5 Generalisierte Koordinate: x5

Bewegung mit Freiheitsgrad f = 1
Freie Koordinaten (s. Skizze): 6
1, 2 , 3 , 4 , x4 , x5
Geometrische Bedingungen: 5
r1 1  r21 2
r23 2  r32 3
r3 3  x4
x4  r4 4
x 4  x5
Generalisierte Koordinate: x5
x
x
r r x
1  21 32 5  3  4 5  6 5
r1 r23 r3
2r
r
(1)
2 
r32 x5
x
x
4 5 2 5
r23 r3
2r
r
(2)
3 
x5 1 x5

r3 2 r
(3)
4 
x5 x5

r4
r
(4)
x 4  x5
(5)
weitere Lösung nach:

Prinzip von D'ALEMBERT:
S1 :
1  0
M A  FT 12 r1  J1 
(6)
S2 :
 2  0
FT 12 r21  FT 23 r23  J2 
(7)
S3 :
3  0
FT 23 r32  FS r3  J3 
(8)
A4 :
 FS  FSt  m4 g sin   m4 x4  r4  J 4  4  0
(9)
:
FSt  FT 5  m5 g sin   m5 x5  0
(10)
:
FN 5  m5 g cos 
(11)
FT 5   FN 5
(12)
(8) und (7) in (6):
MA
r
r
r21
r
1  FS 3 r23  J3 23 
3  J2 
 2  0
 J1 21 
r1
r1
r32
r32
(6 ')
(11) und (12) in (10):
FSt   m5 g cos   m5 g sin   m5 x5  0
(10 ')
(6'), (10') und (9) mit gegebenen Werten:
r
1  FS  2 m r 2 
3  6 m r 2 
 2  0
3 MA  6 m r 2 
2
FSt   6 m g cos   6 m g sin   6 m x5  0
 4  0
FS  FSt  2 m g sin   2 m x4  2 m r 
Generalisierte Koordinate in entstandenes Gleichungssystem:
MA
1
 36 m x5  FS  m x5  12 m x5  0
r
2
FS  FSt  2 m g sin   4 m x5  0
FSt   6 m g cos   6 m g sin   6 m x5  0
3
Lösung des Gleichungssystems:
x5 

1
18
 MA  4
 
 m r   3 sin    cos   g 

 

FSt 
1 M A  17
50


 cos  
sin   m g
3 r
9
 3

FS 
5 M A  196


sin   9  cos   m g
9 r
 27

LAGRANGEsche Gleichungen 2. Art

 T 
T
 Q5
   
 x5  x5
W  Q5 x5
1
J1  12  J 2  22  J3  32  J 4  24  m4 x 42  m5 x 52
2
W  M A 1  m4 g sin  x 4  m5 g sin  x5   m5 g cos  x5
T 


T und W mit generalisierter Koordinate:
J
J
1
1 J3 J 4

36 21  4 22 
 2  m4  m5  x52

2
2
4 r
r
r
r

M
W  A 6 x5   m4 sin   m5 sin    m5 cos   g x5
r
T 

 T  
J1
J 2 1 J3 J 4

 2  m4  m5  x5
     36 2  4 2 
2
4 r
r
r
r

 x5  
T
0
x5
MA
x5   m4 sin   m5 sin    m5 cos   g x5
r
M
W
Q5 
 6 A   m4 sin   m5 sin    m5 cos   g
x5
r
W  6
J1
J 2 1 J3 J 4
MA


 36 2  4 2  4 2  2  m4  m5  x5  6 r   m4 sin   m5 sin    m5 cos   g
r
r
r
r


M
6 A   m4 sin   m5 sin    m5 cos   g
r
x5 
J
J
1 J3 J 4
36 21  4 22 

 m4  m5
4 r2 r2
r
r
1  MA  4
 
x5 
  sin    cos   g 

18  m r  3
 
Seil- und Stabkraft (innere Kräfte) lassen sich nach dieser Methode nicht
ermitteln.
Um die Masse m5 aus der Ruhe heraus zu beschleunigen, muss deren Beschleunigung größer Null sein.
Außerdem ist der Gleitreibungskoeffizient durch den (größeren) Haftreibungskoeffizienten zu ersetzen.
4

M A   sin   0 cos   m g r
3


Download Report