Inhalte Mathematische Grundlagen – Koordinatensysteme – Ebene und räumliche Koordinatentransformationen – Zentralperspektive HS BO – Lab. für Photogrammetrie: Ebene und räumliche Koordinatensysteme 1 Ebene Bildkoordinatentransformation Verschiebung (Translation) (2 Parameter): x, y T x‘, y‘ Über Translationen werden die ParallelVerschiebungen zweier ebener Koordinatensysteme beschrieben. HS BO – Lab. für Photogrammetrie: Ebene und räumliche Koordinatensysteme 2 Ebene Bildkoordinatentransformation Translationen: y‘ Y P x0 X‘ y0 X HS BO – Lab. für Photogrammetrie: Ebene und räumliche Koordinatensysteme 3 Ebene Bildkoordinatentransformation Translationen: x’ = a0 + x y’ = b0 + y Mit a0=x0 und b0=y0 folgt x, y T x‘, y‘ x’ = x0 + x y’ = y0 + y x0, y0 – Translationen HS BO – Lab. für Photogrammetrie: Ebene und räumliche Koordinatensysteme 4 Ebene Bildkoordinatentransformation Drehung (Rotation) (1 Parameter): x, y T x‘, y‘ Über die Rotation wird die gegenseitige Verdrehung zweier ebener Koordinatensysteme beschrieben. HS BO – Lab. für Photogrammetrie: Ebene und räumliche Koordinatensysteme 5 Ebene Bildkoordinatentransformation Rotation: Y P α HS BO – Lab. für Photogrammetrie: X Ebene und räumliche Koordinatensysteme 6 Ebene Bildkoordinatentransformation Rotation: x’ = a1*x - b1*y y’ = b1*x + a1*x x, y T x‘, y‘ Mit a1=cos α und b1= sin α folgt x’ = x*cos α - y*sin α y’ = x*sin α + y*cos α α – Drehwinkel HS BO – Lab. für Photogrammetrie: Ebene und räumliche Koordinatensysteme 7 Ebene Bildkoordinatentransformation Dreh-Verschiebung (3 Parameter): x, y T x‘, y‘ Die Dreh-Verschiebung beschreibt die Rotation und gleichzeitige Translation zweier ebener Koordinatensysteme. HS BO – Lab. für Photogrammetrie: Ebene und räumliche Koordinatensysteme 8 Ebene Bildkoordinatentransformation Dreh-Verschiebung: Y P x0 α y0 X HS BO – Lab. für Photogrammetrie: Ebene und räumliche Koordinatensysteme 9 Ebene Bildkoordinatentransformation Dreh-Verschiebung: x’ = a0 + a1*x - b1*y y’ = b0 + b1*x + a1*x Mit a0=x0 und b1= y0 sowie x, y T x‘, y‘ a1=cos α und b1= sin α folgt x’ = x0 + x*cos α - y*sin α y’ = y0 + x*sin α + y*cos α x0, y0 – Translationen α – Drehwinkel HS BO – Lab. für Photogrammetrie: Ebene und räumliche Koordinatensysteme 10 Ebene Bildkoordinatentransformation Ebene Helmerttransformation (4 Parameter): x, y T x‘, y‘ Die ebene Helmerttransformation dient der Transformation zweier ebener Koordinatensysteme mit 2 Verschiebungen 1 Drehwinkel und 1 Massstab HS BO – Lab. für Photogrammetrie: Ebene und räumliche Koordinatensysteme 11 Ebene Bildkoordinatentransformation Ebene Helmerttransformation: Y P x0 y0 α X HS BO – Lab. für Photogrammetrie: Ebene und räumliche Koordinatensysteme 12 Ebene Bildkoordinatentransformation Ebene Helmerttransformation: x’ = a0 + m*(a1*x - b1*y) y’ = b0 + m*(b1*x + a1*x) Mit a0=x0 und b1= y0 sowie x, y T x‘, y‘ a1=cos α und b1= sin α folgt x’ = x0 + m*(x*cos α - y*sin α) y’ = y0 + m*(x*sin α + y*cos α) x0, y0 α m – Translationen – Drehwinkel – Massstabsfaktor HS BO – Lab. für Photogrammetrie: Ebene und räumliche Koordinatensysteme 13 Ebene Bildkoordinatentransformation Ebene Affintransformation (6 Parameter): x, y T x‘, y‘ Die ebene Affintransformation dient der Transformation zweier ebener Koordinatensysteme mit 2 Verschiebungen 1 Drehwinkel 1 Scherungswinkel und 2 getrennten Massstäben HS BO – Lab. für Photogrammetrie: Ebene und räumliche Koordinatensysteme 14 Ebene Bildkoordinatentransformation Ebene Affintransformation: β Y P x0 y0 α X HS BO – Lab. für Photogrammetrie: Ebene und räumliche Koordinatensysteme 15 Ebene Bildkoordinatentransformation Ebene Affintransformation: x’ = a0 + a1*x + a2*y y’ = b0 + b1*x + b2*x Mit a0=x0 und b0=y0 folgt x, y T x‘, y‘ x’ = x0 + mx*x*cos α - my*y*sin (α+β) y’ = y0 + mx*x*sin α + my*y*cos (α+β) x0, y0 – Translationen α – Drehwinkel β – Scherungswinkel mx, my – Massstabsfaktoren für x und y HS BO – Lab. für Photogrammetrie: Ebene und räumliche Koordinatensysteme 16 Ebene Bildkoordinatentransformation Bilineare Transformation: Ist eine Erweiterung der Affintransformation um ein gemischtes Glied. x’ = a0 + a1*x + a2*y + a3*x*y y’ = b0 + b1*x + b2*x + b3*x*y Die bilineare Transformation wird z.B. bei der zwangsfreien Transformation und Interpolation von Vierecksmaschen genutzt (Réseaugitter, digitale Oberflächenmodelle). HS BO – Lab. für Photogrammetrie: Ebene und räumliche Koordinatensysteme 17 Ebene Bildkoordinatentransformation Polynomtransformation Mit Polynomen vom Grade n lassen sich nicht lineare Verformungen beschreiben. j n X = ∑∑ a ji * x j −i * y i j =0 i =0 n j Y = ∑∑ b ji * x j −i * y i j =0 i =0 mit n: Grad des Polynoms Bei n=1: Affintransformation HS BO – Lab. für Photogrammetrie: Ebene und räumliche Koordinatensysteme 18 Ebene Bildkoordinatentransformation Polynomtransformation Mit Polynomen vom Grade n lassen sich nicht lineare Verformungen beschreiben. x’ = a00 + a10*x + a11*y + a20*x2 + a21*x*y + a22*y2 y’ = b00 + b10*x + b11*y + b20*x2 + b21*x*y + b22*y2 Polynom mit n=2 HS BO – Lab. für Photogrammetrie: Ebene und räumliche Koordinatensysteme 19 Ebene Bildkoordinatentransformation Polynomtransformation Die Anzahl der zu bestimmenden Koeffizienten beträgt u=(n+1)*(n+2) Zur Bestimmung der u Koeffizienten sind mindestens u/2 Punkte notwendig. HS BO – Lab. für Photogrammetrie: Ebene und räumliche Koordinatensysteme 20 Ebene Bildkoordinatentransformation Projektivtransformation Die Projektivtransformation beschreibt die zentralprojektive Abbildung zweier ebener Koordinatensysteme aufeinander. O Sämtliche Abbildungsstrahlen durchlaufen geradlinig das Projektionszentrum O. HS BO – Lab. für Photogrammetrie: Ebene und räumliche Koordinatensysteme 21 Ebene Bildkoordinatentransformation Projektivtransformation Die Transformationsgleichung lautet: ao + a1 * x + a2 * y X= 1 + c1 * x + c2 * y O bo + b1 * x + b2 * y Y= 1 + c1 * x + c2 * y Zur Bestimmung der 8 Koeffizienten müssen 4 identische Punkte vorliegen, von denen nicht mehr als 3 auf einer Geraden liegen dürfen. HS BO – Lab. für Photogrammetrie: Ebene und räumliche Koordinatensysteme 22 Praktikum: Projektivtransformation Anwendung der Projektivtransformation Kubit Photoplan ist ein Beispiel für eine einfach zu bedienende Softwarelösung zur Erstellung digitaler maßstabsgerechter Darstellungen aus Fotos. Datengrundlage sind ein oder mehrere Messbilder bzw. Fotos eines Objektes, die auf zu definierende Objektebenen entzerrt werden. Die Software liefert die notwendigen Bilddaten und Geometrieinformationen zur Erstellung von Zeichnungen, Bildplänen oder digitalen 3D-Modellen mit weiterverarbeitenden s1 Programmen. T s2 s2 s1 HS BO – Lab. für Photogrammetrie: Ebene und räumliche Koordinatensysteme 23 Räumliche (3D-) Koordinatensysteme Die Auswertung (Punktbestimmung) in der Photogrammetrie erfolgt in räumlich kartesischen Koordinatensystemen. Z Y X HS BO – Lab. für Photogrammetrie: Ebene und räumliche Koordinatensysteme 24 Räumliche (3D-) Koordinatensysteme Liegen 3D-Punkte in einem Ausgangssystem vor und sind in ein Zielsystem zu transformieren, so werden hierfür 3DTransformationen genutzt. P(X,Y,Z) Z Y X HS BO – Lab. für Photogrammetrie: Ebene und räumliche Koordinatensysteme 25 Räumliche (3D-) Koordinatensysteme Die notwendigen Transformationsparameter setzen sich zusammen aus Translationen und Rotationen. P(X,Y,Z) Z κ Y ϕ Y0 X0 Z0 ω X HS BO – Lab. für Photogrammetrie: Ebene und räumliche Koordinatensysteme 26 Räumliche Drehungen Während in ebenen Transformationen die Rotationen um einen Drehpunkt definiert sind, werden räumliche Drehungen nacheinander um die drei Achsen des räumlichen Koordinaten-systems ausgeführt. HS BO – Lab. für Photogrammetrie: Ebene und räumliche Koordinatensysteme 27 Drehmatrix mit Eulerschen Winkeln 0 1 Drehung mit ω um die X-Achse: D (ω ,0,0) = 0 cos ω 0 sin ω cos ϕ Drehung mit ϕ um die Y-Achse: D (0,ϕ ,0) = 0 − sin ϕ Drehung mit κ um die Z-Achse: cos κ D(0,0,κ ) = sin κ 0 HS BO – Lab. für Photogrammetrie: 0 − sin ω cos ω 0 sin ϕ 1 0 0 cos ϕ − sin κ cos κ 0 0 0 1 Ebene und räumliche Koordinatensysteme 28 Drehung um die X-Achse HS BO – Lab. für Photogrammetrie: Ebene und räumliche Koordinatensysteme 29 Räumliche Drehungen Die Rotationsmatrizen sind orthonormal, d.h. R-1 = RT und R*RT = E Die räumliche Gesamtdrehung setzt sich aus hintereinander ausgeführten Einzeldrehungen zusammen. Die Drehreihenfolge ist nicht beliebig! HS BO – Lab. für Photogrammetrie: Ebene und räumliche Koordinatensysteme 30 Räumliche Drehungen Die Gesamtdrehung wird häufig um mitgedrehte Achsen in der Reihenfolge ω, ϕ, κ durchgeführt. Für die Darstellung der Koordinaten des Punktes P im gedrehten System xyz werden die Rotationsmatrizen in umgekehrter Reihenfolge miteinander multipliziert: x = RT * X mit RT = RT κ * RT ϕ * RT ω HS BO – Lab. für Photogrammetrie: Ebene und räumliche Koordinatensysteme 31 Räumliche Drehungen Die Transformation in das Zielsystem XYZ erfolgt mit der Gesamtdrehung: R = R ω * R ϕ * Rκ mit cosϕ cosκ R = cosω sinκ + sinω sinϕ cosκ sinω sinκ − cosω sinϕ cosκ − cosϕ sinκ cosω cosκ − sinω sinϕ sinκ sinω cosκ + cosω sinϕ sinκ sinϕ − sinω cosϕ cosω cosϕ X=R*x HS BO – Lab. für Photogrammetrie: Ebene und räumliche Koordinatensysteme 32 Räumliche Drehungen Aus den Koeffizienten der räumlichen Drehmatrix R lassen sich die Drehwinkel berechnen: sin ϕ = r13 r23 tan ϖ = − r33 mit r12 tan κ = − r11 HS BO – Lab. für Photogrammetrie: r11 r12 R = r21 r22 r31 r32 r13 r23 r33 Ebene und räumliche Koordinatensysteme 33 Räumliche Drehmatrizen mit Eulerschen Winkeln Drehreihenfolge ω, ϕ, κ: R= cos ϕ cos κ D(ω , ϕ , κ ) = cos ω sin κ + sin ω sin ϕ cos κ sin ω sin κ − cos ω sin ϕ cos κ − cos ϕ sin κ cos ω cos κ − sin ω sin ϕ sin κ sin ω cos κ + cos ω sin ϕ sin κ sin ϕ − sin ω cos ϕ cos ω cos ϕ Drehreihenfolge ϕ, ω, κ: R= cos ϕ cos κ + sin ω sin ϕ sin κ D(ϕ , ω , κ ) = cos ω sin κ − sin ϕ cos κ + sin ω cos ϕ sin κ HS BO – Lab. für Photogrammetrie: − cos ϕ sin κ + sin ω sin ϕ cos κ cos ω cos κ sin ϕ sin κ + sin ω cos ϕ cos κ cos ω sin ϕ − sin ω cos ω cos ϕ Ebene und räumliche Koordinatensysteme 34 Räumliche Drehmatrizen mit Eulerschen Winkeln Drehreihenfolge ω, ϕ, κ: Für den Luftbildfall gilt: ω, ϕ, κ -> 0 ⇒ cosα -> 1 ⇒ sinα -> dα und 1 D (ω ,ϕ ,κ ) = dκ dϕ − dκ 1 dω dϕ − dω 1 ⇒ dα ⋅ dα = 0 HS BO – Lab. für Photogrammetrie: Ebene und räumliche Koordinatensysteme 35 Räumliche Ähnlichkeitstransformation Die räumliche Ähnlichkeitstransformation dient der formtreuen Transformation eines dreidimensionalen kartesichen Koordinatensystem xyz in ein entsprechendes Zielsystem XYZ. P(X,Y,Z) Z κ Y ϕ Y0 X0 Z0 ω HS BO – Lab. für Photogrammetrie: X Ebene und räumliche Koordinatensysteme 36 Räumliche Ähnlichkeitstransformation Die räumliche Ähnlichkeitstransformation (3D Helmerttransformation) wird durch 7 Parameter beschrieben: 3 Translationen – 3 Rotationen – 1 Maßstab P(X,Y,Z) Z κ Y ϕ Y0 X0 Z0 ω HS BO – Lab. für Photogrammetrie: X Ebene und räumliche Koordinatensysteme 37 Räumliche Ähnlichkeitstransformation Xi X0 r11 r12 Y = Y + m * r r i 0 21 22 Z i Z 0 r31 r32 r13 xi r23 * yi r33 zi mit: xi yi Xi Yi zi Zi - Koordinaten im Modellsystem (Ausgangssystem) - Koordinaten im Objektsystem (Zielsystem) X0 Y0 Z0 - Translationen µ - Maßstabsfaktor R - räumliche Drehmatrix HS BO – Lab. für Photogrammetrie: Ebene und räumliche Koordinatensysteme 38 Räumliche Ähnlichkeitstransformation Zur Bestimmung der 7 Parameter sind mindestens 7 Beobachtungen erforderlich. Diese werden aus den Koordinatenkomponenten von mindestens 3 räumlichen verteilten Passpunkten entnommen, die nicht auf einer Geraden liegen dürfen. Z P3 Y P2 P1 ω HS BO – Lab. für Photogrammetrie: X VPP Ebene und räumliche Koordinatensysteme 39
© Copyright 2025 ExpyDoc
