5. Übungsblatt zur Vorlesung „Ebene Algebraische Kurven“

RWTH Aachen
Fachgruppe Mathematik
Mohamed Barakat und Sebastian Posur
Wintersemester 2015/16
5. Übungsblatt zur Vorlesung „Ebene Algebraische Kurven“
Wird besprochen am: 7. Januar, 14:15
Aufgabe 1 (Hessekurve). Es sei K = C. Bestimme alle Wendepunkte der folgenden
algebraischen Kurven C in P2 (K). Bestimme außerdem die Schnittmultiplizitäten
von C mit HC in diesen Wendepunkten.
(a) C = V(x30 + x31 + x32 ).
(b) C = V(x31 − x0 x22 ).
(c) C = V(x31 + x32 − x0 x1 x2 ).
Für die folgenden Aufgaben bitte die aktuellste Version des Skriptes benutzen.
Aufgabe 2 (Normalformen). Es sei K ein algebraisch abgeschlossener Körper der
Charakteristik 0.
(a) Finde eine Projektivität, welche die Kurve
V(x0 x1 x2 + x31 + x21 x2 + x1 x22 + x32 )
auf die Kurve V(x31 + x32 − x0 x1 x2 ) transformiert.
(b) Finde eine Projektivität, welche die Kurve
V(x0 x22 + x31 + x21 x2 + x1 x22 + x32 )
auf die Kurve V(x31 − x0 x22 ) transformiert.
(c) Bringe die folgende Kurve in Weierstraß Normalform. Ist sie glatt?
1
V(x30 + x20 x1 + x20 x2 + x0 x21 + x0 x1 x2 + x0 x22 + x31 )
2
Aufgabe 3 (Singuläre Kubiken). Es sei K ein algebraisch abgeschlossener Körper
der Charakteristik 0. Entscheide: Welche der folgenden Kurven lässt sich auf die
Neilsche Parabel transformieren, welche auf das Folium von Descartes?
(a) V(x30 − 2x20 x1 + 2x0 x21 − x0 x1 x2 + x21 x2 )
(b) V(−x30 + 3x20 x1 − 4x0 x21 + x31 + x21 x2 )
1

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