Technische Universität Freiberg

Institut für Mechanik und Fluiddynamik
Prof. Dr.-Ing. Ams
Maschinendynamik
WS14/15
Übungsblatt 4
Thema: Bewegungsgleichungen des starren Körpers für räumliche Bewegungen
(Kreiseltheorie)
Bewegungsgleichungen können aus dem Schwerpunktsatz (für Translation) und dem
Drallsatz (für Rotation) bestimmt werden.


Hier nur Anwendung des Drallsatzes: D  M
  
Bei Bezug auf einen raumfesten Punkt 0, bzw. Schwerpunkt S ist der Drall D  J 


 - Eigendrehung des starren Körpers
D - Drall


M - Summe der äußeren Momente
J - symmetrischer Trägheitstensor

Die Auswertung des Drallsatzes ist nur einfach für J = konstant. Daher Übergang zu einem

mit der Winkelgeschwindigkeit  bzgl. 0 bzw. S rotierenden Bezugssystem. Dann lautet der
Drallsatz:
Bei

d'   
D   D  M
dt
Bezug
auf
ein
mit
d'
 Ableitungen im Bezugssystem
dt
körperfestes
Hauptachsensystem

Winkelgeschwindigkeitskomponenten von  im körperfesten
und
  , ,  
Auswertung des Drallsatzes die EULERschen Kreiselgleichungen:
J      J  J      M 
J    J   J      M
J      J   J     M 
1
mit
 ,  , 
als
- System ergibt die
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MD 4.1
MD 4.2
Ein starres masseloses Winkelkreuz, an dessen Enden zwei Punktmassen m befestigt sind,
Ein Zapfen dreht sich mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit 0 um seine vertikale
wird aus der Ruhelage durch ein konstantes Moment M 0 um die lotrechte Achse AB
Achse. In einem um den konstanten Winkel 
vollkommen reibungsfrei in Drehung versetzt.
Drehlager des Zapfens ist ein starrer Körper reibungsfrei drehbar gelagert, der aus einer
masselosen starren Stange der Länge
l
gegen die Vertikale schräggestellten
und einer Punktmasse m besteht und im
Schwerefeld um die z'   - Achse Schwingbewegungen ausführen kann.

1) Bestimmen Sie den Winkelgeschwindigkeitsvektor  in den körperfesten  ,,  Achsen.
2) Mit den EULERschen Kreiselgleichungen ermittle man die Momente M , M , M , die
von außen auf das System einwirken.
1) In der gezeichneten allgemeinen Lage ermittle man den Winkelgeschwindigkeits
vektor  des starren Körpers in den körperfesten Achsen  ,  ,  .
2) Mit Hilfe der EULERschen Kreiselgleichungen bestimme man die Momente




3) Transformieren Sie den Vektor der äußeren Momente M  M e  M e  M e in das
x1, y1, z1 -Koordinatensystem und bestimmen Sie die Bewegungsgleichung des
 
Systems in  , sowie die Lagerkräfte FA , FB , die auf das System wirken.
M , M , M , die von außen auf den Körper einwirken.
3) Mit
Hilfe
der
EULERschen
Kreiselgleichungen
bestimme
man
die
Bewegungsgleichung des starren Körpers in  . Zu dem Zweck ist auch der

Schwerkraftvektor FG  FG  , FG  , FG  in die körperfesten Achsen  ,  ,  zu


zerlegen.
4) Man linearisiere die Bewegungsgleichung. Bis zu welcher Winkelgeschwindigkeit 0
sind Schwingbewegungen der Stange möglich
2
3
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MD 4.3
MD 4.4
Auf
eine
z-förmig
gekröpfte
masselose
Kurbelwelle,
die
mit
konstanter
Winkelgeschwindigkeit  um die lotrechte Achse AB umläuft, sind in gleichen Abständen a
Ein dünner Stab mit der Länge 2r und der Masse m ist in dem Drehlager einer massellosen
Stange so gelagert, dass er relativ zur Stange reibungsfreie Drehbewegungen  um seine
von ihrer Mitte 0 zwei gleiche schmale Kreisscheiben vom Radius r und der Masse m
Schwereachse  durchführen kann. Zwischen Stab und Stange ist eine Drehfeder c d
aufgekeilt.
angebracht, die in der Gleichgewichtslage   0 entspannt ist. Die Stange S ist an einer
vertikal
gelagerten
Welle
fest
angeschweißt
und
rotiert
mit
der
konstanten
Winkelgeschwindigkeit  um die raumfeste z-Achse.
1) Für die eingezeichnete allgemeine Lage gebe man die Winkelgeschwindigkeiten
1) Mit den EULERschen Kreiselgleichungen ermittle man die Momente M , M , M , die
 ,  ,  des Stabes in den mitdrehenden, körperfesten Koordinaten  ,  ,  an.
von außen auf das System einwirken.


2) Wie groß sind die Lagerkräfte FA und FB die von außen auf das System einwirken?
3) In welchem Verhältnis muss a zu r stehen, damit die Achse AB eine freie Achse
wird?
2) Man berechne mit Hilfe der EULERschen Kreiselgleichungen die Bewegungsgleichung
des Stabes, sowie die mitdrehenden Momente M , M , M , die im Schwerpunkt auf
den Stab wirken.
3) Man linearisiere die Bewegungsgleichung für kleine Winkel  . Wie groß muss die
Winkelgeschwindigkeit  gewählt werden, damit der Stab Schwingungen ausführen
kann?
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MD 4.5
Ein Zapfen dreht sich mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit 0 um seine vertikale
Achse z. In einem Drehlager des Zapfens ist ein starrer Körper reibungsfrei drehbar gelagert,
der aus einer masselosen Stange der Länge
l
und einer dünnen, homogenen Kreisscheibe
MD 4.1



1)     cos   e   sin   e
2) M  0, M  2ma 2 2 sin  cos  , M  2ma 2 sin 




3) M  2 m a 2 sin2  ex1  2 m a 2 2 sin  cos  ey1  2 m a 2 sin  cos  ez1

mit der Masse m und dem Radius r besteht. Zwischen Stange und Zapfen ist eine masselose

FA x1  2mg ,
Drehfeder c d angebracht, die in der Lage   0 spannungslos ist und die Drehbewegung 
 
des starren Körpers beeinflusst.

FA y1  FB y1

M cos 
,
 0
2b sin 

FAz1  FB z1

ma2 2

sin cos 
b
M0
 konst.
2 ma2 sin 2 
MD 4.2




1)
  0 sin  sin  e  0 sin  cos  e    0 cos   e
2)
 
g
l
sin  sin   02 sin2  sin  cos   0
MD 4.3
1)
2)
3)

 mr 2
M  0 , M  0 , M  
 2 ma 2   2 sin  cos 
2



 2  mr 2
 2ma 2  sin  cos 
FA x1  2mg
FA y1  FB y1 

2l  2

a
FA z1  FB z2  0
r
2
MD 4.4



1)
   sin e   cos e   e
1) In der gezeichneten allgemeinen Lage ermittle man den Winkelgeschwindigkeits
vektor  des starren Körpers in den körperfesten Achsen  ,  ,  .
2) Mit Hilfe der EULERschen Kreiselgleichungen bestimme man die Bewegungsgleichung des starren Körpers in  , sowie die Momente M , M , M , welche von
außen auf den Körper einwirken.
2)
   2 sin cos  
3)

3cd
mr 2
MD 4.5




1)
   e  0 sin e  0 cos e
2)
3) Man linearisiere die Bewegungsgleichung. Für den Spezialfall einer von der
Zapfendrehung 0 unabhängigen Eigenkreisfrequenz errechne man den Mindestwert
c d , für den der Drehwinkel  beschränkt bleibt.
3cd
 0
mr 2
3)
1
1




M   m l 2  mr 2     m l 2  mr 2  02 sin  cos   mg l sin   cd  ,
4
4




1
M  2m l 20  cos  , M   mr 20  sin 
2
c d  mg l
d.h. Schwingung für c d  mg l
12 
1
m l 2  mr 2
4
7
6

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