Institut für Technische und Num. Mechanik Maschinendynamik Prof. Dr.-Ing. Prof. E.h. P. Eberhard Dr.-Ing. F. Fleißner WS 15/16 A 4.1 Drehmatrix und Winkelgeschwindigkeit Aufgabe 1 a) Vervollständigen Sie die Matrizen der Elementardrehungen bei Kardan-Winkeln. 1 0 0 0 0 , 0 1 0 0 , 0 0 0 b) Wie berechnet sich der Winkelgeschwindigkeitsvektor system, wenn er im Innertialsystem mit gegeben ist? 0 0 0 α ⋅ ⋅ 0 0 Aufgabe 2 Die Verdrehung eines fahrzeugfesten Koordinatensystems R aufgrund seiner Gier- und Wankbewegung gegenüber dem Inertialsystem I lässt sich durch 2 aufeinander folgende Elementardrehungen beschreiben. Die Gierbewegung ist eine Drehung um die vertikale Achse mit dem Winkel φ, die Wankbewegung eine anschließende Drehung um die Fahrzeuglängsachse mit dem Winkel ϑ. a) Berechnen Sie die Drehmatrix : 0 ⋅ ⋅ 0 γ 0 ⋅ β 0 0 1 im körperfesten Referenz- ⋅ β 0 0 0 α 0 ⋅ γ Institut für Technische und Num. Mechanik Maschinendynamik Prof. Dr.-Ing. Prof. E.h. P. Eberhard Dr.-Ing. F. Fleißner WS 15/16 A 4.2 b) Bestimmen Sie den Winkelgeschwindigkeitsvektor des Fahrzeugs im Inertialsystem und im körperfesten Koordinatensystem aus der Anschauung: 0 0 + φ = −−−−− −−−−− ϑ ⋅ 0 = 0 0 ϑ ⋅ 0 + 0 = φ 0 −−−−− −−−−− −−−−− −−−−− −−−−− −−−−− c) Berechnen Sie nun den Drehgeschwindigkeitstensor formal und vergleichen Sie damit Ihr obiges Ergebnis. ! = ⋅ " = −−−− −−−−−−−−−− −−−−−−−−−− −−−− −−−−−−−−−− −−−−−−−−−− −−−− = −−−−−−−−−− −−−− −−−− −−−− −−−− −−−− −−−− −−−− −−−− −−−− −−−−−−−−−− ⇒ = ⋅ −−−−− −−−− −−−− −−−− −−−− −−−− −−−− −−−− −−−− −−−− −−−−− −−−−− d) Welcher Rechenweg ist schneller? Anschauung b) formale Rechnung c) $ = $ = ⋅$ ⋅$ e) Welche Regeln gelten für die Transformation von Vektoren? $ = ⋅$ f) Transformieren Sie nisse. % $ = " " ⋅$ in das Inertialsystem und überprüfen Sie nochmals Ihre Ergeb- Institut für Technische und Num. Mechanik Maschinendynamik Prof. Dr.-Ing. Prof. E.h. P. Eberhard Dr.-Ing. F. Fleißner WS 15/16 A 4.3 cos φ −−−−−− sin φ = −−−−−− 0 −−−−−− ⋅ − sin φ cos ϑ −−−−−− cos φ cos ϑ −−−−−− sin ϑ −−−−−− sin φ sin ϑ −−−−− −−−−−− −−−−− − cos φ sin ϑ ⋅ = −−−−−− −−−−− −−−−− cos ϑ −−−−−− −−−−− −−−−− g) Wie lauten die Regeln zur Transformation eines Tensors zweiter Stufe + ? + = ⋅+ + = ⋅+ ⋅ + = + = " " " ⋅+ ⋅ ⋅+ ⋅ Bonus-Aufgabenteile: h) Das körperfeste Koordinatensystem R sei ein Hauptachsensystem, so dass der Trägheitstensor Diagonalform hat A , = -0 0 0 B 0 0 01. C Führen Sie mit geeigneten Abkürzungen für die trigonometrischen Funktionen (s2 ≔ sin φ, c2 ≔ cos φ, etc.) eine Transformation des Trägheitstensors in das Inertialsystem durch Ac2 +Bs2 c 4 +Cs2 s4 , = −−−−−−−−− = −−−−−−−− −−−−−−−−− As2 c2 −Bs2 c2 c4 5C − B6s2 c4 s4 +Bc2 c 4 5B − C6c2 s4 c4 −Cs2 c2 s4 As2 +Cc2 s4 −−−−−−−− Bs2 + Cc4
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