Zettel 1

Institut für Angewandte Mathematik
WS 2015/16
Prof. Patrik Ferrari, Dr. Martin Huesmann
,,Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie”
1. Übungsblatt
Besprechung in den ersten Übungen
Bewertete Aufgaben: Abgabe am Freitag 30.10.2015
Wichtige Informationen zur Lehrveranstaltung und die Übungsblätter finden Sie unter
http://wt.iam.uni-bonn.de/ferrari/teaching/lectures-homepages/probaiws15/
Aufgabe 1
[0 Pkt ]
Ein gewisser Chevalier de Méré, der mit seinen Spielproblemen und deren Lösungen durch
Pascal in die Geschichte der Wahrscheinlichkeitstheorie eingegangen ist, wunderte sich
einmal Pascal gegenüber, dass er beim Werfen mit 3 Würfeln die Augensumme 11 häufiger
beobachtet hatte als die Augensumme 12, obwohl doch 11 durch die Kombinationen 6 +
4 + 1, 6 + 3 + 2, 5 + 5 + 1, 5 + 4 + 2, 5 + 3 + 3, 4 + 4 + 3 und die Augensumme 12 durch
genauso viele Kombinationen erzeugt würde.
1. Welche Kombinationen ergeben die Augensumme 12?
2. War die Beobachtung von Chevalier de Méré nur ein Zufall oder steckt in seiner Argumentation ein Fehler? Falls es kein Zufall ist, berechnen Sie das Verhältnis zwischen
den Wahrscheinlichkeiten Augensumme 11 bzw. Augensumme 12 zu beobachten.
Aufgabe 2
Wieviele Vektoren (x1 , . . . , xr ) existieren mit xi ∈ {0, 1, 2, . . .}, so dass
Pr
a)
i=1 xi ≤ n ;
Pr
b)
i=1 xi ≤ n , und xi ≥ 1 ∀ 1 ≤ i ≤ r;
Pr
c)
i=1 xi = n und es gibt genau k Elemente die Null sind.
1
[0 Pkt ]
Aufgabe 3
[5 Pkt ]
In einer Stadt mit n + 1 Einwohners erzählt eine Person einer zweiten ein Gerücht, diese
erzählt es einer dritten, usw. Bei jedem Schritt wird der “Empfänger” zufällig aus den
n Personen ausgewählt. Das Gerücht wird r-Mal erzählt. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass es
a) nicht zum Urheber zurückkommt,
b) keiner Person zweimal erzählt wird.
c) Setzen Sie im Ergebnis von a) insbesonder r = n + 1 und berechnen Sie den Limes
für n → ∞.
Aufgabe 4
Zeigen Sie die folgenden kombinatorischen Identitäten:
m
Pr
;
a) m+n
= j=0 nj r−j
r
P
j−1
b) nr = nj=r r−1
;
Pn
n
n−1
;
c)
j=1 j j = n · 2
Pn 2 n
n−2
d)
.
j=1 j j = n(n + 1) · 2
[5 Pkt ]
Hinweise:
a) Betrachten Sie eine Menge von n weißen und m schwarzen Kugeln.
b) Bestimmen Sie die Anzahl von Untermengen von {1, . . . , n} mit r Elementen, so dass
das größte Element r ist.
c) Bestimmen Sie auf zwei verschiedenen Wegen die Anzahl von Gremien, die man mit
n Leuten bilden kann, für eine beliebige Größe der Gremien unter der Bedingung,
dass jedes Gremium einen Vorsitzenden haben muss.
d) Wie in c). Jedoch muss nun jedes Gremium zusätzlich noch einen Sekretär haben.
Die beiden Funktionen, Vorsitzender und Sekretär sind kumulierbar.
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