Drehimpuls-Operator - TU Bergakademie Freiberg

Institut für Theoretische Physik
WS 2006
TU Bergakademie Freiberg
Kugelkoordinaten − Drehimpuls- und Laplace-Operator
• Kugel-Koordinaten
(x, y, z) => (r, ϑ, ϕ)
x = r sin ϑ cos ϕ
y = r sin ϑ sin ϕ
z = rqcos ϑ
r =
x2 + y 2 + z 2
ϑ
=
ϕ
=
z
arccos √ 2
x + y2 + z2
y
arctan
x
!
• Die Drehimpulsoperator-Komponenten in kartesischen Koordinaten lauten:
!
h̄
∂
∂
Lx = ypz − zpy =
y
−z
i
∂z
∂y
!
h̄
∂
∂
Ly = zpx − xpz =
z
−x
i
∂x
∂z
!
∂
∂
h̄
x
−y
Lz = xpy − ypx =
i
∂y
∂x
Für den Übergang zu Kugelkoordinaten müssen folglich die partiellen Ableitungen
wie folgt ersetzt werden (Kettenregel):
∂
∂r ∂
∂ϑ ∂
∂ϕ ∂
=
+
+
∂x
∂x ∂r ∂x ∂ϑ ∂x ∂ϕ
∂
∂r ∂
∂ϑ ∂
∂ϕ ∂
=
+
+
∂y
∂y ∂r ∂y ∂ϑ ∂y ∂ϕ
∂r ∂
∂ϑ ∂
∂ϕ ∂
∂
=
+
+
∂z
∂z ∂r ∂z ∂ϑ ∂z ∂ϕ
Dabei gilt es zu beachten:
∂r
∂x
∂ϑ
∂x
∂ϕ
∂x
x
= sin ϑ cos ϕ
r
cos ϑ cos ϕ
=
r
sin ϕ
= −
r sin ϑ
=
∂r
∂y
∂ϑ
∂y
∂ϕ
∂y
y
= sin ϑ sin ϕ
r
cos ϑ sin ϕ
r
cos ϕ
r sin ϑ
=
=
=
1
∂r
∂z
∂ϑ
∂z
∂ϕ
∂z
=
z
r
= −
=
0
= cos ϑ
sin ϑ
r
Institut für Theoretische Physik
WS 2006
TU Bergakademie Freiberg
Einsetzen führt zu den Formeln
∂
cos ϑ cos ϕ ∂
sin ϕ ∂
∂
= sin ϑ cos ϕ +
−
∂x
∂r
r
∂ϑ r sin ϑ ∂ϕ
∂
∂
cos ϑ sin ϕ ∂
cos ϕ ∂
= sin ϑ sin ϕ +
+
∂y
∂r
r
∂ϑ r sin ϑ ∂ϕ
∂
z
∂
sin ϑ ∂
=
= cos ϑ −
∂z
r
∂r
r ∂ϑ
so daß die kartesischen Drehimpulskomponenten, ausgedrückt in sphärischen Koordinaten (Kugelkoordinaten), die folgende Gestalt erhalten:
Lx
Ly
Lz
h̄
∂
∂
=
− sin ϕ
− cot ϑ cos ϕ
i
∂ϑ
∂ϕ
!
h̄
∂
∂
=
cos ϕ
− cot ϑ sin ϕ
i
∂ϑ
∂ϕ
!
h̄ ∂
=
i ∂ϕ
!
Es ist wichtig, zu bemerken, daß nur noch Winkelkoordinaten in allen Drehimpulskomponenten enthalten sind! Das gilt dann natürlich auch für das Quadrat des
Drehimpulsvektor-Operators:
h̄2
∂
∂
∂2
=− 2
sin ϑ
sin ϑ
+
∂ϑ
∂ϑ
∂ϕ2
sin ϑ
"
~2
2
2
L = L x + Ly + Lz
2
!
#
Benutzt man obige Ausdrücke der kartesischen partiellen Ableitungen, so läßt sich
auch der Laplace-Operator in sphärischen Koordinaten ausdrücken:
∂2
∂2
1 ∂
∂2
2 ∂
+
+
=
∆=
r
∂x2 ∂y 2 ∂z 2
r2 ∂r
∂r
!
1
∂
∂
∂2
+ 2 2
sin ϑ
sin ϑ
+
∂ϑ
∂ϑ
∂ϕ2
r sin ϑ
"
!
#
Der Zusammenhang zwischen beiden quadratischen Differentialoperatoren ist offensichtlich. Man kann ihn zum Beispiel wie folgt darstellen:
!
~2
1 ∂
L
2 ∂
∆= 2
r
− 2 2
r ∂r
∂r
r h̄
Für den Operator der kinetischen Energie eines Teilchens der Masse m erhält man
schließlich:
!
~2
h̄2
L
h̄2 ∂
∂
T =−
∆=
−
r2
2m
2mr2 2mr2 ∂r
∂r
Damit ist sofort klar, daß in einem Zentralfeld mit dem Potential U (r) der Hamiltonoperator H = T + U (r) mit dem Quadrat des Drehimpulsoperators, und da
dieser mit Lz vertauschbar ist, auch mit Lz kommutiert.
Es gilt also in einem Zentralkraftfeld
h
i
~ 2 = 0 und [H, Lz ] = 0.
H, L
2

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