2. Eulersche Knickfälle - Prof. Dr. Johannes Wandinger

2. Eulersche Knickfälle
●
●
●
27.06.16
Das Stabilitätsversagen von Balken unter Druckbelastung
wird als Knicken bezeichnet.
Linear-elastisches Knicken wurde bereits von Euler untersucht.
Je nach Randbedingungen lassen sich verschiedene so
genannte Eulersche Knickfälle unterscheiden.
Prof. Dr. Wandinger
6. Stabilitätsprobleme
TM 2 6.2-1
27.06.16
2. Eulersche Knickfälle
Fall 1:
F
Fall 2:
Fall 3:
F
F
Fall 4:
F
L
Prof. Dr. Wandinger
6. Stabilitätsprobleme
TM 2 6.2-2
27.06.16
2. Eulersche Knickfälle
●
Fall 1:
–
L
Gleichgewicht am ausgelenkten linken Teilbalken:
∑M
F
z
X
=0 :
M y + F ( w 0 −w( x) )=0
–
Mit
folgt:
x
w0
2
d w
M y =−E I y
2
dx
x
F
F
X My
x
z
d2w F
F
+
w=
w0
2
E Iy
E Iy
dx
Prof. Dr. Wandinger
6. Stabilitätsprobleme
TM 2 6.2-3
27.06.16
2. Eulersche Knickfälle
–
F
k =
E Iy
Mit
2
lautet die Knickgleichung:
2
d w 2
2
+k
w=k
w0
2
dx
–
Sie hat die allgemeine
Lösung:
w (x)=w 0 +w s sin (k x)
+w c cos(k x)
dw
=k ( w s cos(k x)−w c sin (k x) )
dx
Prof. Dr. Wandinger
–
Randbedingungen:
w (0)=w 0 → w c =0
w (L)=0
→ w 0 +w s sin (k L)=0
dw
(L )=0
dx
→ k w s cos(k L)=0
6. Stabilitätsprobleme
TM 2 6.2-4
2. Eulersche Knickfälle
–
–
–
–
27.06.16
Eine von null verschiedene Lösung existiert nur, wenn die
Knickbedingung
cos(k L)=0
erfüllt ist.
Daraus folgt: k L= π → k = π
2
2L
2
π
E Iy
2
Für die kritische Last gilt: F krit =k E I y =
(2 L)2
Aus w 0 =−w s sin (k L)=−w s folgt für die Knickform:
(
( ))
x
π
w (x)=w 0 1−sin
2 L
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6. Stabilitätsprobleme
TM 2 6.2-5
2. Eulersche Knickfälle
–
27.06.16
Anmerkungen:
●
●
Da Knicken bei Erreichen der niedrigsten kritischen Last auftritt, haben die weiteren Lösungen der Knickbedingung keine
technische Bedeutung.
Die Amplitude w0 kann nicht bestimmt werden.
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6. Stabilitätsprobleme
TM 2 6.2-6
27.06.16
2. Eulersche Knickfälle
●
Fall 2:
–
–
L
F
Der Balken ist auch im ausgelenkten Zustand eine Pendelstütze.
Gleichgewicht am ausgelenkten linken Teilbalken:
x
z
F
x
A
My
X
M
∑ =0 : M y −F w ( x)=0
F
x
X
z
–
Mit
d2w
M y =−E I y
folgt:
2
dx
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d2w F
+
w=0
2
E Iy
dx
6. Stabilitätsprobleme
TM 2 6.2-7
27.06.16
2. Eulersche Knickfälle
–
Mit k 2 = F/(EI y ) lautet die
Knickgleichung:
d2w 2
+k w=0
2
dx
–
–
Knickbedingung:
sin (k L)=0 → k = π
L
–
Kritische Last:
Allgemeine Lösung:
F krit =
w (x)=w s sin (k x)+w c cos(k x)
–
Randbedingungen:
–
L2
Knickform:
w (0)=0 → w c =0
w (L)=0 → w s sin (k L)=0
Prof. Dr. Wandinger
π2 E I y
6. Stabilitätsprobleme
x
L
( )
w (x)=w s sin π
TM 2 6.2-8
27.06.16
2. Eulersche Knickfälle
●
Fall 3:
–
Gleichgewicht am ausgelenkten linken Teilbalken:
X
M
∑ =0 :
M y −F w ( x)+ x A z =0
–
L
F
Mit
folgt:
2
d w
M y =−E I y
2
dx
x
z
F
x
A
My
Az
z
Az
F
x
X
Az
d2w F
+
w=
x
2
E Iy
E Iy
dx
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6. Stabilitätsprobleme
TM 2 6.2-9
27.06.16
2. Eulersche Knickfälle
–
Mit k 2 = F/(EI y ) lautet die
Knickgleichung:
–
Randbedingungen:
d w 2
2 Az
+k w=k
x
2
F
dx
2
–
Allgemeine Lösung:
Az
w (x)= x+w s sin (k x)
F
+w c cos (k x)
dw A z
= + k w s cos(k x )
dx F
−k w c sin (k x)
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6. Stabilitätsprobleme
w (0)=0 → w c =0
w (L)=0
Az
→
L+w s sin (k L)=0
F
dw
(L)=0
dx
Az
→
+ k w s cos(k L)=0
F
Az
→
=−k w s cos(k L)
F
TM 2 6.2-10
2. Eulersche Knickfälle
–
27.06.16
Knickbedingung:
−k L cos(k L)+sin (k L)=0
→ tan (k L)=k L
–
–
Diese transzendente
Gleichung kann
graphisch oder iterativ gelöst werden:
k L=4,493
Kritische Last:
F krit =k 2 E I y =
Prof. Dr. Wandinger
π2 E I y
(π / 4,493)2 L 2
6. Stabilitätsprobleme
TM 2 6.2-11
27.06.16
2. Eulersche Knickfälle
–
Knickform:
w (x)=w s (−k x cos(k L)+sin (k x ) )
sin (k L )
x
cos(k L)=
→ w ( x)=w s sin (k x )− sin (k L )
kL
L
(
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6. Stabilitätsprobleme
)
TM 2 6.2-12
27.06.16
2. Eulersche Knickfälle
●
Fall 4:
–
Gleichgewicht am ausgelenkten linken Teilbalken:
∑M
Mit
folgt:
x
z
X
=0 :
M y −F w ( x)+ M A + x A z =0
–
L
F
2
d w
M y =−E I y
2
dx
F
MA
x
A
My
Az
z
Az
F
x
X
M A+ Az x
d2w F
+
w=
2
E Iy
E Iy
dx
Prof. Dr. Wandinger
6. Stabilitätsprobleme
TM 2 6.2-13
2. Eulersche Knickfälle
–
27.06.16
Mit k 2 = F/(EI y ) lautet die Knickgleichung:
d2w 2
2 M A + Az x
+k w=k
2
F
dx
–
Sie hat die allgemeine Lösung:
M A + Az x
w (x)=
+w s sin (k x)+w c cos(k x)
F
dw A z
= +k ( w s cos(k x)−w c sin (k x) )
dx F
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6. Stabilitätsprobleme
TM 2 6.2-14
27.06.16
2. Eulersche Knickfälle
–
Randbedingungen:
MA
MA
w (0)=0 :
+w c =0 →
=−w c
F
F
Az
Az
dw
(0)=0 :
+ k w s =0 →
=−k w s
dx
F
F
M A + Az L
w (L)=0 :
+w s sin (k L)+w c cos (k L)=0
F
→ ( sin (k L )−k L ) w s + ( cos(k L )−1 ) w c =0
Az
dw
(L )=0 :
+k ( w s cos(k L )−w c sin (k L) )=0
dx
F
→ ( cos(k L)−1 ) w s −sin (k L)w c =0
Prof. Dr. Wandinger
6. Stabilitätsprobleme
TM 2 6.2-15
27.06.16
2. Eulersche Knickfälle
–
Knickbedingung:
|
|
sin (k L )−k L cos(k L)−1
0=
cos(k L)−1
−sin (k L )
2
=−( sin (k L)−k L ) sin (k L)−( cos(k L)−1 )
=−sin 2 (k L)+k L sin (k L)−cos2 (k L)+2 cos(k L)−1
=−2+2 cos(k L)+ k L sin (k L)
→ k L=2 π
–
Kritische Last:
2
F krit =k E I y =
Prof. Dr. Wandinger
4 π2 E I y
L
2
=
π2 E I y
( L /2)2
6. Stabilitätsprobleme
TM 2 6.2-16
27.06.16
2. Eulersche Knickfälle
–
Knickform:
sin (k L)=sin (2 π)=0 , cos (k L)=cos(2 π)=1
( sin (k L)−k L ) w s + ( cos(k L)−1 ) w c =−2 π w s =0 → w s =0
MA
x
→ A z =0 ,
=−w c → w ( x)=w c cos 2 π −1
F
L
( ( ) )
Prof. Dr. Wandinger
6. Stabilitätsprobleme
TM 2 6.2-17
27.06.16
2. Eulersche Knickfälle
●
Euler-Hyperbel:
–
Mit Hilfe der freien Knicklänge LK kann die kritische Last für
die vier Eulerschen Knickfälle einheitlich dargestellt werden:
F krit =
π2 E I y
L 2K
Knickfall
1
2
3
4
Knicklänge
2L
L
0,7L
0,5L
Prof. Dr. Wandinger
6. Stabilitätsprobleme
TM 2 6.2-18
27.06.16
2. Eulersche Knickfälle
Fall 1:
F
Fall 2:
Fall 3:
F
F
Fall 4:
F
L
LK = 2L
Prof. Dr. Wandinger
LK = L
LK = 0,7L
6. Stabilitätsprobleme
LK = 0,5L
TM 2 6.2-19
27.06.16
2. Eulersche Knickfälle
–
Für die zur kritischen Last gehörende Knickspannung gilt:
2
F krit π 2 E I y π 2 E I y
i
2
y
σ krit =
=
=
=π
E
A
A L 2K
L 2K A
L 2K
–
Mit dem Schlankheitsgrad λ K =L K /i y gilt:
π2 E
σ krit = 2
λK
–
Der Zusammenhang zwischen Knickspannung und
Schlankheitsgrad wird als Euler-Hyperbel bezeichnet.
Prof. Dr. Wandinger
6. Stabilitätsprobleme
TM 2 6.2-20
2. Eulersche Knickfälle
–
27.06.16
Euler-Hyperbel:
Prof. Dr. Wandinger
6. Stabilitätsprobleme
TM 2 6.2-21
2. Eulersche Knickfälle
27.06.16
–
Die Euler-Hyperbel gilt, solange die Knickspannung unterhalb der Proportionalitätsgrenze für Druckspannungen liegt.
–
Aus
π2 E
σ krit = 2 =R p
λK
ergibt sich für den Grenzschlankheitsgrad
λ p =π
√
E
Rp
mit R p = Rp0,2 oder R p = 0,8R e .
Prof. Dr. Wandinger
6. Stabilitätsprobleme
TM 2 6.2-22
27.06.16
2. Eulersche Knickfälle
●
Sicherheit:
σ krit
S K = |σ|
–
Für die Sicherheit gegen Knicken gilt:
–
Die geforderten Sicherheiten liegen zwischen 2,5 und 5.
–
Bei gegebener Sicherheit berechnet sich die zulässige
Spannung zu
σ krit σ dF
σ zul =min
,
SK SF
(
–
)
Im Gültigkeitsbereich der Euler-Hyperbel (λK > λp ) hängt die
Knickspannung nur über den Elastizitätsmodul vom Werkstoff ab. Eine höhere Festigkeit des Werkstoffs führt zu keiner höheren Sicherheit.
Prof. Dr. Wandinger
6. Stabilitätsprobleme
TM 2 6.2-23
27.06.16
2. Eulersche Knickfälle
●
Beispiel: Stab unter Temperaturlast
–
ΔT
Gegeben:
●
●
●
L
Länge L = 10 m
Trägheitsradius
iy = 4,0 cm
–
Gesucht:
Wärmeausdehnungskoeffizient αT = 1,2·10-5 K-1
Prof. Dr. Wandinger
6. Stabilitätsprobleme
●
Konstante Temperaturänderung ΔT, bei der
der Stab ausknickt
TM 2 6.2-24
27.06.16
2. Eulersche Knickfälle
–
–
–
Normalkraft und Temperaturlast sind konstant.
Daher sind Spannung
und Dehnung konstant.
Die Länge kann sich nicht
ändern:
Δ L=ϵ L=0 → ϵ=0
–
Knicken tritt auf für
2
π
|σ|=E α Δ T =σ
T
krit =E
λ 2K
2
π
→ ΔT=
αT λ 2K
–
Zahlenwert:
Aus dem Materialgesetz
folgt:
ϵ= σ +αT Δ T =0
E
λK=
500 cm
=125
4,0 cm
Δ T =52,64 K
→ σ=−E αT Δ T
Prof. Dr. Wandinger
L K =L /2=5 m=500 cm
6. Stabilitätsprobleme
TM 2 6.2-25
27.06.16
2. Eulersche Knickfälle
●
Beispiel: Fachwerk
–
Ausführung 1:
4
–
Ausführung 2:
5
4
a
a
1
y
2
a
x
–
Gegeben:
●
5
3
1
a
2a
y
F
F
x
–
Gesucht:
a, F, E, Iy
Prof. Dr. Wandinger
3
●
6. Stabilitätsprobleme
Knicksicherheit SK
TM 2 6.2-26
2. Eulersche Knickfälle
–
Stabkräfte für Ausführung 1:
●
●
–
Stab 25 ist ein Nullstab.
–
Stabkräfte für Ausführung 2:
●
Knicksicherheit:
●
Die Stäbe 12, 23 und 15
sind Druckstäbe:
N 12 =N 23=−F , N 15=−√ 2 F
Die Stäbe 13 und 15 sind
Druckstäbe:
27.06.16
●
Für Fachwerkstäbe
kann näherungsweise
mit Fall 2 gerechnet
werden: LK = L
Für die Knicksicherheit gilt:
σ krit F krit π 2 E I y
S K = |σ| =
= 2
|N | L K |N |
N 13=−F , N 15=−√ 2 F
Prof. Dr. Wandinger
6. Stabilitätsprobleme
TM 2 6.2-27
27.06.16
2. Eulersche Knickfälle
Stab
N
LK
SK
2
E Iy
12
-F
a
π
23
-F
a
π
2a
π2 E I y
4 a2 F
√2 a
π2 E I y
2 √ 2 a2 F
13
15
Prof. Dr. Wandinger
-F
−√ 2 F
6. Stabilitätsprobleme
a2 F
2 E Iy
2
a F
TM 2 6.2-28
2. Eulersche Knickfälle
–
27.06.16
Folgerungen:
●
●
Bei statisch bestimmten Fachwerken hängt die Knicksicherheit nicht von der Querschnittsfläche der Stäbe ab.
Durch Nullstäbe kann die freie Knicklänge kritischer Stäbe
verringert und dadurch die Knicksicherheit erhöht werden.
Prof. Dr. Wandinger
6. Stabilitätsprobleme
TM 2 6.2-29
2. Eulersche Knickfälle
●
27.06.16
Räumliches Knicken:
–
Wenn die Randbedingungen in allen Raumrichtungen gleich
sind (isotrope Randbedingungen), dann ist der Schlankheitsgrad mit dem kleinsten Flächenträgheitsmoment zu berechnen:
I2
LK
i min=
, λK =
A
i min
√
–
Wenn die Randbedingungen richtungsabhängig sind (anisotrope Randbedingungen), dann müssen die einzelnen Fälle
getrennt untersucht werden.
Prof. Dr. Wandinger
6. Stabilitätsprobleme
TM 2 6.2-30

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