierte F (s) der Funktion f (t).
f (t) =
sin(a(t − b)) −δ(t−b)
·e
· θ(t − b)
t−b
(b) Berechnen Sie die Laplacetransformierte F (s) der folgenden Funktion f (t). Bestimmen Sie durch eine explizite Betrachtung den Konvergenzbereich.
f (t) =
(
1
t · e3t · e3
für
für
0≤t<3
t>3
(c) Bestimmen Sie mit einem geeigneten Verfahren die Originalfunktion zu der Laplacetransformierten.
F (s) =
s3 − 2s2 + 1
(s2 + 4s + 6)2 (s − 2)
[i] ohne die explizite Berechnung der Koeffizienten der Partialbruchzerlegung
[ii] mit Berechnung der Koeffizienten der Partialbruchzerlegung (1 Zusatzpunkt)
80
(d) Zusatzaufgabe (Antworten Sie ohne Begründung)
A) Für die Rücktransformation der Funktion
F (s) =
4s
2
−
+3 s
s2
ergibt sich in t = 0 der Wert
i) 0
ii) 1
iii) 2
iv) keiner von diesen
B) Sei f (t) eine periodische Funktion der Periode T . Ihre Laplacetransformierte
ist gegeben durch
Z T
1
F (s) =
f (t)e−st dt
1 − e−sT 0
für
i) |e−sT | < 0
ii) |e−sT | < 1
iii) |e−sT | > 1
iv) |e−sT | > 0
C) Seien f1 (t) und f2 (t) zwei Originalfunktionen. Welche der Aussagen ist richtig?
i) f1 (t) ∗ f2 (t) =
R∞
ii) f1 (t) ∗ f2 (t) =
0
Rt
iii) f1 (t) ∗ f2 (t) =
iv) f1 (t) ∗ f2 (t) =
0
f1 (τ )f2 (t − τ ) dτ
f1 (τ )f2 (t − τ ) dt
Rt
0
f1 (τ )f2 (t − τ ) dτ
Rt
f1 (t − τ )f2 (τ ) dτ
0
(14.01.2014)
43. (a) Berechnen Sie unter Anwendung entsprechender Sätze explizit die Laplacetransformierte F (s) der Funktion f (t).
f (t) = t · (sin(at) + at cos(at)) · e−δt
(b) Bestimmen Sie mit Hilfe der Definitionsgleichung der Laplacetransformation die
Bildfunktion der folgenden Funktion:
π (
A sin
t
a
f (t) =
0
für 0 ≤ t ≤ a
für t ≥ a
(c) Bestimmen Sie mit einem geeigneten Verfahren die Originalfunktion zu der Laplacetransformierten
F (s) =
(s2
81
s3 + 3s2 − 7
+ 2s + 7)2 (s + 2)2
[i] ohne die explizite Berechnung der Koeffizienten der Partialbruchzerlegung.
[ii] mit Berechnung der Koeffizienten der Partialbruchzerlegung. (1 Zusatzpunkt)
(24.02.2014)
44. a) Berechnen Sie die Laplacetransformierte von f (t) = sin(ωt) sowohl über die Definitionsgleichung der Laplacetransformation als auch mit Hilfe des Satzes für periodische
Funktionen. Bestimmen und begründen Sie in beiden Fällen den Konvergenzbereich
der Laplacetransformation.
b) Zeigen Sie, dass beide Ergebnisse gleich sind.
c) Gegeben sei die Laplacetransformierte einer Zeitfunktion f (t) in der Form: L{tf (t)} =
4
(3t)
f (4t)}
(29.07.2014)
s2 +1 . Bestimmen Sie die Laplacetransformierte L{e
45. a) Bestimmen Sie mit einem geeignetem Verfahren die Orginalfunktion f (t) der Laplacetransformierten F (s):
5s2 − 13s + 21
(s − 2)(s2 − 2s + 5)
b) Beschreiben Sie kurz die Methode der Ableitung nach dem Parameter. Wann und
warum ist diese Methode hilfreich?
c) Wenden Sie diese Methode bei der Rücktransformation von
F (s) =
Ks + M
+ 2s + 4)2
(s2
an.
(29.07.2014)
46. (a) Wie lautet die Laplacetransformierte der folgenden Funktion?
Fassen Sie das Ergebnis soweit wie möglich zusammen.

0



t + T
f (t) =
T



 −t + T
T
|t| > T
t≤0
t>0
(b) Was können Sie über den Konvergenzbereich der Laplacetransformierten der periodischen Funktion f (t) = sin2 (ωt) aussagen?
(12.01.2015)
47. (a) Bestimmen Sie mit einem geeigneten Verfahren die Originalfunktion zu der Laplacetransformierten
F (s) =
2s5 + 2s3 + s2 + s + 2
s5 + s3
(b) Zusatzaufgabe
i. Welchen Anfangswert f (0) besitzt die zugehörige Originalfunktion f (t)?
F (s) =
3s
1
+ 2
+8 s
s2
ii. Berechnen Sie aus der gegebenen Bildfunktion F (s) den Endwert f (∞) der
zugehörigen Originalfunktion
F (s) =
82
es − s − 1
s2
(12.01.2015)
48. (a) Bestimmen Sie unter Anwendung entsprechender Sätze explizit die Laplacetransformierte F (s) der folgenden Funktion
sin(t)
· e−2t
f (t) = −t2 cosh(at) +
t
(b) Bestimmen Sie mit Hilfe des Satzes für periodische Funktionen die Laplacetransformation die Bildfunktion der folgenden Funktion
f (t) = | sin(kt)|
Skizzieren Sie zuerst die Funktion und bestimmen Sie die Periode. (10.03.2015)
49. Bestimmen Sie mit einem geeigneten Verfahren die Originalfunktion zu der Laplacetransformierten
F (s) =
4s2
s3 − 27k 3
mit k ∈ R.
(10.03.2015)
50. (a) Berechnen Sie die Laplacetransformierte F (s) der Funktion:
f (t) =
(
sin(πt)
− 23
für 0 ≤ t ≤
für t ≥ 32
3
2
(b) Bestimmen Sie durch eine explizite Betrachtung den Konvergenzbereich von F (s).
(c) Gegeben sei die Laplacetransformierte einer Zeitfunktion f (t) in der Form L{tf (t)} =
2
4t
s2 +4 . Bestimmen Sie Laplacetransfomierte L{e f (3t)}.
(Sep. 2015)
51. Bestimmen Sie mit einem geeigneten Verfahren die Originalfunktion zu der Laplacetransformierten.
F (s) =
1
(s − 2)2 (s2 + 2s + 2)2
a) Ohne die explizite Berechnung der Koeffizienten der Partialbruchzerlegung.
b) Zusatzaufgabe: mit Berechnung der Koeffizienten der Partialbruchzerlegung. (1
Zusatzpunkt)
(Sep. 2015)
52. (a) Berechnen Sie explizit, ausgehend von der Definitionsgleichung der Laplacetransformation und ohne die Verwendung bekannter Sätze zur Laplacetransformation,
die Laplacetransformierte F (s) der Funktion f (t) :
f (t) = sin2 (t) · cosh(2t)
Für welchen Wertebereich der Laplacevariablen s ist die Laplacetransformierte definiert? Begründen Sie Ihre Antwort im Verlauf der Rechnung ausführlich,
nachvollziehbar. Vereinfachen Sie den Ausdruck soweit wie möglich.
(b) Wie ändert sich die Laplacetransformierte, wenn wir f (3t) und f ′ (t) betrachten?
Welche Sätze werden hier angewendet?
(5.1.2016)
83
53. (a) Bestimmen Sie mit einem geeigneten Verfahren die Originalfunktion zu der Laplacetransformierten.
F (s) =
s6
2s(s2 + 16)
− 4s4 + 64s2 − 256
i. Ohne die explizite Berechnung der Koeffizienten der Partialbruchzerlegung.
Hinweis: (s4 + a6 ) = ((s + a)2 + a2 ) · ((s − a)2 + a2 )
ii. Mit Berechnung der Koeffizienten der Partialbruchzerlegung (1 Zusatzpunkt).
(b) Zusatzaufgabe
i) Bestimmen Sie unter Benutzung des Faltungssatzes die zugehörige Originalfunktion f (t).
F (s) =
s
(s2 + 3)s2
ii) Berechnen Sie aus der gegebenen Bildfunktion F (s) den Anfangswert der zugehörigen Originalfunktion
F (s) =
s
(s − 4)(s − 5)
(5.1.2016)
54. (a) Bestimmen Sie unter Anwendung entsprechender Sätze explizit die Laplacetransformierte F (s) der folgenden Funktion
f (t) =
2
{1 − cos(a(t − b))} · e−2(t−b)
t−b
(b) Berechnen Sie das folgende Faltungsprodukt:
t ∗ e−t
(8.3.2016)
55. Bestimmen Sie mit einem geeigneten Verfahren die Originalfunktion zu der Laplacetransformierten
F (s) =
(s −
1
+ 2s + 2)2
2)2 (s2
mit k ∈ R.
(a) Ohne die explizite Berechnung der Koeffizienten der Partialbruchzerlegung.
Zusatzaufgabe
(b) Mit Berechnung der Koeffizienten der Partialbruchzerlegung. (1 Zusatzpunkt)
(8.3.2016)
84
4.2
Gewöhnliche Differentialgleichungen und Laplacetransformation
1. Bestimmen Sie mit Hilfe der Laplacetransformation die Lösung der Differentialgleichung
y ′′ (t) − 3y ′ (t) + 2y(t) = e−t
mit
y(0) = −1, y′ (0) = 0.
(14.03.1998)
2. Lösen Sie mit Hilfe der Laplacetransformation die Differentialgleichung
y ′′ (t) − 2y ′ (t) + y(t) = exp(t) sin(t)
für die Anfangsbedingungen y(0) = 0, y ′ (0) = −1. Wie lautet die allgemeine Lösung
der homogenen Differentialgleichung?
(02.08.2007)
3. Lösen Sie mit Hilfe der Laplacetransformation die Differentialgleichung
y ′′ (t) + y ′ (t) − 2y(t) = et cos(2t)
für die Anfangsbedingungen y(0) = 0, y ′ (0) = −1. Bestimmen Sie die allgemeine
Lösung der homogenen und der inhomogenen Differentialgleichung.
(08.01.2008)
4. Lösen Sie mit Hilfe der Laplacetransformation die Differentialgleichung
y ′′ (t) + 4y ′ (t) + 5y(t) = exp(−2t) sin(t)
für die Anfangsbedingungen y(0) = 1, y ′ (0) = −1. Wie lautet die allgemeine Lösung
der homogenen und die allgemeine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung?
(12.03.2008)
5. Lösen Sie mit Hilfe der Laplacetransformation die Differentialgleichung
y ′′ (t) − 2y ′ (t) + 6y(t) = exp(−2t) cosh(2t)
für die Anfangsbedingungen y(0) = 1, y ′ (0) = 1. Wie lautet die allgemeine Lösung
der homogenen und die allgemeine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung?
(05.08.2008)
6. Lösen Sie mit Hilfe der Laplacetransformation die Differentialgleichung
y ′′ (t) − 2y ′ (t) + 5y(t) = e−4t sinh(t)
39
. Wie lauten die allgemeinen Lösunfür die Anfangsbedingungen y(0) = 1, y ′ (0) = 40
gen der homogenen und der inhomogenen Differentialgleichung?
(27.02.2009)
7. Bestimmen Sie mit der Methode der Laplacetransformation die allgemeinen Lösungen
der homogenen und der inhomogenen Differentialgleichung von
3
y ′′ (t) + 3y ′ (t) + 3y(t) = e− 2 t cos(2t)
3
Wie lautet die spezielle Lösung zu den Anfangsbedingungen y(0) = −
und y ′ (0) =
13
4
?
13
(18.08.2009)
8. Berechnen Sie mit Hilfe der Laplacetransformation die allgemeine homogene und inhomogene Lösung der Differentialgleichung
y ′′ (t) − 2y ′ (t) + 2y(t) = et sin(t)
Wie lautet die spezielle Lösung der inhomogenen Differentialgleichung zu den Anfangsbedingungen y(0) = 1, y ′ (0) = 1?
(02.03.2010)
85
9. Bestimmen Sie mit der Methode der Laplacetransformation die allgemeinen Lösungen
der homogenen und der inhomogenen Differentialgleichung
y ′′ (t) + 2y ′ (t) − 3y(t) = et sin(t)
Wie lautet die spezielle Lösung der inhomogenen Differentialgleichung zu den Anfangs2
(30.08.2010)
bedingungen y(0) = − , y ′ (0) = 1 ?
3
10. Bestimmen Sie mit der Methode der Laplacetransformation die allgemeinen Lösungen
der homogenen und der inhomogenen Differentialgleichung
√
y ′′ (t) − 2y ′ (t) + 3y(t) = et sin( 2 t)
Wie lautet die spezielle Lösung zu den Anfangsbedingungen y(0) = 1, y ′ (0) = 1 ?
’
(25.08.2011)
11. Bestimmen Sie ausschließlich mit der Methode der Laplacetransformation die allgemeinen Lösungen der inhomogenen und der zugeordneten homogenen Differentialgleichung
(
0
für 0 ≤ t < 1
y ′′ (t) − 2y ′ (t) − 3y(t) =
e1−t für 1 ≤ t
Wie lautet die spezielle Lösung zu den Anfangsbedingungen y(0) = 1, y ′ (0) = −1 ?
(22.3.2012)
12. Gegeben ist die Differenzialgleichung
(4.1)
ẍ(t) + 2 κ ẋ(t) + 25 x(t) = f (t)
(a) Lösen Sie mittels Laplace-Transformation die homogene Differenzialgleichung für
κ = 3 und den Anfangsbedingungen x(0) = 1, ẋ(0) = 1.
(b) Lösen Sie mittels Laplace-Transformation die inhomogene Differenzialgleichung
für κ = 0 und den Anfangsbedingungen x(0) = 0, ẋ(0) = 0 für
i. f (t) = cos(3 t)
ii. f (t) = cos(5 t)
Warum sind in den beiden Fällen die Lösungsfunktionen verschieden, obwohl
jeweils eine harmonische Anregung f (t) vorliegt?
(c) Lösen Sie mittels Laplace-Transformation die inhomogene Differenzialgleichung
für κ = 0 und den Anfangsbedingungen x(0) = 0, ẋ(0) = 0 für
1 für t ∈ [0, T ]
f (t) =
, T > 0, fest
(4.2)
0 für t ∈ (T, ∞)
Kann man die Dauer des Anregungsimpulses so wählen, dass das System nach
Ende der Anregung (t > T ) nicht mehr schwingt? Wie müsste T dann gewählt
werden?
(30.08.2012)
13. Bestimmen Sie ausschließlich mit der Methode der Laplacetransformation die Lösung
der Differentialgleichung
(
sin(t) für 0 ≤ t < 2π
′′
y (t) + y(t) =
0
für t ≥ 2π
zu den Anfangsbedingungen y(0) = a, a ∈ R, y ′ (0) = 0. Diskutieren Sie die Zusammensetzung und den zeitlichen Verlauf der Lösung in Abhängigkeit vom Wert des
Parameters a.
(07.03.2013)
14. Betrachten Sie die folgende Differentialgleichung mit den Methoden der Laplacetransformation
y ′′ (t) + 2 y ′ (t) + k y(t) = e−t sin(2t) ,
86
k>1
(a) Berechnen Sie die allgemeine und die spezielle Lösung zu den Anfangsbedingungen
y(0) = 0, y ′ (0) = 1 für k 6= 5.
(b) Welche Lösungen ergeben sich für k = 5? Wie kann man diese Lösungen verstehen?
(23.08.2013)
15. Berechnen Sie mit Hilfe der Laplacetransformation die allgemein homogene und inhomogene Lösung der Differentialgleichung.
y ′′ (t) − 2y ′ (t) + 3y(t) = e2t cos(t)
Wie lautet die spezielle Lösung der inhomogenen Differentialgleichung zu den Anfangsbedingungen y(0) = 1 und y ′ (0) = −1?
(14.01.2014)
16. Gegeben sei das Anfangswertproblem für y(t)
y ′′ + 4y ′ − 5y = f (t),
y(0) = y ′ (0) = 0
(a) Bestimmen Sie mit Hilfe der Laplacetransformation die allgemein homogene und
die inhomogene Lösung für f (t) = 3eat .
(b) Wie lauten die Lösungen für a = 1 und a = 2? Wie unterscheiden sich die
Ergebnisse und warum?
(c) Zusatzaufgabe
Berechnen Sie mit Hilfe der Laplacetransformation die allgemein homogene und
inhomogene Lösung der Differentialgleichung.
y ′′ + 2y ′ + 2y = te−t ,
y(0) = 1, y ′ (0) = −1
(24.02.2014)
17. Bestimmen Sie ausschließlich mit der Methode der Laplacetransformation die allgemeine homogene Lösung und inhomogene Lösung der Differentialgleichung
(
e−2t 0 ≤ t < π
′′
y (t) + y(t) =
0
t≥π
zu den Anfangsbedingungen y(0) = 0 und y ′ (0) = a.
Wie lautet die sogenannte ’stationäre’ Lösung?
(29.07.2014)
18. (a) Lösen Sie mit Hilfe der Laplacetransformation die folgende Schwingungsgleichung
..
x +ω02 · x = a0 · cos(ω0 t)
.
für die Anfangswerte x(0) und x (0) = 0.
(b) Was können Sie über den zeitlichen Verlauf dieser Schwingung aussagen?
(c) Alternativ- oder Zusatzaufgabe
Das Verhalten eines DT1 -Regelkreisgliedes der Regelungstechnik lässt sich als
lineare Differentialgleichung
.
.
T · v +v = K· u
darstellen. Dabei sind T, K positive Konstanten, u = u(t) das Eingangssignal und
v = v(t) das Ausgangssignal.
Bestimmen Sie das zeitabhängige Ausgangssignal v(t) für das periodische Eingangssignal u = E sin(ωt) und den Anfangswert v(0) = 0.
(12.01.2015)
87
19. (a) Lösen Sie mit Hilfe der Laplacetransformation die folgende Differentialgleichung
y ′′ (t) + 4y ′ (t) + 5y(t) = e−2t cos(t)
für die Anfangswerte y(0) = 0 und y ′ (0) = 0.
(b) Zusatzaufgabe
Lösen Sie die folgende Differentialgleichung
x′′′ − 6x′′ + 12x′ − 8x = e2t
mit den Anfangsbedingungen x(0) = x′ (0) = x′′ (0) = 0.
(10.03.2015)
20. Bestimmen Sie ausschließlich mit der Methode der Laplacetransformation die Lösung
der Differentialgleichung zu den Anfangsbedingungen y(0) = a, a ∈ R, y ′ (0) = 0.
Diskutieren Sie die Zusammensetzung und den zeitlichen Verlauf der Lösung in Abhängigkeit vom Wert des Parameters a.
′′
y + y(t) =
(
t für 0 ≤ t ≤ π
0 für t ≥ π
(Sep. 2015)
21. Bestimmen Sie ausschließlich mit der Methode der Laplacetransformation die Lösung
der Differentialgleichung
(
..
cos(t) für 0 ≤ t < 2π
y +y =
0
für t ≥ 2π
.
zu den Anfangsbedingungen y(0) = 0, a ∈ R, y (0) = a. Diskutieren Sie die Zusammensetzung und den zeitlichen Verlauf der Lösung in Abhängigkeit vom Wert des
Parameters a.
(5.1.2016)
22. (a) Gegeben ist ein System, das durch folgende Differentialgleichung beschrieben
wird:
y ′′ (t) + 2y ′ (t) + 2y(t) = u(t)
Es weist die Anfangsbedingungen y(0) = 0 und y ′ (0) = 1 auf und wird mit einem
Eingangssignal
u(t) = θ(t − 2)
angeregt. Bestimmen Sie die Lösung dieser inhomogenen Differentialgleichung.
(b) Zusatzaufgabe
Lösen Sie die Differentialgleichung
x′′′ + 9x′′ + 27x′ + 27x = e−3t
zu den Anfangsbedingungen x(0) = x′ (0) = x′′ (0) = 0
88
(8.3.2016)
4.3
Funktionen mehrerer Variabler
1. Gegeben sei die Funktion zweier Variablen
z = f (x, y) = x3 y 2 (12 − x − y).
Welche Definitionsbereiche besitzt diese Funktion und ihre ersten partiellen Ableitungen? Bestimmen Sie die Extremwerte von f (x, y) für positive x und y.
(14.03.1998)
2. Gegeben sei die Funktion zweier Variablen
z = f (x, y) = (x − y)(xy − 4).
Welche Definitionsbereiche besitzt diese Funktion und ihre ersten partiellen Ableitungen? Bestimmen Sie die Extremwerte von f (x, y).
(13.08.1999)
3. Gegeben sei die Funktion zweier Variablen
z = f (x, y) = (x − 2y)(xy − 8).
Welche Definitionsbereiche besitzt diese Funktion und ihre ersten partiellen Ableitungen? Bestimmen Sie die Extremwerte von f (x, y).
(03.04.2000)
4. Gegeben sei die Funktion zweier Variablen
z = f (x, y) = xy(10 − 2x − 5y).
Welche Definitionsbereiche besitzt diese Funktion und ihre ersten partiellen Ableitungen? Bestimmen Sie die Extremwerte von f (x, y).
(27.07.2000)
5. Gegeben sei die Funktion zweier Variablen
z = f (x, y) = 2xy(10 − x − 6y).
Welche Definitionsbereiche besitzt diese Funktion und ihre ersten partiellen Ableitungen? Bestimmen Sie die Extremwerte von f (x, y).
(13.03.2001)
6. Gegeben sei die Funktion zweier Variablen
z = f (x, y) = x3 y 3 (1 − x + y).
Welche Definitionsbereiche besitzt diese Funktion und ihre ersten partiellen Ableitungen? Bestimmen Sie die Extremwerte von f (x, y).
(08.08.2001)
7. Gegeben sei die Funktion zweier Variablen
z = f (x, y) = x2 − 3y 2 + 20xy + 10x − 6y + 10.
Welche Definitionsbereiche besitzt diese Funktion und ihre ersten partiellen Ableitungen? Bestimmen Sie die Extremwerte von f (x, y).
(01.03.2002)
89
8. Bestimmen Sie die lokalen Extrema der Funktionen
a) f(x, y) = x3 − 3x + y3 − 12y
b) f(x, y) = ex (2x + y2 )
(16.03.2005)
9. Bestimmen Sie die lokalen Extrema der Funktionen
1+x+y
a) f(x, y) = p
1 + x2 + y 2
b) f(x, y) = x3 + y3 − 3axy, a > 0
(17.08.2005)
10. Berechnen Sie die lokalen Extrema der Funktionen
a) f(x, y) = 4(x − 2)(y2 + 10y) + 3x3
1+x+y
b) f(x, y) = p
1 + x2 + y 2
(07.03.2006)
11. Berechnen Sie die lokalen Extrema der Funktion
f (x, y) = 4(x2 − 4)(y 2 + 10y) + 3y 3
(23.02.2007)
12. Berechnen Sie die lokalen Extrema der Funktion
f (x, y) = 4(x2 − 4)(y 2 − 4) + 3y 2
(02.08.2007)
13.
• Skizzieren Sie das Gebiet B im 3. und 4. Quadranten der (x, y)-Ebene, das begrenzt wird durch die Kreise um den Ursprung mit dem Radius r = 2 und r = 3
und die Kurven y = x2 und y = − x4 .
• Berechnen Sie für die Funktion f (x, y) = 2 · x2 + y 2 das Doppelintegral über das
Gebiet B
(02.08.2007)
14. Berechnen Sie die lokalen Extrema der Funktion
f (x, y) = 4x(x − 2)(y 2 − 4) + 3y 2
(12.03.2008)
15. (a) Skizzieren Sie das Gebiet B im 1. und 2. Quadranten der (x, y)-Ebene, das begrenzt wird durch die Kreise um den Ursprung mit dem Radius r = 3 und r = 5
und die Kurven y = πx und y = − π1 x.
(b) Berechnen Sie für die Funktion f (x, y) = x · y das Doppelintegral über das Gebiet
B
(12.03.2008)
16. Berechnen Sie die lokalen Extrema der Funktion
f (x, y) = 4x2 (x2 − 2)(y 2 − 4) + y 2
(05.08.2008)
90
17. (a) Skizzieren Sie das Gebiet B in der (x, y)-Ebene, das begrenzt wird durch die
Funktionen y = 6 − (x − 2)2 und y = (x − 2)2 − 4
(b) Berechnen Sie für die Funktion f (x, y) = x · y das Doppelintegral über das Gebiet
B. Vereinfachen Sie ihr Ergebnis so weit wie möglich.
(05.08.2008)
18. Berechnen Sie die lokalen Extrema der Funktion
f (x, y) = 4x2 (x2 − 2)(y 2 − 1) − 5y 2
(27.02.2009)
19. (a) Skizzieren Sie das Gebiet A in der (x, y)-Ebene, das begrenzt wird durch die
Funktionen y = x3 − 4 und y = 4x2 − 4
(b) Berechnen Sie für die Funktion f (x, y) = x2 − y 2 das Doppelintegral über das
Gebiet A.
Z
I=
f (x, y)dA
A
(27.02.2009)
20. Berechnen Sie die lokalen Extrema der Funktion
p
f (x, y) = (a − x) (a − y) (x + y − a)
(18.08.2009)
21. (a) Skizzieren Sie das Gebiet B in der (x, y)-Ebene, das durch die Ungleichung x2 +
y 2 ≤ 2 x beschrieben wird.
(b) Berechnen
Sie mit der Funktion f (x, y) = (1 − x2 − y 2 ) 2 das Doppelintegral
RR
f (x, y) dx dy durch eine geeignete Parametrisierung des Integrals.
B
(18.08.2009)
22. Berechnen Sie die lokalen Extrema der Funktion
f (x, y) = (x2 + y 2 ) e−2xy
(02.03.2010)
23. Berechnen Sie die lokalen Extrema der Funktion
f (x, y) = (x − 1)3 + y 3 − 3 (x − 1) y
(30.08.2010)
24. (a) Skizzieren Sie das Gebiet B in der (x, y)-Ebene
x2
y2
+
< 1, −2 x ≤ y ≤ x
B = (x, y) |
9
9
(b) Berechnen das Doppelintegral
ZZ
f (x, y) dx dy,
B
2
2
mit f (x, y) = x y e−x − y
durch eine geeignete Parametrisierung des Integrals.
(30.08.2010)
25. (a) Berechnen Sie die Punkte, in denen die Tangente an die Kurve
f (x, y) = x4 + 4y 2 − 2x2 − 2y − 2 = 0
parallel oder senkrecht zur x-Achse verläuft
91
(b) Berechnen Sie den Flächeninhalt der Flächen, die durch die Funktionen
a2
,
2
x
y= ,
2
xy = 2a2
xy =
y = 2x
eingeschlossen werden
(25.08.2011)
26. Gegeben sei die Funktion
2
f (x, y) = x y ey − x ,
x,y ∈ R
(a) Bestimmen Sie die lokalen Extrema von f (x, y).
(b) Bestimmen Sie den maximalen und minimalen Wert von f (x, y) im Gebiet
A = (x, y) | x2 − 3 ≤ y ≤ 0 .
(22.3.2012)
27. (a) Skizzieren Sie das Integrationsgebiet und berechnen Sie das Doppelintegral
ZZ
o
n
π
J =
x y dS mit B = (r, ϕ) 0 ≤ ϕ ≤ , 1 ≤ r ≤ a cos2 (ϕ) .
4
B
(b) Gegeben sei das Doppelintegral
J =
Z
1
2
(Z
√
2x−x2
f (x, y) dy
2−x
)
dx
Skizzieren Sie das Integrationsgebiet B und formulieren Sie das Integral mit vertauschter Integrationsreihenfolge.
(22.3.2012)
28. (a) Gegeben sei die Funktion
f (x, y, z) = x2 + x y + sin2 (x y z)
Berechnen Sie das vollständige Differential von f (x, y, z) im Punkt P = (1, 1, π)
(b) Berechnen Sie die Tangente an die Kurve
f (x, y) = 2x3 + 2y 3 − 9xy = 0
im Punkt P = (1, 2)
(c) Welcher Punkt der Fläche
z(x, y) =
p
1 + (x − 2 y)2
hat den kleinsten Abstand zum Punkt P = (1, −2, 0)?
(30.08.2012)
29. Berechnen Sie die Integrale
(a) der Funktion f (x, y) = 3 x y über das Gebiet, das von den Funktionen
y = 6x, y =
6
, y =x−1
x
und der x-Achse begrenzt wird.
x+y
(b) der Funktion f (x, y) = 2
über das Gebiet, das von den Funktionen
x + y2
p
ϕ
r = x2 + y 2 = 1, r(ϕ) = , ϕ ∈ [π, 3π]
π
und der x-Achse begrenzt wird.
92
(30.08.2012)
30. (a) Skizzieren Sie das Integrationsgebiet B und berechnen Sie das Doppelintegral
3
ZZ
Z Z √
2
J =
x/2
dS =
dy dx
B
0
3
2x
Wie groß ist die Fläche, die von den beiden Funktionen, die das innere Integral
begrenzen, eingeschlossen wird? Ist sie gleich dem Wert des Doppelintegrals J ?
Formulieren Sie weiterhin das Integral mit vertauschter Integrationsreihenfolge.
(b) Berechnen Sie das Doppelintegral
Z (Z
1
J =
−1
0
−
)
ln(x2 + y 2 + 1) dx
√
1−y 2
dy
Skizzieren Sie das Integrationsgebiet und berechnen Sie zur Kontrolle dessen Fläche, bevor Sie das Doppelintegral J berechnen.
(07.03.2013)
31. Zusatzaufgabe (Antworten Sie ohne Begründung)
Vertauschen Sie die Integrationsreihenfolge im folgenden Doppelintegral
Z8 Z2
f (x, y)dydx =
Zs Zq
r
0 x/4
f (x, y)dxdy
p
Was ist q ?
(a) 4y
(b) 16y 2
(c) x
(d) 8
(07.03.2013)
32. (a) Gegeben sei die Funktion
f (x, y, z) = x3 + x y 2 + sin2 (x y z 2 )
Berechnen Sie das vollständige Differential von f (x, y, z) im Punkt P = (1, 1,
(b) Berechnen Sie bei x = 4 die Tangenten an die Kurve
pπ
4)
(x2 + y 2 + 36)2 = 144x2 + 1296
(c) Welcher Punkt der Fläche
z(x, y) =
r
1
1 + (x − y)3
6
hat den kleinsten Abstand zum Punkt P = (1, −2, 0)?
(23.08.2013)
33. (a) Das Integrationsgebiet B des nachfolgenden Doppelintegrals sei gegeben durch
die Fläche, die von den beiden Funktionen y(x) = sinh(x) und y(x) = ex − 5
eingeschlossen wird. Skizzieren Sie das Integrationsgebiet B und berechnen Sie
das Doppelintegral
ZZ
J =
x dxdy
B
Wie groß ist die Fläche des Integrationsgebiets B?
93
(b) Berechnen Sie das Doppelintegral
ZZ J =
xy −
B
y
2
x + y2
dxdy
√
über den Bereich B : 0 ≤ y ≤ 2x − x2 , 0 ≤ x ≤ 2.
Beachten Sie, dass es sich hier um ein uneigentliches Integral handelt!
(c) Alternativ- und Zusatzaufgabe (Antworten Sie ohne Begründung)
R 1 R 3−2x
i. Gegeben sei folgendes Integral: 0 1
f (x, y)dydx
Wie sieht das Integral mit vertauschter Integrationsreihenfolge aus?
R 5 R 3+y
A. 3 0 2 f (x, y)dxdy
R 3 R 3−y
B. 1 0 2 f (x, y)dxdy
R 1 R y −3
C. 0 02 f (x, y)dxdy
R3Ry
D. 1 0 f (x, y)dxdy
ii. Im Punkt (1|1) gilt für die Funktion f (x, y) = 3xy − x3 − y 3 : ∆ > 0.
Welche Aussage ist richtig?
A. Die Funktion hat im Punkt (1|1) ein Minimum
B. Die Funktion hat im Punkt (1|1) ein Maximum
C. Die Funktion hat im Punkt (1|1) weder ein Minimum noch ein Maximum.
(23.08.2013)
34. (a) Bestimmen Sie die Tangentialebene im Punkt P = (1|0|1) der Fläche
z = (x2 + y 2 ) · e−y
(b) Berechnen Sie die Extrema der Funktion
f (x, y) = x2 − 4xy + xy 3 + 3
(24.02.2014)
35. (a) Ein Flächenstück wird durch die Kurven x = 0, y = 2x und y = a1 x2 +a berandet.
(a > 0)
i. Zeichnen Sie die Funktionen für a = 4 in ein Koordinatensystem ein. Skizzieren Sie das beschriebene Flächenstück.
ii. Berechnen Sie den Flächeninhalt in Abhängigkeit vom Parameter a.
(b) Berechnen Sie das folgende Integral:
ZZ
p
(3 · x2 + y 2 + 4) dA
A
Das Integrationsgebiet A wird durch die Kreise um den Ursprung mit den Radien
r = 1 und r = 3 begrenzt.
(c) Zusatzaufgabe: Berechnen Sie die von den Kurven y = x, y = x1 , y = 0 und
x = 10 eingeschlossene Fläche A. Skizzieren Sie das Integrationsgebiet und geben
Sie das Integral mit vertauschter Integrationsreihenfolge an.
(24.02.2014)
94
36. Es sei f (x, y) = x · y und B : {x ≥ 0, y ≥ 0, x2 + y 2 ≤ 2, y ≤ x2 }.
a) Skizzieren Sie das Integrationsgebiet B.
b) Berechnen Sie
RR
f (x, y) dB
B
c) Wie lautet das Integral mit vertauschter Integrationsreihenfolge? Welches Ergebnis
erwarten Sie?
(29.07.2014)
37. (a) Wie lautet die Gleichung der Tangentialebene an den Graphen von f (x, y) =
2x3 y − x2 y 3 im Punkt (1|1|z).
(b) Gegeben ist das Gebiet G = {(x|y) ∈ R2 |x2 + y 2 < 1}.
Berechnen Sie
ZZ
2
2
(x2 + xy + y 2 )e−(x +y ) dxdy
G
(c) Gegeben sei das folgende Gebietsintegral
Z √20 Z √20−x2
Z 2 Z x2
x
x
dydx +
dydx
y
+
5
y
+
5
x=2
y=0
x=0 y=0
Erstellen Sie eine Skizze des Integrationsgebietes und vertauschen Sie die Integrationsreihenfolge.
(d) Zusatzaufgabe
Berechnen Sie das Integral aus Aufgabenteil c).
(10.03.2015)
38. (a) Bestimmen Sie die lokalen Extrema der folgenden Funktion
f (x, y) = x3 y + xy 3 − 9xy
(b) Gegeben ist das Gebiet G = {(x|y) ∈ R2 |x2 + y 2 ≤ 4, y ≥ 0}.
Berechnen Sie
ZZ
p
x2 4 − x2 − y 2 dxdy
G
(c) Gegeben sei das folgende Gebietsintegral
Z 2 Z 2−x2
f (x, y) dydx
x=−1
y=−x
Erstellen Sie eine Skizze des Integrationsgebietes und vertauschen Sie die Integrationsreihenfolge.
(Sep. 2015)
39. (a) Wie lautet√die Gleichung
p der Tangentialebene an den Graphen von
f (x, y) = x2 − 4 + 4 − y 2 im Punkt (3|1|z).
(b) Gegeben ist das folgende Gebietsintegral:
Z 2 Z h(x)
y − 2x dydx
−2
g(x)
Dabei sind g und h gegeben durch:
(√
1 − x2 für − 1 ≤ x ≤ 1
g(x) =
0 sonst
(√
4 − x2 für − 2 ≤ x ≤ 2
h(x) =
0 sonst
Skizzieren Sie zunächst das Integrationsgebiet und berechnen Sie das Gebietsintegral.
95
2
(c) Für die Funktion y = ex ist keine elementare Stammfunktion bekannt. Daher
kann das Integral
Z 1Z 3
2
ex dxdy
0
3y
in der Form nicht berechnet werden. Berechnen Sie es durch Umkehrung der
Integrationsreihenfolge.
(8.3.2016)
96
4.4
Eigenwerte und Eigenvektoren
1. Bestimmen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix:


2
1 −1
A =  −1
0
1 
−1 −1
2
Müssen die Eigenvektoren von A zueinander orthogonal sein? Wenn ja, warum? Überprüfen Sie unter diesem Gesichtspunkt Ihr Ergebnis.
(14.03.1998)
2. Bestimmen Sie die Eigenwerte und die normierten Eigenvektoren der Matrix:


4
2 −2
0
2 
A =  −2
−2 −2
4
Müssen die Eigenvektoren von A zueinander orthogonal sein? Wenn ja, warum? Überprüfen Sie unter diesem Gesichtspunkt Ihr Ergebnis.
(13.08.1999)
3. Bestimmen Sie die Eigenwerte und die normierten Eigenvektoren der Matrix:


2
1 −1
0 −1 
A= 1
−1 −1
2
Müssen die Eigenvektoren von A zueinander orthogonal sein? Wenn ja, warum? Überprüfen Sie unter diesem Gesichtspunkt Ihr Ergebnis.
(03.04.2000)
4. Bestimmen Sie die Eigenwerte und die normierten Eigenvektoren der Matrix:

1 1
A= 1 1
−1 1

−1
1 
−1
Müssen die Eigenvektoren von A zueinander orthogonal sein? Wenn ja, warum? Überprüfen Sie unter diesem Gesichtspunkt Ihr Ergebnis.
(27.07.2000)
5. Bestimmen Sie die Eigenwerte und die normierten Eigenvektoren der Matrix:

1 2
A= 2 1
−1 2

−1
2 
−1
Müssen die Eigenvektoren von A zueinander orthogonal sein? Wenn ja, warum? Überprüfen Sie unter diesem Gesichtspunkt Ihr Ergebnis.
(13.03.2001)
6. Bestimmen Sie die Eigenwerte und die normierten Eigenvektoren der Matrix:


1
1 −1
2 −1 
A= 1
−1 −1
1
Müssen die Eigenvektoren von A zueinander orthogonal sein? Wenn ja, warum? Überprüfen Sie unter diesem Gesichtspunkt Ihr Ergebnis.
(08.08.2001)
97
7. Bestimmen Sie die Eigenwerte und die normierten Eigenvektoren der Matrix:


1
1 −1
4 −1 
A= 1
−1 −1
1
Müssen die Eigenvektoren von A zueinander orthogonal sein? Wenn ja, warum? Überprüfen Sie unter diesem Gesichtspunkt Ihr Ergebnis.
(26.07.2002)
8. Bestimmen Sie die Eigenwerte und die normierten Eigenvektoren der Matrix:


1
1
1
4 −2 
A= 2
−1 −2
1
Müssen die Eigenvektoren von A zueinander orthogonal sein? Wenn ja, warum? Überprüfen Sie unter diesem Gesichtspunkt Ihr Ergebnis.
(17.04.2003)
9. Bestimmen Sie das charakteristische Polynom der Matrix:


1
1
a
4 −1 
A= 1
−2 −1
1
(a) Wählen Sie für a einen geeigneten Wert, damit A orthogonale Eigenvektoren
besitzt. Begründen Sie Ihre Wahl.
(b) Berechnen Sie mit diesem Wert von a die Eigenwerte und die normierten Eigenvektoren von A.
(18.08.2004)
10. Berechnen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren des Systems:

9 + 3j
0
A=
−3j
0
9 + 3j
4j

3j
−4j 
9 + 3j
Die Eigenvektoren sind in normierter Form anzugeben.
(16.03.2005)
11. Berechnen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren des Systems:

1 j
A =  −j 1
0 2

0
2 
1
Die Eigenvektoren sind in normierter Form anzugeben. Warum sind die Eigenwerte
reell? Stehen die Eigenvektoren senkrecht aufeinander? Begründen Sie Ihr Ergebnis.
(17.08.2005)
12. Berechnen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren des Systems:

4 + 2j
0
A=
−2j
0
4 + 2j
6j

2j
−6j 
1 + 2j
Die Eigenvektoren sind in normierter Form anzugeben.
(07.03.2006)
98
13. Berechnen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren des Systems:

4 0
A= 0 4
2 6

2
6 
1
Geben Sie die Eigenvektoren in normierter Form an. Was können Sie über die Eigenschaften der Eigenvektoren aussagen? Begründen und überprüfen Sie Ihre Aussage!
(23.02.2007)
14. Berechnen Sie das charakteristische Polynom, Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix:

2 0
A= 0 2
1 1

1
2 
0
Normieren Sie die Eigenvektoren. Welche Eigenschaften haben die Eigenvektoren? Begründen und verifizieren Sie Ihre Aussage!
(02.08.2007)
15. Berechnen Sie das charakteristische Polynom, Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix


1 0 j
A =  0 1 1  , j 2 = −1.
−j 1 0
Normieren Sie die Eigenvektoren. Welche Eigenschaften haben die Eigenvektoren? Begründen und verifizieren Sie Ihre Aussage!
(12.03.2008)
16. Berechnen Sie das charakteristische Polynom, die Eigenwerte und normierten Eigenvektoren der Matrix


2 j j
A =  −j 2 1  , j 2 = −1.
−j 1 2
Welche Eigenschaften haben die Eigenvektoren? Begründen und verifizieren Sie Ihre
Aussage! Im Fall mehrfacher Eigenwerte, bestimmen Sie, falls möglich, einen zugeordneten Satz orthonormaler Eigenvektoren.
(05.08.2008)
17. Berechnen Sie das charakteristische Polynom,
vektoren der Matrix

2 1
A= 1 4
1 1
die Eigenwerte und normierten Eigen
1
1 .
2
Welche Eigenschaften haben die Eigenvektoren? Begründen und verifizieren Sie Ihre
Aussage! Im Fall mehrfacher Eigenwerte, bestimmen Sie, falls möglich, einen zugeordneten Satz orthonormaler Eigenvektoren.
(27.02.2009)
18. Berechnen Sie das charakteristische Polynom, die Eigenwerte und die normierten Eigenvektoren der Matrix


1 −a −a
1
0  , a ∈ R.
A= a
a
0
1
Welche Eigenschaften haben die Eigenwerte, welche die Eigenvektoren? Gibt es dafür
Begründungen? Wenn ja, geben Sie diese an.
(18.08.2009)
99
19. Berechnen Sie das charakteristische Polynom,
vektoren der Matrix

4 2
A= 2 1
2 1
die Eigenwerte und normierten Eigen
2
1 .
1
20. Berechnen Sie das charakteristische Polynom,
genvektoren der Matrix

1 0
A = 0 1
1 1
die Eigenwerte und die normierten Ei-
Welche Eigenschaften haben die Eigenvektoren? Begründen und verifizieren Sie Ihre
Aussage! Im Fall mehrfacher Eigenwerte bestimmen Sie, falls möglich, einen zugeordneten Satz orthonormaler Eigenvektoren.
(02.03.2010)

−1
−1
1
Welche Eigenschaften haben die Eigenwerte, welche die Eigenvektoren? Gibt es dafür
Begründungen? Wenn ja, geben Sie diese an.
(30.08.2010)
21. Zeigen Sie, dass λ = j Eigenwert der Matrix


12 −11 6 6
15 −10 2 7

A=
 4 −1 −1 1
5 −1 −4 3
ist. Bestimmen Sie alle Eigenwerte und Eigenvektoren von A und geben Sie die zugehörigen Eigenräume an.
(25.08.2011)
22. Bestimmen Sie alle Eigenwerte und Eigenvektoren von A , geben Sie die zugehörigen
Eigenräume an und kommentieren Sie Ihr Ergebnis:


−2 0 3
A =  0 4 0
−6 0 7
Gibt es einen Vektor ~v , der die Gleichung A~v = 2~v erfüllt?
(22.3.2012)
23. Bestimmen Sie alle Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix A,


2
1 −1
2 −1
A= 1
−1 −1 2
und geben Sie die zugehörigen Eigenräume an. Berechnen Sie eine Orthornormalbasis
von Eigenvektoren und geben Sie eine orthornormale Matrix B und eine Diagonalbasis
D an, so dass B T AB = D gilt.
(30.08.2012)
24. Bestimmen Sie eine orthornormale Basis des R3 , die aus Eigenvektoren der folgenden
Matrix besteht:


1 1 1
A = 1 1 1
1 1 1
Können Sie schon vor der Eigenwert- und -vektorberechnung Aussagen über die zu
erwartenden Eigenwerte und die Struktur der Eigenvektoren machen?
Finden Sie eine Matrix Q derart, daß mit einer Diagonalmatrix D gilt: A = QDQT
(07.03.2013)
25. Zusatzaufgabe (Antworten Sie ohne Begründung)
Es seien A eine n × n - Matrix und λ, µ ∈ R, λ 6= µ zwei verschiedene Eigenwerte von
A. Was ist richtig?
(a) λ ist Eigenwert von AT
100
(b) λ ist Eigenwert von −A
(c) ~u sei Eigenvektor zum Eigenwert λ und ~v sei Eigenvektor zum Eigenwert µ. Dann
sind ~u und ~v linear unabhängig.
(07.03.2013)
26. (a) Bestimmen Sie die Eigenwerte und die

0
0
A=
0
1
normierten Eigenvektoren der Matrix

0 0 1
1 0 0

0 −1 0
0 0 0
Berechnen Sie zudem A2 . Was kann man aus dem Ergebnis schließen?
−1
T
(b) Berechnen Sie die Eigenwerte der Matrix C = (AB)
mit
0
A=
3


−2 1
1 −2
, B =  3 0 .
2 1
−1 2
(c) Die reelle (2 × 2)-Matrix A hat die Eigenwerte λ1 = 0 und λ2 = 1 sowie die
Eigenvektoren
1
2
~x1 =
, ~x1 =
2
−1
Bestimmen Sie A.
(d) Alternativ- und Zusatzaufgabe (Antworten Sie ohne Begründung)
i. Eigenwerttheorie
A. Sei λ = 0 ein Eigenwert der Matrix A. Welche der folgenden Aussagen
ist richtig?
A1: det A = 0
A2: det A 6= 0
A3: det A ist reell
A4: keine Aussage ist richtig
B. Sei A eine 3x3 Matrix mit dem charakteristischen Polynom p(λ) = λ(λ −
1)(λ − 3)
Welche der folgenden Aussagen ist richtig?
B1: A ist invertierbar
B2: Es gibt 3 Eigenvektoren, welche eine Basis des R3 bilden.
B3: Jeder Eigenraum von A ist eindimensional
B4: Das lineare System (A−3E)·x = b mit b ∈ R3 hat genau eine Lösung


1 −1 4
C. Sei A = 2 −2 4
3 −3 0
Welche der folgenden Vektoren ist der Eigenvektor zum Eigenwert λ =
−1?

   



−11
11
−11
−11
a) −10 b) 10 c)  10  d)  10 
3
3
−3
3
(23.08.2013)
27. (a) Bestimmen Sie alle Eigenwerte und Eigenvektoren von A. Geben Sie die zugehörigen Eigenräume an.


1 −4 2
A = −4 1 −2
2 −2 −2
101
(b) Berechnen Sie eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren und geben Sie eine orthonormale Matrix P an, die A diagonalisiert. Wie sieht die Matrix P −1 AP aus?
(c) Man bestimme eine 3x3- Matrix B so, dass

    
0
1
0
 1 , −1, 1
−1
1
1
die Eigenvektoren zu den Eigenwerten λ = 0, λ = 1 und λ = −1.
(d) Zusatzaufgabe

4
i. Was sind die Eigenwerte der Matrix 0
0
A. 1,4,7
B. 0,4

7 1
−3 8
0 2
C. -3,2,4
D. -3,0,1


4 −2 1
ii. Sei A = 2 0 1. Welche der folgenden Vektoren sind Eigenvektoren
2 −2 3
der Matrix A?
 
 
1
1
C. v1 =  2 
A. v1 = 1
−1
0
 
1
D. v1 = 1
4
 
0
B. v1 = 1
2
(24.02.2014)
28. Gegeben sei die folgende Matrix

5 6
A = 0 −1
1 0

2
−8
−2
a) Bestimmen Sie das charakteristische Polynom und die Eigenwerte der Matrix A.
b) Berechnen Sie die dazugehörigen Eigenvektoren und geben Sie diese in normierter
Form an.
c) Konstruieren Sie mit dem Gram-Schmidtschen Orthogonalisierungsverfahren aus
u~1 = (1, 1, 1), u~2 = (0, 1, 1) und u~3 = (0, 0, 1) eine Orthogonalbasis {v~1 , v~2 , v~3 } des R3 .
Normalisieren Sie diese Vektoren danach zu einer Orthonormalbasis.
d) Berechnen Sie die Eigenwerte von B 9 für

1
0
B=
0
0
3
1
2
0
0

7 11
3 8

0 4
0 2
e) Ist die Matrix B invertierbar? Begründen Sie Ihre Antwort.
102
(29.07.2014)
29. (a) Berechnen Sie das charakteristische Polynom und die Eigenwerte der folgenden
Matrix


5 −1 1 1
2 2 3 2 


0 0 1 −3
0 0 2 −4
(b) Berechnen Sie die zugehörigen normierten Eigenvektoren und geben Sie die Eigenräume an.
(c) Wenden Sie das Gram-Schmidt-Orthogonalisierungsverfahren auf die Vektoren
 
 
 
3
7
10
v1 = 0 v2 = 0 v3 =  4 
4
1
5
an.
(d) Zusatzaufgabe
i. Sei A eine 2x2 Matrix mit reellen Einträgen. Das charakteristische Polynom
lautet p(λ) = (λ − 2)(λ + 3). Welches der folgenden Polynome könnte ein
mögliches charakteristisches Polynom für AT sein?
A. p(λ) = (λ − 2)(λ + 3)
B. p(λ) = (λ + 2)(λ − 3)
C. p(λ) = (λ − 12 )(λ + 13 )
D. keins der oberen
(0,25 Punkte)
ii. Sei A eine 2x2 Matrix mit reellen Einträgen und dem Eigenwert λ = −4 − j.
Welcher der folgenden Eigenwerte ist ein weiterer Eigenwert von A?
A. λ = 4 + j
B. λ = −4 − j
C. λ = −4 + j
D. keiner der oberen
(10.03.2015)
30. (a) Gegeben ist die Matrix

2
A = 1 − j
0
1+j
3
0

0
0
4
i. Welche Eigenschaften können Sie aus der Gestalt der Matrix ableiten? Berechnen Sie das charakteristische Polynom und zeigen Sie, dass λ = 1 und
λ = 4 Eigenwerte sind.
ii. Berechnen Sie die zugehörigen normierten Eigenvektoren und geben Sie die
Dimension der Eigenräume an.
iii. Finden Sie eine eine unitäre* Matrix S, so dass S −1 AS eine Diagonalmatrix
ist. Wie sieht diese Diagonalmatrix aus?
(*: komplexe quadratische Matrix, deren Zeilen- und Spaltenvektoren orthonormal bezüglich des Standardskalarprodukts sind)
(b) Zusatzaufgabe
i. Die Eigenwerte einer 4x4 Matrix A sind gegeben als 2; -3; 13 und 7. Der
Betrag der Determinante von A, | det(A)|, ist dann:
A. 546
B. 19
C. 25
D. kann
 nichtberechnet werden.


−4, 5
8 −4 2
2  ist, dann ist der
ii. Wenn  −4  ein Eigenvektor der Matrix 4 0
1
0 −2 −4
zugehörige Eigenwert:
103
A.
B.
C.
D.
1
4
-4,5
6
(Sep. 2015)
31. (a) Berechnen Sie das charakteristische Polynom und die Eigenwerte der folgenden
Matrix


3 + 6j
0
6j
3 + 6j
6j 
A= 0
−6j
−6j
9 + 6j
Berechnen Sie die zugehörigen normierten Eigenvektoren.
(b) Man bestimme zu der folgenden Matrix
und man berechne P −1 BP :

2
B = 0
0
B eine Matrix P , die B diagonalisiert,

0 −2
3 0
0 3
(c) Zusatzaufgabe Kreuzen Sie die richtige Antwort an.
i. Für eine diagonalisierbare Matrix gilt für einen Eigenwert, dass
A. algebraische Vielfachheit < geometrische Vielfachheit
B. algebraische Vielfachheit > geometrische Vielfachheit
C. algebraische Vielfachheit = geometrische Vielfachheit
ii. Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind linear unabhängig.
iii. Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind orthogonal.
iv. Symmetrische Matrizen sind diagonalisierbar
(8.3.2016)
104
Kapitel 5
Lösungen Mathematik 1
5.1
Vektorrechnung
1. (a) (~q − p~) · {(~r − p~) × (~s − p~)} 6= 0.
√
(b) A∆ = 5.
√
2. A∆ = 1215
2.
4 ·
3. (a) ~a − ~b = ~c,√~a · ~b 6= 0, ~a · ~c 6= 0, ~b · ~c 6= 0,
A∆ = 2 · 5.




0
1
(b) ~u =  0  + λ ·  1 , λ ∈ R.
2
−2
4. (a) (~b − ~a) · (~
c − ~a) 6= 0,
√
A∆ = 2 · 5.



0
(b) ~u =  0  + λ · 
5
(~b − ~a) · (~c − ~b) 6= 0, (~c − ~a) · (~c − ~b) 6= 0,

1
1 , λ ∈ R.
−2
5. (a) (~q − p~) · {(~r − p~) × (~s − p~)} 6= 0.
√
(b) A∆ = 86.
6. (a) V = 1331, C = (−9, 6, 2).
(b) A∆ =
121
2 .
7. (a) A∆ = 9.
(b) V = 10.
(c) h =
10
3 .
√
8. (a) A∆ = 50 · 3.
√
(b) V = 50
6.
3 ·
√
√
√
9. (a) d~1 = 182, d~2 = 26, γ ≈ 40.89◦, AP = 13 · 3.
(b) δ ≈ 35.26◦.
√
√
√
10. (a) d~1 = 165, d~2 = 29, γ ≈ 175.94◦, AP = 6.
(b) δ ≈ 54.74◦.
√
11. (a) d~1 = 4 · 14,
√
~ d2 = 6, γ ≈ 168.51◦, AP = 4 · 5.
(b) δ ≈ 23.58◦.
√ 
 

3
−2 ·√ 2
√
12. ~a =  0 , ~b =  2 · 2 , A∆ = 18 · 2.
0
0
105

 √ 
4
−√ 2
√
13. ~a =  0 , ~b = 
2 , A∆ = 4 · 2.
0
0

14. (a) (~b − ~a) · {(~c − ~a) × (d~ − ~a)} = 0
(b) (~b − ~a) · (~c − ~a) 6= 0, (~b − ~a) · (d~ − ~a) = 0
√
(c) A∆ = 32 · 6.
√
15. (a) (~b − ~a) · (~c − ~a) = 0, A∆ = 4 · 17




0
1
(b) ~u =  − 31  + λ ·  − 31 , λ ∈ R
0
1
 


2
cos( 3π
8 )

16. (a) ~a =  0 , ~b = 3 ·  sin( 3π
8 )
0
0
(b) λ =
2
3
(c) A∆ = 4 · sin( 3π
8 )
 


3
cos(ϕ)
17. (a) ~a =  0 , ~b = 4 ·  sin(ϕ)  mit ϕ =
0
0
(b) λ =
3π
5
3
8 cos(ϕ)
~ ≈ 91, 46o; β = γ ≈ 44, 27o
c, d)
(c) A∆ = 27
4 · tan(ϕ) ≈ 20, 77; α = ∠(~
18. (a) nein (D ∈
/ Ebene (ABC))
(b) nein (alle Seitenlängen verschieden)
~ AC)
~
~ BC)
~
~ BC)
~
(c) α = ∠(AB,
≈ 33, 31o; β = ∠(AB,
≈ 116, 89o; γ = ∠(AC,
≈
o
29, 79 p
√
A∆ = 12 34 + 8 2 ≈ 3, 366
 


−1
2
√
√
~ ≈ 163, 64o
19. ~a =  0 , ~b =  3 , λ = −1 + 13, γ = ∠(~c, d)
0
0


0
√ √
1

0√ ,VSpat = 10 3( 13 − 1) ≈ 45, 13
~e = √13−1
1 − 13
 
 √ 
1
−√ 2
20. ~a =  0 , ~b = 
2 
0
0
(a) λ =
1
2
(b) A∆ =
√
2
2 ,
|~c| =
p
p
√ √ 2 + 2, d~ =
2 − 2, f~ = 2, α = ∠(~c, f~) = 22, 5o,
~ f~) = 67, 5o
β = ∠(d,
(c) ja [in (x1 , x2 )-Ebene]
~ = 0
21. (a) (~a × ~b) · (~c × d)


−4
~ = 12 ·  7 
(~a × ~b) × (~c × d)
−1
√
3
(b) F = 2 · 2
~ = 76
22. (a) (~a × ~b) · (~c × d)


−1
((~a × ~b) × ~c) × d~ =  0 
1
106
5
2
(b) λ =
−
√
3
1
23. (a) λ1 = 12
, λ2 = 58
Aallg = λ + 1 Aλ1 =
13
12
Aλ2 =
13
8
(b) 4~a · (~b × ~c)
24. (a) λ = 1 , ~a = 53~b − 23 ~c)
√
(b) A = 50 2
25. keine Lösungsangabe
i. 2 ~a2 − 15 ~b2 + 12 ~c2 − ~a~b − 11 ~a~c − 11 ~b~c
ii. −11~a × ~b − 5~a × ~c − 29~b × ~c


− 12
19 
3 ~
b; a~⊥b =  − 10
(b) a~b = 10
26. (a)
4
p
√
(c) d~1 = 10 − 3 3;
27. (a) ~c = 14 ~a − 32~b
(b)
5 p
√
~ d2 = 10 + 3 3; A =
5
2
F.E.
i. Gleichung lösbar für k = −1
 1 
 1 
ii. ~r = 
28. (a) d =
q
2
1
2
2
 + λ −1 
2
0
1
2
3
(b) i. zu zeigen: P~Q × P~R = ~s
ii. d = ~s|~s·~p|
r
1
29. (a) |~s| = 2 a2 + b2 + 2 |~a| ~b cos(γ)
q
√
(b) i. d~1 = 4 + 2 2(λ − 3) + (λ − 3)2 ;
√
2
(λ + 3) F.E.
√2
iii. A = 2 ⇔ λ = −1
ii. A =
~ d2 = λ + 3;
(c) Die von den Vektoren ~a und ~b aufgespannte Ebene E1 liegt zu der von den Vektoren ~c und d~ aufgespannte Ebene E2
i. senkrecht
ii. parallel
30. (a) Ansatz: (~u + ~v ) · (~u − ~v ) = 0 ...
p
√
√
(b) i. d(λ) = 11λ2 + 22λ + 17 = 11(λ + 1)2 + 6 ; dmin = d(−1) = 6 ;
P (4, 1, 3) ist Lotfußpunkt des von C auf die Gerade gefällten Lotes




1
1
ii. ~n =  −4  ; EbeneABC :  −4  ~x − 21 = 0
7
7
iii. AD = n → D in Ebene senkrecht zu ABC ;
AD · AB = 0 ; VT etraeder = 11
 24 




9
8
− 11
− 11
11
31. (a) C(x, y, z) =  0  + λ  1  + µ  0 
0
0
1




 √ 
 √ 
2
2
0
0√
√
2
2


2 
2 
1
~
~



−
(b) ~a =
; b =  2√  oder b =  √ 2  ; ~c =
− 12 
2
1
2
2
− 12
− 2
2
2
oder
107

~a = 
√
2
2
1
2
− 21


 ; ~b = 



−1
√
(c) ~c = 3  1 
1
(d)
0
√
2
√2
2
2


0√





 oder ~b =  − √22  ; ~c = 
− 22
√
2
2
− 21
1
2


i. B)
ii. A)
iii. C)
32. (a) α = −β
(b)
i. S1 (−1|0| − 5), S2 (13|2| − 1)
ii. keine Lösungsangabe
(c)
i. falsch
ii. wahr
iii. wahr
3π
4 ,
33. (a) α =
(b)
|~b| = 2
i. R(2|2| 53 )




6
−6
ii. gs : ~x =  0  + λ  8 
0
0
16
iii. A( 18
5 | 5 |0)

34. (a) gref l.
(b)



6
−2
: ~x =  −5  + λ  6 
6
−2
~ · AD
~ =0
i. Zu zeigen: AB
und
~ ~ AB = AD
ii. C (-1|2|5), M (2|2|2)
~ orthogonal zur Ebene ABCD ;
iii. Zu zeigen: SM
V = 72V.E.
iv. Das Trapez ist gleichschenklig
1
3 ;
√
(b) hb = 6.
35. (a) λ1 =
λ2 = −3
(c) Zusatzaufgabe
i. k1 = −2 ; k2 = 3
ii. < an >: arithmetrische Folge, an = a0 + n · d mit a0 = 3 und d = 5
< bn >: geometrische Folge, bn = b0 · q n mit b0 = 4 und q =
1
4
36. (a) a = 4, b = −2 oder a = 10, b = −5
(b) C(5|6|0), F (5|2|4), G(5|6|4), H(1|6|4)
Schattenpunkte in der x1 − x2 -Ebene:
′ 23
′ 23
′ 11
E ′ ( 11
3 |6|0), F ( 3 |6|0), G ( 3 |10|0), H ( 3 |10|0)
37. (a) Zu zeigen: Normalenvektor der Ebene und Richtungsvektor der Geraden sind
orthogonal.
Gerade in Ebene für k = 1.
(b) E(−1|3|4);
A( 32 | − 72 |2);
|EA| =
38. (a) b = 3
(b)
i. e: 2x1 + x2 + 2x3 − 12 = 0
ii. L(3|6|0) ; |M L| = 3
(c) linear unabhängig
108
√
210
2
   
2
1
39. (a) i. e : 1 ·  1  6= 0 → g und e nicht parallel; Schnittpunkt S(-1|-2|6).
0
−1
 19 
 14 
−5
5
 + λ 2 
ii. gs : ~x = − 12
5
5
4
2
 
 
7
7
(b) e1 : −4 · ~x − 27 = 0
e2 : −4 · ~x + 27 = 0
4
4
5.2
Ungleichungen
√ √
1. L = −∞, 1 − 3 ∪ 1 + 3, ∞
√ √
2. L = −∞, 1 − 7 ∪ 1 + 7, ∞
i
h
√
√
3. L = −11−2 105 , −11+2 105
i
i h
h
√
√
4. L = −∞, 11−2 137 ∪ 11+2 137 , ∞
i
h √
h
√ i
5. L = −∞, 1−2 23 ∪ 1+2 23 , ∞
√ √ 6. L = 3 · −3 − 2 · 2 , 3 · −3 + 2 · 2
7. L = −∞, − 21 ∪ ]0, ∞[
8. L = −2, − 21 ∪ 0, 74
9. L = −4, 23 ∪ ]2, ∞[
10. L = −∞, − 41 ∪ ]0, ∞[
11. L = −∞, 12 ∪ ]xs , ∞[
√ √
12. L = −∞, − 21 · 10 ∪ − 21 , 12 ∪ 12 · 10, ∞
13. L = −∞, − 25 ∪ 0, 12 ∪ ]2, ∞[
√ √ 14. L = −2, 1 − 5 ∪ 0, 1 + 5
q
q i
h
i i
2
10
15. L = 1 − 10
,
0
∪
,
1
+
3
3
3
16. L =
i
h
√
1− 13
,0
3
h
i √
∪ 0, 23 ∪ 1+3 13 , ∞
√ √ 17. L = −∞, 1 − 6 ∪ 2, 1 + 6
18. L = ]−∞, 1[ ∪ 2, 52 ∪ ]3, ∞[
i q
√ h
iq 2 1
19. L = − 23 , 31 − 310 ∪ − 12 , 0 ∪
3, 3 +
20. L = ]−∞, −1] ∪ {0} ∪ ]3, 4]
√ h
10
3
21. (a) Skizze siehe Kapitel Abbildungen, Abschnitt 1, Seite 153
h √ h h √
h
√ h
h √
(b) L = −∞, − 23 ∪ 1−3 22 , − 2 3 3 ∪ 0, 2 3 3 ∪ 1+3 22 , ∞
22. (a) Skizze siehe Kapitel Abbildungen, Abschnitt 1, Seite 153
h √
h √ h h √
h
√ h
(b) L = ]−∞, −3[ ∪ 2−3 52 , − 2 3 3 ∪ 0, 2 3 3 ∪ 2+3 52 , ∞
23. (a) Skizze siehe Kapitel Abbildungen, Abschnitt 1, Seite 153
(b) L = ]−5, −1[ ∪ − 12 , 0 ∪ ]0, 1[ ∪ ]3, ∞[
109
24. (a) Skizze siehe Kapitel Abbildungen, Abschnitt 1, Seite 153
√
√ (b) L = − 31 , 0 ∪ 3 − 6, 3 + 6
25. (a) Skizze siehe Kapitel Abbildungen, Abschnitt 1, Seite 153
i
h
√ i
√ i
(b) L = 0, 9−4 33 ∪ 1, 9+4 33
26. (a) Skizze siehe Kapitel Abbildungen, Abschnitt 1, Seite 154
(b) L = − 23 , 1 ∪ 23
13 , ∞
27. (a) Skizze siehe Kapitel Abbildungen, Abschnitt 1, Seite 154
i
h √
h
√ i
(b) L = −∞, 5−2 61 ∪ ]−1, 0] ∪ 5+2 61 , ∞
28. (a) Skizze siehe Kapitel Abbildungen, Abschnitt 1, Seite 154
(b) L = ]−∞, −2[ ∪ ]1, 2[ ∪ 23
11 , ∞
29. (a) Skizze siehe Kapitel Abbildungen, Abschnitt 1, Seite 155
h
h i
√
√ i
(b) L = −1−2 21 , −2 ∪ 1, −1+2 21
30. (a) Skizze siehe Kapitel Abbildungen, Abschnitt 1, Seite 155
(b) L = ]−∞, −5[ ∪ ]−5, −1[ ∪ [0, 2]
31. (a) Skizze siehe Kapitel Abbildungen, Abschnitt 1, Seite 155
h i
h √
√ i
(b) L = ]−∞, −2[ ∪ 1−2 13 , −1 ∪ −1, 1+2 13
32. (a) Skizze siehe Kapitel Abbildungen, Abschnitt 1, Seite 155
√ √ (b) L = −2 − 7, 0 ∪ −2 + 7, 1
33. (a) Skizze siehe Kapitel Abbildungen, Abschnitt 1, Seite 156
√ √ (b) L = −∞, −3 − 2 2 ∪ −3 + 2 2, 3 ∪ ]3, +∞[
34. (a) Skizze siehe Kapitel Abbildungen, Abschnitt 1, Seite 156
(b) L = ]−3, −2[ ∪ ]−2, −1] ∪ − 31 , 0
35. (a) siehe (c)
(b) siehe (c)
(c) Skizze
Kapitel
Abschnitt 1, Seite 156
i siehe √
i h Abbildungen,
h
√
3− 13
3+ 13
∪
,∞
L = −1, 2
2
36. (a) siehe (c)
(b) siehe (c)
(c) Skizze siehe Kapitel
1, Seite 156
√ √ Abschnitt
Abbildungen,
L = ]−∞, −2[ ∪ −2, − 3 ∪ 0, 3
37. (a) siehe (c)
(b) siehe (c)
(c) Skizze siehe Kapitel Abbildungen, Abschnitt 1, Seite 157
L = ]−1, 0[ ∪ ]1, 2[ ∪ ]2, ∞[
38. (a) siehe (c)
(b) siehe (c)
(c) Skizze
Kapitel
Abschnitt 1, Seite 157
h siehe
h Abbildungen,
i
√
√ i
−1− 15
−1+ 15
L=
, −2 ∪ 1,
2
2
39. (a) siehe (c)
(b) siehe (c)
(c) Skizze
Kapitel
Abschnitt 1, Seite 157
h siehe
h Abbildungen,
i
√
√ i
−1− 21
−1+ 21
L=
, −2 ∪ 1,
2
2
110
5.3
Determinanten und Lineare Gleichungssysteme
1. (a) Unlösbar gdw. a = 2.
Eindeutig lösbar gdw. a 6= 2.
(b) Für a = −1: x = − 76 , y = − 65 , z = 1.
2. (a) |A| = 766
(b) ∞ viele Lösungen; Gleichung 3 ist das 4/3-fache von Gleichung 1.
3. (a) |A| = 0
(b) Eindeutig lösbar.
4. (a) |A| = 0
(b) Eindeutig lösbar.
5. (a) Unlösbar gdw. a = 37 .
Eindeutig lösbar gdw. a 6= 73 .
7
(b) Für a = −1: x = − 10
, y = − 35 , z = 1.



1
6. (a) ∞ viele Lösungen; ~x = 14 ·  0  + λ · 
−1
(b) |A| = abcd + 4ab + 4ad + 4cd + 16.
7
8

1 , λ ∈ R.
13
8
7. (a) Lösbar gdw. b3 = 2b2 − b1 .



−1
1
Für b1 = b2 = b3 = 1: ~x =  1  + λ ·  −2 , λ ∈ R.
0
1
(b) Rg(C) = 2
8. (a) Lösbar gdw. b1 = 2b2 .




− 10
1
3
3  + λ ·  −2 , λ ∈ R.
Für b1 = 2 und b2 = 1: ~x = 
0
1
(b) t1 = 0; t2/3 =
√
3±j 39
4
9. (a) Lösbar ∀b ∈ R;










−1
 1 


0

~x =
−1
19




  1  + λ ·  −14  , λ ∈ R


0
1
(b) |C| = −16b;
Rg(C) =
10. (a) Lösbar ∀b ∈ R;
~x =
















1
3
3 fr
4 fr
f uer
b 6= 41
f uer
b = 41
b=0
b 6= 0

−1
1 
2 
3 ·


0

−1
1
·  2  + λ ·  −2  , λ ∈ R
0
1
111
fr
b 6= 9
fr
b=9
(b) |C| = −10a − 42;
Rg(C) =
11. (a) Lösbar ∀b ∈ R;
~x =















3
4
fr
fr
a = −21/5
a 6= −21/5

1
3

−3
1 
4 
3 ·


0

−3
1
·  4  + λ ·  −2  , λ ∈ R
0
1
(b) |C| = −12b − 24;
Rg(C) =
3 fr
4 fr
fr
b 6= 10
fr
b = 10
b = −2
b 6= −2
12. (a) Inhom. LGS unlösbar gdw. a ∈ {−2, 4}. In diesem Fall hat das hom. LGS ∞ viele
Lösungen.
Inhom. LGS eindeutig lösbar gdw. a ∈ R\{−2, 4}. In diesem Fall hat das hom.
LGS nur die triviale Lösung.
 
 0 
(b) Linhom = {} für a = 4 und Lhom =  0  für a = 0 .


0
13. (a) Inhom. LGS unlösbar gdw. a ∈ { 32 , 3}. In diesem Fall hat das hom. LGS ∞ viele
Lösungen.
Inhom. LGS eindeutig lösbar gdw. a ∈ R\{ 23 , 3}. In diesem Fall hat das hom.
LGS nur die triviale Lösung.

 



0 
−1



(b) Linhom =  0  für a = 0 und Lhom = λ ·  1  , λ ∈ R für a = 3 .




−1
5
14. Lösbar gdw. a = 2b − 1. 



1
−2
Für b = 0 , a = −1: ~x =  3  + λ ·  −3 , λ ∈ R.
0
1
15. (a) eindeutig lösbar gdw. a 6= b.
∞ viele Lösungen, wenn a = b.
 
 1 
(b) Für a = 2 und b = 3: L =  1  .


0
16. |C| = 2b · (1 − a);
Rg(C) =
4
3
fr
fr
b 6= 0 ∧ a 6= 1
b = 0∨a = 1
17. (a) Inhom. LGS hat ∞ viele Lösungen, wenn a = 12; unlösbar gdw. a = 32 . In beiden
Fällen hat das hom. LGS ∞ viele Lösungen.
Inhom. LGS eindeutig lösbar gdw. a ∈ R\{ 23 , 12}. In diesem Fall hat das hom.
LGS nur die triviale Lösung.
112
(b) Linhom
Linhom
für a = 12 :

~x = 
10
7
1
21
0


1 

=  13  für a = 3 .


0


+λ·
− 22
7
2
21
1

, λ ∈ R
18. |C| = −6a2 + 6a + 18;
d.h. |C| unabhängig von b
(
√
√
13 1+ 13
, 2√ }
3 fr
a ∈ { 1−2 √
Rg(C) =
4 f r a ∈ R\{ 1−2 13 , 1+2 13 }
19. (a) detA = 0 gdw. a ∈ {− 54 ; 1}
i. a = 1 : Inhom. LGS hat ∞ viele Lösungen; hom. LGS hat ∞ viele Lösungen.
ii. a = − 54 : Inhom. LGS hat keine Lösung; hom. LGS hat ∞ viele Lösungen.
iii. a ∈ R\{− 54 ; 1} : Inhom. LGS hat genau eine Lösung; hom. LGS hat nur die
triviale Lösung.
 


0
−5
(b) i. a = 1 : ~x =  1  + λ ·  4 , λ ∈ R
0
1
ii. a = − 45 : Linhom = { }


5
iii. a = 0 : ~x = 14  5 
−1
20. (a) detA = 0 ⇒
i. hom. LGS hat ∞ viele Lösungen; inhom. LGS hat ∞ viele oder keine Lösungen
ii. inhom. LGS ist lösbar, wenn a1 − a2 + 3a3 = 0
 1 
 1 
−3
−3
(b) gewählt: a1 = a2 = 1 , a3 = 0 ⇒ ~x =  23  + λ ·  − 34 , λ ∈ R
0
1
21. |C| = −3a2 + 3a + 3;
d.h. |C| und Rang C unabhängig von b
(
√
√
5 1+ 5
, 2 √}
3 fr
a ∈ { 1−2 √
Rg(C) =
4 f r a ∈ R\{ 1−2 5 , 1+2 5 }
22. (a) detA = 0 gdw. a ∈ { 21 ; 8}
i. a = 8 : Inhom. LGS hat ∞ viele Lösungen; hom. LGS hat ∞ viele Lösungen.
ii. a = − 21 : Inhom. LGS hat keine Lösung; hom. LGS hat ∞ viele Lösungen.
iii. a ∈ R\{ 21 ; 8} : Inhom. LGS hat genau eine Lösung; hom. LGS hat nur die
triviale Lösung.




−1
−2
(b) i. a = 8 : ~x =  2  + λ ·  0 , λ ∈ R
0
1


−5
ii. a = 2 : ~x =  10 
0
23. |C| = 3a2 + 6a − 27;
d.h. |C| und Rang C unabhängig von b
√
√
3 fr
a ∈ {−1 − √
10; −1 + √
10}
Rg(C) =
4 f r a ∈ R\{−1 − 10; −1 + 10}
113
24. (a) detA = 0 gdw. a ∈ {−1; 1}
i. a = −1 : Inhom. LGS hat ∞ viele Lösungen; hom. LGS hat ∞ viele Lösungen.
ii. a = 1 : Inhom. LGS hat keine Lösung; hom. LGS hat ∞ viele Lösungen.
iii. a ∈ R\{−1; 1} : Inhom. LGS hat genau eine Lösung; hom. LGS hat nur die
triviale Lösung.


 
−1
1
(b) i. a = −1 : ~x =  0  + λ ·  1 , λ ∈ R
0
0
ii. a = 1 : Linhom = { }


−1
iii. a = 0 : ~x =  1 
0
25. LGSlösbar,
wenn a
+ b − 2= 0; allgemeine Lösung für a = 0 und b = 2 :
− 31
− 31
2 


− 31 
~x =
+λ·
3
0
1
26. |C| = abcd + abc + acd + abd + bcd
27. detA = 0 gdw. a ∈ {3; 8}
(a) a = 3: LGShat ∞ 
viele Lösungen;

2
− 31
3
~x =  − 13  + λ ·  − 13 , λ ∈ R ist eine allgemeine Lösung
0
1
(b) a = 8 : LGS ist unlösbar
(c) a ∈ R\{3; 8} : LGS hat genau
 1 eine
 Lösung;
Lösung für a = 0:
4
~x =  0 
1
2
28. |C| = −cd − 2bcd + ac + 2abc
√
√
29 −3+ 29
;
}
2
29. (a) wenn detA = 0, d.h. a ∈ { −3−2
i. hom. LGS

hat ∞ viele Lösungen:


~x = λ · 


√
+
(−1+ 29)
+
√
(−25+3 29)
+
√
2(−6+ 29)
+
√
(−25+3 29)
1


, λ ∈ R


ii. inhom. LGS hat keine Lösungen, da Rg(A) = 2 < Rg(A|b) = 3
√
√
29 −3+ 29
;
}
2
(b) wenn detA 6= 0, d.h. a ∈ R\{ −3−2
i. hom. LGS hat genau eine Lösung, die triviale.


− 85
ii. inhom. LGS hat genau eine Lösung; für a = 0: ~
x =  − 35 
7
5
30. det(A) = 0 → homogenes LGS: ∞ Lösungen, inhomogenes LGS: ∞ Lösungen oder
unlösbar
 1 
4
Lösungen homogen: ~x = λ ·  − 12 , λ ∈ R
1
Lösungen inhomogen:
(a) a 6= 6 → Rg(A) = 2 < Rg(A|b) = 3 → unlösbar
114

(b) a = 6 → ~x = 
13
4
− 25
0


+λ·
1
4
− 12
1

, λ ∈ R
31. Durch elementare Umformungen (i.w. Gauß-Algorithmus) auf Dreiecksform bringen;
det(C) = −6π + 234
32. detA = a2
(a) wenn detA = 0, d.h. a = 0 :


−λ − µ
, λ, µ ∈ R
λ
i. hom. LGS hat ∞ viele Lösungen : ~x = 
µ
ii. inhom. LGS :
• wenn b = 0: hom. LGS hat ∞ viele Lösungen (wie hom. LGS)
• wenn b 6= 0: hom. LGS hat keine Lösung, da Rg(A) 6= Rg(A|b)
(b) wenn detA 6= 0, d.h. a 6= 0
i. hom. LGS hat genau eine Lösung: den Nullvektor
 a2 −b 
a
ii. inhom. LGS hat genau eine Lösung: ~x = 
1
b−a
a

33. Determinante vereinfachen und nach den bekannten Regeln umformen
34. (a) L = {(p, q) | (0, 0), (0, 2)}

  26

7
4
x1
27 u + 9 v − 27 w
7
1
(b) i. ~x =  x2  =  27
u + 59 v + 27
w 
2
1
1
x3
−9 u − 3 v + 9 w
 7 


4
− 27
9
1
 für alle w ∈ R
ii. ~x =  59  + w ·  27
1
−3
+ 91
1 0
−1 0
35. (a) X1 =
, X2 =
0 1
0 −1
2
1−x2
u 1−u
x
z
z
X3 =
, X4 =
z −x
z −u
2
2
1−x
−x
−u 1−u
z
z
X5 =
, X6 =
z
x
z
u
1
0 z
X7 =
z 0
(b) det(A) = a3 − 3a2 − 4a + 12 = (a − 2)(a + 2)(a − 3)
→ det(A) = 0 gdw. a ∈ {−2, 2, 3}.
a = −2 : nur lösbar, wenn b=0 ;
a=2
: nur lösbar, wenn b=0 ;

− 23
~x = λ ·  −1 
1


1
~x = λ ·  −1 
1
 b 

9
~x =  0  + λ · 
0
 1 
−4
~x = b ·  14 
− 14
a = 3 , b beliebig:
a=0

→ det(A) 6= 0;
115
27
117
8
− 13
1


36. det(A) = −5(a − 1)(b − 1)
a 6= 1
a 6= 1
a=1
a=1
∧
∧
∧
∧
b 6= 1
b=1
b 6= 1
b=1
⇒
⇒
⇒
⇒
Rg(A) = 4
Rg(A) = 3
Rg(A) = 3
Rg(A) = 2
37. (a) A2 = A ; A · B = 0 ; B 2 = −A + E
(b) det(A) = 7(t2 − 11t + 18)
t = 2 : keine Lösung




18
−5
t = 9 : ~x =  1  + λ  −11 
0
1
t 6= 2 ∧ t 6= 9 :

~x = 
− 5t+8
t−2
t+9
t−2
1
− t−2
38. det(A) = (x − 1)(x − 2)(x − 3)


39. (a) det(A) = 1 − a
(b)
40. (a)
i. wenn det(A) = 0, d.h. wenn a = 1 :
• hom. LGS hat ∞ viele Lösungen
• inhomogenes LGS hat ∞ viele Lösungen oder keine Lösung
ii. wenn det(A) 6= 0, d.h. wenn a 6= 1 :
• hom. LGS hat nur die triviale Lösung ~x = 0
• inhomogenes LGS hat genau eine Lösung
i. a = 1 :


−1
 1 

• homogen: ~x = 
 −1 
1



1
 0 



• inhomogen: ~x = 
 1  + λ
0
ii. a 6= 1 (z.B. a = 0):
 
0
 0 

• homogen: ~x = 
 0 
0


0
 1 

• inhomogen: ~x = 
 0 
1

−1
1 

−1 
1
• b 6= 1 , a beliebig : genau eine Lösung
• b = 1 , a = 2 : ∞ viele Lösungen
• b = 1 , a 6= 2 : keine Lösung




1
3
 −3 
 5 




 + µ 0 
1
(b) ~x = λ 




 0 
 4 
0
1
41. (a)
i. richtig
ii. falsch
iii. richtig
116
iv. richtig


2 −1 −1
(b) X = 0 −2 −4
0 1
2

b1
 b2 

42. (a) lösbar für rechte Seite ~b = 
 b3  mit −6b1 − b2 + 2b3 + 3b4 = 0
b4


0
 1 

(b) Lösungsvektor ~x = 
 λ ; nicht für beliebige rechte Seiten lösbar
λ
(c)
43. (a)

i. eindeutig lösbar für λ ∈ R \{− 23 ; 3}
ii. keine Lösung für λ = − 23
iii. ∞ viele Lösungen für λ = 3
i. A.
B.
C.
D.
E.
ii. A.
B.
C.
D.
E.
F.
richtig
falsch
falsch
richtig
falsch
Inverse
Inverse
Inverse
Inverse
Inverse
Inverse
nicht zwingend existent
existent
existent
existent
existent
existent
(b) zu zeigen: P · P 2 = E
44. (a) a = 2, b = −1
(b) |A| = 16 − b2
(c)
(d)

0
wenn |b| 6= 4: ~x =  1 
0
 


0
0
wenn b = 4: ~x =  1  + λ  −2 
0 
1 8 
0
−5
wenn b = −4: ~x =  1  + λ  56 
0
1

i. −6
ii. 72
iii. 18
i. wahr
ii. mögliche Werte für den Rang sind 1 und 2
45. (a) a = 11, b = −9, c = −13
(b) a = 2, b = −1, c = 1
(c)
i. Spalte 1 und Spalte 3 linear abhängig
ii. Spalte 1 = Spalte 3
(d)
i. A.
B.
C.
D.
ii. A.
wahr
falsch
wahr
falsch
falsch
117
B. wahr
C. falsch
D. falsch
46. (a) λ1 = 1, λ2 = −1, λ3 = 3
(b) |A| = 16

47. (a) unendlich viele Lösungen, wenn t = −1; Lösungsmenge: ~x = 
− 31
4
7
8
0
kein Lösung, wenn t 6= −1
genau eine Lösung: nie
(b) A2 = E
⇒ A = A−1 , |A| 6= 0;


+λ 
1
4
− 85
1
|A| = 1
(c) Berechnung Determinante und Vergleich
48. (a) L = {a | a ∈ R\{0, 1, 2}}
(b) a = 81 (k − 9), b = 14 (−5k + 31), c = 3k − 11.
(c)
i.
ii.
iii.
iv.
det(3A) = −189
det(A−1 ) = − 71
det(2AT ) = −56
1
det((2A)−1 ) = − 56

  1 
 1 
a
−9
6
49. (a) ~x =  b  =  − 12  + λ  0 
c
0
1
(b) det(A) = 39
(c) Anwendung Additionstheorem in Spalte 3, Umformungen Spalten 1 und 2 als
Summe Spalte 3
(d) ii.
50. x =
3
11
;
y=
2
11
1
z = − 11
;
51. (a) nur lösbar, wenn t =
(b) x1 = 1
x2 = 2
11
4
x3 = 3
⇒
x1 =
1
2
, x2 =
1
4
, x3 =
1
2
(c) Zu zeigen: det(A) = 0 ⇔ A nicht invertierbar
(Addition Zeile 2 zu Zeile 1 ergibt Zeile 3)
10
52. x = − 11
;
y=
18
11
;
z=
38
11
53. (a) nur lösbar für t ∈ {−1, 1}





1
−2
−1
 0 
 −1 
 −1 





Lösungsmenge für t = 1: ~x = 
 0  + λ 1  + µ 0 
0
0
1
 
 


1
0
−1
 0 
 1 
 1 

 


Lösungsmenge für t = −1: ~x = 
 0  + λ 1  + µ 0 
0
0
1


a + 1 −1
−1
1
−1

−1
a
+
1
−1 
(b) A = (a+2)(a−1)
−1
−1 a + 1
(c)

Inverse existiert, wenn a ∈ R\ {−2, 1}
i.
ii.
iii.
iv.
richtig
falsch
richtig
richtig
118




 
−b1 + 2b2
−1
 1 b1 − 9 b2 + 3 b3 
− 3 
2
8
8 
 4
54. (a) i. ~x = 
 1 b1 − 5 b2 − 1 b3  + λ  1 
2
8
8
4
0
1
 
 
−2
−1
 7 
− 3 
2 
 4
ii. ~x = 
 1  + λ 1 
2
4
0
1
 
11
(b) t = 2 ; s = −3 ; ~x = 51  8 
12
(c) Zusatzaufgabe
i. Antwort C
ii. Antwort B und D
55. (a) keine Lösungsangabe
(b)
5.4
i.
ii.
iii.
iv.
det(−2A) = −16
det(A3 ) = 8
det(3AT ) = 54
det(A−1 ) = 12
Funktionen
1. (a) L =
n
(2n+1)π
2
o
|n∈Z
(b) Verwendung von cosh(x) =
n
o
|
n
∈
Z
2. (a) L = (2n+1)π
2
ex +e−x
2
und sinh(x) =
ex −e−x
.
2
(b) Verwendung von cos(x) = 1 − 2 sin2 (x).
3. Verwendung von cos(x) =
ejx +e−jx
.
2
jx
jx
−jx
4. Verwendung von cos(x) = e +e
und sin(x) = e
2
n
o n
o
(2m+1)π
5. (a) L = (2n+1)π
|
n
∈
Z
∪
|
m
∈
Z
2
4
(b) Verwendung von cosh(x) =
ex +e−x
2
−e−jx
.
2j
und sinh(x) =
6. (a) x = 21/8 · e5/4
5π
3π
7π
(b) L = ± π4 , ± π2 , ± 3π
4 ,± 4 ,± 2 ,± 4
n
o
7. (a) L = {nπ | n ∈ Z} ∪ (2m+1)π
|m∈Z
4
(b) Verwendung von cosh(x) =
8. (a) L = nπ
2 |n∈Z
ex +e−x
2
und sinh(x) =
(b) Verwendung der Additionstheoreme
cos(α ± β) = cos(α) · cos(β) ∓ sin(α) · sin(β)
sin(α ± β) = sin(α) · cos(β) ± cos(α) · sin(β)
9. (a) L = nπ
2 |n∈Z
(b) Verwendung von sin(x) =
10. (a) L = nπ
2 |n∈Z
ex −e−x
.
2
ex −e−x
.
2
und
ejx −e−jx
.
2j
(b) Verwendung von cosh(x) =
11. (a) L = nπ
4 |n∈Z
(b) Verwendung von cosh(x) =
ex +e−x
2
und sinh(x) =
ex −e−x
.
2
ex +e−x
2
und sinh(x) =
ex −e−x
.
2
119
12. (a) L =
n
(2n+1)π
2
o n
o n
o
| n ∈ Z ∪ (6m13+1)π | m1 ∈ Z ∪ (6m23+5)π | m2 ∈ Z
x
−x
x
−x
x
−x
(b) Verwendung von cosh(x) = e +e
und sinh(x) = e −e
.
2
2
n
o n
o
(6l+4)·π
13. (a) L = {n · π | n ∈ Z} ∪ (6m+2)·π
|
m
∈
Z
∪
|
l
∈
Z
3
3
und sinh(x) =
(b) Verwendung von cosh(x) = e +e
2
n
o
√
√
14. (a) L = 12 · e4− 6−8 ln(2) , 12 · e4+ 6−8 ln(2)
ex −e−x
.
2
ejx +e−jx
2
und sin(x) =
ejx −e−jx
.
2j
ejx +e−jx
2
und sin(x) =
ejx −e−jx
.
2j
(b) Verwendung von cos(x) = e +e
und sin(x) =
2
3
17. (a) L = 2
n
o n
o
| n ∈ Z ∪ (2m−1)π
|m∈Z
(b) L = (2n−1)π
2
4
ejx −e−jx
.
2j
(b) Verwendung von cos(x) =
n
√ o
15. (a) L = 12 ln( 1+2 3 )
(b) Verwendung von cos(x) =
√ 16. (a) L = 12 ln(2 + 5)
18. (a) x0 =
54
1 ln( 49 )
2 ln( 32 )
(b) L = {nπ | n ∈ Z} ∪
ln(
2a
√
3
)
n
jx
−jx
(1+8m)π (3+8m)π (5+8m)π (7+8m)π
,
,
,
4
4
4
4
o
|m∈Z
3−2 2
a ∈ R+ \{0}
19. (a) x0 = 12 ln(2)
n
o
p√
p√
(b) L = − arcsin( 12
5 + 1 + k · π, arcsin( 12
5+1+k·π |k ∈Z
20.
x0 =
2 ln(3)− 12 ln(2)−ln(3+a)
2ln(a)−ln(2)
21. (a)
i. f (x) = ln(x)
x
ii. f (x) = √1+x
2
√
√
ln(c− c2 −4baα+β −ln(2)−α ln(a) ln(c+ c2 −4baα+β −ln(2)−α ln(a)
(b) L =
,
ln(a)
ln(a)
22. (a) L = {kπ , k ∈ Z} ∪
(b) r =
1
2
, a=4, b=
23. (a) L = e , e−1
(b) L = kπ
3 ,k ∈ Z
24. (a)
i. L = {−2, 2}
ii. L = {9}
(b) r = 12 ;
a = 4;
n
(2l+1)π
4
9
4
b=
o
,l ∈ Z
25
4
25. (a) f (x) = |x2 − 2| + x − 2, Dmax = R+
0
q
b
(b) i. x = ln( a )
ii. x = 0
√
iii. x1 = 12 ln(2 + 3), x2 =
(c) keine Lösungsangabe
1
2
ln(2 −
√
3)
2x
26. (a) y −1 = ee2x −1
+1
(b) L = kπ − π4 , k ∈ Z
(c) Verwendung der Definition der hyperbolischen Funktionen cosh(x) und sinh(x).
120
27. (a) Anwendung ln(a) + ln(b) = ln(a · b) und
(a + b)(a − b) = a2 − b2
(b) Verwendung der Definition der hyperbolischen Funktion cosh(x) =
ex +e−x
2
28. (a) x1,2 = 1
(b) wie 27 (a)
(c) L = π2 + 2kπ , π6 + 2kπ , 5π
6 + 2kπ , k ∈ Z
(d) i., iii.
(e) i.: M (2, 4), r = 5
iv.: M (3, −5), r = 4
1
29. (a) L = 10 ; 10
n √
√ o
(b) L = 1−2 3 ; 1+2 3
n
o
π
(c) L = {kπ , k ∈ Z} ∪ (2k+1)
,
k
∈
Z
4
(d) i. Kreis um M (1|2) mit Radius r = 5
ii. Hyperbel mit Halbachsen a = 2 und b = 2
(e) an =
n2
n+1
30. (a) x1 = −2 ;
(b) x1 = e
−1−
2
, n ∈ N∗
√
5
x2 = ln(2) − 2
;
x2 = e
(c) Einsetzen von sin(z) =
5.5
−1+
2
√
5
ejz −e−jz
2j
und cos(z) =
ejz +e−jz
2
liefert Behauptung.
Komplexe Zahlen
1. |z| =
1
3
√
5, arg(z) = arctan(2). Für w2 = z: w1 ≈ 0.73 + 0.45j und w2 = −w1 .
2. (a) Zeichnung: siehe Abbildungung in Kapitel 8
√
√
√
√
(b) z1 = 3 + j; z2 = −1 + j 3; z3 = − 3 − j; z4 = 1 − j 3
3. (a) Verwendung der Polarform von z1 und z2 .
(b) z1 ≈ 0.87 + 0.17j; z2 ≈ 0.28 + 0.83j; z3 ≈ −0.58 + 0.66j; z4 = −z1 ; z5 = −z2 ;
z6 = −z3 ;
z7 ≈ 0.88 − 0.4j; z8 ≈ 0.79 + 0.56j; z9 ≈ −0.1 + 0.96j; z10 = −z7 ; z11 = −z8 ;
z12 = −z9
4. (a) Verwendung der Polarform von z1 und z2 .
(b) z1 ≈ 1.07 + 0.21j; z2 ≈ −0.21 + 1.07j; z3 = −z1 ; z4 = −z2
5. (a) Zeichnung: siehe Abbildungung in Kapitel 8
(b) z1 ≈ 1.09 + 1.62j; z2 = −z1 ; z3 ≈ 0.95 − 1.86j; z4 = −z3
6. (a) z1 ≈ 0.79 + 0.79j; z2 ≈ −1.08 + 0.29j; z3 ≈ 0.29 − 1.08j
(b) (x − a)2 + (y − b)2 < r2 Zeichnung: siehe Abbildungung in Kapitel 8
√
√
7. (a) z1 = j; z2 = − 21 3 − 21 j; z3 = 12 3 − 21 j
(b) z =
8
17
+
15
17 j
8. (a) z1 ≈ 0.38 + 0.92j; z2 ≈ −0.92 + 0.38j; z3 = −z1 ; z4 = −z2
cos(3)
sinh(1) cosh(1)
(b) z = cossin(3)
j
2 (3)+sinh2 (1) −
cos2 (3)+sinh2 (1)
9. (a) z1 ≈ 0.79 + 0.79j; z2 ≈ −1.08 + 0.29j; z3 ≈ 0.29 − 1.08j; z4 ≈ 0.79 − 0.79j;
z5 ≈ 0.29 + 1.08j; z6 ≈ −1.08 − 0.29j
(b) z =
10. (a) z =
9
41
−
40
41 j
5
4
(b) z1 ≈ 0.81 + 0.59j; z2 ≈ −0.31 + 0.95j; z3 = −1; z4 ≈ −0.31 − 0.95j; z5 ≈
0.81 − 0.59j;
121
11. (a) z = − 43 j
(b) z1 ≈ 0.99 + 0.12j; z2 ≈ 0.39 + 0.92j; z3 = −0.6 + 0.8j; z4 = −z1 ; z5 = −z2 ;
z6 = −z3 ;
12. (a) a =
5
13
−
12
13 j;
|a| = 1; arg(a) ≈ 5, 107 ≈ 292, 61o
(b) z1 ≈ 0.29 + 0.96j; z2 = j · z1 ; z3 = −z1 ; z4 = −z2
13. (a) a = − 41 j; |a| = 14 ; arg(a) =
3π
2
1
j;
2
(b) z1 ≈ 0, 48 + 0, 16j; z2 =
z3 ≈ −0, 48 + 0, 16j; z4 ≈ −0, 29 − 0, 41j;z5 ≈
0, 29 − 0, 41j
Lage der Lösungen: siehe Zeichnung im Anhang
14. (a) a = − 65 + 16 j; |a| =
√
26
6 ;
arg(a) ≈ 2, 944 ≈ 168, 7o
(b) z1 ≈ 1, 07 + 0, 21j; z2 = j · z1 ; z3 = −z1 ; z4 = −z2
Lage der Lösungen: siehe Zeichnung im Anhang
14
+
15. (a) a = − 15
13
15 j;
|a| =
√
365
15 ;
arg(a) ≈ 2, 393 ≈ 137, 1o
(b) z1 ≈ 0, 60 + 1, 01j; z2 ≈ −0, 76 + 0, 88j; z3 ≈ −1, 08 − 0, 47j; z4 ≈ 0, 11 − 1, 17j;
z5 ≈ 1, 15 − 0, 26j
Lage der Lösungen: siehe Zeichnung im Anhang
7
16. (a) za = − 10
+
1
10 j;
|za | =
√
2
2 ;
arg(a) ≈ 3, 0 ≈ 171, 9o
(b) zb1 ≈ 0, 20 + 1, 72j; zb2 ≈ −1, 72 + 0, 20j; zb3 ≈ −0, 20 − 1, 72j; zb4 ≈ 1, 72 − 0, 20j
Lage der Lösungen: siehe Zeichnung im Anhang
31
17. (a) a = − 34
+
29
34 j;
21
+
18. (a) a = − 25
7
25 j;
|a| =
√
1802
34 ;
arg(a) ≈ 2, 3895 ≈ 136, 9o
(b) zb1 ≈ 1, 28 + 0, 43j; zb2 ≈ −1, 28 − 0, 43j; zb3 ≈ 0, 94 − 0, 58j; zb4 ≈ −0, 94 + 0, 58j
Lage der Lösungen: siehe Zeichnung im Anhang
|a| =
√
7 10
25 ;
arg(a) ≈ 2, 82
(b) zb1 ≈ 1, 26 + 0, 97j; zb2 ≈ −1, 26 − 0, 97j; zb3 ≈ 1, 17 − 0, 19j; zb4 ≈ −1, 17 + 0, 19j
Lage der Lösungen: siehe Zeichnung im Anhang
19. (a) keine Lösungsangabe
√
(b) z1 = 3 2(cos( π9 ) + j sin( π9 )) ≈ 1, 18 + 0, 43j;
√
7π
z2 = 3 2(cos( 7π
9 ) + j sin( 9 )) ≈ −0, 96 + 0, 81j;
√
3
13π
z3 = 2(cos( 9 ) + j sin( 13π
9 )) ≈ −0, 21 − 1, 24j;
Lage der Lösungen: siehe Zeichnung im Anhang
20. (a) Menge in der komplexen Ebene siehe Zeichnung im Anhang
(b) b1 ≈ 1, 46 + 1, 10j; z1,1 ≈ −1, 28 − 0, 43j; z1,2 ≈ +1, 28 + 0, 43j
b2 ≈ 0, 55 − 1, 10j; z2,1 ≈ +0, 94 − 0, 55j; z2,2 ≈ −0, 94 + 0, 55j
Lage der Lösungen: siehe Zeichnung im Anhang
2
21. (a) M1 : y ≥ x2 + 1 ; M2 : ( x4 )2 + ( (y+1)
4 ) ≤ 1
Schnittmenge in der komplexen Ebene siehe Zeichnung im Anhang
√
(b) i. ℜ(z) = 64 ; ℑ(z) = 64 3
7
ii. ℜ(z) = − 41
; ℑ(z) = 22
41
√
iii. z1 = 4 2(cos( π8 ) + j sin( π8 )) ≈ 1, 099 + j0, 455
√
z2 = 4 2(− cos( π8 ) − j sin( π8 )) ≈ −1, 099 − j0, 455
22. (a)
√
1
i. ℜ(z) = − 643 ; ℑ(z) = − 64
1
8
ii. ℜ(z) = 13 ; ℑ(z) = 13
√
√
iii. z1 : Re(z1 ) = 6 2 cos 7π
≈ −0, 29 ; Im(z1 ) = 6 2 sin 7π
12
12 ≈ 1, 08
√
√
6
6
15π
z2 : Re(z2 ) = 2 cos 12 ≈ −0, 79 ; Im(z2 ) = 2 sin 15π
12 ≈ −0, 79
√
√
6
23π
z3 : Re(z3 ) = 6 2 cos 23π
≈
1,
08
;
Im(z
)
=
2
sin
3
12
12 ≈ −0, 29
(b) z = −y + jy = x − jx
23. (a) Spirale um Ursprung; Skizze siehe Kapitel Abbildungen, Abschnitt 2, Seite 161
122
(b)
i. ℜ(z) = 8 · 37 = 17496 ; ℑ(z) = ℜ(z)
2
23
ii. ℜ(z) = − 41
; ℑ(z) = 41
√
4
iii. z1 = 2(cos( π8 ) + j sin( π8 )) ≈ 1, 099 + j0, 455
√
z2 = 4 2(− cos( π8 ) − j sin( π8 )) ≈ −1, 099 − j0, 455
24. (a) Schnittmenge
√ zwischen dem Bereich ℜ(z) > 1 und dem Kreis um M(3|0) mit
Radius r = 10; Skizze siehe Kapitel Abbildungen, Abschnitt 2, Seite 162
√
45
15
2475
225
75
2
; ℑ(z) = − 61
; |z| = 122
61; z 2 = − 14884
− j 3375
(b) ℜ(z) = 122
3721 ; |z | = 244
√
√
√
√
√
(c) z1 = 0; z2 = j 3 2; z3 = 3 2(− 23 − 12 j); z4 = 3 2( 23 − 12 j)
√
√
√
√
25. (a) z1 = −1 + j 3; z2 = 1 − j 3; z3 = −1 − j 3; z4 = 1 + j 3
Die Lösungen z3 und z4 sind jeweils konjugiert komplex zu z1 und z2 ; sie liegen
also zu diesen spiegelsymmetrisch zur x-Achse.
(b) ℜ(z) =
17
16
; ℑ(z) =
√
15 3
16
26. (a) (z + 2 + j)(z + 2 − j)(z + 3)(z − 1)
3
7
(b) a = 2x
− ( 2x
+ 5)j; Bedingung: x = ℜ(z) 6= 0, y = ℑ(z) beliebig; für
7
a ∈ R : a = − 15
7 , x = ℜ(z) = − 10 ; y = ℑ(z)beliebig;
√
(c) z = 5 ± 5 3j
(d) f (z) =
2 ℜ(z)
|z|
= √ 2x
2
x +y 2
27. (a) z0 = 2 + 2j ; z1 = −2 − 2j
(b) Bereich zwischen der y-Achse, der Geraden y = −x und dem Kreis um M(0|-2)
mit Radius r = 3; Skizze siehe Kapitel Abbildungen, Abschnitt 2, Seite 162
(c) Verwendung der Beziehungen sin(z) =
ey −e−y
2
und cosh(y) =
ejz −e−jz
2j
, cos(z) =
ejz +e−jz
2
, sinh(y) =
ey +e−y
2
(d) Es gibt 4 verschiedene Lösungen (1, -1, j, -j)
(e) a = 2, b = −3
√
√
28. (a) z0 = 2 3 + 2j ; z1 = −2 3 + 2j ; z3 = −4j
(b) Mit Einsetzen von j 30 = −1 und j 19 = −j folgt Behauptung
(c) a = b = 2
29. (a) ℜ(z) = 1 , ℑ(z) = 0
√
√
(b) i. |z − j| = √2 : Kreis um M (0|1) mit r = 2√
|z + j| = 2 : Kreis um M (0| − 1) mit r = 2
→ M1 = Schnittpunkte beider Kreise = {(−1|0), (1|0)}
ii. M2 = {z ∈ C| ℜ(z) < 0 , ℑ(z) beliebig} (2. und 3. Quadrant der komplexen
Ebene)
√
3π
(c) z1 = 8 2 [cos( 3π
16 ) + j sin( 16 )] = ℜ(z1 ) + j ℑ(z1 );
π
mit sin(φ + 2 ) = cos(φ) , cos(φ + π2 ) = − sin(φ) , · · · , folgt:
z2 = −ℑ(z1 ) + j ℜ(z1 ), z3 = −ℜ(z1 ) − j ℑ(z1 ), z4 = ℑ(z1 ) − j ℜ(z1 );
Skizzen zu b) und c): siehe Kapitel Abbildungen, Abschnitt 2, Seite 163
(d)
i. richtige Antwort: D
ii. richtige Antwort: B
123
Kapitel 6
Lösungen Mathematik 2
6.1
Differentialrechnung
cos(2x)
)
x
1. f ′ (x) = − sin(x) · xcos(2x) + cos(x) · xcos(2x) · (−2 sin(2x) ln(x) +
1
(− ln(ln(x))
+ x2 ln(x)
)
x2
2. f ′ (x) = cos(x) · xsin(3x) + sin(x) · xsin(3x) · (3 cos(3x) ln(x) +
3. f ′ (x) = 4x3 cot(x4 ) −
4x7
sin2 (x4 )
+ 2x arctan( x1 ) −
4. f ′ (x) = 3x2 (cot(x5 ) + arccot( x12 )) −
5x7
sin2 (x5 )
+
+
p
x
ln(x) ·
sin(3x)
)
x
x2
x2 +1
2
1+ x14
5. f ′ (x) = 3x2 cosh(x3 ) ln2 (ax) + sinh(x3 ) 2 ln(ax)
+ 2x cos(x2 )
x
6. f ′ (x) = 5x4 coth(2x) ln(bx) −
2x5 ln(bx)
sinh2 (2x)
+ x4 coth(2x) + 4x3 sin(x4 )
+ 4 cosh(4x) + a sinh(4x)] + 2x(sin2 (x2 ) − cos2 (x2 ))
7. f ′ (x) = xa eax [ a sinh(4x)
x
8. f ′ (x) =
xa a cosh(ax)
e3x [
x
+ a sinh(ax) − 3 cosh(ax)] − 4x3 (cos2 (x4 ) − sin2 (x4 ))
9. f ′ (x) =
xb b cos(4ax)
eax [
x
− 4a sin(4ax) − a cos(4ax)] − 4x sinh(x2 ) cosh2 (x2 ) − 2x sinh3 (x2 )
3x(b+2)
cos2 (x3 )
10. f ′ (x) =
bxb
x
11. f ′ (x) =
xb
·[ b sin(4bx)
+4b cos(4bx)−2ax sin(4bx)]−8x3
x
e(ax2 )
12. f ′ (x) =
2x
tan(x3 ) +
√1
ln(ax)
e
√
ln(ax)
− 4x3 arccot( x12 ) −
2x
1+ x14
sinh(x4 ) cosh2 (x4 )−4x3 sinh3 (x4 )
ln(x)
+ b cos(bx)xtan(x) + sin(bx)xtan(x) ( cos
2 (x) +
2
13. f ′ (x) = x2 (ln(ax)e(ln(ax)) ) −
tan(x)
x )
sin(x2 )+2x2 cos(x2 )
sin2 (x sin(x2 ))
x
x
3
14. f ′ (x) = − sin(x) ln(x)sin(x) +cos(x) ln(x)sin(x) (cos(x) ln(ln(x))+ xsin(x)
ln(x) )−e sin(e cos(x ))·
(cos(x3 ) − 3x2 sin(x3 ))
15. f ′ (x) = cos(x) arctan(x)(x
n
)
n
+ sin(x) arctan(x)(x ) ( nx
n
ln(arctan(x))
x
+
xn
arctan(x)·(1+x2 ) ) +
(x3 )
3
e(x ) (3x2 cos(x) − sin(x)) · ecos(x)·e
16. f ′ (x) = −2x sin(x2 )(2x)cos(2x) + cos(x2 )(2x)cos(2x) [ cos(2x)
− 2 sin(2x) ln(2x)]
x
−2x sin(sin(x2 )) cos(x2 )
2
17. f ′ (x) = − sin(x)ecos(bx) − 2b cos(x) cos(bx) sin(bx)ecos(bx)
+2 cos(sin(sin(x)2 )) cos(sin(x)2 ) sin(x) cos(x)
2
2
2
18. f ′ (x) = − sin(x) tan(x)ln(x ) + cos(x) tan(x)ln(x ) · ( x2 ln(tan(x)) +
+ cot(x2 )(cos(x) −
2x sin(x) sin(x) cot(x2 )
sin2 (x2 ) )e
124
ln(x2 )
sin(x) cos(x) )
19. f ′ (x) = (−2x sin(x2 ) · ln(sin(x2 )) +
sinh(x)
√
− 21 sinh(x)·e
2x cos2 (x2 )
sin(x2 ) )
(sinh(x)+cosh2 (x))
2
· sin(x2 )cos(x ) + √
cosh(x)
cosh(x)esinh(x)
(cosh(x)esinh(x) )3
20. f ′ (x) = 2x cos(x2 ) ecos(ax) ln(bx)−bx +sin(x2 )(−a sin(ax) ln(bx)+ cos(ax)
−b) ecos(ax) ln(x)−bx −
x
x 2
x 2
2x
2 cos(cos((e ) )) · sin((e ) ) · e
√
2 n
2 n
2 n
a cos(ax) sin( sin(ax))
)
√
21. f ′ (x) = −
− b sin(bx) e(cx ) + cos(bx) e(cx ) 2n(cx
x
2
22. f ′ (x) = e(x
n
)
h
sin(ax)
√
cos( x) cot(x2 )
√
2 x
2
−
x cos(x ) sin(bx) ln(cx)
23. f ′ (x) = √
·a
+
2
sin(x )
2 sin(2x)
24. f ′ (x) =
25. f ′ (x) =
i
√
n
2
2
+ sin( x) cot(x2 ) n xx −2x sin(esin(x ) ) esin(x ) cos(x2 )
h
p
sin(x2 )·ln(a)· b cos(bx) ln(x) +
sin(bx)
x
i
√
b cos(x) sinh(ln(a tanh(b sin(x))))
+bcos(bx) 2 sin(cos2 (x)) cos(x) sin(x)
sinh(b sin(x)) cosh(b sin(x))
√
·asin(bx) ln(cx) −
x+eax )(1+a·eax )
√
√
a cos(a x+eax ) x+eax
2
sin(a
−1
1 2√
cosh( 4x
4x2 +1 ) − 4 a
xex2 (2x2 +1)
1
;
2
x
√
√
t(x) = 8 9 6 x − 5 9 3
√
x0 = 1650 ; f (x0 ) ≈ 0, 2
26. f ′ (x) =
27.
16x
(4x2 +1)2
√
2x sin( x)
sin2 (x2 )
f ′′ (x) =
1
4
√
xex2 (4x4 +8x2 −1)
x2
− cos(cos2 (x))b ln(b) sin(bx)
28. (a) s(x) = −x + 1
√
(b) t(x) = −x + 2
√ √ (c) P1 = 0; 2 ; P2 =
2; 0
29. a = 1 , b = ln(10); f (x) = 10x
p
√
30. (a) Maximale radiale Abweichung ∆ = 4 2 − 3 − 2
(b) f ′ (0) = 1
√
31. (a) a = e, b =
(b) P (− 17
16
√
e−1
4 ,
√
c = − e−1
4
p
√
√
33 1
+ 16 | 4 −1 + 33)
(c) Anwendung
des 1. Mittelwertsatzes der Diff.-Rechnung auf die Funktion f (t) =
√
1
ln(t + 1 + t2 ) mit f ′ (t) = √1+t
2 und Nutzung der (fallenden) Monotonie der
1
√
Funktion g(ξ) =
für 0 < ξ < x
2
1+ξ
32. (a) a = 3, b = 12
√ √
(b) C(−1 + 6| 6 − 2)
(c) f (5) (x) = −2e−x
33. (a) a = 4, a = −4
(b) Schnittpunkt aller Tangenten an der Stelle x0 ist xs =
Wert für a.
2x0
3
, unabhängig vom
(c) Anwendung des Satzes über den Zusammenhang zwischen Ableitung einer Funktion und ihrer Umkehrfunktion φ′ (y) = f ′1(x)
34.
wie 28.
35. (a) P1 (−π | − ln 2) , P2 − π2 | ln 32 , P3 (0 | − ln 2) , P4
π
2
| ln 23 , P5 (π | − ln 2)
(b) Dreiecksfläche in einem vorgegebenen Intervall [0, b] maximal, wenn u = b.
2 (c) f ′ (x) = ecos(bx ) − sin(x) − 2bx cos(x) sin(bx2 ) + · · ·
···
+ 3 x2 cos(x3 ) cos(sin(x3 )) cos(sin(sin(x3 )))
36. (a) P1 (0| − 1),
P2 (4|3)
125
(b) da f ′ (x) monoton fallend, folgt für 1 < ξ < x:
f ′ (1) = 1 > f ′ (ξ) > f ′ (x) und daraus mit f ′ (ξ) =
(c) ∆ = |f (2, 1) − t(2, 1)| = 5 · 10
f (x)−f (1)
x−1
die Behauptung.
−3
h
(d) f ′ (x) = − sin(x) ln(x)sin(x) + cos(x) ln(x)sin(x) cos(x) ln(ln(x)) +
− sin(ex cos(x3 )) ex cos(x3 ) − 3x2 ex sin(x3 )
sin(x)
x ln(x)
i
37. (a) t(x) = 2x − 3π
(b) i. a = 41
3
ii. fOrtskurve (x) = e 2 x1 (Hyperbel)
R∞
2
iii. 0 2ax e2−ax dx = e2
√
√
(c) P ( 6 − 1| 6 − 2)
h
p
x cos(x2 ) sin(bx) ln(cx)
df
2 ) asin(bx) ln(cx) b sin(bx) ln(cx) +
= √
a
+
ln(a)
sin(x
(d) i. dx
2
sin(x )
2 sin(2x)
p
df
asin(bx) ln(cx)
2
da = p sin(x ) sin(bx) ln(cx)
a
df
2 ) asin(bx) ln(cx) x cos(bx) ln(cx) ln(a)
=
sin(x
db
p
df
sin(x2 ) asin(bx) ln(cx) sin(bx)c ln(a)
dc =
ii. Anwendung g ′ (y) =
38. (a) xs = 1b
√
(b) a = e ;
6.2
b=
√
e−1
4
1
f ′ (g(y))
;
=
c=−
1
f ′ (x)
√
e−1
4
Grenzwerte
1. GW = 0
2. GW = 0
3. GW =
1
3
4. GW =
9
4
5. GW definiert, wenn a 6= 4
6. GW = 0
7. GW = 2
8. GW = 1
9. GW = 3
10. GW = 1
11. GW = 3
12. GW =
2a
b2
13. GW =
a2
2b
14. GW =
2−2a
b2
15. GW =
a2
4b−4
16. für a = 0: GW nicht definiert
für a =
6 0: GW = ∞
17. für a = 0: GW nicht definiert
für a =
6 0: GW = 2
18. GW =
2−2a
b2
126
sin(bx)
x
i
−
19. GW =
5
6
20. GW = 1
21. GW =
1
a
22. GW =
1
3
23. GW = 1
24. GW = − 16
25. GW =
1
2
26. GW = 0
27. GW =
2
a
28. GW =
5
6
,
a 6= 0

 1 , wenn c < 0
0 , wenn c = 0
29. GW =

−1 , wenn c > 0

f (x) = x
 e , wenn
e , wenn
f (x) = ex
30. GW =

2 , wenn f (x) = coth(x)
31. GW = 0
32. GW =
1
2
33. (a) GW = 1
3
(b) GW = e 2
34.
wie 28.
35. GW =
1
2
36. (a) Zeichnung
siehe Kapitel Abbildungen, Abschnitt 3, Seite 163;
Kardiode:
2
(φ)−cos(φ)+1
limx→π −2 cos
= 0 ; die x-Achse ist Tangente im Punkt P (0|0).
sin(φ)+sin(2φ)
(b) GW =
5
4
(c) a =
1
2
,
b = − 14
37. GW = 1
38. GW = −2
6.3
Integrale
1. A =
=
B=
C=
2. A =
=
B=
C=
3. A =
1
5
1
5
1
4
sinh5 (x) +
2
3
sinh3 (x) + sinh(x) + c
cosh4 (x) sinh(x) +
4
15
4
1
16
arctan( x+2
5 )
+ ln(|x|) + c
ln(3b) · x · ln(2x) −
− 25
·
sinh(x) cosh2 (x) +
8
15
ln(3b) · x + c
5
3
1
1
1
10 cosh (2x) − 3 cosh (2x) + 2 cosh(2x) + c
4
2
1
2
10 sinh (2x) cosh(2x) − 15 cosh(2x) sinh (2x)
1
1
3
3
3 ln(4a) · x · ln(|3x|) − 9 ln(4a) · x + c
√ ) + ln(|x|) + c
− √419 · arctan( x+3
19
1
4
4 arsinh( 3
1
2
+
4
15
cosh(2x) + c
ln(|x|)) + c
B = ln(ln(|x|)) · ln(|x|) − ln(|x|) + c
C = C =x+
sinh(x) + c
4
ln(|x − 1|) +
1
4
ln(x2 + 1) +
127
1
2
arctan(x) + c
4. A =
B=
C=
√
√
1
2
8 2 arcsin( 2 ln(x )) + c
2
1 4
1 4
1 4
4 x ln (|x|) − 8 x ln(|x|) + 32 x + c
x + 34 ln(|x − 2|) − 11
4 ln(|x + 2|) + ln(|x
+ 1|) + c
1
1
5. A = − sin(x)
− cot(x) − x + c = − tan(
x ) − x + c
2
B=
x
2
· (sin(ln(|x|) − cos(ln(|x|)) + c
C = x + ln(|x|) − 12 · (ln(x2 + x + 1) −
6. A =
B=
C=
√1
3
√ )+c
arctan( 2x+1
3
1
8
2
1 2
1 2
1 2
2 x · ln (|4x|) − 2 x · ln(|4x|) + 4 x + c
1
1
2
√1
3 ln(|x + 1|) − 6 · (ln( x − x + 1 ) + 3
√ )+c
· arctan( 2x−1
3
7. A = 1 − ln(2)
B = − cos(x) · ln(cos2 (x)) + 2 cos(x) + c
1
+ 16) − 30
arctan( x6 ) +
√
√
8. A = x2 + x − 1 − 12 ln(x + 12 + x2 + x − 1) + c
C=
1
20
arctan( x4 ) −
11
2
5 (ln(x
26
2
5 (ln(x
ω
δ 2 +ω 2 · exp(−δt) · sin(ωt)
7
1
− 16
ln(|x + 7|) + x+7
+c
δ
B = − δ2 +ω
2 · exp(−δt) · cos(ωt) +
C=
1
48
5
12
ln(|x − 1|) +
ln(|x + 5|)
1 x
9. A = − 13
64 arctan( 4 e ) +
B=
√
2 5
5
√
29 2
128
2 tan( x
)−1)
√2
)+c
5
7
1|) + 50
ln(|x + 3|)
· artanh(
141
1700
δ
B = − δ2 +ω
2 · exp(−δt) · sin(ωt) −
C=
+c
1
arctan( 4√
ex ) + c
2
3
11
ln(|x +
− 425
ln(x2 + 16) +
C = − 34
√
√ )+c
10. A = x2 − 4x + 7 + 2arsinh( x−2
3
p
√
2
= x − 4x + 7 + 2 ln(x − 2 + (x − 2)2 + 3) + c
2
45
+ 36) + c
1
45
ln(|x + 3|) −
1
−
11. A = − 14 sin(x)+1
1
8
2
ln(x +
ω
δ 2 +ω 2 · exp(−δt) · cos(ωt)
1
36) + 45
arctan( x6 ) + c
ln(|sin(x) − 1|) +
1
8
arctan( x4 ) + c
+c
ln(|sin(x) + 1|) + c
B = x tan(x) + ln(|cos(x)|) + c
5
C = − 26
ln(|x + 2|) +
12. A =
1
2
9
50
ln(|sin(x) + 1|) −
ln(|x + 4|) +
1
6
ln(|x − 2|) − 51 ln(|x − 1|) +
13. A = ln(tan( x2 ) + 1) + c
1
2
B=
1
2 x cos(ln(|x|))
B=
C=
1
3
7
20
ln(|2 sin(x) − 1|) −
arctan( x3 ) + c
ln(|2 sin(x) + 1|) + c
ln(x2 + 2x + 2) −
1
3
1
x+1
1
10
arctan(x + 1) + c
+c
ln(sin(x) + 1) + c
−x cot(x) − 12 x2 + ln(|sin(x)|) + c
1 1
1
1
2
25 ln(|x + 1|) − 5 x+1 − 25 ln(x +
15. A = − 16 cos(x3 ) −
1
3
109
975
+ 12 x sin(ln(|x|)) + c
C = x + 2 ln(|x|) − 3 ln(|x + 1|) +
14. A =
ln(x2 + 9) +
ln(|sin(x) − 1|) −
B = −x cot(x) + ln(|sin(x)|) + c
C=
2
325
4) −
3
50
arctan( x2 ) + c
1
18
cos(3x3 ) + c = − 29 cos3 (x3 ) + c
√
√
√
√
B = ln(3) − 22 ln(3) + n 22 ln( 2) − n 22 − n ≈ 0, 322 − 0, 048n
√
√
16. A = 42 artanh( 2 cos(x2 )) + c
B = −3 ln(1 + cos(x)) − 3 cos(x) ln(1 + cos(x)) + 3 cos(x) + 3; B( π2 ) − B( π4 ) ≈ 0.6176
C=
17. A =
1
52
1
3
ln(|x − 2|) +
3
52
ln(|x + 2|) −
1
26
ln(x2 + 9) +
ln(sin(x3 ) + 1) + c
128
1
39
arctan( x3 ) + c
B=
7
2
C=
47
266
ln(7) − 7 ln(2) −
3
2
≈ 0.45866
ln(x2 + 2x + 4) +
√
74· 3
399
√ )−
arctan( x+1
3
10
21
ln(|x + 3|) +
7
57
2π
18. A = [− 31 cos3 (x2 ) + 21 cos(x2 )] = 0
0
√
2
B = 1 + x arctan(x) − arsinh(x) + c
(
√
√
2
− 12 √xx2+4 − 12 · artanh( x2 + 12 x2 + 4) + c, wenn x < 0
√
19. A =
2
− 12 xx2+4 − 12 · arcoth( x2 + 12 x2 + 4) + c, wenn x > 0
ln(|x − 3|) + c
2
B = − 12 sinx2 (x) − x cot(x) + ln(sin(x)) + c
C=
1 2
2x
20. A =
1
2
C=
1
4
1
2
+x−
ln(x2 + 1) − arctan(x) + ln(x − 1)) + c
ln(tan2 (x) + 1) − ln(5 + 2 tan(x)) + x + c
√
√
B = x ln( 1 − x + 1 + x) + 12 arcsin(x) − 12 x + c
ln(x) −
1
x
−
1 1
2 x2
−
1
4
21. A = 2 ln(2) − 1 ≈ 0, 3863
B=
5
4
22. A =
1
2
C=
1
x
ln( 41
16 ) − ln(2) −
1
2
−
ln |x − 2| −
π
2
1 1
2 x−2
+c
+ 2 arctan( 54 ) ≈ 0, 2044
ln(tan(x) + 1) − 14 ln(tan2 (x) + 1) + 21 x + c
√
B = x · arsinh(x) − x2 + 1 + c
−
1
3x3
+
1
2
ln(x2 + 1) + arctan(x) + c
23. A = − 12 ln(tan(x) + 1) +
B=
C=
24. A =
1
2
4 ln(tan (x) + 1)
sinh(x) ln(1 + ex ) − 12 ex + 12 x + c
1
−3 ln(x) + x1 + 3 ln(x − 1) + x−1
+c
√
√
√
2
2
4 π − 2 arctan( 2) ≈ 0, 4352
+ 21 x + c
B = −x coth(x) + ln(sinh(x)) + c
arctan( a tan(x)
)+c
b
h
i
h
b2 −a2
−ax
bx
B = ebx sin(ax) a2bx
−
+
e
cos(ax)
2
2
2
2
+b
(a +b )
a2 +b2 +
25. A =
1
ab
26. A = ln(cos(x)) +
B=
2
1
x
2 cos2 (x)
1
1
2 cos2 (x)
+c
− x tan(x) − ln(cos(x)) + c
C = − ln(x − 1) + 53 ln(x − 2) + 15 ln(x2 + 1) −
√
√
27. A = −x + 43 x − 49 ln(1 + 3 x) + c
B = −2
28. A = −2artanh(
B=
1 3
12 x
√
1−x2
)
2
ln(x2 + 1) −
√
29. C = 23 3 π
2ab
(a2 +b2 )2
+c
1 3
18 x
=
1
5
1 2
2x
√
√
ln( 1 − x2 − 2) − ln( 1 − x2 + 2)
+ 61 x −
+ 2x + 2 ln(x + 1) +
Zusatzaufgabe:
1
2
+c
arctan(x) + c
1
6
arctan(x) + c
1
30. A = − 2a
cot2 (a ln(bx)) − a1 ln(sin(a ln(bx))) + c
p
20
80
2
B = 5 (3x + 2)4 513
(3x + 2)3 − 20
63 (3x + 2) + 81 (3x + 2) +
31. C =
i
ln(x2 + 2x + 5) +
1
2
365
27
arctan( x+1
2 )+c
√
√
√
√
√
2
+x√2+1
ln( xx2 −x
) + 42 arctan(x 2 − 1) + 42 arctan(x 2 + 1) + c
2+1
p
p
1
3
32. (a) A = −√51 (2 cos(x)
− 1)5 −
√
√ 3 (2 cos(x) − 1) + c
B = 2 x sin( x) + 2 cos( x) + c
C=
√
2
8
(b) Zusatzaufgabe
i. b)
129
ii.
iii.
iv.
v.
vi.
d)
c)
f)
a)
c)
33. (a) A =
B=
188
15
2
1 ex
2 x2 +1
+c
(b) Zusatzaufgabe
i. D.
ii. e)
34. C = 2 arctan(x) + 2 xx−1
2 +1 + c
p
35. (a) A = 2 tan(x) + c
cos(x)
B = − 12 x+sin(x)
+c
sin2 (x)
3
C = 2 ln(x − 1) + 2 ln(x2 − 2x + 10) + arctan( x−1
3 )+c
(b) Zusatzaufgabe: Antwort d)
√
√
7
4
4
4
3
36. (a) A = 12
x)3 + c 7 (1 − x) −3(1 −
B = sin(x) 7x − x3 + cos(x) 7 − 3x2 + c
(b) Zusatzaufgabe: V = 192π
37.
wie 28.
38.
wie 29.
39. A = 12 x2 − 1/2 arctan(x2 ) + c
√
√
B = 2e x+1
x+1−1 +c
√
√
√ 2 ) + 1/2 arctan( 2x+
√ 2) + c
C = 12 x2 − 1/2 arctan( 2x−
2
2
40. A = − 31
2
B = − 2 sinx2 (x) − x cot(x) + ln(sin(x))
41. A = 14 arcsin2 (x2 ) + c
B = x · artanh(x) + 12 ln(1 − x2 ) + c
C = 35 ln(x − 2) − ln(x − 1) + 15 ln(x2 + 1) −
1
5
arctan(x) + c
42. A = − 43 + 2 ln(3) − 2 ln(2)
B = 12 x2 ln(8x3 )2 − 32 x2 ln(8x3 ) + 94 x2 + c
4
C = 32 ln(x + 1) − 27 ln(x + 2) − 21
ln(x2 − x + 1) +
6.4
√
4 3
21
Taylorreihen
1. f (x) =
x
2!
−
x3
4!
+
x5
6!
2. f (x) =
1
3!
−
x2
5!
+ R3 (x4 )
+ R4 (x7 )
3. f (x) = 1 −
1
2
x5 +
1·3
2·4
4. f (x) = 1 −
1
3
x5 +
2
9
5. f (x) =
1
4
−
x2
48
+
x10 −
x10 −
x4
1440
1·3·5
2·4·6
14
81
x15 + R5 (x20 )
x15 + R5 (x20 )
+ R4 (x6 )
R π/6
128 4
256 6
2
6. I = 0 (4 − 16
3 x + 45 x − 315 x )dx ≈ 1, 8603...
10
4
R5 (x) ≤ T5 = 18·10!
· ( π6 )9 ≈ 0, 47 · 10−4
R 0.6
3
5
7
7. I = 0 (x − x1! + x2! − x3! )dx ≈ 0, 151...
8
−3
T4 = 0.6
48 ≈ 0, 35 · 10
130
√ )+c
arctan( 2x−1
3
R 0.9 x
5
9
13
8. I = 0 (− 1!
+ x3! − x5! + x7! )dx ≈ 0, 39052507...
18
−8
T5 = 0.9
; Iexakt = 0, 3905250961...; ∆ = 2, 29 · 10−8
18·9! ≈ 2, 2 · 10
R 0.9
2
17
62
x11 + 315
x15 − 2835
x19 )dx ≈ −0, 14873...
9. I = 0 (−x3 + 13 x7 − 15
62
24
−5
T6 ≤= 56700 · 0.9 ≈ 8, 7 · 10 ; Iexakt = −0, 1487108786...; ∆ = 2, 4 · 10−5
35
13
10. f (x) = x − 13 x5 + 29 x9 − 14
+ 243
x17 + R6 (x21 ) ≈ 0, 576117...
81 x
1·4·7·10
17
−5
T5 = 4!·35 · 0.6 ≈ 2, 4 · 10 ; fexakt (0.6) = 0, 576116...; ∆ = 0, 1 · 10−5
R 0.5
12
16
+ 2176
+ R5 (x20 )dx ≈ −0, 01192...
11. I = 0 (−2x4 + 83 x8 − 64
15 x
315 x
64
T3 = 195 · 0.513 ≈ 0, 4 · 10−4 ; ∆I2 ,I3 ≤ 1 · 10−6
R 0.5 1
1 4
1 12
8
12. I = 0 ( 2!
− 4!
x + 14
+ R5 (x16 )dx ≈ 0, 249739884...
6! x − 8! x
1
13
−10
T4 = 13·8! · 0.5 ≈ −2, 3 · 10
Rπ
1 7
1 11
1 15
1 19
1 3
x + 3!
x − 5!
x + 7!
x − 9!
x + R6 (x23 ))dx ≈ −0, 271698307...
13. I = 03 (− 1!
24
T6 = 24·3π24 ·11! ≈ 0, 3 · 10−8 ; Iexakt = −0, 271698303...; ∆ = 4 · 10−9
Rπ 1 8
1 14
1 20
1 26
14. I = 04 ( 2!
x − 4!
x + 6!
x − 8!
x + R5 (x32 ))dx
π
π
−9
T4 ( 4 ) ≈ 1, 3 · 10
> F ; T5 ( 4 ) ≈ 2, 8 · 10−12 < F ; → 4Terme erforderlich ;
Iexakt = 0, 0062436458...; ∆T4 ,exakt ≈ 1 · 10−10
R 0.5
5
15
195
15. I = 0 (x3 − 14 x6 + 32
x9 − 128
x12 + 2048
x15 + R6 (x18 ))dx ≈ 0, 01536023...
195
−7
T5 = 32768·216 ≈ 0.9 · 10
R 0.2
1 −1
1 0
1 1
1 2
1 3
16. I = 0.1 ( x−3 − x−2 + 2!
x − 3!
x + 4!
x − 5!
x + 6!
x + R7 (x4 ))dx ≈ 32, 83053...
1
2 3
−5
T6 = 3·5! ( 10 ) ≈ 0, 2 · 10
1
1
17. I = x − 12
x3 − 480
x5 + R(x7 ) ≈ 0, 51155...
1 π 5
T3 = 480 ( 6 ) ≈ 8 · 10−5
1 8
2
7
35
13
x + 117
x13 − 729
x18 + 5589
x23 − 2916
x28 +R(x33 ) ≈ 0, 02130614072719...
18. I6 = 13 x3 − 24
7
18
−10
T4 = 729 (0, 4) ≈ 6, 6 · 10
≥F
35
T5 = 5589
(0, 4)23 ≈ 4, 4 · 10−12 ≤ F ; I4 = 0, 0213061407228
1
1
407
19. P4 (x) = 12 x + 24
x3 + 240
x5 + 954240
x7 + R(x9 )
f (2) = 1, 5574 ; |f (2) − P4 (2)| = 0, 036 < F ;
|f (2) − P3 (2)| = 0, 091 < F ;
|f (2) − P2 (2)| = 0, 22 > F ; ⇒ 3 Terme erforderlich.
R2
1
20. IT5 = 03 (1 − x + 31 x3 − 16 x4 + 30
x5 − 0 · x6 + R6 (x7 ))dx ≈ 0, 4570035...
Iexakt = 0, 4569968...; ∆T5 ,exakt ≈ 0, 67 · 10−5 < F
21. P4 (x) = x +
3
2
x2 +
1
3
x3 −
1
12
x4 + R(x5 );
R5 (x) =
1
3
10−6
22. P2 (x) = x − 12 x2 + R(x3 )
23. (a) Ta (x) = 14 − 412 x + 413 x2 − 414 x3 + · · · + (−1)n+1 41n xn−1 + · · · ;
Konvergenzradius: −4 < r < 4
2
3
n
(x−1)
(b) Tb (x) = 15 − x−1
− (x−1)
+ · · · + (−1)n (x−1)
52 +
53
54
5n+1 + · · · ;
Konvergenzradius: −4 < r < 6
2
3
4
1 (x−1)
n
(c) Tc (x) = ln(5)+ 11 x−1
+ 13 (x−1)
− 14 (x−1)
+· · ·+(−1)n+1 n1 ( x−1
5 −2
52
53
54
5 ) + ···;
Konvergenzradius: −4 < r ≤ 6
(d) Konvergenzradius in allen drei Fällen durch die Polstelle in den Ableitungsfunktionen bei xp = −4 nach unten beschränkt.
P∞
n
24. (a) T0 (x) = 1 − x + x2 − x3 + x4 + · · · =
xn ; Konvergenzradius:
n=0 (−1)
−1 < x < 1
3
n
P∞
(x−2)2
n (x−2)
T2 (x) = 13 − x−2
− (x−2)
; Konvergenzradius:
n=0 (−1)
9 + 27
81 +· · · =
3n+1
−1 < x < 5
(b) Fehlerabschätzung:
T0 (x) : F ≤ |T erm4 | −−−→ 1 (x = 1 liegt außerhalb des Konvergenzradius)
x→1
1
81
T2 (x) : F ≤ |T erm4 | =
131
(c) T3 (x) = x −
(d)
1
2
x2 +
1
3
i. d)
ii. e)
x3 −
1
4
x4 + · · · =
P∞
n+1 xn
n=1 (−1)
n
25. T (x) = −π(x − π) − (x − π)2 + π6 (x − π)3 + R4 (x)
26.
wie 22.
27. (a)
i. Skizze siehe Kapitel Abbildungen, Abschnitt 4, Seite 163
ii. R(1) = 13 e−1
1
)
(b) Antwort v. ( 36
28. (a) T4 (x, 1) = 1 − (x − 1) + (x − 1)2 − (x − 1)3 + (x − 1)4
(b) ξ = x0 + θ(x − x0 ) , x ∈ ( 12 ; 32 ) , θ ∈ (0; 1) → ξ ∈ ( 12 ; 32 )
ξ= 21 , x= 32
|R4 (x, 1)| = | ξ16 (x − 1)5 |
z}|{
≤
2
q.e.d.
1
5
29. (a) T4 (x) = 1 + 12 x − 81 x2 + 16
x3 − 128
x4 + R(x5 )
Die Terme reichen zur Einhaltung der geforderten Genauigkeit von < 10−5 aus.
(b) richtig: iii.
6.5
Fourierreihen
1. a0 = 0; an =
0
− n216
·π 2
f (t) = −16 ·
f (t) =
···
2. a0 =
− π162
A 2π
π (e
f (t) =
n=1:
n=2:
n=3:
n=4:
n=5:
∞
X
[
n=1
− 1) + · · ·
3. a0 = −5; an =
bn =
0
16
− n·π
, n gerade
, n ungerade
16
3π
16
5π
16
5π
sin( π4 t)− 3216π2 cos( 3π
4 t)− 3π sin( 4 t)− 52 π 2 cos( 4 t)− 5π sin( 4 t)−
− 1); an =
n gerade
;
n ungerade
1
(2n − 1)π
1
(2n − 1)π
cos(
t) +
sin(
t)]
2
2
(2n − 1) π
4
(2n − 1)π
4
cos( π4 t)− 16
π
A
2π
2π (e
,
,
A e2π −1
π ( 1+n2 );
bn =
n·A 1−e2π
π ( 1+n2 )
A
(e2π − 1)[cos(t) − sin(t)]
+ 2π
A
+ 5π (e2π − 1)[cos(2t) − 2 sin(2t)]
A
(e2π − 1)[cos(3t) − 3 sin(3t)]
+ 10π
A
+ 17π (e2π − 1)[cos(4t) − 4 sin(4t)]
A
(e2π − 1)[cos(5t) − 5 sin(5t)] + · · ·
+ 26π
0
− n212
·π 2
, n gerade
;
, n ungerade
bn = 0 , da f(t) gerade
∞
X
5
1
(2n − 1)π
f (t) = − − 12 ·
cos(
t)
2 π2
2
(2n
−
1)
3
n=1
12
5π
12
7π
12
9π
f (t) = − 25 − π122 cos( π3 t)− 3212π2 cos( 3π
3 t)− 52 π 2 cos( 3 t)− 72 π 2 cos( 3 t)− 92 π 2 cos( 3 t)−···
0
, n gerade
3
;
bn = 0 , da f(t) gerade
4. a0 = − 4 ; an =
− n21·π2 , n ungerade
∞
3 X
1
(2n − 1)π
f (t) = − −
cos(
t)
8 n=1 (2n − 1)2 π 2
2
f (t) = − 38 −
1
π2
1
5π
1
7π
cos( π2 t) − 321π2 cos( 3π
2 t) − 52 π 2 cos( 2 t) − 72 π 2 cos( 2 t) − · · ·
3
, n gerade
0
, n gerade
2 π2
5
2n
5. a0 = − 8 ; an =
;
bn =
6
1
1
−
,
n
ungerade
−
,
n ungerade
2nπ
n4 π 4
2nπ
5
3 4−π 2
1
3
1 4−9π 2
1
f (t) = − 16 + 2 π4 cos(πt)− 2π sin(πt)+ 8π2 cos(2πt)+ 3 18π4 cos(3πt)− 6π
sin(3πt)+
3
cos(4πt)
+
·
·
·
2
32π
132
6. a0 =
2π
3 ;
4
πn2 ;
an =
bn = 0 , da f(t) gerade
∞
π X 4
cos(nt)
f (t) = +
3 n=1 n2 π
4
1
a1 = π4 ; a2 = π1 ; a3 = 9π
; a4 = 4π
f (t) = π3 + 4 cos(t)
+ cos(2t)
+ 49 cos(3t)
+
π
π
π
7. a0 = − 31 ; an =
4
π 2 n2 ;
1 cos(4t)
4
π
+···
bn = 0 , da f(t) gerade
∞
1 X 4
f (t) = − +
cos(nπt)
6 n=1 n2 π 2
a1 = π42 ; a2 = π12 ; a3 = 9π4 2 ; a4 = 4π1 2
f (t) = − 16 + 4 cos(πt)
+ cos(2πt)
+ 49 cos(3πt
+
π2
π2
π2
1 cos(4πt)
4
π2
+···
8. a0 = 0 ; an = 0 , da f(t) ungerade
8
b1 = − 12 ; b2 = 43 ; b3 = − 43 ; b4 = 15
1
4
3
f (t) = − 2 sin(t) + 3 sin(2t) − 4 sin(3t) +
8
15
sin(4t) − · · ·
9. a0 = 0 ; an = 0 , da f(t) ungerade
−eaπ +e−aπ
π(a2 +1) ; b2
−eaπ +e−aπ
π(a2 +25) ;
b1 = (−1) ·
=2·
−eaπ +e−aπ
π(a2 +4) ; b3
= (−3) ·
−eaπ +e−aπ
π(a2 +9) ; b4
=4·
b5 = (−5) ·
f (t) = b1 sin(t) + b2 sin(2t) + b3 sin(3t) + +b4 sin(4t) + b5 sin(5t) · · ·
Skizze der Fourier-Koeffizienten: siehe Abbildung in Kapitel 8
−eaπ +e−aπ
π(a2 +16)
10. a0 = 0 ; bn = 0 , da f(t) achsensymmetrisch
P
1
an = 4n21−1 ; S(t) = ∞
n=1 4n2 −1 cos(2nt)
J1 = 0, 11685; J2 = 0, 11673; Fehler ≤ 0.000125
6.6
Gewöhnliche Differentialgleichungen
1. y(x)=
17
18
2. y(x)=
269
117
− C2 +
1
18
1
18
cos(3x) −
sin(3x) + e3x ( 21 x2 + 13 x + C2 )
− C2 + C2 e2x + e3x ( 23 x − 29 ) −
1
13
cos(3x) −
1 3
2
3. y(x)= ex ( 59
50 − C1 + C1 x + 3 x + x ) + cos(x) −
4. y(x)=
1 x
50 e (−8 cos(x)
42 −4x
5. y(x)= − 2125
e
−
+ sin(x)(56 + 25x)) +
2
25
2
39
sin(3x)
cos(3x) −
1 −x
(5x
25 e
3
50
sin(3x)
+ 4)
5
1 x
cos(x) − 34
sin(x) + 250
e (25x2 − 10x + 27)
√
√
√
6. y(x)= − 92 + 13 x + e−x (C1 sin( 2x) + cos( 2x)( 29 − 42 x))
7. y(x)= C1 e(−2+
mit C1 =
√
3 3
52
√
3)x
+
1 x
8. y(x)= − 16
e +
9. y(x)=
10. y(x)=
22 x
15 e
−
+ C2 e(−2−
7
312
3
26
1
20
3
34
−
1
4
cos(x) +
√
≈ 0.12236, C2 = − 3523 +
cos(x) +
cos(2x) −
53 −x
sin(x)
25 e
√
3)x
+
1
13
3
20
sin(x) +
sin(2x) −
21 −x
cos(x)
25 e
+
1 2x
26 e
7
312
1 5x
208 e (52x
1 −2x
24 e
1
25 (5x
+ 16 e−2x
≈ −0.07749
− 11)
+ 18 e2x (4x − 3)
+ 3) sin(x) +
1
25 (−10x +
4) cos(x)
11. allgemeine Lösung homogen: y0 (t) = C1 + C2 · e−2t
allgemeine Lösung inhomogen: yinhom (t) = C1 + e−2t · (C2 − 34 t − 14 t2 ) −
1
8 sin(2t)
1
spezielle Lösung zu y(0) = 1, y ′ (0) = 0: C1 = 13
8 , C2 = − 2
1
spezielle Lösung zu y(0) = 0: C2 = 8 − C1 .
1
8
cos(2t) −
1
12. allgemeine Lösung homogen: y0 (t) = C1 · e− 2 t + C2 · e−t
1
allgemeine Lösung inhomogen: yinhom (t) = C1 · e− 2 t + C2 · e−t −
spezielle Lösung zu y(0) = 0, y ′ (0) = 1: C1 = C2 = 0
spezielle Lösung zu y ′ (0) = 0: C1 = − 21 · C2 + 12 .
133
1
2
· t2 · e−t + sin(t)
13. allgemeine Lösung inhomogen: yinhom (t) = C1 · x · e−x + C2 · e−x + 12 · ex − sin(x)
spezielle Lösung zu y(0) = 1, y ′ (0) = 1: C1 = 2 , C2 = 12
yispez (t) = 2 · x · e−x + 12 · e−x + 12 · ex − sin(x) = 2 · x · e−x + cosh(x) − sin(x)
14. allgemeine Lösung homogen: y0 (t) = C1 · e−2t + C2 · e−t
allgemeine Lösung inhomogen: yinhom (t) = C1 ·e−2t +C2 ·e−t −e−2t (t2 +3t)+cos(2t)−
3 · sin(2t)
spezielle Lösung zu y(0) = 0, y ′ (0) = 1: C1 = −9 , C2 = 8
spezielle Lösung zu y ′ (0) = 1: C2 = −2 · C1 − 10
1
15. allgemeine Lösung homogen: y0 (t) = C1 · e2t + C2 · e− 2 t
1
1
allgemeine Lösung inhomogen: yinhom (t) = C1 · e2t + C2 · e− 2 t + e− 2 t (−5t2 + 6t) − 5 ·
cos(2t) − 3 · sin(2t)
spezielle Lösung zu y(0) = 1, y ′ (0) = 0: C1 = 65 , C2 = 24
5
spezielle Lösung zu y ′ (0) = 1: C2 = 4 · C1 − 2
16. allgemeine Lösung homogen: y0 (x) = ex (C1 sin(2x) + C2 cos(2x))
allgemeine Lösung inhomogen: yinhom (x) = ex (C1 sin(2x)+C2 cos(2x)+ 14 x sin(2x)+ 14 )
spezielle Lösung zu y(0) = 1, y ′ (0) = 1: C1 = 0 , C2 = 34
spezielle Lösung zu y ′ (0) = 0: C2 = − 41
17. allgemeine Lösung: yallg (x) =
1
2
cos(2x)+ 12 +C
cos(x)
spezielle Lösung zu y(0) = 0: C = −1, yspez1 (x) =
spezielle Lösung zu y(0) = 1: C = 0, yspez2 (x) =
1
2
1
2
cos(2x)− 12
cos(x)
cos(2x)+ 21
cos(x)
x
18. allgemeine Lösung homogen: y0 (x) = e− 2 (C1 sin( x2 ) + C2 cos( x2 ))
x
allgemeine Lösung inhomogen: yinhom (x) = e− 2 (C1 sin( x2 ) + C2 cos( x2 ) −
1
x
2 x sin( 2 ))
1
spezielle Lösung zu y(0) = − 61 , y ′ (0) = 12
: C1 = 0 , C2 = 21
1
′
spezielle Lösung zu y (0) = 3 : C1 = C2
19. (a)
i. k = −1, ω = 0 : y0 (t) = e−t (C1 t + C2 )
Ansatz ysp (t) = t2 Ae−t
ii. k = −1, ω = 2 : y0 (t) = e−t (C1 sin(2t) + C2 cos(2t))
Ansatz ysp (t) = te−t (A cos(2t) + B sin(2t))
(b) k = 0, ω 6= 0, beliebig : Ansatz ysp (t) = A cos(ωt) + B sin(ωt)
sin(ωt)
yallg (t) = e−t (C1 sin(ωt) + C2 cos(ωt)) + cos(ωt)+2ω
4ω 2 +1
(c) ysp (t) =
−e−t 2ω sin(ωt)+cos(ωt)+2ω sin(ωt)
4ω 2 +1
20. allgemeine Lösung homogen: y0 (x) =
C
tan(x)
allgemeine Lösung inhomogen: yinhom (x) =
spezielle Lösung: yspeziell (x) =
21. (a) a1 = 0;
a0 = −1;
− ln(cos(x))+c
tan(x)
− ln(cos(x))
tan(x)
s(t) = −2 sin(t)
(b) allg. Lösung inhomogen: yinhom (t) = C1 et + C2 e−t + sin(t)
(c) spez. Lösung: C1 = 2; C2 = 1
q
22. (a) y(x) = −1 ± 1 + 2t x , definiert für t 6= 0
(b)
1 1
1
−2t
− 13 a−1
3 a+2 e
= 19 e−2t − 19 et + 13 t
i. yi (t) =
et +
1
1
a+2 a−1
eat
ii. yii (t)
et
iii. zu zeigen: lima→1 (yia (t)) = yii (t)
23. (a)
2
i. yi (t) = et
ii. yii (t) = a0 + a0 t2 +
1
2
a0 t4 mit a0 = 1
2
iii. Potenzreihenentwicklung von et bis 4. Ordnung liefert
yiii (t) = 1 + t2 + 12 t4 + O(t6 )
(b) yspez (x) = (t2 − 2t + 2) e3t − 2 e2t
134
2
3
cos(x) +
(c)
24. (a)
i.
ii.
iii.
iv.
a)
c)
c)
c)
i. allg. Lösung homogen: yhom (t) = C1 sin(x) + C2 cos(x)
ii. allg. Lösung inhomogen: yinhom (t) = C1 sin(x) + C2 cos(x) + x sin(x) + x
(b) spez. Lösung: C1 = −2π + 1; C2 = −π
yspez (t) = (x − 2π + 1) sin(x) − π cos(x) + x
25.
wie 21.
26. (a)
i. allg. Lösung homogen: yhom (t) = C x e−x
2
ii. spez. Lösung inhomogen: yspez (t) = ( 12 ln2 (x) + e) x e−x
2
(b) yspez (t) = 3 e−4x − 6 e−2x + cos(3x)
stationäre Lösung: ystat (t) = cos(3x)
27. (a) yallg (t) = (x + 8 ln(x − 2) + C) e−4x
(b)
i. allgemeine Lösung:
yallg (t) = C1 e−7t + C2 e−t − 92 t (3t + 1) e−7t +
|
{z
}
3
50
cos(t) +
2
25
sin(t)
homogene Lösung
(c)
ii. spezielle Lösung:
1
e−7t −
yspez (t) = 100
7
100
e−t − 29 t (3t + 1) e−7t +
i. richtig: Aussagen A und C
ii. richtig: B
2
28. (a) allgemein homogen: yh (x) = Ce−x
2
2
speziell inhomogen: ys (x) = ( 12 ex + x + 12 )e−x
(b) ys (x) = − 34 e−3x + 2 − ( 12 x + 41 )e−x
135
3
50
cos(t) +
2
25
sin(t)
Kapitel 7
Lösungen Mathematik 3
7.1
Laplacetransformation
1. a) F (s) =
(πs3 +2s2 +πs+1)e−sπ +s2
s2 (s2 +1)
, Re s > 0
6
b) F (s) = (s+2)
4 , Re s > −2
2. f (t) = et 2 cos(2t) + 25 sin(2t)
3. f (t) = et − t − 1, F (s) =
4. a) F (s) =
b) F (s) =
5. F (s) =
6. f (t) =
s+e−s(π/2)
s(s2 +1) ,
6
(s+5)4 ,
s2 +4s+8
s2 (s+4)2 ,
1
8
Re s > 0
Re s > −5
Re s > 0
3
8
cos(2t) −
sin(2t) − 18 e2 t
7. F (s) = e(−πs) ( s2πs
+4 +
8. f (t) =
9. F (s) =
10. f (t) =
11. F (s) =
12. f (t) =
2
3
s2 −4
(s2 +4)2
+
πs+1
s2 )
−
s2 −4
(s2 +4)2 ,
Re s > 0
e(12−2t) (6 cos(3t − 12) − 7 sin(3t − 12))
e(−b)
s3
1
3
1
s2 (s−1)
+
e(b)
(s−2)3 ,
√
cos( 2t) −
1 e(−2b)
2 (s−a−2)2
8
19
−
cos(3t) +
Re s > 2
√
2
12
√
sin( 2t) − 14 e(−t) −
1
1
2 (s−a+2)2 ,
8
57
sin(3t) +
Re s > a + 2
3
38
cosh(
+3sπ 2 +2s2 −2π 2
− 3s )
(s2 +π 2 )2
a
R
lim − 23 · e−st dt < ∞
a→∞
3
3
13. F (s) = 12 e− 2 s ( 3s
Re s > 0 ⇒
1 (t)
12 e
+
√
2
2 t)
+
√
3 2
38
sinh(
√
2πs
(s2 +π 2 )2
3
2
1
14. f (t) = − 100
cos(2t) −
1
= − 100
cos(2t) −
1
200
+
1
s3 ,
Re s > 0 und Re s > −2a
16. F (s) =
24ω 3 ·s(s2 +5ω 2 )
(s2 +ω 2 )2 ·(s2 +9ω 2 )2 ,
cosh( 32 t) +
3
1
2t
120 e
sin(2t) +
e(2b)
(s+2a)3
1
100
1 − 32 t
600 e
1
200
15. F (s) =
+
sin(2t) +
Re s > 0
17. f (t) = 12 (sin(t) + t cos(t)) − t · e−t
136
1
150
sinh( 32 t)
2
2 t)
e−2s (−2s3 −2sπ 2 −s2 +π 2 )+s2 −π 2
2e−2s (2s+3)
(s+1)2
+
18. F (s) =
(s2 +π 2 )2
Ra −(s+1)t
lim te
dt < ∞, wenn Re s > −1
a→∞ 2
19. F (s) =
−6e5 (s3 +33s+70)
(s2 +2s+37)3
20. F (s) =
1
s4 +15
4 (s2 −1)(s2 +2s+5)(s2 −2s+5)
21. F (s) =
1
−e−2b (s+2a)
3 +
22. F (s) =
s4 +4s3 +6s2 +4s+1+2ω 2 s2 +4ω 2 s+2ω 2 +8ω 4
(s+1)2 (s2 +2s+1+4ω 2 )2
23. f (t) =
1
s3
Re (s) > 1
Re (s) > a
Re (s) > 0
e−t (−3 + 4 cos(t) − 2 sin(t)
24. f (t) = −(1 + e−t+2 )
25. (a) da sp = 1 > 0 → limt→∞ f (t) = ∞ → Re(s) > 1
ansonsten Widerspruch zu Grenzwertsatz: limt→∞ f (t) = ∞ 6= 0 = lims→0 s·F (s)
(b) f (t) = 91 et − 19 e−2t − 13 t · e−2t
limt→0 f (t) = 0 (= lims→∞ s · F (s))
limt→∞ f (t) = ∞ (6= lims→0 s · F (s), da s → 0 ∈
/ DF )
26. F (s) =
ω·e−φ ·[(s2 +2sω) cos(φ)−2sω sin(φ)−2ω 2 sin(φ)]
;
(s2 +2sω+2ω 2 )2
27. f (t) =
2
5
28. F (s) =
+8
ω e−s (ss2 +6s+ω
;
+4s+4+ω)2
cos(t) −
3
sin(t)
10
2
− 25 cos(2t)e(−t) +
2
9
20
Re (s) > 0
sin(2t)e(−t)
Re (s) > −2
√
√
√
− 12 et + 12 e2t (cosh( 3t) + 3 sinh( 3t))
29. (a) f (t) =
(b) limt→0 f (t) = 3 (= lims→∞ s · F (s))
limt→∞ f (t) = ∞ (6= lims→0 s · F (s), da s → 0 ∈
/ DF ; Re(s) > 1)
sπ
30. F (s) =
1
2ωe− 2ω −se−
sπ
s2 +ω 2
1−e− ω
1−e−
31. f (t) =
32. F (s) =
2ωe−
1
G(s) =
−(s+1)e−
(s+1)2 +ω 2
+s+1
A eas
s eas +1
a t)
h√
i
√
√
3 sin( 32 a t) − cos( 32 a t)
34. in beiden Fällen: F (s) =
s2 +2
s (s2 +4)
,
Re(s) > 0
s
(s+a)3/2
36. (a) f (t) =
(b) f (t) =
1
2t
500 {e (5t
(
37. (a) F (s) =
(b) F (s) =
39. f (t) =
sπ
ω
1 (a+bω 2 ) sinh(ωt)+sin(ωt)(−a+bω 2 )
2
ω3
1
38. F (s) =
+s
(s+1)π
2ω
(s+1)π
ω
33. f (t) = e(−a t) + e( 2
35. F (s) =
sπ
ω
1−t
0
− 6) + e−t [(6 − 20t) cos t + (33 + 15t) sin t]}
wenn 0 ≤ t < 1
wenn t = 1
−e−2s +s+1
s(s+1)
1
4
ln(1 +
,
;
Kippschwingung mit der Periode 1
Re(s) > −1
4
(s+1)2 )
e−2πs (2π 2 s3 +s2 +1)−2π 2 s4 +2πs3 −s2 +2πs−1
2π 2 s3 (s2 +1)(s2 +4)
1
4
et (2t + 5) −
1
4
e2t [cos(t)(t + 5) + sin(t)(3t − 4)]
137
40. richtig: Antwort b)
1−2se−2s −e−2s
s2
41. (a) F (s) =
(b) L{e
−2t
f (2 t)} =
1
4
ln( s+4
s )
3
16
(e)
i. B
ii. A
cos(t) −
1
s+2
Re(s) > −1
−
√
cos(a 3 t)
(c) f (t) = e2at + 2 e−at
(d) f (t) =
2s+3
+ e−2s (s+1)
,
2
11
16
sin(t) +
1
4
t [cos(t) + 2 sin(t)] −
1
16
e−2t [3 cos(t) − sin(t)]
a
42. (a) F (s) = e−s b arctan( s+δ
)
1−e−3s
s
3s−8
+ e12−3s (s−3)
, Re(s) > 3
2
h
√
√
√
i. f (t) = Ae2t +e−2t cos( 2t) (B − 14 t(E − 2D)) + sin( 2t)(−2B 22 +
(b) F (s) =
(c)
ii. A =
1
324 ,
(d) A) iii)
B) ii)
C) iii)
1
B = − 324
, C=
2a(s+δ)
((s+δ)2 +a2 )2
43. (a) F (s) =
+
53
54 ,
Koeffizienten:
3
12
, B = − 49
,C=
A = − 343
12
343
44. a) mit Def.-gleichung: L{sin(ωt)} =
,D=
R∞
0
mit Satz period. Fkt.: L{sin(ωt)} =
π
2
+
√
2a(s+δ)3 −6a3 (s+δ)
((s+δ)2 +a2 )3
√
√
(c) f (t) = A e−2t − B t e−2t + C e−t cos( 6t) + ( D−C
+
6
√
√
E
F
−E
−t
−t
√ te
t
e
cos(
sin(
6t)
−
6t)
12
2 6
Re(s) > 0
b) siehe a)
c) L{e(3t) f (4t)} =
2
4 t
73
D = − 18
, E = − 19
3
A π a (e−as +1)
a2 s2 +π 2
(b) F (s) =
√
3
49
√
e−t sin( 6t) +
F −E
√ )
12 6
55
, E = − 49
, F = − 74
ejωt −e−jωt −st
ω
e dt = s2 −ω
,
2
2j
2πs
R
jωt
−jωt
1
e
−e
ω
e−st dt
2πs
2j
0
1−e− ω
Re(s) > 0;
=
ω
s2 −ω 2
,
− arctan( s−3
4 )
45. a)f (t) = 3e2t + 2et cos(2t) − 12 et sin(2t)
1 d
1
b) mit ((s−a)12 +b2 )2 = − 2b
db (s−a)2 +b2 einfache Rücktransformation, danach Ableitung
√
√
√
√
√
M−K
c)f (t) = e−t 3( K
6 t sin( 3t) − 18 (t 3 cos( 3t) − sin( 3t)))
sT
46. a) F (s) = e
b) Re(s) > 0
−2+e−sT
s2 T
47. a) f (t) = 2 · Dirac(t) − 1 + t + t2 + cos(t) − sin(t)
b) i. limt→0 f (t) = 3
ii. limt→∞ f (t) = 0
2(s+2)((s+2)2 +3a2 )
((s+2)2 −a2 )3
48. (a) f (t) =
(b) F (s) =
1+e− πs
k
k
s2 +k2 1−e− πs
k
49. f (t) = 34 e3kt +
(− 3s )
2
8 − 23 kt
3e
2
=
1
+ arctan( s+2
)
k
s2 +k2
coth( πs
2k )
√
cos( 32 3kt)
2
(−s −3π )+2πs
50. a) F (s) = e
2s (s2 +π 2 )
b) Re(s) > 0
c) L{e4t f (3t)} = 13 ( π2 − arctan( s−4
6 ))
51. a) f (t)) = A t e2t + B e2t + C e−t cos(t) + (D − C) e−t sin(t) +
1
−t
cos(t) + 12 (F − E) e−t sin(t)
2 (F − E) t e
1
3
3
19
3
7
b) A = 100 ; B = − 250
; C = 250
; D = 500
; E = 50
; F = 50
;
138
1
2
E t e−t sin(t) −
2
8 (E
i
− 2D))
52. (a) F (s) =
2s(s2 +16)
(s2 −4)((s+2)2 +4)((s−2)2 +4))
2s(s2 +16)
(s2 −4)((s2 +8)2 −16s2 ) ,
=
unter Nutzung des Hinweises aus Aufgabe 53:
F (s) =
2
(b) f (3t)
❝
f ′ (t)
❝
s
Re(s) > 2
2s(s2 +16)
(s2 −4)(s4 +64)
s ( s9 +16)
2
9 ( s2 −4)(( s2 +8)2 )− 16s2 )
9
9
9
s s · F (s)
53. (a) i) f (t) := e−2t A + C cos(2t) + (−C + 12 D + E + 12 F ) sin(2t) +e2t [B + E cos(2t)]
ii)A = B = 41 ; C = E = − 14 ; D = − 12 ; F = 21 ⇒ f (t) = sin2 (t) cosh(2t)
√
(b) i) f (t) = 13 − 13 cos( 3 · t)
ii) f (0+ ) = 1
54. (a) F (s) = e−bs ln(1 +
a2
(s+a)2 )
(b) t ∗ e−t = t − 1 + e−t
−t
55. (a) f (t) = Ae2t +Bte2t +C cos(t)e−t +(D−C) sin(t)e−t + E2 t sin(t)e−t + F −E
2 e [sin(t)−
t cos(t)]
3
(b) A = − 250
; B=
7.2
1
100 ;
C=
3
250 ;
D=
19
500 ;
E=
3
50 ;
B=
7
50
Gewöhnliche Differentialgleichungen und Laplacetransformation
1. y(t) =
1
6
e−2t + 8et − 15 et
2. y(t) = −et · sin(t)
allg. Lösung hom.: y0 (t) = t · et (3y(0) + y ′ (0)) + et y(0)
3. allg. Lösung hom.: yh (t) = 23 y(0) + 31 y’(0) · et + 13 y(0) − 31 y’(0) · e−2t
allg. Lösung
inhom.:
1
1
3
1
yi (t) = 23 y(0) + 13 y’(0) −
+ 26
sin(2t) · et +
3 y(0) − 3 y’(0) +
131 cos(2t)
1
3
16
t
−2t
spezielle Lösung: ys (t) = − 3 − 13 cos(2t) + 26 sin(2t) · e + 39 · e
4. y(t) = e−2t (1 − 12 t) cos(t) + 32 sin(t)
1
13
· e−2t
allg. Lösung hom.: y0 (t) = e−2t [y(0)
cos(t) + (2 y(0) + y’(0)) sin(t)]
allg. Lösung inhom.: yi (t) = e−2t (y(0) − 21 t) cos(t) + (2 y(0) + y’(0) + 12 ) sin(t)
√
√
√
9
1
1
cos(t 5)) + 60
· e−4t + 12
5. y(t) = et · ( 305 · sin(t 5) + 10
√
√
√
allg. Lösung hom.: y0 (t) = y(0) et cos(t 5) + [y’(0) − y(0)] et 55 sin(t 5)
allg. Lösung inhom.:
√ o
√ √ n√
t
1
1
1
yi (t) = et cos(t 5)· y’(0) − 10
+e sin(t 5)· 55 [y’(0) − y(0)] + 305 + 60
·e−4t + 12
6. y(t) =
79
80
· et · cos(2t) −
1
80
· e−5t +
′
1
40
· e−3t
allg. Lösung hom.: y0 (t) = et · ( y (0)−y(0)
sin(2t) + y(0) cos(2t))
2
1
1
1
sin(2t) − 80
cos(2t)) − 80
· e−5t +
allg. Lösung inhom.: yi (t) = et · ( 80
√
3
√
3
√
1
40
· e−3t + y0 (t)
3
1
4
−2t
·e− 2 t ·cos( 23 t)− 13
·cos(2t)
7. spezielle Lösung inhom.: y(t) = 39n3 ·e− 2 t ·sin( 23 t)+ 13
o·e
√
√
′
3
3y(0)+2y (0)
3
3
−2t
√
allg. Lösung hom.: y0 (t) = e
y(0) · cos( 2 t) +
sin( 2 t)
3
n
o
√
√
′
3
3y(0)+2y
(0)
3
√
allg. Lösung inhom.: yi (t) = e− 2 t y(0) · cos( 23 t) +
sin(
t)
2
3
8. spezielle Lösung inhom.: y(t) = 12 et ((2 − t) · cos(t) + sin(t))
allg. Lösung hom.: y0 (t) = et {y(0) cos(t) + (y ′ (0) − y(0)) sin(t)}
allg. Lösung inhom.: yi (t) = 21 et {(2y(0) − t) cos(t) + [2 (y ′ (0) − y(0)) + 1] sin(t)}
22 −3t
1
9. spezielle Lösung inhom.: y(t) = −
− 17
et (4 cos(t)
51 e
+ sin(t))
1
1
1 ′
allg. Lösung hom.: y0 (t) = e−3t 4 y(0) − 4 y ′ (0) + et 34 y(0)
+
y
(0)
4
1
allg. Lösung inhom.: yi (t) = e−3t 41 y(0) − 14 y ′ (0) − 68
+et 34 y(0) + 41 y ′ (0) +
139
1
4
−
4
17
cos(t) −
1
17
sin(t)
√
√
10. allg. Lösung hom.: y0 (t) = y(0) · et cos( 2t) + (y ′ (0) − y(0)) · √12 · et sin( 2t)
√
√
√
allg. Lösung inhom.: yi (t) = y0 (t) + 14 · et (sin( 2t) − 2 · t cos( 2t)) spezielle Lösung:
√
√
√
√
y(t) = 14 · et (sin( 2t) − 2 · t cos( 2t)) + et cos( 2t)
11. allg. Lösung hom.: y0 (t) = y(0) · ( 14 e3t + 34 e−t ) + y ′ (0) · ( 14 e3t − 14 e−t )
1 3t+1
1 1−t
allg. Lösung inhom.: yi (t) = 16
e
− 16
e
· [4t + 1] + y0 (t)
1 3t+1
1 1−t
spezielle Lösung: y(t) = 16 e
− 16 e
· [4t − 3] + e−t
12. (a) xa (t) = e−3t (cos(4t) + sin((4t))
1
1
(b) xbi (t) = − 16
cos(5t) + 16
cos(3t)
1
xbii (t) = 10 t sin(5t)
(
1
1
cos(5t) + 25
wenn t < T
− 25
(c) xc (t) =
1
− 25 [cos(5t) − cos(5 (t − T ))] wenn t > T
Für T = 2π: Ausklingen der Schwingung bei t = 2π.
(
(a − π) cos(t)
wenn t > 2π
13. y(t) =
1
1
(a − 2 t) cos(t) + 2 sin(t) wenn t < 2π
Wenn a = π: Ausklingen der Schwingung bei t = 2π.
14. (a) allg. Lösung:n
i
h
√
√
k−1)
√
+ y ′ (0)
fa (t) = e−t y(0) cos(t k − 1) − sin(t
k−1
spezielle Lösung:
h
i
√
k−1)
k−3 sin(t
1
√
fs (t) = e−t k−5
−
sin(2t)
k−5
k−1
√
sin(t k−1)
√
k−1
+
2
k−5
h
√
sin(t k−1)
√
k−1
(b) k = 5 : Resonanz mit Störfunktion (λ1,2 = −1 ± 2j ist Lösung der charakt. Gl.)
allg. Lösung:
fa (t) = e−t cos(2t) (y(0) − 14 t) + sin(2t)(− 12 y(0) + 12 y ′ (0) + 18 )
spezielle Lösung:
fs (t) = e−t 58 sin(2t) − 14 t cos(2t)
√
√
√ 15. f (t) = 14 e2t [sin(t) + cos(t)] + 14 et 3 cos( 2t) − 5 2 sin( 2t)
16. (a) y(t) = A e−5t + B et + C eat
mit
1
1
3
A = 2(a+5)
, B = 2(1−a)
, C = (a+5)(a−1)
1
(b) a = 2 : y(t) = 14
e−5t − 12 et + 37 e2t
1
1
a = 1 : y(t) = 12 e−5t − 12
et + 12 t e2t
(doppelte Nullstelle im Nenner für a = 1)
(c) hom. : y(t) = e −t cos(t)
inhom. : y(t) = e −t cos(t) − e −t sin(t) + t e−t
17. allgemein hom. : y(t) = y(0) cos(t) + y ′ (0) sin(t) = a sin(t)
spez. inhom. : y(t) = 51 e −2t − 15 cos(t) + 25 sin(t)
(
1 −2t
e
− 15 cos(t) + 51 (5a + 2) sin(t) 0 ≤ t < π
y(t) = 5
a sin(t)
t≥π
18. (a) x(t) =
at sin(ωt)
2ω
(b) Schwingung mit p =
(c) v(t) =
K·E·ω
1+ω 2 T 2
19. (a) yspez (t) =
(b) xspez (t) =
1
2
1
6
(−e
− Tt
2π
ω
und um den Faktor
a·t
2ω
+ cos(ωt) + T ω sin(ωt)))
t e−2t sin(t)
t3 e2t
140
zunehmender Amplitude
−
sin(2t)
2
io
20.
y(t) =
(
a cos(t) + t − sin(t)
0≤t<π
a cos(t) − 2 sin(t) − π cos(t) t ≥ π
Start der Schwingung mit Amplitude a, bis t = π abnehmend, ab t ≥ π mit konstanter
Amplitude (a − π)
21.
y(t) =
(
(a + 21 t) sin(t)
(a + π) sin(t)
0 ≤ t < 2π
t ≥ 2π
Schwingung mit T = 2π, Amplitude im Intervall t ∈ [0, 2π] um den Faktor (a +
ansteigend, ab t ≥ 2π mit konstanter Amplitude (a + π)
22. (a) y(t) = e−t sin(t) + 21 − 12 e−(t−2) [sin(t − 2) + cos(t − 2)] · Θ(t − 2)
(b) x(t) =
7.3
1
6
1
2
t))
t3 e−3t
Funktionen mehrerer Variabler
1. Definitionsbereich D: x, y ∈ R;
partielle Ableitungen: fx = −x2 y 2 (3y − 36 + 4x); fy = −x3 y(3y − 24 + 2x);
Lösungsmenge für fx = fy = 0: L = {x = x, 0} ∪ {0, y = y} ∪ {6, 4}
Extrema: lokales Maximum in P (6; 4)
2. Definitionsbereich D: x, y ∈ R;
partielle Ableitungen: fx = 2xy − 4 − y 2 ; fy = −2xy + 4 + x2 ;
Lösungsmenge für fx = fy = 0: L = {2, 2} ∪ {−2, −2}
Extrema: keine
3. Definitionsbereich D: x, y ∈ R;
partielle Ableitungen: fx = 2xy − 8 − 2y 2 ; fy = −4xy + 16 + x2 ;
Lösungsmenge für fx = fy = 0: L = {4, 2} ∪ {−4, −2}
Extrema: keine
4. Definitionsbereich D: x, y ∈ R;
partielle Ableitungen: fx = −y(5y − 10 + 4x); fy = −2x(−5 + x + 5y);
Lösungsmenge für fx = fy = 0: L = {0, 0} ∪ {0, 2} ∪ {5, 0} ∪ 35 , 23 ; lokales Maximum
in P ( 53 ; 32 )
5. Definitionsbereich D: x, y ∈ R;
partielle Ableitungen: fx = −4y(3y − 5 + x); fy =−2x(−10
+ x + 12y);
5
Lösungsmenge für fx = fy = 0: L = {0, 0} ∪ 0, 53 ∪ {10, 0} ∪ 10
; lokales
3 , 9
5
Maximum in P ( 10
3 ; 9)
6. Definitionsbereich D: x, y ∈ R;
partielle Ableitungen: fx = −x2 y 3 (−3y − 3 + 4x); fy = −x3 y 2 (−4y − 3 + 3x);
Lösungsmenge für fx = fy = 0: L = {0, y = y} ∪ {x = x, 0} ∪ 37 , − 73 ; lokales
Minimum in P ( 37 ; − 73 )
7. Definitionsbereich D: x, y ∈ R;
partielle Ableitungen: fx = 2x + 20 ∗+10; fy =−6y + 20x − 6;
15
53
Lösungsmenge für fx = fy = 0: L = 103
, − 103
; kein Extremum
8. (a) partielle Ableitungen: fx = 3(x − 1)(x + 1); fy = 3(y − 2)(y + 2);
Lösungsmenge für fx = fy = 0: L = {1, 2} ∪ {1, −2} ∪ {−1, 2} ∪ {−1, −2} ; lokales
Minimum in P1 (1; 2); lokales Maximum in P2 (−1; −2)
(b) partielle Ableitungen: fx = ex (2x + y 2 + 2); fy = 2ex y;
Lösungsmenge für fx = fy = 0: L = {−1, 0} ; lokales Minimum in P (−1; 0)
2
9. (a) partielle Ableitungen: fx = √y
−xy−x+1
;
(1+x2 +y 2 )3
2
fy = √x
−xy−y+1
;
(1+x2 +y 2 )3
Lösungsmenge für fx = fy = 0: L = {1, 1} ;lokales Maximum in P (1; 1)
141
(b) partielle Ableitungen: fx = 3x2 − 3ay; fy = 3y 2 − 3ax;
Lösungsmenge für fx = fy = 0: L = {0, 0} ∪ {a, a} ; lokales Minimum in P (a; a)
10. (a) partielle Ableitungen: fx = 4y 2 + 40y + 9∗2 ; fy = 8(x − 2)(y
+ 5); 10
Lösungsmenge für fx = fy = 0: L = {2, −1} ∪ {2, −9} ∪ 10
3 , −5 ∪ − 3 , −5
10
;lokales Minimum in P1 ( 10
3 ; −5) , lokales Maximum in P2 (− 3 ; −5)
2
(b) partielle Ableitungen: fx = √y
−xy−x+1
;
(1+x2 +y 2 )3
2
fy = √x
−xy−y+1
;
(1+x2 +y 2 )3
Lösungsmenge für fx = fy = 0: L = {1, 1} ; lokales Maximum in P (1; 1)
2
11. partielle Ableitungen: fx = 8xy(y + 10); fy = 8x2 y + n40x2 − 32y −o160
n + 9y ;
o
√
√
Lösungsmenge für fx = fy = 0: L = {2, 0} ∪ {−2, 0} ∪ 0, 16+49 106 ∪ 0, 16−49 106 ∪
nq
o n q
o
√
53
16−4 106
,
−10
∪ − 53
), lokales Minimum
2
2 , −10 ; lokales Maximum in P1 (0;
9
√
106
in P2 (0; 16+49
)
2
12. partielle Ableitungen: fx = 8x(y − 2)(y + 2); fny = 2y(4x
o −n13);
o n √
o
√
√
13
13
13
Lösungsmenge für fx = fy = 0: L = {0, 0} ∪ − 2 , 2 ∪
2 , 2 ∪ − 2 , −2 ∪
n√
o
13
,
−2
lokales Maximum in P (0; 0)
2
13. (a) Gebiet B: s. Zeichnungen im Anhang
Z Z
(2r2 cos2 (φ) + r2 sin2 (φ))rdrdφ ≈ 54.14
(b)
| {z }
(B)
14. partielle Ableitungen: fx = 8(y − 2)(y + 2)(x − 1); fy = 2y(2x
− 1)(2x
−3); Lösungsmenge für fx = fy = 0: L = {1, 0} ∪ 12 , 2 ∪ 12 , −2 ∪ 32 , 2 ∪ 23 , −2 ;
lokales Maximum in P (1; 0)
15. (a) Gebiet B: s. Zeichnungen im Anhang
Z Z
(r2 cos(φ) sin(φ))rdrdφ ≈ −55.49
(b)
| {z }
(B)
16. partielle Ableitungen: fx = 16x(y − 2)(y + 2)(x − 1)(x + 1); fy = 2y(2x2 − 2x − 1)(2x2 +
2x − 1);
q
√
3
Lösungsmenge für fx = fy = 0: L = {0, 0} ∪ {−1, 0} ∪ {1, 0} ∪ − 1 − 2 , −2 ∪
q
q
q
q
q
√
√
√
√
√
3
3
3
3
3
1 − 2 , −2 ∪ − 1 + 2 , −2 ∪
1 + 2 , −2 ∪ − 1 − 2 , 2 ∪
1 − 2 ,2 ∪
q
q
√
√
1 + 23 , 2 ; lokale Maxima in P1 (1; 0) und P2 (−1; 0) ; lokales
− 1 + 23 , 2 ∪
Minimum in P3 (0; 0)
17. (a) Gebiet B: s. Zeichnungen im Anhang
(b)
√
2+
R 5
x·(
√
x=2− 5
−x2 +4x+2
R
y dy )dx =
y=x2 −4x
80
3
√
5
18. partielle Ableitungen: fx = 16x(x2 − 2)(y 2 − 1); fy = 2y(4x4 − 8x2 − 5);
lokale Maxima in P1 (1; 0) und P2 (−1; 0)
19. (a) Gebiet A: s. Zeichnungen im Anhang
(b) I =
R4
4xR2 −4
x=0 y=x3 −4
x2 − y 2 dy dx = − 400384
35
20. a > 0: Maximum in P ( 23 a; 23 a)
21. (a) Gebiet B: s. Zeichnungen im Anhang
(b) Parametrisierung: x = r cos(ϕ) + 1, y = r sin(ϕ)
2π
R R1 5
→I=
(r − 4r4 cos(ϕ) + 4r3 cos2 (ϕ)) dr dϕ =
ϕ=0 r=0
142
4π
3
22. Minimum in P (0, 0)
23. Minimum in P (2, 1)
24. (a) Gebiet B: s. Zeichnung Seite 164
(b) Parametrisierung: x = r cos(ϕ), y = r sin(ϕ)
5,176
R
R3 3 −r2
sin(φ) cos(φ)
(r e ) dr dφ =
→I=
ϕ= π
4
r=0
3
40
− 34 e−9
1
13
25. (a) P1 = (0, 14 , − 94 ) ; P2 = (−1, 14 , − 13
4 ) ; P3 = (1, 4 , − 4 )
(b) A =
3
2
a2 ln(2)
26. (a) Minimum in P ( √12 , −1) , Maximum in P (− √12 , −1)
(b) f (x, y) maximal (minimal), wenn x = − √12 (x =
√1 )
2
31a4
1280
1
− 16
; Gebiet B: s. Zeichnung Seite 166
√
R 1 R 1−y2 +1
f
(x,
y)
dx
dy; Gebiet B: s. Zeichnung Seite 166
(b) I = 0
2−y
27. (a) I =
28. (a) df = 3 dx + dy
17
(b) y(x) = − 15
x+
(c) S( 16 , − 13 ,
√
61
6 )
29. (a) J = 54 ln(3) +
47
15
7
2
(b) J = 2
30. (a) Gebiet B: s. Zeichnung Seite 167
J = − 32
Fläche zwischen den Funktionen A =
Vertauschung Integrationsreihenfolge:
(b) Gebiet B: s. Zeichnung Seite 167
J = π (ln(2) − 12 )
29
18
J =
R 1R
0
2
y
3
2y 3
dx dy +
31. q = 4y
32. (a) df = (4 + π4 ) dx + (2 + π4 ) dy +
√
7
2
2
5 x
√
6 2
5
√
t2 (x) = − 52 x −
q
√
√
− 1, − 27 , 1 + 16 ( 7 − 1)3
(b) t1 (x) =
(c) S(
√
√
π dz
+
;
√
6 2
5
√
√
33. (a) |B| = 10 ln(5 + 2 6) − 4 6
Skizze Integrationsgebiet siehe Zeichnung Seite 167
J =0
(b) J = − 13
(c)
i. Antwort B
ii. Antwort B
34. (a) z = 2x − y − 1
√
√
√
(b) Minima an den Stellen ( 8 9 3 | 2 3 3 ) und (− 8 9 3 | −
35. (a)
i. Skizze siehe Zeichnung Seite 168
ii. A = 13 a2
(b) A = 84π
(c) Skizze siehe Zeichnung Seite 168
R1Rx
R 10 R 1
A = 0 0 1dxdy + 1 0x 1dxdy =
vertauschte Integrationsreihenfolge:
R 1 R 10
R1 R 1
A = 010 y 1dydx + 1 yy 1dydx
1
2
10
143
+ ln(10)
√
2 3
3 )
R 3R
2
y
3
1 2
dx dy
36. (a) Skizze Integrationsgebiet siehe Zeichnung Seite 168
R 1 R x2
R √2 R √2−x2
5
xy dy dx = 24
(b) 0 0 xy dy dx + 1
0
√
R 1 R 2−y2
5
(c) 0 √y
xy dx dy = 24
37. (a) Ebenengleichung: t = 4x − y − 2
(b) I = π(1 − 2e )
(c)
(d) 4
i. Skizze Integrationsgebiet siehe Zeichnung Seite 169
√
R 4 R 20−y2 x
dx dy
ii. y=0 x=√y y+5
38. (a) Minima an den Stellen ( 23 | 32 ) und (− 32 | − 23 )
Maxima an den Stellen ( 32 | − 32 ) und (− 32 | 23 )
(b) I =
(c)
32
15
π
i. Skizze Integrationsgebiet siehe Zeichnung Seite 169
R1
R √2−y
R 2 R √2−y
ii. y=−2 x=−y f (x, y) dx dy + y=1 x=−√2−y f (x, y) dx dy
39. (a) t(x, y) =
√
3 5
5
x−
√
3
3
y+
√
√
20 3−12 5
15
(b) Skizze Integrationsgebiet siehe Zeichnung Seite 169;
R 2 R h(x)
RπR2
2
−2 g(x) y − 2x dy dx = 0 1 (sin(φ) − 2 cos(φ))r dr dφ =
R1 R3
R 3 R 31 x x2
2
(c) y=0 x=3y ex dx dy = x=0 y=0
e dy dx = 16 e9 − 16
7.4
14
3
Eigenwerte und Eigenvektoren
1. charakteristische Gleichung: λ3 − 4λ2 + 5λ − 2 = 0
 
0
f2 =
λ1,2 = 1 zweifacher Eigenwert; x
f1 = √12  1 ; x
1


−1
λ3 = 2 einfacher Eigenwert; f
x3 = √13  1 
1


−2
√1 
1 
6
−1
A nicht symmetrisch → Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten nicht zwingend
orthogonal.
x1 · x
f
f2 = 0 → ⊥; x
f1 · x
f3 6= 0; f
x2 · x
f3 6= 0
2. charakteristische Gleichung: λ3 − 8λ2 + 20λ − 16 = 0


−1
λ1,2 = 2 zweifacher Eigenwert; x
f1 = √12  1 ; x
f2 =
0


−1
λ3 = 4 einfacher Eigenwert; f
x3 = √13  1 
1


1
√1  0 
2
1
A nicht symmetrisch → Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten nicht zwingend
orthogonal.
x2 · x
f
f3 = 0 → ⊥; x
f1 · x
f2 6= 0; f
x1 · x
f3 6= 0
3. charakteristische Gleichung: λ3 − 4λ2 + λ + 2 = 0


1
√
λ1 = 1 , x
f1 = √12  0 ; λ2 = 3+2 17 , x
f2 ≈
1


−1
1 
3.561 
x3 ≈ 3.832
f
1


1
1 
0.562 ; λ3 =
1.522
−1
√
3− 17
2
A symmetrisch → Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind orthogonal.
x1 · x
f
f2 = 0 → ⊥; x
f1 · x
f3 = 0 → ⊥; x
f2 · f
x3 = 0 → ⊥;
144
,
4. charakteristische Gleichung: λ3 − λ2 − 4λ + 4 = 0


 
−1
1
f2 = √12  1 ; λ3 = −2 , f
x3 =
λ1 = 1 , x
f1 = √13  1 ; λ2 = 2, x
1
0


1/2
√2  −1/2 
6
1
A symmetrisch → Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind orthogonal.
x1 · x
f
f2 = 0 → ⊥; x
f1 · x
f3 = 0 → ⊥; x
f2 · f
x3 = 0 → ⊥;
5. charakteristische Gleichung: λ3 − λ2 − 10λ + 10 = 0



−1
√

λ1 = 1 , f
x1 = 32  1/2 ; λ2 = 10 , x
f2 = √ 3 √ 
100+26 10
1


√
3
√
100−26 10
x3 = √
f


5− 10
3
√
4−2 10
3
1
√
5+ 10
3
√
4+2 10
3
1



√

 ; λ3 = − 10 ,
A symmetrisch → Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind orthogonal.
x1 · x
f
f2 = 0 → ⊥; x
f1 · x
f3 = 0 → ⊥; x
f2 · f
x3 = 0 → ⊥;
6. charakteristische Gleichung: λ3 − 4λ2 + 2λ = 0


1
√
λ1 = 0 , f
x1 = √12  0 ; λ2 = 2 + 2 , x
f2 =
1


−1
√
1
2 
2
1


−1
√
√
1 
f3 =
− 2 ; λ3 = 2 − 2 , x
2
1
A symmetrisch → Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind orthogonal.
x1 · x
f
f2 = 0 → ⊥; x
f1 · x
f3 = 0 → ⊥; x
f2 · f
x3 = 0 → ⊥;
7. charakteristische Gleichung: λ3 − 6λ2 + 6λ = 0
 


−1
1
√
√
√
λ1 = 0 , x
f1 = √12  0 ; λ2 = 3 + 3 , x
f2 = √ 1 √  −1 − 3 ; λ2 = 3 − 3 ,
6+2 3
1
1


−1
√
x2 = √ 1 √  −1 + 3 
f
6+2 3
1
A symmetrisch → Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind orthogonal.
x1 · x
f
f2 = 0 → ⊥; x
f1 · x
f3 = 0 → ⊥; x
f2 · f
x3 = 0 → ⊥;
8. charakteristische Gleichung: λ3 − 6λ2 + 4λ = 0


−3
√
λ1 = 0 , f
x1 = √114  2 ; λ2 = 3+ 5 , x
f2 =
1


− 2−1√5

,f
x3 = q 1 1
−2 
5+ (2+√2)2
1
q
1
1
5+ (2+√
2)2


− 2+1√5
√

−2 ; λ3 = 3− 5
1
A nicht symmetrisch → Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten nicht zwingend
orthogonal.
x1 · x
f
f2 6= 0; f
x1 · f
x3 6= 0; f
x2 · x
f3 6= 0;
9. charakteristische Gleichung: λ3 − 6λ2 + 7λ + 2aλ − 7a − 4 = 0
(a) Wenn a = −2: A symmetrisch, Eigenvektoren orthogonal




−1
−1
(b) λ1 = 2 , x
f1 = √13  1 ; λ2 = 5 , x
f2 = √16  −2  ; λ3 = −1 , x
f3 =
1
1
 
1
√1  0 
2
1
x
f1 · x
f2 = 0 → ⊥; f
x1 · x
f3 = 0 → ⊥; f
x2 · x
f3 = 0 → ⊥;
145
10. det(A − λ · E) = (9 + 3j − λ)3 − 25 · (9 + 3j − λ) = 0 ; Substitution z = (9 + 3j − λ) →
z1 = 0, z2 = 5, z3 = −5 ; Rücksubstitution ergibt λ1 , λ2 , λ3 ;
 4 
 3

−5 · j
3
f2 = √12  45 · j  ; λ3 = 14 + 3j ,
λ1 = 9 + 3j , x
f1 = 35  1 ; λ2 = 4 + 3j , x
0
1
 3

·
j
5
x3 = √12  − 45 · j 
f
1
11. charakteristische Gleichung: λ3 − 3λ2 − 2λ + 4 = 0


−2j
√
0  ; λ2 = 1 + 5 , x
λ1 = 1 , x
f1 = √15 
f2 =
1
 1 
2j
√
x3 = √210  25 ;
f
1
√2
10


1
2j
√
5
2
1

; λ3 = 1 −
√
5 ,
Realteil symmetrisch, Imaginärteil schiefsymmetrisch → A ist hermetisch →
(a) alle Eigenwerte sind reell
(b) Eigenvektoren sind orthogonal
x
f1 · x
f2 = 0 → ⊥; x
f1 · x
f3 = 0 → ⊥; x
f2 · f
x3 = 0 → ⊥
12. charakteristische Gleichung: λ3 + (−9 − 6j)λ2 + (−28 + 36j)λ + 180 + 40j = 0
 
 2 
3
5j
λ1 = 4 + 2j , x
f1 = √110  1  ; λ2 = 9 + 2j , x
f2 = √565  − 56 j ; λ3 = −4 + 2j ,
0
1
 1 
−4j
x3 = √426  34 j 
f
1
13. charakteristische Gleichung: λ3 − 9λ2 − 16λ + 144 = 0


 1 
−3
−4
λ1 = 4 , x
f1 = √110  1 ; λ2 = −4 , f
x2 = √426  − 43  ; λ3 = 9 , x
f3 =
0
1
√5
65
A symmetrisch →


2
5
6
5
1


(a) ∃ genau 3 lin. unabh. Eigenvektoren
(b) Eigenvektoren sind orthogonal
x
f1 · x
f2 = 0 → ⊥; x
f1 · x
f3 = 0 → ⊥; x
f2 · f
x3 = 0 → ⊥;
14. charakteristische Gleichung: λ3 − 4λ2 + λ + 6 = 0
 1 


−3
−1
λ1 = −1 , x
f1 = √314  − 23 ; λ2 = 2 , x
f2 = √12  1 ; λ3 = 3 , x
f3 =
0
1


1
√1  2 ;
6
1
A nicht symmetrisch → Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten nicht zwingend
orthogonal.
x1 · x
f
f2 6= 0; f
x1 · f
x3 6= 0; f
x2 · x
f3 6= 0;
15. charakteristische Gleichung: λ3 − 2λ2 − λ + 2 = 0
 
 1 
j
−2j
q
λ1 = 2 , x
f1 = √13  1  ; λ2 = −1 , x
f2 = 23  − 12 ; λ3 = 1 , x
f3 =
1
1


−j
√1 
1 ;
2
0
Realteil symmetrisch, Imaginärteil schiefsymmetrisch → A ist hermetisch →
(a) alle Eigenwerte sind reell
(b) Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind orthogonal
146
x
f1 · x
f2 = 0 → ⊥; x
f1 · x
f3 = 0 → ⊥; x
f2 · f
x3 = 0 → ⊥
16. charakteristische Gleichung: λ3 − 6λ2 + 9λ − 4 = 0




−j
−j
1
1
λ1 = λ2 = 1 , xf
0  , xf
1 
12 = √2 
11 = √2 
1
0
 
j
λ3 = 4 , x
f3 = √13  1 ;
1
Realteil symmetrisch, Imaginärteil schiefsymmetrisch → A ist hermetisch →
(a) alle Eigenwerte sind reell
(b) Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind orthogonal
xf
f3 = 0 → ⊥; xf
x3 = 0 → ⊥; xf
f
11 · x
12 · f
11 · x
12 6= 0 → nicht orthogonal
17. charakteristische Gleichung: λ3 − 8λ2 + 17λ − 10 = 0




−1
1
f2 = √13  −1  , x
f3 =
λ1 = 1 , λ2 = 2 , λ3 = 5 , f
x1 = √12  0  , x
1
1


1
√1  2 
6
1
Matrix ist symmetrisch→ Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind orthogonal
Verifizierung:
x
f1 · x
f2 = 0 → ⊥; x
f1 · x
f3 = 0 → ⊥; x
f2 · f
x3 = 0 → ⊥
18. charakteristische Gleichung: λ3 − 3λ2 + (3 + 2a2 )λ − 2a2 − 1 = 0


0
√
√
λ1 = 1 , λ2 = 1 − j · a 2 , λ3 = 1 + j · a 2 , x
f1 = √12  −1  , x
f2 =
1
 √ 
j 2
,x
f3 = 12 
1 
1
√ 
−j 2
1 
1 
2
1

Matrix ist weder symmetrisch noch schiefsymmetrisch → Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind nicht zwingend orthogonal
Prüfung Orthogonalität:
x
f1 · x
f2 = 0 → ⊥; x
f1 · x
f3 = 0 → ⊥; x
f2 · f
x3 = 0 → ⊥
19. A = AT → Matrix symmetrisch → Eigenwerte reell, Eigenvektoren zu verschiedenen
Eigenwerten sind orthogonal
charakteristische Gleichung: λ2 (−λ + 6) = 0
λ1 = 6 , λ
2 = λ
3 = 0 doppelter
 Eigenwert;

2
0
1
1  , xg
x1 = √16  1  , xg
f
2,1 = √2 
2,2 =
1
−1
Prüfung Orthogonalität:


−1
√1 
1 
3
1
x
f1 · xg
x1 · xg
g
g
2,1 = 0 → ⊥; f
2,2 = 0 → ⊥; x
2,1 · x
2,2 = 0 → ⊥
20. A 6= AT → Matrix asymmetrisch → Eigenwerte nicht zwingend reell, Eigenvektoren
zu verschiedenen Eigenwerten nicht zwingend orthogonal
charakteristische Gleichung: −λ3 + 3λ2 − 5λ + 3
147
√
√
λ1 = 1 , λ
2 = 1+
j 2 , λ3 =
 1 − j 2
1
−1
,x
x1 = √12  1  , x
f
f2 = 12 
f3 =
√1
0
−j 2


1
1 

2
√1
j 2
Prüfung Orthogonalität:
x
f1 · x
f2 = 0 → ⊥; x
f1 · x
f3 = 0 → ⊥; x
f2 · f
x3 = 0 → ⊥
21. charakteristische Gleichung: λ4 − 4λ3 + 5λ2 − 4λ + 4
λ1 = j , λ2 =
−j , λ3 = λ4= 2
3
2
13 ± 13 j


1
26 
,x
xg
1,2 = √1378  15
3
 f3 =
26 ∓ 26 j
10
2
13 ∓ 13 j



1
 2 

,x
√1 
f4 = 

7  1 
1
22. charakteristische Gleichung: −λ3 + 9λ2 − 24λ + 16
λ1 = 1 , λ
2 = λ
3 = 4
1
x1 = √12  0  , xg
f
2,1 =
1


0
√2  0  , x
g
2,2 =  1 
5
1
0
1
2


0
0 

0 
0

A 6= AT → Matrix asymmetrisch → Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten nicht
zwingend orthogonal
A~v 6= 2~v
23. charakteristische Gleichung: −λ3 + 6λ2 − 9λ + 4
λ1 = 4 , λ
=1
2 = λ3 


 
−1
−1
1
1 
1 
1  , xg
1 
x1 = √13  −1  , xg
f
2,1 = √2
2,2 = √6
1
0
2




1
1
1
1
1
− √3 − √2 √6
− √3 − √3 √13


√1
√1 
√1
0 
B =  − √13
; B T =  − √12

2
6 
2
1
1
2
1
√
√
√
√
√2
0
3
6
6
6
6


4 0 0
D = B T AB =  0 1 0  ;
A = BDB T
0 0 1
24. A = AT → Matrix symmetrisch → Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind
orthogonal, die Eigenwerte reell;
Rg(A) = 1 → λ1 = λ2 = 0
charakteristische Gleichung: λ2 (3 − λ)
λ1 = 3 , λ
2 = λ
3 = 0

1
1 
x1 = √13  1  , xg
f
2,1 = √2
1
 1

√
√1
√1
−
2
6
 3

√1
√1
B =  √13
;
2
6 
1
2
√
√
0
−
3
6


3 0 0
D = B T AB =  0 0 0  ;
0 0 0

−1
1  , xg
2,2 =
0
 1
√
3

B T =  − √12
√1
6
A = BDB T
25. (a) richtig
(b) falsch
148


1
√1  1 
6
−2
√1
3
√1
2
√1
6
√1
3
0
− √26



(c) richtig




1
0
√ 

 1 
2  0 


26. (a) λ1 = λ2 = 1;
xg
, xg
1,1 = 2 
1,2 = 
0 
0 
 1 
0 
−1
0
√ 



0
2 
 , xg
 0 
λ3 = λ4 = −1; xg
2,1 = 2 
1,2 = 
0 
1 
1
0


1 0 0 0
 0 1 0 0 
2

 =⇒ A = AT = A−1 =⇒
A =
0 0 1 0 
0 0 0 1
=⇒ A ist orthogonal
5 1
1
(b) C = 21
; λ1 = 13 ; λ2 = 17
4 5
4 −2
1
(c) A = 5
−2 1
(d)
AT A = AT A = E
A richtig: A1
B richtig: B2, B3
C richtig: a)
27. (a) λ1 = 6;


2
x
f1 = 13  −2 
1 



1
1
1
1
g
λ2 = λ3 = −3; xg
2,2 = √2  1 
2,1 = √5  0  , x
−2
0


2
Eig(A, λ = 6) = <  −2  >
1

  
1
1
Eig(A, λ = −3) = <  0  ,  1  >
−2
0


 √1 
 2 
1
√
3 2
2
3


1
(b) ve1 =  √12 ; ve2 =  − 3√
; ve3 =  − 23 
2 
1
4
− 3√
0
3
 √
 2
√


2
2
2
−3 0 0
6√
3
 √22

2
P = 2
−√
− 32  ; P −1 A P = P T A P =  0 −3 0 
6
2 2
1
0
0 6
0 − 3
3


1
0
0
(c) B =  −1 − 12 − 21 
1 − 12 − 21
(d)
i. richtig: C
ii. richtig: A, B
28. a) charakt. Polynom: −λ3 +
2λ2 + 15λ
EW)
 − 36 ; λ1 = −4; λ2 = λ3= 3 (doppelter

−6
5
1
 8  ; Eig(A, λ = 3) = √1  −2 
b) Eig(A, λ = −4) = √109
30
3
1
 
 2 


1
−3
0
c)ve1 = √13  1 ; ve2 = √36  13 ; ve3 = √22  − 12 
1
1
1
3
2
1
d)λ1 = 1; λ2 = 512
; λ3 = 0; λ4 = 512
e)Rang(B)< 4 → det(B) = 0 → nicht invertierbar
29. (a) charakt. Polynom: p(λ) = (λ + 1)(λ + 2)(λ − 3)(λ − 4)
149


−13
 −31 
1


(b) Eig(A, λ = −2) = √2930
 30  ; Eig(A, λ = −1)
30
 

1
1



2
1

√1 
Eig(A, λ = 3) = √15 
 0  ; Eig(A, λ = 4) = 2  0
0
0
 




3
4
0
(c) u
f1 = 15  0 ; u
f2 = 15  0 ; u
f3 =  1 
4
−3
0
=




√1
663


−7
 −17 


 15 
10
(d) Zusatzaufgabe
i. Antwort i)
ii. Antwort iii)
30. (a)
i. A = A∗ → Matrix ist hermitesch, selbstadjungiert → Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind orthogonal, die Eigenwerte reell, die Matrix ist
diagonalisierbar, geometrische und algebraische Vielfachheit zu verschiedenen Eigenwerten sind identisch
charakteristische Gleichung: p (λ) = (λ − 1) (λ − 4) (4 − λ)


1+j
ii. λ1 = 1:
x
f1 = √13  −1 
0

 
1+j
0
1 


√
2
0 
λ2 = λ3 = 4: xg
=
x
g
=
2,1
2,2
6
0
1
dim(Eig(A, 1)) = µ(A, 1) = 1 ;

(b)

iii. S = 
1+j
√
3
− √13
0
i. Antwort A
ii. Antwort B
1+j
√
6
√2
6
0

0

0 ;
1
S −1
dim(Eig(A, 4)) == µ(A, 4) = 2

1 0
AS= 0 4
0 0

0
0 
4
31. (a) charakteristische Gleichung: p (λ) = (3 + 6j − λ)(15 + 6j − λ)(−3 + 6j − λ)


−1
λ1 = 3 + 6j :
x
f1 = √12  1 
0
 
j
√
λ2 = 15 + 6j :
x
f2 = 66  j 
 2 
−j
λ3 = −3 + 6j :
x
f3 = √13  −j 
1






2
1 − √5 0
1 0 √2
2 0 0
0
1 ; P −1 =  0 0
(b) P =  0
5 ; P −1 B P =  0 3 0 
√1
0
0
0 0 3
0 1 0
5
(c) Zusatzaufgabe
i. Für eine diagonalisierbare Matrix gilt für einen Eigenwert, dass
A. algebraische Vielfachheit < geometrische Vielfachheit
B. algebraische Vielfachheit > geometrische Vielfachheit
C. algebraische Vielfachheit = geometrische Vielfachheit X
ii. Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind linear unabhängig. X
iii. Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind orthogonal.
iv. Symmetrische Matrizen sind diagonalisierbar X
150
Kapitel 8
Formelsammlung
Trigonometrische Funktionen:
sin2 (x) + cos2 (x) = 1
sin(x ± y) = sin(x) cos(y) ± cos(x) sin(y)
cos(x ± y) = cos(x) cos(y) ∓ sin(x) sin(y)
sin(2x) = 2 sin(x) cos(x)
cos(2x) = 2 cos2 (x) − 1 = 1 − 2 sin2 (x)
Spezielle Werte
x
0
π
6
π
4
π
3
π
2
sin(x)
0
1
2
1√
2
2
1√
3
2
1
cos(x)
1
1√
3
2
1√
2
2
1
2
0
Umrechnungen mit τ = tan
2τ
1 + τ2
1 − τ2
cos(x) =
1 + τ2
2τ
tan(x) =
1 − τ2
sin(x) =
x
2
1 + τ2
2τ
1 + τ2
sec(x) =
1 − τ2
1 − τ2
cot(x) =
2τ
csc(x) =
151
Grundintegrale:
Z
0 dx = C
Z
Z
1
1
xa+1 + C, a 6= −1
dx = ln |x| + C
xa dx =
a+1
x
Z
Z
1 x
a + C, a > 0, a 6= 1
ex dx = ex + C
ax dx =
ln a
Z
Z
sin x dx = − cos x + C
cos x dx = sin x + C
Z
Z
1
1
dx
=
tan
x
+
C
dx = − cot x + C
2
2
cos x
Z
Z sin x
sinh x dx = cosh x + C
cosh x dx = sinh x + C
Z
Z
1
1
dx
=
tanh
x
+
C
dx = − coth x + C
2
cosh x
sinh2 x
Z
1
dx = arctan x + C
1 + x2
(
Z
1
1 1 + x Artanh x + C, |x| < 1
dx = ln +C =
2
1−x
2
1−x
Arcoth x + C, |x| > 1
Z
1
√
dx = arcsin x + C, |x| < 1
1 − x2
Z
p
1
√
dx = Arcosh x + C = ln(x + x2 − 1) + C, x > 1
2
x −1
Z
p
1
√
dx = Arsinh x + C = ln(x + x2 + 1) + C
1 + x2
Laplace - Transformation
f (t) = 1
❝
s
F (s) =
f (t) = ea t
❝
s
F (s) =
f (t) = cos(ωt)
❝
s
F (s) =
f (t) = sin(ωt)
❝
s
F (s) =
f (t) = cosh(at)
❝
s
F (s) =
f (t) = sinh(at)
❝
s
F (s) =
152
1
,
s
1
,
s−a
s
,
s2 + ω 2
ω
,
2
s + ω2
s
,
s2 − a2
a
,
s2 − a2
ℜ(s) > 0
ℜ(s − a) > 0
ℜ(s) > 0, ω ∈ R
ℜ(s) > 0, ω ∈ R
ℜ(s − |a|) > 0, a ∈ R
ℜ(s − |a|) > 0, a ∈ R
Kapitel 9
Abbildungen
1. Ungleichungen
3
2
1
0
−3
−2
−1
0
1
3
2
x
−1
y
−2
−3
Abbildung 9.1: Ungleichungen, Aufgabe 21: Skizze der Funktionen
5
4
3
2
1
0
−5
−4
−3
−2
x
−1
0
−1
1
2
3
4
5
−2
y
−3
−4
−5
Abbildung 9.2: Ungleichungen, Aufgabe 22: Skizze der Funktionen
10
5
0
−20
−15
−10
−5
0
5
x
−5 y
−10
f(x)
g(x)
Abbildung 9.3: Ungleichungen, Aufgabe 23: Skizze der Funktionen
153
15
10
5
0
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
x
−5
y
−10
−15
Abbildung 9.4: Ungleichungen, Aufgabe 24: Skizze der Funktionen
20
15
y 10
5
0
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
x
−5
−10
Abbildung 9.5: Ungleichungen, Aufgabe 25: Skizze der Funktionen
10
8
6
4
2
0
−10
−8
−6
−4
−2
0
2
4
6
8
10
−2
x
−4
y
−6
−8
−10
Abbildung 9.6: Ungleichungen, Aufgabe 26: Skizze der Funktionen
40
32
24
16
8
0
−10
−8
−6
−4
−2
0
2
4
6
8
10
−8
x
−16
y
−24
−32
−40
Abbildung 9.7: Ungleichungen, Aufgabe 27: Skizze der Funktionen
154
20
16
12
8
4
0
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
−4
x
−8
y
−12
−16
−20
Abbildung 9.8: Ungleichungen, Aufgabe 28: Skizze der Funktionen
20
16
12
8
4
0
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
−4
x
−8
y
−12
−16
−20
Abbildung 9.9: Ungleichungen, Aufgabe 29: Skizze der Funktionen
10
5
0
−10
−8
−6
−4
0
−2
2
4
6
8
10
x
y −5
−10
Abbildung 9.10: Ungleichungen, Aufgabe 30: Skizze der Funktionen
10
5
0
−10
−8
−6
−4
0
−2
2
4
6
8
10
x
y −5
−10
Abbildung 9.11: Ungleichungen, Aufgabe 31: Skizze der Funktionen
155
10
5
0
−10
−8
−4
−6
−2
0
2
4
6
8
10
x
y −5
−10
Abbildung 9.12: Ungleichungen, Aufgabe 32: Skizze der Funktionen
30
20
y
10
0
−10
−8
−6
−4
−2
0
2
4
6
8
10
x
−10
Abbildung 9.13: Ungleichungen, Aufgabe 33: Skizze der Funktionen
10
8
6
4
2
0
−10
−8
−6
−4
−2
0
2
4
6
8
10
−2
x
−4
y
−6
−8
−10
Abbildung 9.14: Ungleichungen, Aufgabe 34: Skizze der Funktionen
10
8
6
4
2
0
−10
−8
−6
−4
−2
0
2
4
6
8
10
−2
x
−4
y
−6
−8
−10
Abbildung 9.15: Ungleichungen, Aufgabe 35: Skizze der Funktionen
156
10
8
6
4
2
0
−10
−8
−6
−4
0
−2
2
4
6
8
10
−2
x
−4
y
−6
−8
−10
Abbildung 9.16: Ungleichungen, Aufgabe 36: Skizze der Funktionen
10
5
0
−5
−4
−2
−3
−1
0
1
2
3
4
5
x
−5
y
−10
Abbildung 9.17: Ungleichungen, Aufgabe 37: Skizze der Funktionen
10
5
0
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
x
−5
y
−10
Abbildung 9.18: Ungleichungen, Aufgabe 38: Skizze der Funktionen
10
5
0
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
x
y
−5
−10
Abbildung 9.19: Ungleichungen, Aufgabe 39: Skizze der Funktionen
157
2. Komplexe Zahlen
Abbildung 9.20: Komplexe Zahlen, Aufgabe 2 a: Lage Bereich
Abbildung 9.21: Komplexe Zahlen, Aufgabe 5 a: Lage Bereich
Abbildung 9.22: Komplexe Zahlen, Aufgabe 6 b: Lage im Kreis
0.5
0.25
0.0
−0.5
−0.25
0.0
0.25
0.5
x
−0.25
y
−0.5
Abbildung 9.23: Komplexe Zahlen, Aufgabe 13 b: Lage der Lösungen
158
1.0
0.5
0.0
−1.0
−0.5
0.0
1.0
0.5
x
−0.5
y
−1.0
Abbildung 9.24: Komplexe Zahlen, Aufgabe 14 b: Lage der Lösungen
1.0
0.5
0.0
−1.0
−0.5
0.0
1.0
0.5
x
−0.5
y
−1.0
Abbildung 9.25: Komplexe Zahlen, Aufgabe 15 b: Lage der Lösungen
2.0
1.6
1.2
0.8
0.4
0.0
−2
−1
−0.4
x
0
1
2
−0.8
y
−1.2
−1.6
−2.0
Abbildung 9.26: Komplexe Zahlen, Aufgabe 16 b: Lage der Lösungen
1.5
1.0
0.5
0.0
−1.5
−1.0
−0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
x
−0.5
y
−1.0
−1.5
Abbildung 9.27: Komplexe Zahlen, Aufgabe 17 b: Lage der Lösungen
159
1.5
1.0
0.5
0.0
−1.5
−1.0
−0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
x
−0.5
y
−1.0
−1.5
Abbildung 9.28: Komplexe Zahlen, Aufgabe 18 b: Lage der Lösungen
1.5
1.0
0.5
0.0
−1.5
−1.0
−0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
x
−0.5
y
−1.0
−1.5
Abbildung 9.29: Komplexe Zahlen, Aufgabe 19: Lage der Lösungen
Abbildung 9.30: Komplexe Zahlen, Aufgabe 20 a: Menge in der komlexen Ebene
160
Abbildung 9.31: Komplexe Zahlen, Aufgabe 20 b: Lage der Lösungen
5
4
3
2
1
0
−5
−4
−3
x
−2
−1
0
−1
1
2
3
4
5
−2
y
−3
−4
−5
Abbildung 9.32: Komplexe Zahlen, Aufgabe 21 a: Durchschnittsmenge der Mengen M1 und
M2
161
1.0
0.5
−1.5
−1.0
−0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
0.0
−0.5
−1.0
−1.5
Abbildung 9.33: Komplexe Zahlen, Aufgabe 23: Spirale
Abbildung 9.34: Komplexe Zahlen, Aufgabe 24
Abbildung 9.35: Komplexe Zahlen, Aufgabe 27
162
(a) Aufgabe 29 b, Skizze M1
(b) Aufgabe 29 b, Skizze M2
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
−1.0
−0.5
0.0
0.5
1.0
−0.2
x
−0.4
y
−0.6
−0.8
−1.0
Abbildung 9.36: Komplexe Zahlen, Aufgabe 29c
3. Grenzwerte
1.0
0.5
0.0
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
−0.5
−1.0
Abbildung 9.37: Kardiode r = 1 + cos(phi)
4. Taylor-Reihen
163
Abbildung 9.38: Taylorreihen, Aufgabe 27a: Graphen der Funktion f(x) und der Taylorpolynome t1(x)..t4(x)
5. Fourier-Reihen
Abbildung 9.39: Fourierreihen, Aufgabe 9: Skizze der Koeffizienten für a=1
6. Funktionen mehrerer Variabler
164
3
2
1
0
−3
−1
−2
0
x
1
2
3
−1
y
−2
−3
Abbildung 9.40: Funktionen mehrerer Variabler, Aufgabe 13: Gebiet B
5.0
2.5
0.0
−6
−5
−4
−3
−2
0
−1
2
1
3
5
4
6
x
−2.5
y
−5.0
Abbildung 9.41: Funktionen mehrerer Variabler, Aufgabe 15: Gebiet B
7.5
5.0
y
2.5
0.0
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
x
−2.5
−5.0
Abbildung 9.42: Funktionen mehrerer Variabler, Aufgabe 17: Gebiet B
60
50
40
y 30
20
10
0
−2
−1
0
1
2
3
4
5
x
Abbildung 9.43: Funktionen mehrerer Variabler, Aufgabe 19: Gebiet A
165
Abbildung 9.44: Funktionen mehrerer Variabler, Aufgabe 21: Gebiet B
Abbildung 9.45: Funktionen mehrerer Variabler, Aufgabe 24: Gebiet B
Abbildung 9.46: Funktionen mehrerer Variabler, Aufgabe 27a: Gebiet B (für a = 2)
166
Abbildung 9.47: Funktionen mehrerer Variabler, Aufgabe 27b: Gebiet B
3.0
2.5
2.0
y 1.5
1.0
0.5
0.0
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
x
Abbildung 9.48: Funktionen mehrerer Variabler, Aufgabe 30a: Gebiet B
1.0
0.5
0.0
−1.0
−0.5
0.0
0.5
1.0
−0.5
−1.0
Abbildung 9.49: Funktionen mehrerer Variabler, Aufgabe 30b: Gebiet B
167
5
4
3
2
1
0
−5
−4
−3
0
−1
−1
−2
x
2
1
3
4
5
−2
y
−3
−4
−5
Abbildung 9.50: Funktionen mehrerer Variabler, Aufgabe 33a: Gebiet B
8
6
y4
2
0
0
1
2
3
4
x
Abbildung 9.51: Funktionen mehrerer Variabler, Aufgabe 35: umrandete Fläche
Abbildung 9.52: Funktionen mehrerer Variabler, Aufgabe 35c: Fläche A
168
2.0
1.5
y 1.0
0.5
0.0
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
x
Abbildung 9.53: Funktionen mehrerer Variabler, Aufgabe 36: Skizze Integrationsgebiet
Abbildung 9.54: Funktionen mehrerer Variabler, Aufgabe 37c: Skizze Integrationsgebiet
Abbildung 9.55: Funktionen mehrerer Variabler, Aufgabe 38b: Skizze Integrationsgebiet
169
4
3
y2
1
0
−2
−1
0
1
2
x
Abbildung 9.56: Funktionen mehrerer Variabler, Aufgabe 39b: Skizze Integrationsgebiet
170
Abbildungsverzeichnis
9.1
9.2
9.3
9.4
9.5
9.6
9.7
9.8
9.9
9.10
9.11
9.12
9.13
9.14
9.15
9.16
9.17
9.18
9.19
9.20
9.21
9.22
9.23
9.24
9.25
9.26
9.27
9.28
9.29
9.30
9.31
9.32
9.33
9.34
9.35
9.36
9.37
9.38
9.39
9.40
9.41
9.42
9.43
9.44
9.45
9.46
9.47
9.48
9.49
Ungleichungen, Aufgabe 21: Skizze der Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . 153
Ungleichungen, Aufgabe 22: Skizze der Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . 153
Ungleichungen, Aufgabe 23: Skizze der Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . 153
Ungleichungen, Aufgabe 24: Skizze der Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . 154
Ungleichungen, Aufgabe 25: Skizze der Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . 154
Ungleichungen, Aufgabe 26: Skizze der Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . 154
Ungleichungen, Aufgabe 27: Skizze der Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . 154
Ungleichungen, Aufgabe 28: Skizze der Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . 155
Ungleichungen, Aufgabe 29: Skizze der Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . 155
Ungleichungen, Aufgabe 30: Skizze der Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . 155
Ungleichungen, Aufgabe 31: Skizze der Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . 155
Ungleichungen, Aufgabe 32: Skizze der Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . 156
Ungleichungen, Aufgabe 33: Skizze der Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . 156
Ungleichungen, Aufgabe 34: Skizze der Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . 156
Ungleichungen, Aufgabe 35: Skizze der Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . 156
Ungleichungen, Aufgabe 36: Skizze der Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . 157
Ungleichungen, Aufgabe 37: Skizze der Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . 157
Ungleichungen, Aufgabe 38: Skizze der Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . 157
Ungleichungen, Aufgabe 39: Skizze der Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . 157
Komplexe Zahlen, Aufgabe 2 a: Lage Bereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
Komplexe Zahlen, Aufgabe 5 a: Lage Bereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
Komplexe Zahlen, Aufgabe 6 b: Lage im Kreis . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
Komplexe Zahlen, Aufgabe 13 b: Lage der Lösungen . . . . . . . . . . . . . . 158
Komplexe Zahlen, Aufgabe 14 b: Lage der Lösungen . . . . . . . . . . . . . . 159
Komplexe Zahlen, Aufgabe 15 b: Lage der Lösungen . . . . . . . . . . . . . . 159
Komplexe Zahlen, Aufgabe 16 b: Lage der Lösungen . . . . . . . . . . . . . . 159
Komplexe Zahlen, Aufgabe 17 b: Lage der Lösungen . . . . . . . . . . . . . . 159
Komplexe Zahlen, Aufgabe 18 b: Lage der Lösungen . . . . . . . . . . . . . . 160
Komplexe Zahlen, Aufgabe 19: Lage der Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . 160
Komplexe Zahlen, Aufgabe 20 a: Menge in der komlexen Ebene . . . . . . . . 160
Komplexe Zahlen, Aufgabe 20 b: Lage der Lösungen . . . . . . . . . . . . . . 161
Komplexe Zahlen, Aufgabe 21 a: Durchschnittsmenge der Mengen M1 und M2 161
Komplexe Zahlen, Aufgabe 23: Spirale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
Komplexe Zahlen, Aufgabe 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
Komplexe Zahlen, Aufgabe 27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
Komplexe Zahlen, Aufgabe 29c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
Kardiode r = 1 + cos(phi) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
Taylorreihen, Aufgabe 27a: Graphen der Funktion f(x) und der Taylorpolynome t1(x)..t4(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
Fourierreihen, Aufgabe 9: Skizze der Koeffizienten für a=1 . . . . . . . . . . . 164
Funktionen mehrerer Variabler, Aufgabe 13: Gebiet B . . . . . . . . . . . . . 165
Funktionen mehrerer Variabler, Aufgabe 15: Gebiet B . . . . . . . . . . . . . 165
Funktionen mehrerer Variabler, Aufgabe 17: Gebiet B . . . . . . . . . . . . . 165
Funktionen mehrerer Variabler, Aufgabe 19: Gebiet A . . . . . . . . . . . . . 165
Funktionen mehrerer Variabler, Aufgabe 21: Gebiet B . . . . . . . . . . . . . 166
Funktionen mehrerer Variabler, Aufgabe 24: Gebiet B . . . . . . . . . . . . . 166
Funktionen mehrerer Variabler, Aufgabe 27a: Gebiet B (für a = 2) . . . . . . 166
Funktionen mehrerer Variabler, Aufgabe 27b: Gebiet B . . . . . . . . . . . . 167
Funktionen mehrerer Variabler, Aufgabe 30a: Gebiet B . . . . . . . . . . . . 167
Funktionen mehrerer Variabler, Aufgabe 30b: Gebiet B . . . . . . . . . . . . 167
171
9.50
9.51
9.52
9.53
9.54
9.55
9.56
Funktionen
Funktionen
Funktionen
Funktionen
Funktionen
Funktionen
Funktionen
mehrerer
mehrerer
mehrerer
mehrerer
mehrerer
mehrerer
mehrerer
Variabler,
Variabler,
Variabler,
Variabler,
Variabler,
Variabler,
Variabler,
Aufgabe
Aufgabe
Aufgabe
Aufgabe
Aufgabe
Aufgabe
Aufgabe
172
33a: Gebiet B . . . . . . . .
35: umrandete Fläche . . . .
35c: Fläche A . . . . . . . .
36: Skizze Integrationsgebiet
37c: Skizze Integrationsgebiet
38b: Skizze Integrationsgebiet
39b: Skizze Integrationsgebiet
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
168
168
168
169
169
169
170

Propädeutische Analysis I

Einstieg: (Umkehrfunktion) Anna behauptet: „Wie am Einheitskreis

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¨Ubungen – Blatt 6∗

Wichtige Werte von Sinus und Kosinus

0. ¨Ubung 1. Differentiation 2. Integration

Kurve in Parameterform x(t)

Blatt2 - II. Institut für Theoretische Physik

Blatt 6 (Stichtag 18.01.2015, 14:30)

Übung 1 - Workgroup Prof. Saalfrank