Handout

Funktionsbegriff
Differenzialrechnung
Anwendungen
Funktionen mehrerer Variabler
Fakultät Grundlagen
Juli 2015
Fakultät Grundlagen
Funktionen mehrerer Variabler
Funktionsbegriff
Differenzialrechnung
Anwendungen
Übersicht
1
Funktionsbegriff
Beispiele
Darstellung
Schnitte
2
Differenzialrechnung
Partielle Ableitungen
Tangentialebene
Totales Differenzial, Richtungsableitung
3
Anwendungen
Fehlerrechnung
Lokale Extrema ohne Nebenbedingungen
Lokale Extrema mit Nebenbedingungen
Fakultät Grundlagen
Funktionen mehrerer Variabler
Folie: 2
Funktionsbegriff
Differenzialrechnung
Anwendungen
Beispiele
Darstellung
Schnitte
Beispiel: Temperaturverteilung im Raum
Physikalischen, technischen und wirtschaftwissenschaftlichen
Funktionen hängen häufig von mehreren Variablen ab. Z. B.
Temperatur hängt von der Stelle im Raum ab: T = T (x, y , z),
oder
Temperatur hängt von der Stelle im Raum und von der Zeit ab:
T = T (x, y , z, t).
Darstellung durch eine Tabelle (Messwerte):
x
y
z
T
0
0
0
20,9◦
1
0
0
20,8◦
0
1
1
21◦
1
4
4
21,7◦
10
2
4
21,5◦
T = T (x, y , z).
Anhand der Tabelle kann man etwa eine Wärmequelle ermitteln.
Fakultät Grundlagen
Funktionen mehrerer Variabler
Folie: 3
Funktionsbegriff
Differenzialrechnung
Anwendungen
Beispiele
Darstellung
Schnitte
Beispiel: Landschaft
Höhe z des Geländes über dem Meeresspiegel ist eine Funktion des
Ortes:
z = h(x, y ).
Dieses Beispiel gibt uns viele Anhaltspunkte für die graphische
Darstellung. Es entspricht:
(x|y )
einem Punkt auf der Landkarte,
z
der Höhe über NN,
der Graph der Funktion h(x, y )
der Erdoberfläche.
Man spricht auch von einem Funktionsgebirge“.
”
Bei dieser Sprechweise ist aber zu beachten: Der Graph der
Funktion ist nur die Oberfläche des Gebirges. Wir werden daher
auch die Bezeichnung Gebirgsfläche“ gebrauchen.
”
Fakultät Grundlagen
Funktionen mehrerer Variabler
Folie: 4
Funktionsbegriff
Differenzialrechnung
Anwendungen
Beispiele
Darstellung
Schnitte
Veranschaulichung von Funktionen
eine Variable
x 7→ f (x) oder y = f (x)
D(f ) ⊂ IR; Darstellung auf einer Achse:
x–Achse.
zwei Variablen
(x, y ) 7→ f (x, y ) oder z = f (x, y )
D(f ) ⊂ IR2 ; Darstellung in einer Ebene:
(x, y )−Ebene
z
6
y
6
y = f (x)
s







f (x)







s
x
pp
x
Graph: mehrere Punkte,
i. Allg. eine Kurve
Fakultät Grundlagen
x
z = f (x, y )
r









f (x, y )
H

HH 


ppp


p p p H

pp H
j
pH
p p rp p
y
(x, y )
Graph: Punkte über der (x, y )−Ebene,
i. Allg. eine Fläche im Raum
Funktionen mehrerer Variabler
Folie: 5
Funktionsbegriff
Differenzialrechnung
Anwendungen
Beispiele
Darstellung
Schnitte
Kegel
z=f(x,y)
6
5
4
z
Kegel im Schrägbild:
Darstellung über Schnittkurven
Von besonderer Bedeutung sind die
Schnitte von Ebenen parallel zur (x, y )Ebene mit dem Funktionsgebirge“.
”
Man erhält die sogenannten Höhenlinien.
Deren Projektion auf die (x, y )-Ebene
nennt man Isoquanten.
y
3
2
1
0
4
2
4
2
0
0
−2
y
−4
−2
−4
x
Isoquanten
z
Höhenlinie
x
x,y
Fakultät Grundlagen
Funktionen mehrerer Variabler
Folie: 6
Funktionsbegriff
Differenzialrechnung
Anwendungen
Partielle Ableitungen
Tangentialebene
Totales Differenzial, Richtungsableitung
Partielle Ableitung I
z
z = f (x, y )
y = y0
y
x
Durch Festhalten einer Variablen entsteht eine Funktion
von einer Veränderlichen. Diese
Funktion einer Variablen wird
mit den Mitteln der Differentialrechnung untersucht.
Wenn dieser Grenzwert existiert, spricht man von der
partiellen Ableitung fx (x0 , y0 ).
∂f auch:
= fx (x0 , y0 )
∂x (x0 ,y0 )
f (x0 + h, y0 ) − f (x0 , y0 )
lim
= fx (x0 , y0 )
h→0
h
Fakultät Grundlagen
Graphisch: Steigung des Graphen
von z
=
f (x, y0 ) im Punkt
(x0 , f (x0 , y0 )).
Funktionen mehrerer Variabler
Folie: 7
Funktionsbegriff
Differenzialrechnung
Anwendungen
Partielle Ableitungen
Tangentialebene
Totales Differenzial, Richtungsableitung
Partielle Ableitung II
Analog:
∂f f (x0 , y0 + h) − f (x0 , y0 )
= fy (x0 , y0 ) =
lim
h→0
h
∂y (x0 ,y0 )
Graphisch: Steigung des Graphen von
z = f (x0 , y ) im Punkt (y0 , f (x0 , y0 )).
Die Ausdrücke fx (x, y ), fy (x, y ) heißen partielle Ableitungen oder
auch Ableitungsfunktionen (vgl. Ableitung an der Stelle x0 : f 0 (x0 )
und Ableitungsfunktion f 0 (x)).
Die Schreibweise ∂f soll andeuten, dass f nicht nur von der
∂x
Variablen x abhängt, sondern noch von mehr Variablen.
Beim Berechnen der partiellen Ableitungen sind die üblichen
Ableitungsregeln (Produkt-, Quotienten-, Kettenregel usw.) zu
beachten!
Fakultät Grundlagen
Funktionen mehrerer Variabler
Folie: 8
Funktionsbegriff
Differenzialrechnung
Anwendungen
Partielle Ableitungen
Tangentialebene
Totales Differenzial, Richtungsableitung
Partielle Ableitung (Beispiel)
(f (x) · g (x))0
0
f (x)
g (x)
Ableitungsregeln in IR1 :
0
(f (g (x)))
=
f 0 (x) · g (x) + f (x) · g 0 (x)
=
f (x)0 · g (x) − f (x) · g 0 (x)
g 2 (x)
=
f 0 (g (x)) · g 0 (x)
2
f (x, y ) =
ey · sin(x · y )
1 + x2 + y2
2
fx (x, y ) =
2
ey · cos(x · y ) · y · (1 + x 2 + y 2 ) − 2x · ey · sin(x · y )
(1 + x 2 + y 2 )2
h 2
i
2
ey · 2y · sin(x · y ) + ey · cos(x · y ) · x · (1 + x 2 + y 2 )
fy (x, y ) =
(1 + x 2 + y 2 )2
...
2
...
−2y · ey · sin(x · y )
(1 + x 2 + y 2 )2
Fakultät Grundlagen
Funktionen mehrerer Variabler
Folie: 9
Funktionsbegriff
Differenzialrechnung
Anwendungen
Partielle Ableitungen
Tangentialebene
Totales Differenzial, Richtungsableitung
Partielle Ableitungen höherer Ordnung
Die Funktionen fx (x, y ), fy (x, y ) lassen sich wieder als
Funktionen von zwei Variablen interpretieren. Sie können dann
nochmals nach x bzw. y partiell differenziert werden.
2
fxx = ∂ f2 ist die partielle Ableitung der Funktion fx nach x.
∂x
Analog erhält man fxy , fyy , fxxx , . . .
Problem: Ergibt sich bei fxy und fyx dasselbe?
Man kann zeigen, dass dies bei den in der Praxis auftretenden
Funktionen der Fall ist (Satz von Schwarz).
f (x, y )
fx (x, y )
fy (x, y )
fyx (x, y )
=
=
=
=
x · sin(x · y )
sin(x · y ) + y · x · cos(x · y )
x 2 · cos(x · y )
2x · cos(x · y ) − x 2 · y · sin(x · y ) = fxy (x, y )
Fakultät Grundlagen
Funktionen mehrerer Variabler
Folie: 10
Funktionsbegriff
Differenzialrechnung
Anwendungen
Partielle Ableitungen
Tangentialebene
Totales Differenzial, Richtungsableitung
Tangente; Linearisierung
f (x) ≈ f (x0 ) + f 0 (x0 ) · (x − x0 )
|
{z
}
Tangentengleichung
Eigenschaften:
1
Der Punkt (x0 |f (x0 )) liegt
auf der Geraden.
2
Die Steigung der Geraden
stimmt mit der Ableitung der
Funktion im Punkt x0 überein.
y − f (x0 )
0
x − x0 = f (x0 )
Fakultät Grundlagen
y
y = f (x)
t
f (x0 )
x
x0
Funktionen mehrerer Variabler
Folie: 11
Funktionsbegriff
Differenzialrechnung
Anwendungen
Partielle Ableitungen
Tangentialebene
Totales Differenzial, Richtungsableitung
Tangentialebene; Linearisierung
f (x, y ) ≈ f (x0 , y0 ) + fx (x0 , y0 ) · (x − x0 ) + fy (x0 , y0 ) · (y − y0 ) = z
|
{z
}
Tangentialebene
z
z = f (x, y )
Bedingungen:
1
Der Punkt (x0 |y0 |f (x0 , y0 ))
liegt auf der Ebene.
2
Die beiden partiellen
Ableitungen von Fläche und
Ebene stimmen im Punkt
(x0 |y0 ) überein.
Et
y
(x0 |y0 )
x
Fakultät Grundlagen
Funktionen mehrerer Variabler
Folie: 12
Funktionsbegriff
Differenzialrechnung
Anwendungen
Partielle Ableitungen
Tangentialebene
Totales Differenzial, Richtungsableitung
Totales Differenzial
∆f = f (x0 +dx, y0 +dy ) − f (x0 , y0 ) ≈ fx (x0 , y0 ) · dx + fy (x0 , y0 ) · dy
|
{z
}
df
Der Funktionszuwachs ∆f wird z
durch die Veränderung des
Wertes auf der Tangentialebene
z = f (x, y )
∆f
approximiert (Linearisierung).
Et
Dieser Zuwachs ergibt sich durch
fy dy
df
Multiplikation der Veränderung
dx bzw. dy mit den partiellen
fx dx
y0 + dy
Ableitungen
fx (x0 , y0 )
bzw.
y
fy (x0 , y0 ).
y0
df = fx · dx + fy · dy
x0
df bzw. dz heißt totales Differenzial der Funktion f (x, y ).
Fakultät Grundlagen
x
x0 + dx
Funktionen mehrerer Variabler
Folie: 13
Funktionsbegriff
Differenzialrechnung
Anwendungen
Partielle Ableitungen
Tangentialebene
Totales Differenzial, Richtungsableitung
Richtungsableitung
dz = fx (x0 , y0 ) · dx + fy (x0 , y0 ) · dy =
{z
}
|
Zuwachs auf Tangentialebene
fx
fy
a1
·
a2
z
f x a1 · cos ϕ
·
=
fy a2 dz
Gilt |~a| = 1, so stellt dz die Steigung auf der Tangentialebene in
Richtung ~a dar.
Diese
aus, wenn
fällt maximal
fx
a1
k
fy
a2
Richtung des stärksten Anstiegs!
Fakultät Grundlagen
f y · a2
fx · a1
y
y0 + a2
a2
y0
~
a
x
a1
x0
Funktionen mehrerer Variabler
x0 + a1
Folie: 14
Funktionsbegriff
Differenzialrechnung
Anwendungen
Partielle Ableitungen
Tangentialebene
Totales Differenzial, Richtungsableitung
Richtungsableitung, Gradientenvektor
dz = fx (x0 , y0 ) · dx + fy (x0 , y0 ) · dy =
{z
}
|
Zuwachs auf Tangentialebene
fx
fy
a1
·
a2
z
Man nennt den Vektor der partiellen Ableitungen auch Gradientenvektor:
fx
grad f = ∇f =
fy
Richtungsableitung:
∂ f = fx
· ~a
∂~a
|~a|
fy
dz
f y · a2
fx · a1
y
y0 + a2
Anstieg in Richtung ~a auf Et
Fakultät Grundlagen
a2
y0
~
a
x
a1
x0
Funktionen mehrerer Variabler
x0 + a1
Folie: 15
Funktionsbegriff
Differenzialrechnung
Anwendungen
Partielle Ableitungen
Tangentialebene
Totales Differenzial, Richtungsableitung
Tangentialebene, Richtungsableitung; Beispiel
(1|1)
p
√
2
2
f (x, y ) =
6 − x + 2y
7
x
6−x 2 +2y 2
√ 2y
6−x 2 +2y 2
− √17
fx (x, y ) = − √
fy (x, y ) =
∇f =
fx
fy
=
− √17
z
Et
√2
7
!
y
√2
7
∇f
Richtungsableitung parallel zur 1.
(x0 |y0 )
~
a
1
x
Winkelhalbierenden: ~a = √12
1
Tangentialebene
∂f = ∇f · ~a
√
∂~a
! z − 7 = − √17 (x − 1) + . . .
1
√
− 7
1
= √12
= √114
√2 (y − 1)
√2
1
7
7
Fakultät Grundlagen
Funktionen mehrerer Variabler
Folie: 16
Funktionsbegriff
Differenzialrechnung
Anwendungen
Fehlerrechnung
Lokale Extrema ohne Nebenbedingungen
Lokale Extrema mit Nebenbedingungen
Fehlerrechnung; absolut
Volumen eines Kreiszylinders mit Radius r und Höhe h :
V = f (r , h) = π · r 2 · h
Der Radius r = 10 cm werde um dr = 0.2 cm und die Höhe
h = 12 cm werde um dh = 0.5 cm verändert. Zur Berechnung des
Differenzials bestimmen wir die Ableitungen im Punkt (10, 12).
fr (r , h) = 2πrh
fh (r , h) = πr 2
fr (10, 12) = 240π
fh (10, 12) = 100π
Damit erhält man für das totale Differenzial:
∆V ≈ dV = fr (10, 12)·dr +fh (10, 12)·dh = 240π·0.2+100π·0.5 = 98π
Für den exakten Zuwachs ∆V errechnen wir:
∆V = f (10.2, 12.5) − f (10, 12) = 1300.5π − 1200π = 100.5π
Fakultät Grundlagen
Funktionen mehrerer Variabler
Folie: 17
Funktionsbegriff
Differenzialrechnung
Anwendungen
Fehlerrechnung
Lokale Extrema ohne Nebenbedingungen
Lokale Extrema mit Nebenbedingungen
Fehlerrechnung; relativ
Häufig interessiert nur die relative Veränderung des Funktionswerts
bei einer relativen Veränderung der Eingangsgrößen.
f (x, y ) · dx + fy (x, y ) · dy
df
= x
f (x, y )
f (x, y )
y · fy (x, y ) dy
x · fx (x, y ) dx
=
· x +
· y
f (x, y )
f (x, y )
y · fy (x, y )
(partielle)
x · fx (x, y )
εf ,x (x, y ) =
; εf ,y (x, y ) =
f (x, y )
f (x, y )
Elastizitäten:
Beispiel: z = f (x, y ) = c · x α · y β
mit c ∈ IR; α, β > 0 .
Differenzial: dz = c · αx α−1 · y β · dx + βx α · y β−1 · dy .
εf ,x =
y · fy (x, y )
x · fx (x, y )
cαx α−1 y β · x
cβx α y β−1 · y
=
=α;
εf ,y =
=
=β
f (x, y )
f (x, y )
cx α y β
cx α y β
dz = α · dx + β · dy
z
x
y
Nimmt x um a % und y um b % zu, so wächst die Produktionsmenge z um ungefähr
(α · a + β · b) % .
Fakultät Grundlagen
Funktionen mehrerer Variabler
Folie: 18
Funktionsbegriff
Differenzialrechnung
Anwendungen
Fehlerrechnung
Lokale Extrema ohne Nebenbedingungen
Lokale Extrema mit Nebenbedingungen
Lokale Extrema ohne Nebenbedingungen
Lokale Extrema als Berggipfel und Talsenken einer Gebirgsfläche:
notwendige Bedingung:
fx (x, y ) = 0 ,
fy (x, y ) = 0
Dies ergibt zwei Gleichungen, aus denen die Kandidaten, die für
ein lokales Extremum in Frage kommen, ermittelt werden.
Sei (x0 , y0 ) ein Kandidat“. Ob dann ein lokales Extremum oder
”
ein Sattelpunkt vorliegt, ergibt sich aus1 :
fxx (x0 , y0 ) · fyy (x0 , y0 ) − (fxy (x0 , y0 ))2 < 0 ⇒ dann Sattelpunkt
fxx (x0 , y0 ) · fyy (x0 , y0 ) − (fxy (x0 , y0 ))2 > 0 ⇒ lokales Extremum
Ist dabei
fxx (x0 , y0 ) > 0
⇒
lokales Minimum
fxx (x0 , y0 ) < 0
⇒
lokales Maximum
Bei Funktionen einer Variablen war f 00 (x0 ) 6= 0 eine hinreichende
Bedingung für einen lokalen Extremwert.
1
Fakultät Grundlagen
Funktionen mehrerer Variabler
Folie: 19
Funktionsbegriff
Differenzialrechnung
Anwendungen
Fehlerrechnung
Lokale Extrema ohne Nebenbedingungen
Lokale Extrema mit Nebenbedingungen
Lokale Extrema ohne Nebenbedingungen; Beispiel
1 (x − y )2 − 1 y
f (x, y ) = ln(x + 1) − 10
5
1 − 1 (x − y )
fx (x, y ) = x +
1
5
1 (x − y ) − 1
fy (x, y ) = 5
5
⇒
1
1
x + 1 − 5 (x − y ) = 0 (1)
1 (x − y ) − 1 = 0 (2)
5
5
1 − 1 =0
(1) und (2) : x +
1
5
Ableitung
fxx (x, y )
Ausdruck
=
−
1
−1
5
(x + 1)2
fyy (x, y )
=
−1
5
fxy (x, y )
=
1
5
x = 4;
bei (4, 3)
6
− 25
1
−5
1
5
∆(4, 3) = fxx (4, 3) · fyy (4, 3) − (fxy (4, 3))2 =
Fakultät Grundlagen
in (2) :
y =3
Es ist also ∆(4, 3) > 0, d. h., es
liegt eine Extremum vor.
6 < 0 ist (4, 3)
Wegen fxx = − 25
eine Maximumstelle.
Das Maximum beträgt
7
f (4, 3) = ln 5 − 10
≈ 0.91
6 · −1 − 1 2 = 1
− 25
5
5
125
Funktionen mehrerer Variabler
Folie: 20
Funktionsbegriff
Differenzialrechnung
Anwendungen
Fehlerrechnung
Lokale Extrema ohne Nebenbedingungen
Lokale Extrema mit Nebenbedingungen
Lokale Extrema ohne Nebenbedingungen;
1 Variable
Zusammenstellung
2 Variablen
Funktion
f (x)
Ableitungen
f 0 (x)
erster Ordnung
Kandidaten für
f 0 (xE ) = 0
Extremstellen
Ableitungen
f 00 (x)
zweiter Ordnung
Entscheidungsf 00 (xE )
kriterium
∆(xE , yE ) = fxx (xE , yE ) · fyy (xE , yE )
− (fxy (xE , yE ))2
Maximum
f 00 (xE ) < 0
∆(xE , yE ) > 0 und fxx (xE , yE ) < 0
Minimum
f 00 (xE )
∆(xE , yE ) > 0 und fxx (xE , yE ) > 0
>0
f (x, y )
fx (x, y ), fy (x, y )
fx (xE , yE ) = 0
fy (xE , yE ) = 0
fxx (x, y ), fyy (x, y ), fxy (x, y )
Sattelpunkt
∆(xE , yE ) < 0
Fakultät Grundlagen
Funktionen mehrerer Variabler
Folie: 21
Funktionsbegriff
Differenzialrechnung
Anwendungen
Fehlerrechnung
Lokale Extrema ohne Nebenbedingungen
Lokale Extrema mit Nebenbedingungen
Lokale Extrema mit Nebenbedingungen
Bei vielen Anwendungen werden Extremwerte einer Funktion
f (x, y ) nicht unter allen Stellen (x, y ) des Definitionsgebiets
gesucht, sondern es ist zusätzlich eine Nebenbedingung zu erfüllen.
Bei der Veranschaulichung einer Funktion f (x, y ) als
Gebirgsfläche“ bedeutet das:
”
Die Nebenbedingung beschreibt eine Gebirgsstraße“. Es ist nicht
”
der Berggipfel“ gesucht, sondern der höchste Punkt der Straße“.
”
”
Bei der Suche nach Extrema unter Nebenbedingungen gibt es
zunächst die Möglichkeit, die Nebenbedingung nach einer
Variablen aufzulösen und dann in die Zielfunktion einzusetzen
(Eliminationsmethode). Daneben gibt es auch noch eine etwas
allgemeinere Strategie (Lagrange-Methode), die vor allem leicht
auf den Fall von mehr als zwei Variablen übertragbar ist.
Fakultät Grundlagen
Funktionen mehrerer Variabler
Folie: 22
Funktionsbegriff
Differenzialrechnung
Anwendungen
Fehlerrechnung
Lokale Extrema ohne Nebenbedingungen
Lokale Extrema mit Nebenbedingungen
Lokale Extrema mit Nebenbedingungen; Beispiel
Zylindrische Dose mit vorgegebenem Volumen,
Oberfläche soll minimal sein.
h
2πr 2
Oberfläche: O =
+ 2πr h = f (r , h),
r G
Nebenbedingung: πr 2 h = V0 = festes Volumen.
U
Auflösen nach einer Variablen: h = V02
πr
Dies in die f (r , h) einsetzen ergibt eine Funktion h Umfang U
von einer Variablen:
0
G
O = 2πr 2 + 2πr V02 = 2πr 2 + 2V
r = O(r )
πr
q
!
2V0 ⇔ r = 3 V0
dO = 2π 2r − 2V0 =
0
⇔
4πr
=
2π
dr
r2
r2
q
q
2
d O = 4π + 4V0 > 0 : r = 3 V0 , h = V0 = 3 4V0
π
2π
dr 2
r3
πr 2
lokales Minimum bei:
Fakultät Grundlagen
Funktionen mehrerer Variabler
Folie: 23
Funktionsbegriff
Differenzialrechnung
Anwendungen
Fehlerrechnung
Lokale Extrema ohne Nebenbedingungen
Lokale Extrema mit Nebenbedingungen
Lokale Extrema mit Nebenbedingungen; Lagrange
Lagranges Multiplikatormethode:
Die Funktion z = f (x, y )
soll maximal (minimal) werden unter Einhaltung einer
Nebenbedingung
g (x, y ) = 0.
Man bildet damit eine neue Funktion ( Lagrange-Funktion“)
”
F (x, y , λ) = f (x, y ) + λg (x, y )
(Funktion von drei Variablen). Notwendige Bedingung für ein
relatives Extremum der Funktion F (x, y , λ) ist
Fx = 0 :
Fy = 0 :
Fλ = 0 :
fx (x, y ) + λgx (x, y ) = 0,
fy (x, y ) + λgy (x, y ) = 0,
g (x, y ) = 0 Nebenbedingung!
Plausibilitätsprüfung für Extrema!
Fakultät Grundlagen
Funktionen mehrerer Variabler
Folie: 24
Funktionsbegriff
Differenzialrechnung
Anwendungen
Fehlerrechnung
Lokale Extrema ohne Nebenbedingungen
Lokale Extrema mit Nebenbedingungen
Lokale Extrema mit Nebenbedingungen; Lagrange, Beispiel
O = 2π r 2 + 2π r h = f (r , h) ;
π r 2 h − V0 = g (r , h) = 0
F (r , h, λ) = f (r , h) + λ · g (r , h) = 2π r 2 + 2π r h + λ π r 2 h − V0
!
Fr = 4π r + 2π h + λ 2π r h = 0
Fh = 2π r +
λ π r2
Fλ = π r 2 h − V0
(2a) in (1) : 4π r + 2π h − 4π h = 0
(1a) in (3):
q
V0 ,
2
π r 2r = V0 ⇒ r = 3 2π
q
q
V0 = 3 4V0
h = 2 3 2π
π
!
= 0
!
= 0
⇒
(1)
(2)
⇒
λ = − 2r (2a)
(3)
h = 2r (1a)
Nebenstehend die Gebirgsfläche“
”
und der Extrempunkt auf der
Gebirgsstraße“ für V0 = π .
”
Fakultät Grundlagen
Funktionen mehrerer Variabler
Folie: 25

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