„Geometrie“ I bzw. „Elementargeometrie“ Musterlösung zur Übung 1 1. Außenwinkel von Dreiecken γ1 γ α β zz γ 1 = α + β Es gilt γ 1 = 180° − γ und α + β + γ = 180° bzw. γ = 180° − α − β . Daher ist γ 1 = 180° − (180° − α − β ) = 180° − 180° + α + β =α + β □ 2. Aufstellen eines Schrankes In dieser Situation macht nur der Versuch Sinn, den Schrank über die schmalste Seite (Tiefe t ) aufzurichten. Die größte Höhe h′ beim Aufrichten erreicht der Schrank, wenn die vordere Kante (unten) genau über den hinteren Kanten (oben) steht: t h h′ h t Es gilt dann nach dem Satz des Pythagoras h′ 2 = t 2 + h 2 h′ = t 2 + h 2 = 4900 + 48400 cm ≈ 231 cm Der Schrank lässt sich somit in dem Raum mit einer Höhe von 225 cm nicht aufrichten. 3. nur für Studierende nach BPO 2010: Schnittpunkte im Dreieck spitzwinkliges Dreieck: C a b H Mb Ma U A c B Mc Im spitzwinkligen Dreieck liegen der Höhenschnittpunkt und der Umkreismittelpunkt innerhalb des Dreicks. stumpfwinkliges Dreieck: H C a b Ma Mb A c Mc B U Im spitzwinkligen Dreieck liegen der Höhenschnittpunkt und der Umkreismittelpunkt außerhalb des Dreicks. rechtwinkliges Dreieck: H C a b Ma Mb A c U Mc B Im rechtwinkligen Dreieck ist der Höhenschnittpunkt der Scheitelpunkt des rechten Winkels und der Umkreismittelpunkt der Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite. 4. nur für Studierende nach BPO 2013: gespiegelte Seitenhalbierende C tb a wβ ta sa sb T Mb c Mc sc A∈ g k1 ( A, c) Ma S b A wα D E wγγ tc d B g (Obwohl keine Konstruktionsbeschreibung gefordert war, wird zur besseren Nachvollziehbarkeit hier eine angegeben.) k1 ∩ g = B k2 ( A, b) k3 ( B , a ) k2 ∩ k3 = C M a ∈ a mit BM a = M a C M b ∈ b mit AM b = M b C M c ∈ c mit AM c = M c B (Der Übersicht halber wurden die bei den Konstruktionen der Mittelpunkte der Seiten vom Dreieck ABC benötigten Kreisbögen in der Konstruktionszeichnung verborgen. Gleiches gilt für die folgenden Konstruktionen der Winkelhalbierenden.) Halbiere α = ∢ BAC ( wα ), β = ∢ CBA ( wβ ) und γ = ∢ ACB ( wγ ). Exemplarisch wird hier die Spiegelung von sc an wγ beschrieben: d ⊥ wγ mit M c ∈ d d ∩ wγ = D k 4 ( D, r4 ) mit r4 = DM c k4 ∩ d = E CE = tc ist die gesuchte gespiegelte Seitenhalbierende. Für sa und sb erfolgt die Spiegelung analog. Es fällt auf, dass sich die drei gespiegelten Seitenhalbierenden wieder in einem Punkt schneiden. Zusatzinformationen: Dieser Punkt heißt Greberscher Punkt oder auch Lemoine-Punkt. Da die Seitenhalbierenden auch Mediane genannt werden, werden die durch die Spiegelungen an den Winkelhalbierenden daraus hervorgehenden Geraden als Symmediane bezeichnet. 5. Möndchen C b A C b a c B A a c B Die Flächen betragen: Halbkreis über a : Aa = 12 π ( a2 )2 = 12 π 14 a 2 = 81 π a 2 Halbkreis über b : Ab = 18 π b 2 Halbkreis über c : Ac = 18 π c 2 Dreieck ABC : A∆ = 12 a b Die Möndchen entstehen, in dem der Halbkreis über c nach oben gespiegelt wird. Die Fläche der Mönchen berechnet sich also als AM = A∆ + Aa + Ab − Ac = 12 a b + 81 π a 2 + 81 π b 2 − 81 π c 2 = 12 a b + 81 π (a 2 + b 2 − c 2 ) Nach dem Satz des Pythagoras gilt in dem Dreieck ABC a 2 + b 2 = c 2 bzw. a 2 + b 2 − c 2 = 0 . Daher ist AM = 12 a b . Die Fläche der Mönchen entspricht also der des Dreiecks ABC . Mit diese so genannten Möndchen des Hippokrates, die dem griechischen Mathematiker Hippokrates von Chios (um 450 v. Chr.) zugeschrieben werden, konnte bereits im antiken Griechenland nachgewiesen werden, dass auch krummlinig begrenzte Flächenstücke durch rationale Zahlen berechnet werden können. (Quelle: http://de.wikipedia.org/wiki/M%C3%B6ndchen_des_Hippokrates)