Merkblatt zu Differenzialoperatoren/krummlinigen Koordinaten

Mathematische Rechenmethoden 2/Theoretische Physik 1
SS 2013
Merkblatt zu
Differenzialoperatoren/krummlinigen
Koordinaten
1. Definition der Differenzialoperatoren
Im Folgenden sei Ω ⊆ IRn ein Gebiet, f : Ω → IR eine skalare C 1 -Funktion,
F~ = (f1 , f2 , ..., fn ) : Ω → IRn eine C 1 -Vektorfunktion. ~e1 , ~e2 , ..., ~en seien die
kartesischen Einheitsvektoren.
Unter Verwendung der Summenkonvention (→ über doppelt auftretende Indizes wird summiert) und der Schreibweise ∂i ≡ ∂x∂ i sind die verschiedenen
Differenzialoperatoren dann wie folgt definiert:
• Gradient von f in ~x ∈ Ω:
~ (~x) = ~ei ∂i f (~x) = (∂1 f (~x), ∂2 f (~x), ..., ∂n f (~x)) ,
∇f
~ · F~ : Ω → IR von F~ :
• Divergenz ∇
~ · F~ := ∂i fi ,
∇
~ × F~ : Ω → IR3 von F~ für n=3:
• Rotation ∇
~ × F~ := ~ei ijk ∂j Fk .
∇
Dabei hat der durch


 1 falls
ijk =
−1 falls


0
(i, j, k) gerade Permutation von (1,2,3) ,
(i, j, k) ungerade Permutation von (1,2,3) ,
sonst
definierte Levi-Civita Tensor ijk folgende Eigenschaften:
ijk ilm = δjl δkm − δjm δkl ,
1
ijk ijm = 2δkm .
• Laplace-Operator 4f : Ω → IR:
~ · ∇f
~ = ∂i ∂i f .
4f := ∇
Dabei muss f ∈ C 2 (Ω) sein.
2. Zylinderkoordinaten
Im IR3 sei ein Vektor ~x = (x, y, z) in kartesischen Koordinaten gegeben. In
Zylinderkoordinaten (ρ, φ, z) ergibt sich
~r = (ρ cos φ, ρ sin φ, z) ←→ x = ρ cos φ , y = ρ sin φ , z = z
mit den Transformationsgleichungen:
p
y
ρ = x2 + y 2 , φ = arctan
(x > 0),
x
Dies ergibt
d3 r = ρ dρ dφ dz
z = z.
für das infinitesimale Volumenelement dV ≡ d3 r in Zylinderkoordinaten.
Mit der Definition
~eζ :=
∂~r/∂ζ
,
|∂~r/∂ζ|
ζ ∈ {ρ, φ, z}
ergeben sich folgende orthogonale Einheitsvektoren in Zylinderkoordinaten:
~eρ = (cos φ, sin φ, 0),
~eφ = (− sin φ, cos φ, 0),
~ez = (0, 0, 1) .
Ist die skalare Funktion f und für n = 3 die Vektorfunktion F~ aus Abschnitt 1
in Zylinderkoordinaten gegeben, so ergeben sich für die Differenzialoperatoren
in Zylinderkoodinaten:
• Gradient:
~ = ~eρ ∂f + ~eφ 1 ∂f + ~ez ∂f ,
∇f
∂ρ
ρ ∂φ
∂z
• Divergenz:
~ · F~ = 1 ∂ (ρFρ ) + 1 ∂Fφ + ∂Fz ,
∇
ρ ∂ρ
ρ ∂φ
∂z
• Rotation:
1
∂F
∂F
∂F
∂F
ρ
z
φ
z
~ × F~ = ~eρ
+ ~eφ
∇
−
−
ρ ∂φ
∂z
∂z
∂ρ
1
∂
∂Fρ
+~ez
(ρFφ ) −
,
ρ ∂ρ
∂φ
2
• Laplace-Operator:
1 ∂
4f =
ρ ∂ρ
∂f
1 ∂ 2f
∂ 2f
ρ
+ 2
+
.
∂ρ
ρ ∂φ2 ∂z 2
Dabei sind bei der Divergenz und Rotation die Komponenten Fρ , Fφ und Fz
von F~ in Zylinderkoordinaten durch die Linearkombination
F~ (~r ) = Fρ (ρ, φ, z)~eρ (ρ, φ, z) + Fφ (ρ, φ, z)~eφ (ρ, φ, z) + Fz (ρ, φ, z)~ez
festgelegt.
3. Kugelkoordinaten
Im IR3 sei ein Vektor ~x = (x, y, z) in kartesischen Koordinaten gegeben. In
Kugelkoordinaten (r, θ, φ) ergibt sich
~r = (r sin θ cos φ, r sin θ sin φ, r cos θ) ←→ x = r sin θ cos φ , y = r sin θ sin φ , z = r cos θ
mit den Transformationsgleichungen:
p
p
x2 + y 2
r = x2 + y 2 + z 2 , θ = arctan
z
(z > 0),
φ = arctan
y
x
(x > 0).
Dies ergibt
d3 r = r2 sin θ dr dθ dφ
für das infinitesimale Volumenelement dV ≡ d3 r in Kugelkoodinaten.
Mit der Definition
∂~r/∂ζ
,
ζ ∈ {r, θ, φ}
|∂~r/∂ζ|
ergeben sich folgende orthogonale Einheitsvektoren in Kugelkoordinaten:
~eζ :=
~er = (sin θ cos φ, sin θ sin φ, cos θ),
~eθ = (cos θ cos φ, cos θ sin φ, − sin θ),
~eφ = (− sin φ, cos φ, 0) .
Ist die skalare Funktion f und für n = 3 die Vektorfunktion F~ aus Abschnitt
1 in Kugelkoordinaten gegeben, so ergeben sich für die Differenzialoperatoren
in Kugelkoodinaten:
• Gradient:
~ = ~er ∂f + ~eθ 1 ∂f + ~eφ 1 ∂f ,
∇f
∂r
r ∂θ
r sin θ ∂φ
3
• Divergenz:
~ · F~ =
∇
1
∂
1 ∂Fφ
1 ∂ 2 r Fr +
(sin θFθ ) +
,
2
r ∂r
r sin θ ∂θ
r sin θ ∂φ
• Rotation:
1
∂
∂Fθ
1 ∂Fr 1 ∂
(sin θFφ ) −
+ ~eθ
−
(rFφ )
r sin θ ∂θ
∂φ
r sin θ ∂φ
r ∂r
∂
∂Fr
1
(rFθ ) −
,
+~eφ
r ∂r
∂θ
~ × F~ = ~er
∇
• Laplace-Operator:
1 ∂
∂ 2f
1
∂
∂f
1
2 ∂f
4f = 2
.
r
+ 2
sin θ
+ 2 2
r ∂r
∂r
r sin θ ∂θ
∂θ
r sin θ ∂φ2
Dabei sind bei der Divergenz und Rotation die Komponenten Fr , Fθ und Fφ
von F~ in Kugelkoordinaten durch die Linearkombination
F~ (~r ) = Fr (r, θ, φ)~er (r, θ, φ) + Fθ (r, θ, φ)~eθ (r, θ, φ) + Fφ (r, θ, φ)~eφ (r, θ, φ)
festgelegt.
Bemerkung zum Winkel φ in Zylinder- und Kugelkoordinaten:
Im Tafelbild zur Vorlesung Mathematische Rechenmethoden 2“ wurde die Be”
zeichnung ϕ statt φ für diesen Winkel benutzt.
Literatur:
• K-H. Goldhorn, H.-P. Heinz: Mathematik für Physiker 1. (Springer)
• W. Greiner: Theoretische Physik Band 1. (Verlag Harri Deutsch)
• John David Jackson: Klassische Elektrodynamik. (de Gruyter)
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