Wiederholung zur diskreten W

Prof. Dr. Henryk Zähle
M.Sc. Alexandra Lauer
Universität des Saarlandes, WiSe 2015/16
18. Dezember 2015
Mathematik für Informatiker III
Wiederholung
Aufgabe 1
(0 Punkte)
Es werde vier mal hintereinander mit zwei fairen Würfeln gewürfelt.
(i) Geben Sie einen passenden Wahrscheinlichkeitsraum zur Modellierung dieses Problems an.
(ii) Wir betrachten das Ereignis, dass insgesamt genau drei mal ein Pasch fällt, wenn bekannt
ist, dass mindestens ein Pasch geworfen wurde. Beschreiben Sie das gesuchte Ereignis mengentheoretisch und berechnen Sie dessen Wahrscheinlichkeit.
Aufgabe 2
(0 Punkte)
Eine Analyse erfolgreicher Hochschulabsolventen in Deutschland ergab folgendes Bild: 60% der
Absolventen sind männlich und 40% weiblich. Unter allen Frauen mit Hochschulabschluss erwerben
anschließend 7% einen Doktortitel. Der Anteil an männlichen Absolventen, die im Anschluss an ihr
Studium erfolgreich promovieren beträgt durchschnittlich 12%.
(i) Wählen Sie einen geeigneten W-Raum zur Modellierung dieses Problems.
(ii) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Absolvent oder eine Absolventin nach dem Studium einen Doktortitel erwirbt?
(iii) Es wurde ein Doktortitel verliehen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass er an eine Frau
verliehen wurde?
(iv) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Absolvent männlich ist
und nicht promoviert?
Aufgabe 3
(0 Punkte)
Beim Würfelspiel “Die böse Drei” beträgt der Einsatz drei Euro. Bei dem Spiel werden zwei faire
Würfel geworfen. Fällt keine Drei, so bekommt der Spieler die gefallene Augensumme in Euro
ausbezahlt. Fällt mindestens eine Drei, so muss der Spieler zusätzlich zu seinem Einsatz noch die
gefallene Augensumme in Euro bezahlen.
(i) Wählen Sie einen geeigneten W-Raum (Ω, F, P) zur Modellierung dieses Problems.
(ii) Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnt der Spieler das Spiel? Beschreiben Sie das gesuchte
Ereignis mengentheoretisch.
(iii) Es bezeichne X die Zufallsvariable, die den (evtl. negativen) Gewinn des Spielers beschreibt.
Definieren Sie X als Abbildung von Ω nach Z und berechnen Sie den Erwartungswert von X.
Aufgabe 4
(0 Punkte)
Ein roter und ein grüner jeweils fairer Würfel werden einmal geworfen. Es bezeichne X die Augenzahl des roten Würfels und Y die Augensumme beider Würfe.
(i) Wählen Sie einen geeigneten W-Raum (Ω, F, P) zur Modellierung dieses Problems.
(ii) Definieren Sie X und Y als Abbildungen von Ω nach N.
(iii) Untersuchen Sie X und Y auf Unabhängigkeit und Unkorreliertheit.
Aufgabe 5
(0 Punkte)
In einer Urne mit 20 Kugeln befinden sich genau 12 rote Kugeln. Man zieht nun nacheinander
fünf Kugeln aus der Urne mit Zurücklegen. Es bezeichne X die Zufallsvariable, die die Anzahl der
gezogenen roten Kugeln beschreibt.
(i) Wählen Sie einen geeigneten W-Raum (Ω, F, P) zur Modellierung dieses Problems.
(ii) Definieren Sie X als Abbildung von Ω nach N und geben Sie die Verteilung von X an.
(iii) Berechnen Sie den Erwartungswert von X.
(iv) Bestimmen Sie eine approximative obere Schranke für P[|X−3| ≥ 1] mit Hilfe der TschebyscheffUngleichung.

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