S - Prof. Dr.-Ing. Johannes Wandinger

1. Querkraftschub in offenen Profilen
03.12.15
1.1 Schubfluss
1.2 Schubmittelpunkt
Prof. Dr. Wandinger
5. Dünnwandige Profile
TM 2 5.1-1
03.12.15
1.1 Schubfluss
●
Geometrie:
–
–
●
Die Profilkoordinate s wird entlang
der Profilmittellinie gemessen.
Das Profil wird durch die Profilmittellinie und die Wandstärke t(s)
beschrieben.
Die Schubspannung τsx ist tangential zur Profilmittellinie und
über die Wandstärke konstant.
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τsx
S
y
Annahme:
–
s
5. Dünnwandige Profile
z
TM 2 5.1-2
1.1 Schubfluss
●
03.12.15
Definitionen:
–
Am positiven Schnittufer zeigt die positive Schubspannung
τsx in positive s-Richtung.
–
Das Produkt
q sx =t τ sx
wird als Schubfluss bezeichnet.
–
Der Schubfluss ist eine Streckenlast.
–
An freien Kanten ist der Schubfluss null.
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5. Dünnwandige Profile
TM 2 5.1-3
03.12.15
1.1 Schubfluss
●
Berechnung des Schubflusses:
–
Betrachtet wird ein Balken mit konstantem Querschnitt.
–
Aus dem Balken wird ein Abschnitt zwischen den Koordinaten x = xA und x = xB herausgeschnitten.
–
Dieser Abschnitt wird an der Stelle s0 durch eine senkrecht
auf der Profilmittellinie stehende Ebene geschnitten.
–
Betrachtet wird der Balkenausschnitt, der sich auf der Seite
mit den kleineren Werten von s befindet.
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5. Dünnwandige Profile
TM 2 5.1-4
03.12.15
1.1 Schubfluss
–
Lasten am Balkenausschnitt:
Freie Kante
σx(xA , s)
qsx(xA , s)
s
qsx(x, s 0)
qsx(xB , s)
xA
y
z
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σx(xB , s)
xB
5. Dünnwandige Profile
x
TM 2 5.1-5
03.12.15
1.1 Schubfluss
–
Kräftegleichgewicht:
xB
∑ F x =0 : ∫ q sx ( x , s 0 ) dx+ ∫ ( σ x (x B , y , z )−σ x ( x A , y , z) ) dA=0
xA
A(s 0 )
xB
–
Mit
∂σx
σ x (x B , y , z)−σ x ( x A , y , z)=∫
(x , y , z) dx
x ∂x
A
und Vertauschung der Integrationsreihenfolge folgt:
xB
∫
xA
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(
∂σx
q sx ( x , s 0 )+ ∫
(x , y , z)dA dx=0
A(s ) ∂ x
0
5. Dünnwandige Profile
)
TM 2 5.1-6
1.1 Schubfluss
–
03.12.15
Das Integral ist nur dann für beliebige Intervalle [x A , x B ] null,
wenn der Integrand verschwindet:
∂ σx
q sx ( x , s 0 )+ ∫
( x , y , z)dA=0
A( s ) ∂ x
0
–
–
Im Hauptachsensystem gilt:
Daraus folgt:
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M y ( x)
M z ( x)
σ x (x , y , z)=
z−
y
Iy
Iz
∂ σ x dM y z dM z y
=
−
∂x
dx I y dx I z
5. Dünnwandige Profile
TM 2 5.1-7
03.12.15
1.1 Schubfluss
–
Mit
dM y
dM z
=Q z ,
=−Q y
dx
dx
und s0 = s gilt für den Schubfluss:
Q z ( x)
Q y ( x)
q sx ( x , s)=−
S y (s)+
S z (s)
Iy
Iz
(
–
)
Dabei sind S y (s)= ∫ z dA und S z (s)= ∫ y dA
A (s)
A( s)
die statischen Momente des Querschnitts bis zur Stelle s.
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5. Dünnwandige Profile
TM 2 5.1-8
03.12.15
1.1 Schubfluss
–
Die statischen Momente
können aus den Koordinaten des Flächenschwerpunkts der Teilfläche A(s) berechnet werden:
S y (s)=z S (s) A(s)
S z (s)=y S (s) A(s)
A(s)
zS(s)
y
s
yS(s)
z
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5. Dünnwandige Profile
TM 2 5.1-9
03.12.15
1.1 Schubfluss
●
Beispiel: C-Profil
–
–
–
Die resultierende Querkraft im
abgebildeten dünnwandigen CProfil ist Qz .
a
Qz
s
a
Gesucht ist der Schubfluss.
Flächenträgheitsmoment:
S
y
(2 a)3 t
8 3
2
I y=
+2⋅a ⋅a t = a t
12
3
a
t
z
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5. Dünnwandige Profile
TM 2 5.1-10
03.12.15
1.1 Schubfluss
–
Oberer Flansch:
a
S y (s1 )=−a t s 1
s1
2
S y (0)=0, S y (a)=−a t
3 Qz
3 Q z s1
q sx (s 1 )=
a t s 1=
3
8a t
8 a2
a
S
y
a
3 Qz
q sx (0)=0 , q sx (a)=
8 a
t
z
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5. Dünnwandige Profile
TM 2 5.1-11
03.12.15
1.1 Schubfluss
–
Steg:
s2
S y (s 2 )=−a t + −a+
t s2
2
(
2
)
2
s
s
a t
=−
2+2 2 − 22
2
a a
2
(
a
)
2
S
2
S y (0)=−a t , S y (2 a)=−a t
2
Q
s
s
3 z
q sx (s 2 )=
2+2 2 − 22
16 a
a a
(
y
a
)
3 Qz
q sx (0)=q sx (2 a)=
8 a
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a
s2
5. Dünnwandige Profile
t
z
TM 2 5.1-12
03.12.15
1.1 Schubfluss
–
Unterer Flansch:
a
s3
S y (s3 )=−a t +a t s 3=−a t 1−
a
2
2
( )
S y (0)=−a 2 t , S y (a)=0
s3
3 Qz
q sx (s 3 )=
1−
8 a
a
( )
a
S
y
a
3 Qz
q sx (0)=
, q sx (a)=0
8 a
z
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5. Dünnwandige Profile
s3
TM 2 5.1-13
03.12.15
1.1 Schubfluss
–
Verlauf des Schubflusses:
●
●
Der Schubfluss erzeugt
ein resultierendes positives Moment um die
durch den Schwerpunkt
verlaufende x-Achse.
3Q z /(8a)
qsx
9Q z /(16a)
Die Wirkungslinie der
resultierenden Querkraft
Qz muss daher links vom
Schwerpunkt liegen.
S
3Q z /(8a)
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5. Dünnwandige Profile
TM 2 5.1-14
03.12.15
1.1 Schubfluss
●
Beispiel: Kreisbogenprofil
–
–
–
Die resultierende Querkraft im
abgebildeten dünnwandigen
Kreisbogenprofil ist Qz .
Gesucht ist der Schubfluss
und die maximale Schubspannung.
Geometrie:
r
t
α
S
y
Qz
s
z (s)=−r sin α−
r
(
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s
)
5. Dünnwandige Profile
α
ez
z
TM 2 5.1-15
03.12.15
1.1 Schubfluss
–
Flächenträgheitsmoment:
2αr
2α r
s
s
s
ds=r 3 t ∫ sin 2 α− d
r
r
r
0
( )
1
s 1
s
=r t − ( α− )+ sin 2 ( α− )
[ 2 r 4 ( r )]
I y = ∫ z 2 (s)t ds=r 2 t
0
∫
0
sin 2 α−
2α
( )()
s / r =2 α
3
[
s / r =0
1
1
α
α
(
)
=r t − sin 2 α + − sin ( 2 α )
2 4
2 4
r3 t
=
( 2 α−sin (2 α) )
2
3
Prof. Dr. Wandinger
5. Dünnwandige Profile
]
TM 2 5.1-16
03.12.15
1.1 Schubfluss
–
Statisches Moment:
s
s
0
0
(
S y (s)=∫ z ( s̄ )t d s̄=−r t ∫ sin α−
[ ( )
s
=−r t cos α− −cos(α)
r
2
–
[ ( )]
s̄
s̄
d s̄ =−r 2 t cos α−
r
r
)
s̄ =s
s̄ =0
]
Schubfluss:
Qz
2 r 2 t ( cos(α−s /r )−cos(α) )
q sx (s)=− S y (s)=Q z
Iy
r 3 t ( 2 α−sin (2 α) )
2 Q z ( cos(α−s /r )−cos(α) )
=
r ( 2 α−sin (2 α) )
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5. Dünnwandige Profile
TM 2 5.1-17
1.1 Schubfluss
–
03.12.15
Maximum des Schubflusses:
2 Q z ( 1−cos(α) )
q sxmax =q sx (r α)=
r ( 2 α−sin (2 α) )
–
Maximale Schubspannung:
q sxmax 2 Q z 1−cos(α)
τ sxmax =
=
t
r t 2 α−sin (2 α)
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5. Dünnwandige Profile
TM 2 5.1-18
03.12.15
1.1 Schubfluss
●
Beispiel: T-Profil
–
–
Qz
Die resultierende Querkraft
im abgebildeten dünnwandigen T-Profil ist Qz .
Gesucht ist der Schubfluss
und die maximale Schubspannung.
a
a
t
ey
y
S
2a
2t
z
Prof. Dr. Wandinger
5. Dünnwandige Profile
TM 2 5.1-19
03.12.15
1.1 Schubfluss
–
Schwerpunkt:
A=2 a t +2 a⋅2 t =6 a t , e y =
–
a⋅4 a t 2
= a
6at
3
Flächenträgheitsmoment:
3
(2
a)
⋅2 t
8 16 4 8 3
2
2
3
I y =e y⋅2 a t +
+ ( a−e y ) ⋅4 a t =a t + + = a t
12
9 12 9 3
(
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5. Dünnwandige Profile
)
TM 2 5.1-20
03.12.15
1.1 Schubfluss
–
Linker Flansch:
a
a
2
S y (s1 )=−e y t s 1 =− a t s 1
3
Q z s1
3 Qz 2
q sx 1 (s 1 )= 3 ⋅ a t s 1=
8a t 3
4a a
Qz
q sx 1 (a)=
4a
t
ey
y
S
2a
2t
q sx 1 (a) Q z
τ1 max =
=
t
4at
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s1
5. Dünnwandige Profile
z
TM 2 5.1-21
03.12.15
1.1 Schubfluss
–
Rechter Flansch:
a
a
2
S y (s 2 )=−e y t s 2=− a t s 2
3
Q z s2
3 Qz 2
q sx 2 (s 2 )= 3 ⋅ a t s 2 =
8a t 3
4a a
Qz
q sx 2 (a)=
4a
t
ey
y
S
2a
2t
q sx 2 (a) Q z
τ 2 max =
=
t
4at
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s2
5. Dünnwandige Profile
z
TM 2 5.1-22
03.12.15
1.1 Schubfluss
–
Steg:
s3
S y (s3 )=−e y⋅2 a t + −e y + ⋅2 t s 3
2
t
=− ( 4 a 2 + 4 a s 3 −3 s 23 )
3
(
(
Qz
s3
s
q sx 3 (s 3)=
4+ 4 −3
8a
a
a
)
2
3
2
)
Qz
q sx 3 (0)= =q sx 1 (a)+ q sx 2 (a)
2a
a
a
t
ey
y
S
s3
2a
2t
z
q sx 3 (2 a)=0
Prof. Dr. Wandinger
5. Dünnwandige Profile
TM 2 5.1-23
1.1 Schubfluss
–
03.12.15
Maxima im Steg:
dq sx 3 Q z 2
s 3 max
s 3 max 2 e y
= a 4−6
=0 →
= =
dx
8
a
a
3 a
(
)
Qz
4⋅2 3⋅4 16 Q z 2 Q z
q sx 3 max =
4+
−
=
=
8a
3
9
24 a 3 a
(
)
2 Q z 1 Qz
τ 3 max =
=
3 a⋅2 t 3 a t
–
Maximale Schubspannung:
1 Qz
τ max =max ( τ 1 max , τ 2 max , τ 3 max )= τ 3 max =
3 at
Prof. Dr. Wandinger
5. Dünnwandige Profile
TM 2 5.1-24
03.12.15
1.1 Schubfluss
–
Verlauf des Schubflusses:
●
●
An der Verzweigung ist die
Summe der zufließenden
Schubflüsse gleich der Summe der abfließenden Schubflüsse.
Der Schubfluss hat den größten Wert an der Stelle des
Flächenschwerpunkts.
Prof. Dr. Wandinger
5. Dünnwandige Profile
Q z /(4a)
qsx
S
2Q z /(3a)
TM 2 5.1-25
03.12.15
1.2 Schubmittelpunkt
●
In welchem Punkt des Querschnitts muss die äußere Kraft
angreifen, damit sich der Querschnitt nicht verdreht?
F
F
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5. Dünnwandige Profile
TM 2 5.1-26
03.12.15
1.2 Schubmittelpunkt
●
●
In welchem Punkt des Querschnitts greift die aus dem
Schubfluss resultierende Querkraft an?
Definition:
–
Der Punkt, in dem die aus dem Schubfluss resultierende
Querkraft angreift, wird als Schubmittelpunkt M bezeichnet.
–
Das resultierende Moment des Schubflusses bezüglich des
Schubmittelpunkts ist null.
–
Aus dem Momentengleichgewicht um die x-Achse folgt,
dass der Schubmittelpunkt auch der Punkt des Querschnitts
ist, in dem eine äußere Kraft angreifen muss, damit sich der
Balken nicht verdreht.
Prof. Dr. Wandinger
5. Dünnwandige Profile
TM 2 5.1-27
03.12.15
1.2 Schubmittelpunkt
–
Beispiel: Kragbalken, rechter Teilbalken
My
y
M
Qz
S
z
x
M
F
Prof. Dr. Wandinger
5. Dünnwandige Profile
TM 2 5.1-28
03.12.15
1.2 Schubmittelpunkt
●
Spezialfälle:
–
Bei symmetrischen Querschnitten liegt der Schubmittelpunkt auf der Symmetrielinie.
–
Bei doppelt symmetrischen Querschnitten stimmt der
Schubmittelpunkt mit dem Schwerpunkt überein.
–
Bei punktsymmetrischen Querschnitten stimmt der Schubmittelpunkt mit dem Schwerpunkt überein.
–
Bei Querschnitten, die aus geradlinigen Teilprofilen zusammengesetzt sind, deren Mittellinien sich in einem Punkt
schneiden, liegt der Schubmittelpunkt im Schnittpunkt der
Profilmittellinien.
Prof. Dr. Wandinger
5. Dünnwandige Profile
TM 2 5.1-29
03.12.15
1.2 Schubmittelpunkt
–
Beispiele:
M
M
M
M
M
Prof. Dr. Wandinger
5. Dünnwandige Profile
TM 2 5.1-30
1.2 Schubmittelpunkt
●
03.12.15
Berechnung:
–
Für jeden beliebig gewählten Bezugspunkt muss das Moment des Schubflusses mit dem Moment der resultierenden
Querkraft übereinstimmen.
–
Die Koordinate zM kann aus dem Vergleich der Momente für
eine Querkraft in y-Richtung und die Koordinate yM aus dem
Vergleich der Momente für eine Querkraft in z-Richtung berechnet werden.
Prof. Dr. Wandinger
5. Dünnwandige Profile
TM 2 5.1-31
03.12.15
1.2 Schubmittelpunkt
●
Beispiel: C-Profil
–
–
a
Das Profil ist symmetrisch bezüglich der y-Achse. Daher
liegt der Schubmittelpunkt auf
der y-Achse.
Das Moment der im Schubmittelpunkt angreifenden Querkraft Qz bezüglich Punkt P
muss mit dem Moment des
zugehörigen Schubflusses
übereinstimmen.
s
Qz
ez
y
a
S
M
a
t
P
yM
z
Prof. Dr. Wandinger
5. Dünnwandige Profile
TM 2 5.1-32
03.12.15
1.2 Schubmittelpunkt
–
Schwerpunktsabstand des
Stegs:
a
A=2⋅2 a t +2 a t =4 a t
–
s
Qz
a
2⋅ ⋅a t
2
a
ez=
=
4at
4
ez
Moment der Querkraft:
y
S
M
a
t
P
M (Q z )=( y M −e z ) Q z
a
P
yM
z
Prof. Dr. Wandinger
5. Dünnwandige Profile
TM 2 5.1-33
1.2 Schubmittelpunkt
–
03.12.15
Nur der Schubfluss im oberen Flansch trägt zum Moment
um Punkt P bei:
a
a
Q
3 z
3 Q z a2 3
P
M (q sx )=2 a ∫ q sx (s 1 )ds 1=2 a⋅ 2 ∫ s 1 ds 1=2 a⋅ 2 ⋅ = Q z a
8 a 0
8 a 2 8
0
–
Übereinstimmung der Momente:
3
P
P
M (Q z )=M (q sx ) : ( y M −e z ) Q z = Q z a
8
3
3
1
5
→ y M = a+e z = a+ a= a
8
8
4
8
Prof. Dr. Wandinger
5. Dünnwandige Profile
TM 2 5.1-34
03.12.15
1.2 Schubmittelpunkt
●
Beispiel: Kreisbogenprofil
–
–
Das Profil ist symmetrisch bezüglich der y-Achse. Daher
liegt der Schubmittelpunkt auf
der y-Achse.
Das Moment der im Schubmittelpunkt angreifenden Querkraft Qz bezüglich Punkt P
muss mit dem Moment des
zugehörigen Schubflusses
übereinstimmen
Prof. Dr. Wandinger
5. Dünnwandige Profile
s
Qz
r
t
α
y
M
α
S
yM
P
ez
z
TM 2 5.1-35
03.12.15
1.2 Schubmittelpunkt
–
Schwerpunktsabstand (Formel
für Linienschwerpunkt):
sin (α)
e z =r α
–
s
Qz
Moment der Querkraft:
r
t
α
y
M
P
α
S
M P (Q z )=( y M +e z ) Q z
yM
ez
z
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5. Dünnwandige Profile
TM 2 5.1-36
03.12.15
1.2 Schubmittelpunkt
–
Moment des Schubflusses:
2 Q z ( cos(α−s /r )−cos (α) )
q sx (s)=
r ( 2 α−sin (2 α) )
2αr
M P (q sx )= ∫
0
2α
2 Qz r
s
s
r q sx ds=
cos
α−
−cos(α)
d
∫
r
r
2 α−sin (2 α) 0
( ( )
([
2Qz r
s
=
−sin α−
2 α−sin (2 α)
r
(
)]
)()
s /r=2 α
−2 α cos(α)
s /r=0
)
2Qz r
=
( 2 sin (α)−2 α cos(α) )
2 α−sin (2 α)
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5. Dünnwandige Profile
TM 2 5.1-37
1.2 Schubmittelpunkt
–
03.12.15
Übereinstimmung der Momente:
M P (Q z )=M P (q sx ) :
2Qzr
( y M +e z ) Q z = 2 α−sin (2 α) ( 2 sin (α)−2 α cos(α) )
sin (α)−α cos(α)
sin (α)−α cos(α) sin (α)
→ y M =2 r
−e z =r 2
− α
α−sin (α)cos(α)
α−sin (α)cos(α)
(
Prof. Dr. Wandinger
5. Dünnwandige Profile
)
TM 2 5.1-38
03.12.15
1.2 Schubmittelpunkt
–
Beispiel: α = π/2
–
2
ez = π r
Beispiel: α = π
e z =0
1
1
2
y M =r 2
−
=π r
π /2 π/ 2
(
)
M
y M =r ( 2 π
π )=2 r
S
y
M
y
z
Prof. Dr. Wandinger
S
z
5. Dünnwandige Profile
TM 2 5.1-39

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