Gleichgewicht in nichtlinearen Systemen

Gleichgewicht in nichtlinearen Systemen
15.Juni.2015
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
1
2 Einleitende Beispiele
1
3 Nichtlineare Quellen und Senken
4
4 Nichtlineare Sättel
6
5 Stabilität und Gradientensysteme
9
1 Einleitung
Diese Ausarbeitung wurde, begleitend zum gleichnamigen Vortrag, für das Seminar „Gewöhnliche Differentialgleichungen“ von Tore Teetz erstellt. Ihm zugrunde liegen Kapitel 8.1-8.3 des Buches „Differential Equations, Dynamical Systems, and an Introduction to Chaos“ von M.W. Hirsch, S.Smale und
R.L. Devaney.
Wie wir wissen, ist es meistens unmöglich, die Lösung einer nichtlinearen DGL explizit anzugeben, es
sei denn, es existiert eine Gleichgewichtslösung. Um Informationen über diese zu erlangen reicht es,
wie wir sehen werden oft, das linearisierte System zu betrachten. Wir werden uns in diesem Vortrag
nur mit Systemen beschäftigen, die C∞ sind, also deren rechte Seite beliebig oft stetig differenzierbar
ist.
2 Einleitende Beispiele
Beispiel 2.1. Betrachte das System:
x 0 = x + y2
y0 = −y
1
mit dem Phasenportrait:
Abbildung 1: Phasenportrait nichtlineares DGL-System
Es ist leicht zu sehen, dass sich der einzige Gleichgewichtspunkt im Ursprung befindet. Auch ist zu
bemerken, dass y2 für kleine y fast verschwindet.
Linearisieren des Systems nahe (0, 0) liefert:
x0 = x
y0 = −y
Diese Form werden wir später noch benötigen.
Die Lösung des ursprünglichen Systems liegt glücklicherweise nahe:
y0 = −y ⇒ y(t) = y0 e−t
Einsetzen in die erste Gleichung liefert:
x0 = x + y20 e−2t
1
⇒ x(t) = − y20 e−2t
3
Allgemein lösen also alle Funktionen dieser Form die Gleichung:
1
1
x(t) = (x0 + y20 )et − y20 e−2t
3
3
y(t) = y0 e−t
Für y0 = 0 folgt als Lösung direkt:
x(t) = x0 et
y(t) = 0
Für x0 = 0 existiert keine solche Lösungsgerade. Stattdessen existiert eine „stabile Kurve“ im R2 mit:
1
x + y2 = 0
3
2
Beweis :
Sei (x0 , y0 ) auf dieser Kurve, dann folgt:
1
x0 + y20 = 0
3
Einsetzen in unsere Lösung liefert:
1
x(t) = − y20 e−2t
3
y(t) = y0 e−t
Durch weiteres Auflösen erhalten wir:
1
x(t) + (y(t))2 = 0
3
Die Lösungen bleiben also alle auf unserer stabilen Kurve. Außerdem gilt offenbar
lim x(t) = lim y(t) = 0
t→∞
t→∞
Die Lösung auf der stabilen Kurve geht also gegen den Gleichgewichtspunkt und ist nahe diesem tangent zur y-Achse. Das ist sehr ähnlich zum linearen Fall.
Beispiel 2.2. Gegeben sei das System:
1
1
x0 = x − y − (x3 + y2 x)
2
2
1
1
y0 = x + y − (y3 + x2 y)
2
2
Das linearisierte System nahe (0, 0) ist offenbar:
1
x0 = x − y
2
1
y0 = x + y
2
mit Eigenwerten
1
± i. Das Phasenportrait des linearisierten Systems sieht also folgendermaßen aus:
2
Abbildung 2: Phasenportrait des linearisierten Systems
3
Alle Lösungen bewegen sich spiralförmig entgegen dem Uhrzeigersinn vom Ursprung weg. Nahe diesem verhält sich das nichtlineare System überraschend ähnlich:
Abbildung 3: Phasenportrait des ursprünglichen Systems
Kleine Lösungen bewegen sich auch hier spiralförmig vom Ursprung weg, allerdings bewegen sie sich
auf einen „stabilen Kreis“ zu, der seinen Mittelpunkt im Ursprung hat. Startet eine Lösung auf diesem,
so bleibt sie dort und bewegt sich periodisch um den Ursprung. Außerhalb startende Lösungen bewegen
sich ebenfalls auf diesen Kreis zu.
Wie man an weiteren Beispielen sehen kann, liegt der Grund für die Ähnlichkeit in beiden Fällen an
der Tatsache, dass der Gleichgewichtspunkt des Systems hyperbolisch ist.
Ist dies nicht der Fall, verursacht das Hinzuaddieren von nichtlinearen Termen oft große Unterschiede
und ändert das Phasenportrait stark.
3 Nichtlineare Quellen und Senken
Definition 3.1. Sei X 0 = F(X) ein System von Differentialgleichungen. Dann ist das lineare System
von Gleichungen Y 0 = DFX0 Y das linearisierte System nahe X0 . Wobei DFX0 die Jacobi Matrix von F
ausgewertet an der Stelle X0 ist.
Definition 3.2. Ein Gleichgewichtspunkt X ∗ eines nichtlinearen Differentialgleichungssystems heißt
hyperbolisch, wenn alle Eigenwerte von DFX ∗ Realteile ungleich 0 haben.
Der Einfachheit halber werden wir ab jetzt nur noch planare Systeme betrachten, auch wenn alle Ergebnisse im Rn gelten.
Wir betrachten jetzt den Fall, dass das linearisierte System am Gleichgewichtspunkt eine Senke besitzt. Man kann ohne Beschränkung der Allgemeinheit annehmen, dass dieser Gleichgewichtspunkt
(0, 0) ist, da wir sonst einfach einen Koordinatenwechsel durchführen können.
Jetzt lässt sich dieses System in kanonische Form bringen (Vortrag 3):
x0 = −λ x + h1 (x, y)
y0 = −µy + h2 (x, y)
wobei h1 und h2 nach der Taylorentwicklung alle Terme höherer Ordnung als 1 enthalten und −λ , −µ
(λ , µ > 0) die Eigenwerte des linearen Systems sind.
4
Für das lineare System wissen wir bereits, dass es sich um eine Senke handelt.
Um das gleiche für das nichtlineare System zu zeigen, bemerken wir zunächst:
hi (x, y)
lim p
=0
(x,y)→0
x2 + y2
Sei jetzt w(x, y) das Skalarprodukt des Vektorfeldes mit (x, y). Dann gilt:
−λ x + h1 (x, y)
x
w(x, y) =
,
−µy + h2 (x, y)
y
= −λ x2 + xh1 (x.y) − µy2 + yh2 (x, y)
= −µ(x2 + y2 ) + (µ − λ )x2 + xh1 (x, y) + yh2 (x, y)
(oBdA µ ≤ λ )
≤ −µ(x2 + y2 ) + xh1 (x, y) + yh2 (x, y)
⇔
w(x, y)
xh1 (x, y) + yh2 (x, y)
≤ −µ +
2
2
x +y
x2 + y2
Für (x, y) → 0 geht die rechte Seite gegen −µ. Also ist w(x, y) für (x, y) nahe dem Ursprung negativ.
Falls λ , µ nicht reell sind, führt einfaches Nachrechnen zum selben Ergebnis.
Das zeigt, dass alle Lösungen in kleiner Umgebung von (0, 0) in Richtung Ursprung laufen. Also
können wir diese Art von Gleichgewichtspunkten, wie im linearen Fall, eine Senke nennen. Jetzt kann
man den Fluss des linearen Systems mit dem des nichtlinearen konjugieren.
Für Quellen funktioniert das Ganze ähnlich und liefert ein entsprechendes Ergebnis.
Diese Beobachtung führt uns zu diesem allgemeineren Satz:
Satz 3.3. (Linearisierungssatz)
Sei X 0 = F(X) ein n-dimensionales DGL-System mit hyperbolischem Gleichgewichtspunkt X ∗ . Dann
existiert eine Umgebung von X ∗ in welcher der Fluss des Systems konjugiert zu dem Fluss des linearisierten Systems ist.
Wir haben diesen Satz schon für Senken in planaren Systemen bewiesen und werden ihn noch für
Sättel im zweidimensionalen zeigen. Allerdings fehlen uns die nötigen Techniken, um den Satz für
Sättel im mehrdimensionalen zu beweisen, da dann Mannigfaltigkeiten auftreten, mit denen wir noch
nicht umgehen können.
5
4 Nichtlineare Sättel
Definition 4.1. Sei X 0 = F(X) ein Differentialgleichungssystem mit Gleichgewichtspunkt X ∗ . X ∗ heißt
Sattel, wenn DFX ∗ an der Stelle X ∗ einen Sattel hat.
Ein solches System im 2-dimensionalen sieht dann folgendermaßen aus:
x0 = λ x + h1 (x, y)
y0 = −µy + h2 (x, y)
mit hi und λ , µ wie eben gewählt.
Für den linearen Fall haben wir als stabile Lösungsgerade die y-Achse. Wie in Beispiel 2.1 zu sehen
war, kann man aber im nichtlinearen Fall auf die Existenz einer stabilen Kurve hoffen. Das bestätigt
uns auch der folgende Satz:
Satz 4.2. (Satz über stabile Kurven)
Sei
x0 = λ x + h1 (x, y)
y0 = −µy + h2 (x, y)
hi (x, y)
mit λ , µ > 0 und lim p
= 0. Dann existieren ε > 0 und eine Kurve x = gs (y) die definiert ist
x,y→ 0
x 2 + y2
für |y| < ε und für die gilt: gs (0) = 0. Außerdem:
1. Alle Lösungen auf gs (y) = x bleiben auf der Kurve für wachsendes t und gehen gegen den Ursprung
für t → ∞.
2. x = gs (y) ist nahe dem Ursprung tangent zur y-Achse.
3. Alle anderen Lösungen die anfänglich in einer ε-Umgebung des Ursprungs liegen, bewegen sich
für wachsendes t vom Ursprung weg.
Bemerkung 4.3. Eine Kurve x = gs (y) wie in Satz 4.2 nennt man lokal stabile Kurve bei 0.
Die vollständige stabile Kurve findet man, indem man t in Richtung −∞ folgt. Außerdem ist gs ∈ C∞ ,
das werden wir aber hier nicht beweisen.
Es existiert ein ähnlicher Satz für instabile Kurven, der uns eine instabile Kurve gu liefert, die tangent
zur x-Achse ist und für t → −∞ gegen den Ursprung geht.
Beweis:
Sei Bε das Quadrat, eingeschlossen von den Funktionen y = ε, y = −ε, x = ε, x = −ε. Sei Cm die
Kegelförmige Teilfläche von Bε , für die gilt: |y| ≥ m|x| und Sε± der obere Rand von Bε .
Für den Beweis des Satzes benötigen wir zuerst zwei Hilfslemmata.
Lemma 4.4. Für festes m > 0 existiert ein ε > 0, sodass das Vektorfeld aus Cm herauszeigt für Punkte
auf der Grenze von Bε ∩Cm
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Beweis: Wähle ε > 0, sodass
p
λ x2 + y2
|h1 (x, y)| ≤ √
2 m2 + 1
für alle (x, y) ∈ Bε . Betrachte jetzt x > 0. Dann gilt für die rechte Seite des Kegels:
x0 = λ x + h1 (x, mx)
≥ λ x − |h1 (x, mx)|
p
λ x 2 + y2
≥ λx− √
2 m2 + 1
√
λ x m2 + 1
= λx− √
2 m2 + 1
λx
>0
2
Betrachtet man nun y > 0 kommt man, bei geeigneter Wahl von ε, sodass
p
µ x 2 + y2
|h2 (x, y)| ≤ √
2 m2 + 1
=
und ähnlicher Rechnung, auf das Ergebnis y0 < 0. Somit ist für den ersten Quadranten gezeigt, dass das
Vektorfeld aus dem Kegel heraus zeigt. Analog folgen die anderen 3 Quadranten.
Jetzt folgt, dass es eine Menge von Startwerten aus Sε± ∩Cm gibt, die Cm nach rechts verlassen und eine
Menge von Startwerten aus Sε± ∩Cm die Cm nach links verlassen.
Als nächstes wird gezeigt, dass diese beiden Mengen tatsächlich zwei (offene) Intervalle sind.
Lemma 4.5. Mit m > 1 gilt: Es existiert ε > 0, sodass y0 < 0 in Cm+ und y0 > 0 in Cm− .
Beweis: In Cm+ gilt: |mx| ≤ y, also:
y2
+ y2
m2
⇔
p
yp 2
x 2 + y2 ≤
m +1
m
x 2 + y2 ≤
Wir wählen ε wieder so, dass
p
µ x 2 + y2
|h2 (x, y)| ≤ √
2 m2 + 1
für alle (x, y) ∈ Bε .
Dann folgt:
y0 ≤ −µy + |h2 (x, y)|
7
p
µ x2 + y2
≤ −µy + √
2 m2 + 1
µy
≤ −µy +
2m
µy
≤−
<0
2
da m > 1 und y > 0.
Der Beweis für Cm− verläuft ähnlich.
Das zeigt uns, dass alle Lösungen, die in Sε+ ∩ Cm beginnen, kleiner werden, solange sie in Cm+ bleiben. Allerdings kann keine Lösung beliebig lange in Cm+ bleiben, ohne gegen den Ursprung zu gehen
(das zeigt den zweiten Teil von Aussage 1.). Nach dem Existenz- und Eindeutigkeitssatz muss also die
Menge aus Sε+ , die den Kegel nach rechts verlässt ein einziges (offenes) Intervall sein, genauso wie
die, die den Kegel nach links verlässt. Das sichert uns die Existenz mindestens einer Lösung.
Das Komplement dieser Mengen muss also ein (abgeschlossenes) nichtleeres Intervall sein, auf dem
die Lösungen gegen den Ursprung gehen. Ähnliches lässt sich über Cm− sagen. Da das Vektorfeld die
Lösungen wie eben gezeigt nicht mehr in den Kegel hineinführt, zeigt das Aussage 3.
Als nächstes wird gezeigt, dass dieses Intervall aus einem einzigen Punkt besteht.
Multiplizieren der rechten Seite mit einer in einer ε -Umgebung positiven Funktion f (x, y) = −
1
−µ + h2 (x, y)/y
ändert die wichtigen Eigenschaften der Funktion offenbar nicht und liefert:
x0 = H(x, y) = −
λ x + h1
−µ + h2 /y
y0 = −y
Die partielle Ableitung nach x von H(x, y) ist:
∂H
(λ + ∂ h1 /∂ x)(−µ + h2 /y) − (λ x + h1 )(∂ h2 /∂ x)(1/y)
=−
∂x
(−µ + h2 /y)2
=
Also ist
λ
+ h.o.t.
µ
∂H
positiv für konstantes y und hinreichend kleines ε.
∂x
Angenommen es existieren zwei Lösungen des Form (x0 (t), εe−t ) und (x1 (t), εe−t ) mit −ε < x0 (0) <
x1 (0) < ε, also gilt x1 (0) − x0 (0) > 0.
Dann ist x1 (t) − x0 (t) monoton wachsend, also kann es nur eine Lösung geben, die für t → ∞ gegen
den Ursprung geht. Diese muss auf der stabilen Kurve gs liegen (das zeigt den ersten Teil von Aussage
1).
Um zu zeigen, dass gs tangetial zur y-Achse durch den Ursprung geht, rufen wir uns Lemma 4.4 in
8
Erinnerung. Für beliebiges m lässt sich ein ε finden, sodass die stabile Kurve im Dreieck Sε+ ∩Cm liegt.
Dadurch haben wir:
lim
t→ ∞
x(t)
=0
y(t)
und daraus folgt direkt:
x0 (t)
λ x(t)
=
+ h.o.t. → 0
y0 (t) −µy(t)
So verläuft die Kurve tangential zur y-Achse. Das zeigt Aussage 2. von Satz 4.2. Damit ist der Beweis
abgeschlossen.
5 Stabilität und Gradientensysteme
Definition 5.1. Ein Gleichgewichtspunkt X ∗ eines Differentialgleichungssystems X 0 = F(X) heißt stabil, wenn nahe Lösungen nahe bleiben für wachsendes t. Genauer: X ∗ heißt stabil, wenn für alle Umgebungen O ⊆ Rn von X ∗ eine Umgebung O1 ⊆ O existiert, sodass jede Lösung X(t) mit X(0) = X0 ∈ O1
in O bleibt für alle t > 0.
Definition 5.2. Ein Gleichgewichtspunkt X ∗ eines Differentialgleichungssystems X 0 = F(X) heißt
asymptotisch stabil, wenn X ∗ stabil ist und zusätzlich gilt: lim X(t) = X ∗
t→ ∞
Wie man leicht sehen kann, sind Senken ein klassisches Beispiel für asymptotisch stabile Gleichgewichtspunkte. Das heißt, dass Eigenwerte eines linearisierten Systems mit negativen Realteilen einen
asymptotisch stabilen Gleichgewichtspunkt implizieren. Für die Physik ist es oft wichtig zu wissen, ob
ein Gleichgewichtspunkt stabil ist, denn dann lassen sich mit ihm stärkere Aussagen treffen.
Wir betrachten jetzt eine spezielle Art von Differentialgleichungen, die Gradientensysteme:
X 0 = −grad V (X)
Wobei V : Rn → R ∈ C∞ und


∂V
∂V 



grad V = 
, ...,

∂ x1
∂ xn
Damit ist grad V : Rn → Rn ein Vektorfeld. Wenn man V interpretiert als Funktion, die einem Punkt
im Rn seine „Höhe“ zuordnet, lässt sich der Gradient als Vektor interpretieren, der in die Richtung des
steilsten Anstiegs zeigt und dessen Länge Aufschluss über diesen Anstieg gibt.
Satz 5.3. Eigenschaften von Gradientensystemen
Für das System X 0 = −grad V (X) gilt:
1. Die kritischen Punkte von V sind Gleichgewichtspunkte des Systems.
2.Ist ein kritischer Punkt ein isoliertes Minimum von V, dann ist dieser Punkt ein asymptotisch stabiler
Gleichgewichtspunkt.
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Beispiel 5.4. Sei V : R2 → R gegeben durch V (x, y) = x2 (x − 1)2 + y2 . Dann ist das Gradientensystem
gegeben durch
x0 = −2x(x − 1)(2x − 1)
y0 = −2y
Man sieht schnell, dass die drei kritischen Punkte gegeben sind durch: (0, 0), ( 12 , 0) und (1, 0).
Die linearisierten Systeme an den kritischen Punkten sind
−2 0
1 0
−2 0
DF(0, 0) =
, DF(1/2, 0) =
, DF(1, 0) =
0 −2
0 −2
0 −2
Wir sehen , dass (0, 0) und (1, 0) Senken sind, ( 1/2, 0) aber ein Sattel. Die Geraden y = 0, x = 0, x =
1 und x = 1/2 sind invariant. Diese Beobachtungen führen zu folgendem Portrait:
Abbildung 1: Phasenportrait nichtlineares DGL-System
Hier lässt sich besonders schön die (in)stabile Kurve bei ( 12 , 0) ablesen,
Gradientensysteme haben eine weitere wichtige Eigenschaft:
Proposition 5.5. Sei X 0 = −grad V (X) ein Gradientensystem. Dann hat das linearisierte System an
jedem Gleichgewichtspunkt nur reelle Eigenwerte.
Beweis :
Die Linearisierung eines Gradientensystems an einem Gleichgewichtspunkt X ∗ liefert eine reelle Matrix (ai j ) = A mit
 ∂ 2V 
(X ∗ )
ai j = −
∂ xi ∂ x j
Nach dem Satz von Schwarz gilt: ai j = a ji , also ist die Matrix symmetrisch. Diese hat nur reelle Eigenwerte, denn mit λ als Eigenwert gilt für v als entsprechenden Eigenvektor:
T
λ vT v = (λ v)T v = ((Av)T )v = vT A v = vT Av = vT λ v = λ vT v
Da vT v ∈ R, hat es ein Inverses und so folgt: λ = λ .
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