Blatt 5 - Physics of Complex Biosystems

Prof. U. Gerland
Theory of Complex Biosystems
Physik Department, TUM
Statistische Mechanik und Thermodynamik (4A)
WS 2015/16, Blatt 5
(09.11.15)
Aufgabe 1: Stirling-Formel
Es gibt viele Wege die stirlingsche Näherung für log(n!) herzuleiten. Hier sollen Sie nun einen
nachvollziehen:
R∞
(a) Zeigen Sie zunächst, dass n! = 0 tn e−t dt.
R
Hinweis: Z.B. partielle Integration oder nutzen Sie (−∂/∂ζ)n e−ζt dt.
(b) Durch geschickte Umparametrisierung von t erhält man (zeigen!)
Z ∞
e−n[t−log(1+t)] dt.
n! = nn e−n Rn , wobei Rn = n
−1
(c) Um Rn zu berechnen, kann man die Sattelpunkts-Approximation (auch Laplace Methode genannt) benutzten:
Z
b
e
−nf (t)
−nf (t0 )
Z
∞
dt ≈ e
e−nf
00
(t0 )(t−t0 )2 /2
dt
−∞
a
wobei f (t) eine Funktion mit globalem Minimum bei t0 ∈ (a, b) ist und die Näherung
für große n gilt. Leiten Sie obige Näherung her und wenden Sie sie auf Rn an, um
log(n!) ≈ n log n − n +
1
log(2πn)
2
zu zeigen.
Aufgabe 2: Ideales Gas im kanonischen Ensemble
Betrachten Sie ein ideales Gas aus N nicht-wechselwirkenden, klassischen, ununterscheidbaren
Teilchen, die keine inneren Freiheitsgrade besitzen, im Volumen V .
(a) Berechnen Sie die kanonische Zustandssumme
Z
Z(T, V, N ) =
e
−βH
Z Z
dΓ =
e−β
P
|pi |2
2m
d3N q d3N p
h3N N !
√
(Ergebnis: ( NVλ3 )N eN mit λ = h/ 2πmkT )
(b) Zeigen Sie, dass die Entropie S(T, V, N ) =
(c) Berechnen Sie die mittlere Energie hEi =
(d) Berechnen Sie den Druck p(T, V, N ) =
gleichung.
∂F (T,V,N )
∂T
R
−βH
dΓ
RHe
.
e−βH dΓ
∂F (T,V,N )
∂V
1
eine extensive Größe ist.
und damit die thermische Zustands-
Aufgabe 3: Atmosphärischer Druck
Betrachten Sie ein ideales Gas, das sich in einem unendlichen hohen Zylinder des Querschnitts
A im Schwerefeld der Erde befindet. Die potentielle Energie eines Teilchens in der Höhe z im
Schwerfeld sei mgz. Benutzen Sie im Folgenden die Dichte (Teilchenzahl pro Volumen) in der
Höhe z,
N
1 X
ρ(z) =
δ(z − zi )
A i=1
um den atmosphärischen Druck zu bestimmen. Berechnen Sie
N
A
(a) die kanonische Zustandssumme (Zwischenergebnis: N1 ! λ3 βmg
),
(b) den Druck in der Höhe h, indem Sie
Z
∞
hρ(z)imgdz,
p(h) =
h
definieren, wobei h...i den Erwahrtungwert im kanonischen Ensemble darstellt,
(c) den mittleren Abstand hzi eines Sauerstoffmoleküls bzw. eines Heliumatoms von der
Erdoberfläche bei 0◦ C,
p
(d) die Standardabweichung ∆z = hz 2 i − hzi2 für die in Teil (c) genannten Teilchen.
Aufgabe 4: Tonks Gas
Wir betrachten ein eindimensionales System der Länge L, gefüllt mit N ununterscheidbaren
Teilchen mit Länge a und Masse m. Die Teilchen sind hart, d.h. das Interaktionspotential ist
gegeben durch
(
0,
|xi − xj | ≥ a
ϕ(xi , xj ) =
(1)
∞,
|xi − xj | < a
Externes Potential und Hamiltonfunktion sind wie folgt definiert:
(
0,
a/2 < xi < L − a/2
u(xi ) =
∞,
sonst
X
X
p2
H=
ϕ(xi , xj ) +
u(xi ) + i
2m
i
(2)
(3)
i6=j
(a) Zeigen √
Sie, dass die kanonische Zustandssumme Z(T, L, N ) =
λ = h/ 2πmkB T .
(L−N a)N
N !λN
ist. Hierbei gilt
Hinweis: Bei der Integration über die Position der Teilchen können Sie x1 < x2 <
... < xN annehmen, sofern Sie die Zustandssumme um die Anzahl aller möglichen Anordnungen korrigieren. Finden Sie anschließend eine Substitution yi (xi , i), die die Ortsintegration vereinfacht. Alternativ benutzen Sie den Hinweis von Aufgabe 4 auf Blatt
2.
(b) Berechnen Sie mit Hilfe der freien Energie F (T, L, N ) den Druck p(T, L, N ) und das
chemische Potential µ(T, L, N ).
2

Download Report