Übersicht Wir wissen: euklidischer Ring =⇒ Hauptidealring =⇒ faktorieller Ring Beispiele: euklidische Ringe Hauptidealringe faktorielle Ringe Z Z Z K[X] K[X] K[X] – – K[X1 , . . . , Xn ] – – Z[X] Z[i] Z[i] – √ 1+ −19 Z[ 2 ] Z[i] K[[X]] K[[X]] K[[X]] √ 1+ −19 Z[ 2 ] Bemerkungen: • In Z[X] ist (X, 2) kein Hauptideal. • K[[X]] ist mit der folgenden Gradfunktion euklidisch: K[[X]] f → N0 7 → d(f) := ord0 (f) wobei ord0 (f) = n ist, wenn Xn die höchste X-Potenz ist, die in f ausgeklammert werden kann. 213
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