Sommersemester 2016 Prof. Dr. J.S. Wilson ALGEBRA II Serie 1

Sommersemester 2016
Prof. Dr. J.S. Wilson
ALGEBRA II
Serie 1
Aufgabe 1.1. Sei M ein (Links)modul für einen Integritätsbereich R. Ein Element m ∈ M ist ein Torsionselement falls rm = 0 für ein Element r ∈ R \ {0}.
Zeigen Sie, daß die Menge T aller Torsionselemente von M ein Untermodul ist,
und daß M/T torsionsfrei ist, d.h. enthält keine Torsionselemente außer 0.
Ist Q ein torsionsfreier Z-Modul?
Welche sind die Torsionselemente in Q/Z? In R/Z? In R/Q?
Aufgabe 1.2. Sei f : M → N ein R-Modulhomomorphismus.
(a) Zeigen Sie, daß Ker f ein Untermodul von M ist, und Bild f ein Untermodul von N .
(b) Beweisen Sie daß M/Ker f ∼
= Bild f .
Aufgabe 1.3. Aufgabe 1.2 ist der erster Isomorphiensatz für Moduln. Beweisen
Sie jetzt den zweiten und den dritten:
(a) Seien K, N Untermoduln des R-Moduls M . Zeigen Sie, daß K ∩ N und
K + N Untermoduln sind, und daß N/(N ∩ K) ∼
= (N + K)/K.
(b) Seien K, L Untermoduln des R-Moduls M mit K 6 L. Zeigen Sie, dass
L/K ein Untermodul von M/K ist, und daß (M/K)/(L/K) ∼
= M/L.
Aufgabe 1.4. (a) Sei M ein R-(Links)modul und
K = {x ∈ R | xµ = 0 für alle µ ∈ M }.
Zeigen Sie, daß K / R, und daß M auf natürlicher Weise als R/K-Modul betrachtet werden kann.
(b) Sei jetzt R kommutativ und M ein R-Modul. Für µ ∈ M seien
and µ◦ = {x ∈ R | xµ = 0}.
Rµ = {xµ | x ∈ R}
Zeigen Sie, daß Rµ ein Untermodul von M ist, daß µ◦ / R, und daß R/µ◦ und
Rµ isomorphe R-Moduln sind.
f
g
Aufgabe 1.5. Eine Sequenz L −→ M −→ N von R-Modulhomomorphismen
heißt exakt (an M ) falls Bild f = Ker g.
f
Zeigen Sie, daß 0 → L −→ M exakt ist dann und nur dann, wenn f injektiv
ist, und interpretieren Sie auch die Aussagen daß
f
(i) L −→ M → 0 exakt ist, und
f
(ii) 0 → L −→ M → 0 exakt ist.
Aufgabe 1.6. Das Diagramm von R-Moduln und Homomorphismen hat exakte
Reihen (d.h., Exaktheit herrscht überall), und die Quadrate kommutieren, d.h.,
φf = f 0 θ und ψg = g 0 φ. Zeigen Sie, daß falls θ, ψ Isomorphismen sind, dann ist
auch φ ein Isomorphismus.
f
0→ 
A

yθ
−→
A0
−→
0→
f0
g
B −→


yφ
B0
g0
−→
C →0


yψ
C 0 → 0.
Abgabetermin. Bis zum Mittag am 11.4.2016 in meinem Briefkasten (Raum
A 514). Bitte die Lösungen mit Namen und Matrikelnummer versehen.

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