Reihen - Michael Schwarz

Analysis T1
Michael Schwarz
Reihen
Konvergenzkriterien
Quotientenkriterium
an+1
n→∞ an
lim
Typische Anwendung bei n!, xn ,
n
k


< 1 konvergent
= > 1 divergent


= 1 keine Aussage
.
Wurzelkriterium


< 1 konvergent
p
n
|an | = > 1 divergent
lim
n→∞


= 1 keine Aussage
Typische Anwendung bei xn .
Leibnizkriterium
Sei an eine monoton fallende Nullfolge. Dann konvergiert
∞
P
(−1)n · an .
n=0
Grenzwertkriterium
P
Wähle eine Reihe
bn deren Konvergenzverhalten bekannt ist, und deren höchste Potenz gleich
ist wie jene von an .

P

∈ R+
an konvergiert

P
P
an
lim
= 0 und
bn konvergiert
an konvergent
n→∞ bn

P
P

∞ und
bn divergiert
an divergent
Majorantenkriterium
Sei
∞
P
∞
P
bn eine konvergente Reihe. Es gelte ∀n : an ≤ bn , dann konvergiert die Reihe
n=0
n=0
Minorantenkriterium
∞
∞
P
P
Sei
bn eine divergente Reihe. Es gelte ∀n : an ≥ bn , dann divergiert die Reihe
an .
n=0
n=0
Reihen für Minoranten-/Majorantenkriterium
∞
P
(
(
|q| < 1 konvergent
q =
|q| ≥ 1 divergent
n=0
∞
P 1
√
divergiert
n
∞
P
α ≤ 1 divergent
=
α > 1 konvergent
n=1
(
∞
P
α ≤ 1 divergent
1
n·lnα (n) =
α
> 1 konvergent
n=2
∞
P
1
konvergiert
n!
n=1
∞
P
n=1
1
nα
1
n2 +n
n=1
∞
P
n=1
konvergiert
1
n
1
n+x
x ∈ R+
divergiert
an .
Analysis T1
Michael Schwarz
Reihendarstellung von Funktionen
∞
P
sin(x) =
n=0
∞
P
sinh(x) =
x
e =
∞
P
n=0
2n+1
x
(−1)n (2n+1)!
n=0
cos(x) =
∞
P
n=0
∞
P
x2n+1
(2n+1)!
2n
x
(−1)n (2n)!
cosh(x) =
n=0
x2n
(2n)!
xn
n!
Sätze
Verdichtungssatz
Sei S =
∞
P
an eine unendlich Reihe und an positiv und monoton fallend. Dann hat T =
n=0
∞
P
2k ·a2k
k=0
das gleiche Konvergenzverhalten wie S.
Absolute Konvergenz
Eine Reihe
∞
P
an ist absolut konvergent, wenn
n=0
∞
P
|an | ebenfalls konvergiert. Jede absolut kon-
n=0
vergente Reihe ist konvergent (Umkehrung gilt nicht).
Folgen
Konvergenz
Eine Folge ist konvergent, wenn sie beschränkt und monoton (fallend/wachsend) ist.
Einzwicksatz
Seien an , bn und cn Folgen, mit an ≤ bn ≤ cn und A = lim an = lim cn . Dann ist bn ebenfalls
n→∞
n→∞
konvergent und hat den Grenzwert A.
Grenzwerte
Bekannte Grenzwerte
n
1
=e
n→∞
n
n
a
lim 1 +
= ea
n→∞
n
n
1
1
=
1−
n→∞
n
e
√
n
lim
n=1
lim
lim
1+
n→∞
Spezielle Grenzwerte
sin(x)
=1
x→0
x
lim (xx ) = 1
lim
1
x · sin( ) = 0
x→0
x
lim
x→0
Berechnung von Grenzwerten
Explizite Folge
Durch die höchste Potenz dividieren, Grenzwert der einzelnen Terme berechnen.
2 + n4
2
2+0
2
+4n
=
= .
Beispiel: xn = 3n2n
2 −5n+1 ⇒ lim
5
1
n→∞ 3 −
3−0+0
3
n + n2
2
Analysis T1
Michael Schwarz
Rekursive Folge
Alle xn... durch x ersetzen, danach die Gleichung lösen, und durch die Beschränktheit der Funktion
den richtigen Grenzwert auswählen.
3
3
⇒ x = 4−x
⇒ x2 − 4x + 3 = 0 ⇒ x1 = 1, x2 = 3. Da die Folge mit
Beispiel: xn+1 = 4−x
n
0 ≤ xn ≤ 1 beschränkt ist, ist 1 der Grenzwert.
Existenz nachweisen
Explizite Folge
Zuerst den Grenzwert berechnen, danach mit Cauchy-Kriterium überprüfen: |xn − x| < .
2
+4n
2
2n2 +4n
2
2
Beispiel: xn = 3n2n
2 +5n−1 , x = 3 ⇒ | 3n2 +5n−1 − 3 | < ⇒ n ≥ 9
Rekursive Folge
Monotonie (steigend/fallend) und Beschränktheit (nach oben/nach unten) mit vollständiger Induktion zeigen.
Regel von de l’Hospital
Seien f (x) und g(x) differenzierbare Funktionen mit f (x0 ) = g(x0 ) = 0 oder f (x0 ) = g(x0 ) = ∞,
f 0 (x)
f (x)
.
dann ist lim
= lim 0
x→x0 g (x)
x→x0 g(x)
Stetigkeit
Stetigkeit in einem Punkt
Eine Funktion f (x) ist in einem Punkt x0 stetig, wenn der Funktionswert in x0 gleich ist wie der
linksseitige Limes und der rechtsseitige Limes. f (x0 ) = lim− f (x) = lim+ f (x).
x→x0
x→x0
Stetigkeit auf ein Intervall
Für den Beweis der Stetigkeit auf ein Intervall verwendet man die -δ-Umgebung:
∀ > 0 : ∃δ > 0 : ∀x ∈ I : |x − x0 | < δ ⇒ |f (x) − f (x0 )| <(. Die Funktion in |f (x) − f (x0 )|
< | x20 | wenn D = R \ {0}
Zum
einsetzen, und in die Form |x − x0 | bringen. δ abschätzen mit
<1
wenn D = R
Schluss muss δ von abhängig sein. δ darf ebenfalls von x0 abhängen, jedoch nicht von x!
Sätze
Nullstellensatz
Sei f : [a, b] → R stetig auf [a, b] und f (a) < 0 und f (b) > 0. Dann gibt es ein ξ ∈ [a, b] sodass
f (ξ) = 0.
Zwischenwertsatz
Sei f : [a, b] → R stetig auf [a, b] dann nimmt f auf [a, b] jeden Wert zwischen f (a) und f (b) an.
3
Analysis T1
Michael Schwarz
Komplexe Zahlen
Rechenregeln
(a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i
(a+bi)(c−di)
a+bi
ac+bd
bc−ad
c+di = (c+di)(c−di) = c2 +d2 + c2 +d2 i
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
(a + bi) · (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i
Betrag
Sei z = a + bi eine komplexe Zahl. Dann ist der Betrag von z definiert als |z| =
√
a2 + b2 .
Konjungiert komplexe Zahl
Sei z = a + bi eine komplexe Zahl. Dann ist die konjungiert komplexe Zahl von z definiert als
z̄ = a − bi und es gilt z̄ · z = a2 + b2 = |z|2 .
Polarkoordination
Sei z√= a + bi eine komplexe Zahl. Und (r; ϕ) die Darstellung in Polarkoordinaten. Dann ist
r = a2 + b2 und
arctan ( ab )
a>0



arctan ( b ) + π a < 0
a
ϕ= π

a = 0, b > 0
2

 3π
a = 0, b < 0
2
Sei z = (r; ϕ) eine komplexe Zahl in Polarkoordinaten und a+bi die Darstellung in kartesischen
Koordinaten. Dann ist a = r · cos(ϕ) und b = r · sin(ϕ).
Wurzelziehen
Quadratwurzel
q √
q √
Sei z 2 = a + bi und z = u + vi dann ist u = ± 12 ( a2 + b2 + a) und v = ± 12 ( a2 + b2 − a)
mit 2uv = b
n-te Wurzel
√
Sei z n = (r; ϕ). Dann ist zk = ( n r; ϕ
n +
2kπ
n )
mit k = 0, 1, ..., n − 1.
Winkelfunktionen
Zusammenhänge
sin(−x) = −sin(x)
tan(x) = sin(x)
cos(x)
eαi = cos(α) + isin(α)
ix
−ix
cos(x) = e +e
2
cos(−x) = cos(x)
sin2 (x) + cos2 (x) = 1
sin(x) =
eix −e−ix
2i
Additionstheoreme
sin(x ± y) = sin(x)cos(y) ± cos(x)sin(y)
sin(2x) = 2sin(x)cos(x)
cos(x ± y) = cos(x)cos(y) ∓ sin(x)sin(y)
cos(2x) = cos2 (x) − sin2 (x)
4
Analysis T1
Michael Schwarz
Differentialrechnung
Differenzierbarkeit
Eine Funktion f (x) ist in x0 genau dann differenzierbar, wenn sie stetig ist und lim
x→x0
existiert.
f (x) − f (x0 )
x − x0
Rechenregeln
Seien f, g : I → R differenzierbar in x0 .
(f + g)0 = f 0 + g 0
(λf )0 = λf 0
0
0
·g 0
f
= f ·g−f
g
g2
(f · g)0 = f 0 · g + f · g 0
Sätze
Satz von Rolle
Sei f : [a, b] → R differenzierbar und gelte f (a) = f (b). Dann gibt ein ein ξ ∈ (a, b) sodass
f 0 (ξ) = 0.
Wichtige Ableitungen
x0 = 1
(ex )0 = ex
(ln(x))0 = x1
(sin(x))0 = cos(x)
(tan(x))0 = 1 + tan2 (x)
(sinh(x))0 = cosh(x)
1
(arcsin(x))0 = √1−x
2
1
(arctan(x))0 = 1+x
2
(Arsinh(x))0 = √x12 +1
(xα )0 = α · xα−1
x 0
x
(a
√ ) 0= a 1· ln(a)
( x) = 2√x
(cos(x))0 = −sin(x)
(tanh(x))0 = 1 − tanh2 (x)
(cosh(x))0 = sinh(x)
1
(arccos(x))0 = − √1−x
2
1
(Artanh(x))0 = 1−x
2
(Arcosh(x))0 = √x12 −1
5
Analysis T1 - II
Michael Schwarz
Kurvendiskussion
1. Definitionsbereich von f : Df = {x ∈ R|f (x) ist hier definiert}, Stetigkeit und Differenzierbarkeit
2. Nullstellen Nf = {x ∈ Df |f (x) = 0}: f (x) = 0 setzen
3. Extremstellen von f und ihr Typ (Minimum oder Maximum): f 0 (x) = 0 setzen.
Wenn f 00 (x) > 0 ⇒ Minimum
Wenn f 00 (x) < 0 ⇒ Maximum
4. Wendepunkte von f : f 00 (x) = 0 setzen. Wenn der Wendepunkt gleichzeitig ein Extrempunkt
ist, ist er ein Sattelpunkt.
Steigung der Wendetangenten: k = f 0 (x) (Wendepunkt in die erste Ableitung einsetzen)
5. Monotonieintervalle: Intervalle (zwischen Extremwerten), auf denen f monoton wachsend
(f 0 (x) ≥ 0) bzw. monoton fallend (f 0 (x) ≤ 0) ist.
6. Krümmung: Intervalle (zwischen Wendepunkten), auf denen f konvex (f 00 (x) ≥ 0) oder
konkav (f 00 (x) ≤ 0) ist.
7. Verhalten für x → ±∞ ( lim f (x))
x→±∞
8. Skizze der Funktion
Das unbestimmte Integral
Rechenregeln
Z
Z
Z
f (x)dx + g(x)dx + C
Z
Z
u0 (x)v(x)dx = u(x)v(x) − u(x)v 0 (x)dx
Z
Z
A ∈ R : A · f (x)dx = A f (x)dx
Z 0
f (x)
dx = ln(f (x)) + C
f (x)
(f (x) + g(x))dx =
Grundintegrale
Z
Z
xα dx =
xα+1
+ C, für α 6= −1
α+1
Z
1
dx = ln|x| + C
x
Z
αx
αx dx =
+ C, α > 0, α 6= 1
ln(a)
Z
sin(x)dx = −cos(x) + C
Z
1
dx = tan(x) + C
2 (x)
cos
Z
cosh(x)dx = sinh(x) + C
Z
1
= tanh(x) + C
2 (x)
cosh
Z
1
dx = Artanh(x) + C
Z 1 − x2
1
√
dx = Arcosh(x) + C
2
x −1
Z
x
1
1
dx = arctan
+C
2
2
x +a
a
a
ex dx = ex + C
Z
cos(x)dx = sin(x) + C
Z
1
dx = −cot(x) + C
2 (x)
sin
Z
sinh(x)dx = cosh(x) + C
Z
1
dx = −coth(x) + C
2 (x)
sinh
Z
1
dx = arctan(x) + C
Z 1 + x2
1
√
dx = Arsinh(x) + C
1 + x2
Z
ln(x)dx = x(ln(x) − 1) + C
1
Analysis T1 - II
Michael Schwarz
Partialbruchzerlegung
(am Beispiel
x2 − x + 1
)
x2 − 2x − 3
• Wenn der Grad des Zählers größer oder gleich dem Grad des Nenners ist, zuerst Polynomdivision durchführen:
x+4
(x2 − x + 1) : (x2 − 2x − 3) = 1 + x2 −2x−3
• Den Nenner aufspalten (Nullstellen ausrechnen):
x2 − 2x − 3 = 0 ⇒ x1 = 3, x2 = −1 ⇒ (x − x1 )(x − x2 ) ⇒ (x − 3)(x + 1)
• In zwei Terme zerlegen:
x+4
A
B
(x−3)(x+1) = x−3 + x+1
• Mit dem gemeinsamen Nenner multiplizieren:
x + 4 = A(x + 1) + B(x − 3)
• Die Nullstellen einsetzen und dadurch A und B berechnen:
x = 3 : 7 = 4A ⇒ A = 74 ,
x = −1 : 3 = −4B ⇒ B = − 34
• A und B einsetzen:
x+4
x2 −x+1
x2 −2x−3 = 1 + (x−3)(x+1) = 1 +
7
4(x−3)
3
4(x+1)
−
Das bestimmte Integral
Rechenregeln
Z
b
a
Z
f (x)dx = −
a
Z
a
f (x)dx
f (x)dx = 0
b
a
Bogenlänge
Z
L=
b
p
1 + (f 0 (x))2 dx
a
Bogenlänge bei Darstellung in Parameterform
x = x(t), y = y(t)
a≤t≤b
b
Z
p
L=
(x0 (t))2 + (y 0 (t))2 dt
a
Fläche eines Sektors
x = x(t), y = y(t)
a≤t≤b
1
A=
2
Z
b
(x(t)y 0 (t) − y(t)x0 (t))dt
a
Volumen von Rotationskörpern
Z
V =π
b
(f (x))2 dx
a
2
Analysis T1 - II
Michael Schwarz
Oberfläche von Rotationskörpern
Z
O = 2π
b
p
f (x) 1 + (f 0 (x))2 dx
a
Die Norm (Länge eines Vektors)
Die Norm
p gibt die Länge eines Vektors (= Abstand zum Ursprung) an. Sie ist definiert als
k~xk = x21 + x22 + ... + x2n .
Der Abstand zwischen zwei Vektoren ~x und ~y ist k~x − ~y k.
Eigenschaften:
• Wenn k~xk = 0 dann ist jede Koordinate von ~x auch 0, ~x = ~0.
• t ∈ R: kt~xk = |t| · k~xk
• Es gilt die Dreiecksungleichung: k~x + ~y k ≤ k~xk + k~y k
Differentialrechnung
Gradient
Der Gradient einer Funktion ist ein Richtungsvektor, der in die Richtung des stärksten Anstiegs
der Funktion zeigt. Tangential an eine Niveaulinie (bzw. Niveaufläche) verschwindet die Richtungsableitung.


∂f
∂x
 ∂f1 
 ∂x2 

grad f = ∇f = 
 .. 
 . 
∂f
∂xp
Beispiel:
= x3 yz 2 + e2x :
 f (x,
 y, z)


∂f
3x2 yz 2 + 2e2x
∂x
  
.
x3 z 2
grad f =  ∂f
∂y  =
∂f
2zyx3
∂z
 
2
Richtungsableitung im Punkt P (0, 3, 2) (einsetzen in Gradient von f ) ist 0.
0
Kritische Punkte
Kritische Punkte (einer Funktion) sind jene Punkte, in denen der Gradient (= grad f = ∇f ) 0
ist. Diese Punkte sind möglicherweise Extremstellen.
Typ eines kritischen Punktes (allgemein)
Um den Typ eines kritischen Punktes herauszufinden, benötigt man die Hesse Matrix. Die Hesse
Matrix ist definiert als
 2

∂ f
∂2f
∂2f
(~
x
)
(~
x
)
(~
x
)
·
·
·
0
0
0
∂x1 x2
∂x1 xk
 ∂x1 x1.

..
..

.
H=
.
.
.


2
2
2
∂ f
∂ f
∂ f
(~
x
)
(~
x
)
·
·
·
(~
x
)
0
0
0
∂xk x1
∂xk x2
∂xk xk
3
Analysis T1 - II
Michael Schwarz
Von dieser Matrix berechnet man alle Determinanten ∆k , indem man k = 1, ..., p setzt, wobei
p die Anzahl der verschiedenen Variablen ist. Es gilt dann Q(~h) > 0 wenn ∆k > 0 und Q(~h) < 0
wenn (−1)k ∆k > 0.
Damit lässt sich entscheiden welchen Typ der kritische Punkt hat.
• Wenn alle Q(~h) > 0, dann ist der Punkt ein lokales Minimum
• Wenn alle Q(~h) < 0, dann ist der Punkt ein lokales Maximum
• Wenn Q(~h) beide Vorzeichen hat, dann ist der Punkt kein Extremum
• Wenn es ein Q(~h) = 0 gibt, dann gibt es keine Entscheidung
Typ eines kritischen Punktes in R2
In R2 ist die Hesse Matrix
H=
die Determinante ∆1 =
Es gilt
∂f
∂2x
∂f
∂xy
∂f
∂2y
∂f
∂2x
∂f
∂xy
!
,
und die Determinante ∆2 =
∂f
∂2x
·
∂f
∂2y
∂f 2
− ( ∂xy
) .
• Der Punkt ist ein lokales Minimum, wenn ∆2 > 0 und ∆1 > 0
• Der Punkt ist ein lokales Maximum, wenn ∆2 > 0 und ∆1 < 0
• Der Punkt ist ein Sattelpunkt, wenn ∆2 < 0 ist.
• Wenn ∆2 = 0 kann keine Entscheidung getroffen werden.
Beispiel: f (x, y) = x3 + x2 − 6xy + y 2 + x + 4y, kritische Punkte P1 ( 13
3 , 11), P2 (1, 1)
6x + 2 −6
H=
, ∆1 = 6x + 2, ∆2 = 12x − 32
−6
2
Für P1 ( 13
3 , 11): ∆1 = 28, ∆2 = 20. ∆1 und ∆2 sind > 0, P1 ist demnach ein lokales Minimum.
Für P2 (1, −1): ∆1 = 8, ∆2 = −20. Da ∆2 < 0, ist P2 ein Sattelpunkt.
Auflösen nach einer Variable
Auflösen von f (x, y) = C um (x0 , y0 ) nach y. Bedingung:
∂f
(x0 , y0 ) 6= 0
∂y
Auflösen:
∂f
∂x
y 0 (x0 ) = − ∂f
(x0 , y0 )
∂y (x0 , y0 )
Beispiel: f (x, y) = x · cos(y) + y · cos(x) Auflösen nach y um (0, 0)
∂f
(x0 , y0 ) = −x · sin(y) + cos(x),
∂y
Bedingung:
∂f
∂y (x0 , y0 )
∂f
(x0 , y0 ) = cos(y) − y · sin(x)
∂x
= 1 6= 0
∂f
∂x
y 0 = − ∂f
(0, 0)
∂y (0, 0)
=−
cos(y) − y · sin(x) = −1
−x · sin(y) + cos(x) (x,y)=(0,0)
4
Analysis T1 - II
Michael Schwarz
Extremwertaufgaben
Gegeben ist eine Hauptbedingung f (x, y) = min/max und eine Nebenbedingug N (x, y) = C. Bei
∂f
∂N
∂N
einem Extremwert gilt ∂f
∂x − λ · ∂x = 0 und ∂y − λ · ∂y = 0
Vorgehensweise
am Beispiel f (a, b, c) = a2 + b2 + c2 → minimal, N B : a + b + c = 90
• Eine Hilfsfunktion H bilden, die als Argumente alle Variablen und so viele Hilfsvariablen
wie Nebenbedingungen hat:
H(a, b, c, λ) = f − λ · N B = (a2 + b2 + c2 ) − λ · (a + b + c)
• Nach jeder Variable ableiten und die Ableitungen 0 setzen:
∂H
∂a = (2a) − λ = 0
∂H
∂b = (2b) − λ = 0
∂H
∂c = (2c) − λ = 0
• Die Variablen mit Hilfe der Hilfsvariable(n) ausdrücken:
a = λ2 , b = λ2 , c = λ2
• Die Nebenbedingung(en) verwenden um die Hilfsvariable(n) zu berechnen:
λ
λ
λ
2 + 2 + 2 = 90 ⇒ λ = 60.
• Die Variablen ausrechnen:
a = b = c = 30
Stetigkeit
Wenn man davon ausgeht, dass eine Funktion nicht stetig ist, kann man dies meist leicht mit dem
Grenzwert der Funktion zeigen. Dabei nähert man sich (wie bei Stetigkeit mit einer Variable)
von beliebigen Seiten an den Punkt an, von dem man vermutet, dass er nicht stetig ist. Wenn
lim
f (x, y) 6= f (x0 , y0 ) ist, ist die Funktion an dieser Stelle unstetig.
(x,y)→(x0 ,y0 )
Beispiel:
(
f (x, y) =
x2 +xy−y 2
x2 +y 2
0
(x, y) 6= (0, 0)
(x, y) = (0, 0)
Die Stetigkeit muss an der Stelle (0, 0) überprüft werden. Wir nähern uns zuerst von der xx2
Achse an: lim f (x, 0) = lim 2 = 1. Danach nähern wir uns schräg an (x = y = t): lim f (t, t) =
x→0
x→0 x
t→0
t2 + t2 − t2
t2
1
lim
= lim
= . Da f (0, 0) = 0 6= 1 6= 12 ist, ist die Funktion in (0, 0) unstetig.
t→0
t→0 2 · t2
t2 + t2
2
5

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