4.1 Stabsysteme Aufgaben - Prof. Dr.

Technische Mechanik 2
4.1-1
Prof. Dr. Wandinger
4.1 Stabsysteme
Aufgaben
Aufgabe 1:
Das abgebildete Tragwerk wird im Punkt C
durch das angehängte Gewicht der Masse m
belastet.
a
B
a) Ermitteln Sie die Kräfte in den Stäben
AC und BC.
EA
b) Ermitteln Sie die Verschiebung von
Punkt C.
C
α
EA
g
y
A
m
x
Zahlenwerte: a = 1 m, α = 30°, E A = 6,5·104 kN,
m = 500 kg
(Ergebnis: a) Stabkräfte: NAC = -9,81 kN, NBC = 8,496 kN; b) Verschiebung:
uC = 0,1307 mm, vC = -0,5749 mm)
Aufgabe 2:
E
Ermitteln Sie die Verschiebungen sämtlicher Knoten des abgebildeten Fachwerks. Alle Stäbe haben die gleiche Querschnittsfläche A und den gleichen Elastizitätsmodul E.
F
a
F
D
C
y
a
Zahlenwerte:
A
(Ergebnis: uC = vC = Fa / ( E A ) , uD = 0, vD = -2vC ,
uE = 7,828uC , vE = -3vC , uF = 8,828uC , vF = -13,66vC)
B
a
x
a
Aufgabe 3:
Ermitteln Sie die Verschiebungen
sämtlicher Knoten des abgebildeten Fachwerks.
Zahlenwerte: a = 1 m, F = 2 kN,
E = 210000 MPa, A = 100 mm2
Hinweis: Behalten Sie beim Auflösen der Gleichungen die Verschie4. Tragwerke
a
A
a
4
a
5
F
6
a
B
a
y
1
2
3
x
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bung v1 solange bei, bis sie bestimmt werden kann.
(Ergebnis: u1 = -1,190‧10-1 mm, v1 = -1,864‧10-1 mm, u2 = -7,143‧10-2 mm,
v2 = -3,252‧10-1 mm, u3 = -2,381‧10-2 mm, v3 = -3,687‧10-1 mm, u4 = -2,381‧10-2 mm,
v4 = -1,864‧10-1 mm, u5 = -4,762‧10-2 mm, v5 = -3,252‧10-1 mm, u6 = -1,190‧10-1 mm,
v6 = -4,639‧10-1 mm, uB = -1,905‧10-1 mm)
Aufgabe 4:
Das abgebildete Tragwerk besteht aus 2
Stäben mit den Querschnittsflächen A1
und A2 und den Elastizitätsmoduli E1 und
E2. Stab 1 wird um ΔT erwärmt. Er hat den
Wärmeausdehnungskoeffizienten αT.
A
A1, E 1, ΔT
a) Ermitteln Sie die Kräfte in den
Lagern A und B.
A2, E 2
C
2
1
B
L
L
b) Ermitteln Sie die Verschiebung an der Stelle B.
Zahlenwerte: L = 0,2 m, A1 = 4 cm2, A2 = 1 cm2, E1 = 210 kN/mm2, E2 = 70 kN/mm2,
αT = 1,2·10-5 K-1, ΔT = 50 K
(Ergebnis: a) Kräfte: Lager A: 3,877 kN →, Lager B: 3,877 kN ←; b) Verschiebung an der Stelle B: 0,1108 mm →)
Aufgabe 5:
Das abgebildete Tragwerk besteht aus drei
Stäben, die im Punkt C gelenkig miteinander
verbunden sind und in den Punkten A, B und
D gelenkig gelagert sind. Im Punkt C greift
die Kraft F an. Ermitteln Sie die Kräfte in den
Stäben und die Verschiebung von Punkt C.
Zahlenwerte: F = 10 kN, E A = 10 N, a = 1 m,
α = 30°
F
a
B
EA
6
(Ergebnis: NAC = -1,409 kN, NCD = -9,296 kN,
NBC = 1,220 kN, uC = 1,220 mm, vC = -5,367 mm)
A
C
α
EA
EA
y
x
D
Aufgabe 6:
Der starre Träger AD ist im Punkt A gelenkig gelagert und wird in den Punkten B und C durch gelenkig angeschlossene elastische Stäbe gehalten. Im
Punkt D hängt die Masse m. Aufgrund von Fertigungsungenauigkeiten ist der
Stab CK um die Strecke ΔL0 zu kurz.
4. Tragwerke
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Ermitteln Sie die Kräfte in den
Lagern A, H und K sowie die Spannungen in den Stäben BH und CK.
H
starr
Zahlenwerte: a = 0,5 m, E = 210
kN/mm2, A1 = 200 mm2, A2 = 100
mm2, m = 100 kg, ΔL0 = 1 mm
E A1
E A2
B
C
A
(Ergebnis: Lager A: 13,02 kN ↑,
Lager H: 27,02 kN ↓, Lager K: 14,98
kN ↑,
σBH = -135,1 MPa, σCK = 149,8 MPa)
g
K
a
a
D
a
a
m
Aufgabe 7:
Der starre Rahmen BDEF ist im
Punkt D gelenkig gelagert. Im
Punkt B ist der Stab AB und im
Punkt E der Stab CE gelenkig angeschlossen. Die Stäbe werden in
den Punkten A bzw. C durch Festlager gehalten. Beide Stäbe haben die gleiche Dehnsteifigkeit
EA und den Temperaturausdehnungskoeffizienten αT.
E
D
F
y
EA
a
A E A, ΔT
C
B
a
a
F
x
a
Der Stab AB wird um ΔT erwärmt.
Zusätzlich greift im Punkt F die Kraft F an.
a) Bestimmen Sie die Normalkräfte NAB und NCE in den Stäben AB und CE.
b) Bestimmen Sie die Vertikalverschiebung vF von Punkt F.
(Ergebnis: a) NAB = - F – E A αT ΔT/ 2 , NCE = E A αT ΔT/ 2 – F ;
b) vF = (αT ΔT – 2 F / ( E A ) ) a )
Aufgabe 8:
Der starre Träger CD ist im
Punkt D gelenkig gelagert. Im
Punkt C sind die Stäbe AC und
BC angeschlossen, die in den
Punkten A bzw. B durch Festlager gehalten werden. Beide
Stäbe haben die gleiche Dehnsteifigkeit E A und den Tempe4. Tragwerke
q0
E A, ΔT
B
a
A
C
E A, ΔT
a
D
y
x
2a
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raturausdehnungskoeffizienten αT.
Beide Stäbe werden um ΔT erwärmt. Zusätzlich greift am Träger CD die konstante Streckenlast q0 an.
Ermitteln Sie die Normalkräfte NAC und NBC in den Stäben AC bzw. BC sowie
die Kräfte im Lager D.
(Ergebnis: NAC = - √2 q0 a, NBC = - E A αT ΔT, Dx = q0 a + E A αT ΔT ←, Dy = q0 a ↑)
Aufgabe 9:
Der starre Körper ABCD wird im
Punkt A durch ein Festlager gehalten. In den Punkten B, C und D sind
die elastischen Stäbe BF, CF und
DE gelenkig angeschlossen, die
durch Festlager in den Punkten F
bzw. E gehalten werden.
Alle Stäbe haben die gleiche Dehnsteifigkeit EA und den gleichen Wärmeausdehnungskoeffizienten αT .
a
a
D
ΔT
E
a
B
A
C
y
a
Ermitteln Sie die Kräfte in den Stäben BF, CF und DE, wenn der Stab
DE um ΔT erwärmt wird.
x
F
(HM, Prüfung SS 2014)
(Ergebnis: N BF =
N DE =−
2 E A αT Δ T
20+ √ 2
16+ √ 2
E Aα T ΔT )
20+ √ 2
4. Tragwerke
, N CF =
8 E AαT Δ T
20+ √ 2
,
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Aufgabe 10:
Das Berechnungsmodell eines
Krans besteht aus der starren
Kabine ABCD, an die die elastischen Stäbe AH, EH, GK, BK,
CF und DF gelenkig angeschlossen sind. Der Kran wird
in den Punkten H und K durch
Festlager gehalten. Im Punkt F
greift die Kraft F an.
Alle Stäbe haben die gleiche
Dehnsteifigkeit EA.
F
F
8a
D
2a
Gesucht sind
a) die Stabkräfte,
b) die Kräfte in den Lagern
H und K und
c) die Vertikalverschiebung
vF des Lastangriffspunkts
F.
C
E
G
A
B
y
4a
x
H
K
2a
2a
2a
2a
4a
(Ergebnis: a) NAH = 1,209F, NEH = NGK = -0,2332F, NBK = -1,791F, NDF = 0,9014F,
NCF = -1,677F; b) Hx = 0,1043F →, Hy = F ↓,Kx = 0,1043F ←, Ky = 2F ↑;
c) vF = 56,06Fa/(EA) ↓)
4. Tragwerke
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