Eine Glasmurmel auf einer schiefen Ebene

34. Österreichische Physikolympiade 2014 Experimentelle Klausur Mechanik: Lösungsvorschlag
Eine Glasmurmel auf einer schiefen Ebene ….
Eine Glasmurmel rollt oder rollt und gleitet eine schiefe Ebene hinab.
Die schiefe Ebene ist um den Winkel  gegen eine horizontale Ebene
geneigt. Dann trifft sie auf eine horizontale Tischplatte…..
Abb. 1
Teil 1: Lege die schiefe Ebene und den Glaswürfel auf den
Tisch.
Miss den Winkel  der Platte aus Blech gegen die
Tischplatte (siehe Abb. 2).
Abb. 2
 = 10° ± 0,5°
Positioniere die Glasmurmel an das obere Ende der
schiefen Ebene und lass sie los. Die Glasmurmel bewegt sich nach dem Verlassen der schiefen Ebene die Tischplatte
entlang. Bestimme experimentell möglichst genau die mittlere Translationsgeschwindigkeit der Glasmurmel parallel
zur Tischplatte (nach dem Verlassen der schiefen Ebene). Gib den absoluten und den relativen Fehler des
Messergebnisses an.
Weg in m
1,000±0,002
Zeit in s
1,44
Zeit (Mittelwert): t = 1,44 s
relativer Fehler (v-Messung): 2%
1,43
1,41
1,42
1,46
1,44
v = 0,696 m/s ± 0,014 m/s
1,45
1,42
1,43
1,46
Erstelle ein theoretisches Modell dieses Vorgangs, mit dem du die Geschwindigkeit der Murmel parallel zur
Tischplatte vorhersagen kannst. Gib den Wert dieser Geschwindigkeit an.
Bezeichnungen:
v0: Geschwindigkeit des Kugelmittelpunkts am Ende der Ebene
s: Länge der schiefen Ebene
h: „Tischhöhe“
g: Fallbeschleunigung
a: Beschleunigung des Kugelmittelpunktes auf der schiefen Ebene
I: Massenträgheitsmoment
R: Radius der Glasmurmel
v: Translationsgeschwindigkeit
: Winkelgeschwindigkeit
E: Energie
Abb. 3
Es gilt: tan10° = 0,1763; 3,5.f = 0,525. Die Kugel rollt ohne zu gleiten, da tan = 0,1763 ≤ 3,5f.
Am Ende der schiefen Ebene hat die Glasmurmel die Translationsgeschwindigkeit v in Richtung der schiefen Ebene.
Ihre Komponente in Richtung der horizontalen Ebene sei vx mit
Mag. Engelbert Stütz
[email protected]
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v x  v  cos 
(1) Außerdem gilt:
E pot  Ekin  Erot (2) (Energieerhaltung bei Vernachlässigung der Reibung)
(3) Die Rollbedingung ist erfüllt.
v  r
h  s  sin  (4) Die Stufe am Ende der schiefen Ebene ist im theoretischen Modell nicht zu berücksichtigen, da
beim „Hinabfallen“ über die Stufe vx nicht verändert wird.
Dann gilt:
mgh 
2
1 2 12
2
v
mv   mR 2  2 . Dabei ist I  mR 2 das Trägheitsmoment der Kugel.
5
2
25
R
Für die Geschwindigkeit v am unteren Ende der schiefen Ebene gilt:
Daraus erhält man für
v x  v  cos  : v x 
v
10
10
gh 
g  s  sin 
7
7
10
gs  sin   cos 
7
Für  = 10° und s = 0,2m erhält man: v x  0.694
m
.
s
Das ist in sehr guter Übereinstimmung mit dem Experiment. Die Übereinstimmung ist so gut, weil die
Modellannahmen gut erfüllt sind. Der hauptsächliche Messfehler steckt in den Zeitmessungen.
Teil 2: Baue die schiefe Ebene wie in Abb. 3 auf. Der Winkel  gegen die Tischplatte sollte zwischen 58° und 62°
liegen.
Miss den Winkel  der Platte aus Blech gegen die Tischplatte (siehe Abb. 1).
Führe jetzt das Experiment ähnlich wie im Teil 1 aus. Die Glasmurmel hat nachher eine komplizierte Bewegung auf
der Tischplatte (hüpfen, rollen, gleiten, …). Bestimme experimentell die mittlere Translationsgeschwindigkeit der
Glasmurmel parallel zur Tischplatte. Gib den statistischen Fehler des Messergebnisses an.
Erstelle ein theoretisches Modell dieses Vorgangs, mit dem du die Geschwindigkeit der Murmel in Richtung der
Tischplattenebene vorhersagen kannst. Vernachlässige in diesem Modell die Rollbewegung der Glasmurmel. Gib den
Wert dieser Geschwindigkeit an.
Am Ende der schiefen Ebene hat die Glasmurmel die Translationsgeschwindigkeit v in Richtung der schiefen Ebene.
Ihre Komponente in Richtung der horizontalen Ebene sei vx mit
v x  v  cos 
(1)
h  s  sin  (2) Die Stufe am Ende der schiefen Ebene ist im
Weg in m
1±0,002
theoretischen Modell nicht zu berücksichtigen, da beim
„Hinabfallen“ über die Stufe vx nicht verändert wird.
E pot  Ekin
(3) (Energieerhaltung bei Vernachlässigung der
Reibung; Berücksichtigung des Hinweises, dass die Kugel nur
gleitet.)
Daraus folgt: v 
2 gh . Für vx gilt dann:
vx  2 gs  sin   cos 
Für  = 60° und s = 0,2m erhält man: v x  1,31
Zeit in s
Zeit Mittelwert in s
1,27
1,23
1,22
1,19 relativer Fehler
1,24 (v-Messung)
1,20
5%
1,21 v = 0,81 m/s
1,22 ±Dv = 0,04 m/s
1,29
1,19
1,25
m
.
s
Das ist in schlechter Übereinstimmung mit dem Experiment. Die Abweichung ist so groß, weil die
Modellannahmen nicht erfüllt sind. Die Glasmurmel gleitet und rollt. Der hauptsächliche Messfehler
steckt in den Zeitmessungen bei der Handstoppung.
Mag. Engelbert Stütz
[email protected]
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Teil 3: Ermittle theoretisch, für welchen Winkel  gegen die horizontale ebene Tischplatte (siehe Abb. 1) die
Translationsgeschwindigkeit der Glasmurmel in Richtung der Tischplatte maximal wird.
Gib für diesen Fall den Winkel an, bei dem die Translationsgeschwindigkeit der Glasmurmel parallel zur Tischplatte
maximal wird.
Bestimme abschließend experimentell so genau wie möglich die mittlere Translationsgeschwindigkeit der
Glasmurmel für diesen ermittelten Winkel. (Die Murmel wird auch rollen. Das verändert das Ergebnis der
theoretischen Überlegungen nicht.) Gib zu deinen Ergebnissen auch den statistischen Fehler an. Erörtere eventuelle
systematische Fehler und ihren Einfluss auf das Ergebnis.
Um den Winkel  für die maximale Translationsgeschwindigkeit vx zu finden, setzt man
dv x
 0 . Aus den Überlegungen im Fall 1 und im Fall 2 kann man sehen, dass die
d
Translationsgeschwindikeit v am unteren Ende der schiefen Ebene proportional zu
sin  ist.
Für vx gilt also in jedem Fall v x  v cos   A sin  cos  . Dabei ist A ein Zahlenfaktor, der davon
abhängt, wie gut die Rollbedingung erfüllt ist.


Weg in m
1±0,002
d A sin   cos 
0
d
0,5  sin  
0,5
 cos 2   sin    0
1,5
0,5  cos 2   sin 2   0
1  sin 2   2 sin 2   0
1  3 sin 2   0  sin 2  
1
1
 sin   
3
3
Zeit in s
0,90
0,92
0,93
0,93
0,91
0,93
0,90
0,92
0,92
0,92
Zeit Mittelwert in s
0,92
relativer Fehler
(v-Messung)
2%
v = 1,09 m/s
±Dv = 0,02 m/s
   35
Die physikalisch mögliche Lösung ist für den gesuchten Winkel   35
Der ermittelte Wert vx =1,09 ± 0,02 m/s liegt nahe beim theoretischen Wert von 1,06 m/s. Dabei nimmt
man an, Glasmurmel nur rollt.
tan35° = 0,700. Wegen tan ≥ 3,5f gleitet und rollt sie. Es könnte auch sein, dass der Koeffizient f größer
als 0,15 ist.
Information:
Massenträgheitsmoment einer Kugel: I = 0,4 . m . R²
Hinweise:
Nimm an, dass die Translationsgeschwindigkeit der Murmel in Richtung der Tischplatten-Ebene sich nach dem
Auftreffen der Murmel auf der Tischplatte nicht verändert.
Nimm an, dass die Tischplatte eine horizontale Ebene ist.
Für tan≤ 3,5f rollt die Kugel ohne zu gleiten, für tan ≥ 3,5f gleitet (und rollt) sie.
Der Gleitreibungskoeffizient f zwischen Glasmurmel und der schiefen Ebene kann mit 0,15 angenommen werden.
Die Rollreibung kann in allen Teilen der Aufgabenstellung vernachlässigt werden.
Literaturangabe:
Gunnar Friege, Klaus Mie, Gunter Lind: Physik mit Pfiff; Aulis Verlag
Mag. Engelbert Stütz
[email protected]

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