Besondere Punkte im Dreieck II

14.95 – Umkreismittelpunkt
Der Punkt C = (10, 11) ist die Spitze eines gleichschenkligen Dreiecks ABC, dessen Basis AB auf der
Geraden x + 2y = −13 liegt. Die Länge der Basis macht 32 der Länge der Höhe auf die Basis aus. Berechne
den Umkreismittelpunkt U des Dreiecks. Skizze:
Zunächst müssen wir einen weiteren Punkt (z.B. A) des Dreiecks bestimmen. Wir wissen:
A und B liegen auf der Geraden c : x + 2y = −13. Die Frage lautet: Wo genau?
Wir bestimmen zunächst den Schnittpunkt der Höhe hc mit der Basis c. Weil es sich um ein gleichschenkliges
Dreieck handelt, ist der Schnittpunkt Mc auch der Seitenmittelpunkt von c. hc steht normal auf c und geht
durch den Pumkt C. Also gilt
10
−2
x
−2
⇔ hc : − 2x + y = −9 .
=
hc : nc X = nc C ⇔ hc :
11
1
y
1
Wir erhalten nun MC , indem wir c und hc schneiden:
x + 2y = −13
und
− 2x + y = −9 .
Als Lösung des Gleichungssystems erhalten wir x = 1 und y = −7. Also ist MC = (1, −7).
Wir berechnen nun den Abstand zwischen C und MC :
√
−−−→
11
| = 445 .
|MC C| = |
18
√
−−−→
Wir wissen nun aus der Angabe, dass die Länge von c das 23 –fache der Länge von |MC C| = 445 ist.
Weil MC der Mittelpunkt der Basis c ist√(gleichschenkliges Dreieck!), erhalten wir einen weiteren Punkt des
Dreiecks, indem wir die uns auf c um 13 445 von MC “weg bewegen”:
−2
→
−
Der Richtungsvektor von hc ist gegeben durch vc =
. Der normierte Richtungsvektor von hc ist
1
−2
1
gegeben durch −
v→
. Somit ist
c0 = √5
1
A = Mc +
1√
1
445 · √
3
5
−2
−5
≈
1
−4
Vorsicht: Unangenehme Zahlen! Hier wurde gerundet!
Jetzt können wir mit kurzer Rechnung den Mittelpunkt der Seite b bestimmen und erhalten MB = (2.5, 3.5).
Weiters können wir die Seitensymmetrale hb bestimmen und erhalten hb : − x − y = −90.
Schneiden wir hc (hc ist bei einem gleichschenkligen Dreieck auch die Seitensymmetrale von c) und hb , so
erhalten wir den Umkreismittelpunkt
U = (5, 1) .
Und wir haben diese etwas längliche Rechnung überstanden!
14.95 – Umkreismittelpunkt
Der Punkt C = (10, 11) ist die Spitze eines gleichschenkligen Dreiecks ABC, dessen Basis AB auf der
Geraden x + 2y = −13 liegt. Die Länge der Basis macht 32 der Länge der Höhe auf die Basis aus. Berechne
den Umkreismittelpunkt U des Dreiecks. Skizze:
Zunächst müssen wir einen weiteren Punkt (z.B. A) des Dreiecks bestimmen. Wir wissen:
A und B liegen auf der Geraden c : x + 2y = −13. Die Frage lautet: Wo genau?
Wir bestimmen zunächst den Schnittpunkt der Höhe hc mit der Basis c. Weil es sich um ein gleichschenkliges
Dreieck handelt, ist der Schnittpunkt Mc auch der Seitenmittelpunkt von c. hc steht normal auf c und geht
durch den Pumkt C. Also gilt
−2
x
−2
10
hc : nc X = nc C ⇔ hc :
=
⇔ hc : − 2x + y = −9 .
1
y
1
11
Wir erhalten nun MC , indem wir c und hc schneiden:
x + 2y = −13
und
− 2x + y = −9 .
Als Lösung des Gleichungssystems erhalten wir x = 1 und y = −7. Also ist MC = (1, −7).
Wir berechnen nun den Abstand zwischen C und MC :
√
−−−→
11
| = 445 .
|MC C| = |
18
√
−−−→
Wir wissen nun aus der Angabe, dass die Länge von c das 23 –fache der Länge von |MC C| = 445 ist.
Weil MC der Mittelpunkt der Basis c ist√(gleichschenkliges Dreieck!), erhalten wir einen weiteren Punkt des
Dreiecks, indem wir die uns auf c um 13 445 von MC “weg bewegen”:
−2
→
−
Der Richtungsvektor von hc ist gegeben durch vc =
. Der normierte Richtungsvektor von hc ist
1
−2
1
√
gegeben durch −
v→
=
. Somit ist
c0
5
1
1
1√
A = Mc +
445 · √
3
5
−2
−5
≈
1
−4
Vorsicht: Unangenehme Zahlen! Hier wurde gerundet!
Jetzt können wir mit kurzer Rechnung den Mittelpunkt der Seite b bestimmen und erhalten MB = (2.5, 3.5).
Weiters können wir die Seitensymmetrale hb bestimmen und erhalten hb : − x − y = −90.
Schneiden wir hc (hc ist bei einem gleichschenkligen Dreieck auf die Seitensymmetrale von c) und hb , so
erhalten wir den Umkreismittelpunkt
U = (5, 1) .
Und wir haben diese etwas längliche Rechnung überstanden!

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