Matrizen und Determinanten

Matrizen und Determinanten
Im Abschnitt „Vektoralgebra – Rechenregeln für Vektoren“ (Multiplikation - Skalarprodukt, Vektorprodukt, Mehrfachprodukte) wurde in einem Vorgriff bereits eine interessante mathematische Konstruktion benutzt - die Matrix.


Eine Matrix ist dabei ein rechteckiges Schema, dessen Elemente meist Zahlen sind.
Elemente der Matrix können aber auch Variable oder Funktionen sein.
Eine Matrix besteht aus m Zeilen und n Spalten und wird (m, n) -Matrix genannt.


Die Dimension einer Matrix mit m Zeilen und n Spalten ist m  n .
Die Position eines Elementes aij wird mit einem Doppelindex gekennzeichnet.
Der erste Index i gibt dabei die Zeile, der zweite Index j die Spalte an des Elements an.
Matrix m  n :
n Spalten, Index j 
aij
m Zeilen,
Index i

 a11 a12

 a21 a22
a
a
 31 32
.
 .
 .
.

a13 .
a23 .
a33 .
.
.
.
.
. 

. 
. 

. 
amn 
Beispiel: (2,3) -Matrix, also 2 Zeilen und 3 Spalten; das Element ist beispielsweise a21  4
 1 2 3

A  
 4 5 6
Merkregel Indexreihenfolge: zuerst die Zeile, die Spalte später
-
als Schreibweise hat sich eine Anordnung in Zeilen und Spalten zwischen großen Klammern
(meist runde Klammern) durchgesetzt.
Die Matrix selbst wird durch Großbuchstaben bezeichnet.
-
einzelne Zeilen und Spalten der Matrix werden oft als Spalten- oder Zeilenvektoren bezeichnet:
a 
a
A   11 12 
 a21 a22 

Spaltenvektoren:

Zeilenvektoren:
 a11 
a 
  und  12 
 a21 
 a22 
a11 a12  und a21 a22 
-
die Dimension einer Matrix ergibt sich aus der Anzahl ihrer Zeilen und Spalten - z.B. wird einer
m  n -Matrix die Zeilendimension m und die Spaltendimension n zugeschrieben.
-
Bei einer quadratischen Matrix stimmen Zeilen- und Spaltenanzahl überein.
-
Hat die Matrix nur eine Spalte, nennt man sie einen Spaltenvektor; hat sie nur eine Zeile, nennt
man sie einen Zeilenvektor.
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Besondere Matrizen
Einige Matrizen haben eine besondere Gestalt und werden mit ihrer besonderen Struktur gern in
Rechnungen benutzt:

quadratische Matrix
 besitzt die gleiche Anzahl von Zeilen und Spalten (m  n)
 häufig benutzt werden die 2 2 - und 3 3 -Matrix
a 
a
A   11 12 
 a21 a22 
 die Elemente mit i  j bilden die Hauptdiagonale der Matrix

Nullmatrix
 alle Elemente der Matrix sind gleich Null
 0 0

A  
 0 0

-
hier: 2x2-Nullmatrix.
Einheitsmatrix
 die Elemente der Hauptdiagonalen sind gleich Eins und alle anderen Elemente sind Null
1 0

A  
0 1

Diagonalmatrix
 alle Elemente - außer den Elementen der Hauptdiagonalen – sind gleich Null
3 0

A  
 0 2
Einheitsmatrix und Nullmatrix sind spezielle Formen der Diagonalmatrix

obere Dreiecksmatrix
 alle Elemente unterhalb der Hauptdiagonalen sind gleich Null
3 2 1


A   0 1 4
0 0 3



untere Dreiecksmatrix
 alle Elemente oberhalb der Hauptdiagonalen sind gleich Null
 3 0 0


A   2 1 0
 1 4 3


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Determinante einer Matrix
-
Häufig finden wir im Zusammenhang mit dem Begriff „Matrix“ auch den Begriff „Determinante“
 Determinanten sind reelle (oder auch komplexe) Zahlen,
die eindeutig einer quadratischen Matrix zugeordnet sind.
-
So ist die Determinante n-ter Ordnung der Matrix A  (amn ) vom Typ (m, m) zugeordnet.
1. Determinante einer 2x2 Matrix - die Zuordnung geschieht folgendermaßen:
a 
a
A   11 12 
 a21 a22 

det A  A 

det A  A 
a11
a12
a21 a22
 a11a22  a12 a21
Beispiel:
4 5 

A  
 3  2
4
5
3 2
 4  (2)  5  3  23
 2 Bemerkungen:
 Für nichtquadratische Matrizen ist die Determinante nicht definiert.
 Die Determinante ist eindeutig, d.h. jeder quadratischen Matrix wird genau
eine Determinante (Zahl) zugeordnet.
2. Determinante einer 3x3 Matrix - die Zuordnung geschieht folgendermaßen:
a11
a12
det A  A  a21 a22
a31 a32
a13
a23 
a33
 a11 a22 a33  a12 a23 a31  a13 a21 a32  a31 a22 a13  a32 a23 a11  a33 a21 a12
 Mit der „Regel von Sarrus“ wird der Versuch unternommen, mittels eines Schemas
dieses „Ausmultiplizieren“ übersichtlicher zu gestalten:
- die Produkte der „Hauptdiagonalen“ (rot) gehen positiv,
die der „Nebendiagonalen“ (blau) negativ in das Ergebnis ein.
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3. Determinante einer m  m -Matrix – hier ist die Zuordnung komplizierter:
A  det A 
a11
a12
 a1m
a21
a 22
 a2 m


am1


am 2  a mm
hier hilft der LAPLACEschen Entwicklungssatzes:
- Durch Entwicklung in Unterdeterminanten reduziert man den Rang, bis die Berechnung
(z.B. für eine 3x3-Matrix) möglich ist.
 Dazu legt man eine Zeile oder Spalte (was immer bequemer ist) fest, welche die sogenannten
Pivot-Elemente enthält. Legen wir beispielsweise die 2. Zeile fest, sind a21, a22 , ..., a2 m diese
Pivot-Elemente.
 Die Unterdeterminanten zu diesen Pivot-Elementen erhält man, indem man in der
Ausgangsmatrix jeweils die entsprechende Spalte und Zeile „streicht“.
So heißt beispielsweise die Unterdeterminante zum Pivot-Element a21 :
A21  det A21 
a12
a13
 a1m
a32
a33
 a3 m


am 2


am3  amm
 Die Determinante von A lässt sich nun aus einer Summe von Produkten darstellen.
 Jeder Summand setzt sich dabei folgendermaßen zusammen:
Summand (ij) = Pivot-Element (ij)  vorzeichenbestimmender Faktor  Unterdeterminante (ij).
 Entwickelt man nach der i -ten Zeile ( i wird festgehalten) ergibt sich die Determinante A zu:
m
det A   aij  (1) i  j  Aij
j 1
 Entwickelt man nach der j -ten Spalte ( j wird festgehalten) ergibt sich die Determinante A zu:
m
det A   aij  (1) i  j  Aij
i 1
 Die Strategie bei der Berechnung der Determinante einer m  m -Matrix ( m  3 ) ist also die
Entwicklung nach einer Spalte bzw. Zeile, um die Dimension der Matrix, deren Determinante
man berechnen soll, sozusagen Schritt für Schritt zu „reduzieren“.
Anmerkungen:
 Der Wert einer Determinante ist unabhängig von der Auswahl der Entwicklungszeile/-spalte
 Eine Determinante ist gleich Null, wenn
- eine Zeile/Spalte aus lauter Nullen besteht
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


- zwei Zeilen/Spalten gleich sind
- eine Zeile/Spalte eine Linearkombination anderer Zeilen/Spalten ist
det A  det AT - die Determinanten der Matrix A und der transponierten Matrix AT sind
gleich
Vertauschung zweier benachbarter Zeilen oder Spalten ändert das Vorzeichen der Determinante
Falls k eine Zahl ist und A vom Typ (m, m) , dann gilt:
det(kA)  k m det A
 Nützlich sind Determinanten in vielfältiger Weise.
Beispiel:
Lösung eines Gleichungssystems mit n unabhängigen Gleichungen und n Unbekannten.
Solche Gleichungssysteme kommen beispielsweise bei der Analyse von Stromkreisen mit den
Kirchhoffschen Gesetzen vor.
Cramersche Regel
Im wichtigen Spezialfall, in dem die Anzahl der Unbekannten mit der Anzahl der Gleichungen in
a11 x1  a12 x2  ...  a1n xn  a1
a 21 x1  a 22 x2  ...  a 2 n xn  a 2
.......................................
a n1 x1  a n 2 x2  ...  a nn xn  a n
übereinstimmt und die Koeffizienten-Determinante nicht verschwindet, d.h.
D  det A 
 a1n
a11
a12
a21
a22  a2 n

  
an1
an 2  ann
0
kann die Lösung des inhomogenen Gleichungssystems explizit und eindeutig angegeben werden:
x1 
D
D1
D
; x2  2 ; ......; xn  n ;
D
D
D
D1 , D2 , ..., Dn bezeichnet dabei Determinanten, die entstehen, wenn jeweils die i -te Spalte der
Ausgangsdeterminante D durch den Vektor mit den Komponenten der rechten Seite des Gleichungssystems ersetzt wird.
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So ist beispielsweise
a11
D2 
a1  a1n
a21 a2  a2 n
   
(Spalte 2 ist ersetzt durch:
an1 an  ann
 a1 
 
 a2 
 )
 
a 
 n
 Ist D  0 jedoch nicht alle Di  0 , dann ist das Gleichungssystem unlösbar.
 Im Falle D  0 und aller Di  0 für i  1....n , ist es möglich, dass eine Lösung existiert.
Diese ist aber nicht eindeutig.
Beispiel:
x1  2 x2  x3  11
1 2
 20
D 0 5
5 x2
D1  20 5
8
x1 
1
0  10
1 11
D2  0 20
3 2
D1
1
D
0  10
0 3 2
3 x 2  2 x3  8
11 2
1
0
x2 
8
D2
4
D
1 2 11
1
0  40
D3  0 5 20  20
2
0 3
x3 
8
D3
2
D
Hinweis:
Für die praktische Lösung von linearen Gleichungssystemen höherer Dimensionen ist die CRAMERsche Regel nicht geeignet. Der Rechenaufwand übersteigt mit wachsender Dimension sehr schnell
alle Vorstellungen.
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Rechnen mit Matrizen

Addition / Subtraktion
Voraussetzung:
Matrizen lassen sich nur addieren bzw. subtrahieren, wenn die beteiligten Matrizen jeweils die
gleiche Anzahl an Zeilen und Spalten besitzen.
Beispiel:
a
a 
b 
a
b b
A   11 12 13  ;
B   11 12 13 
 a21 a22 a23 
 b21 b22 b23 
A und B lassen sich addieren bzw. subtrahieren, da Zeilen- und Spaltenzahl übereinstimmen.
Beispiel:
a
a 
a
b b 
B   11 12 
A   11 12 13  ;
 b21 b22 
 a21 a22 a23 
A und B lassen sich nicht addieren bzw. subtrahieren, da Zeilen- und Spaltenzahl nicht übereinstimmen.
Wie addiert / subtrahiert man Matrizen?
 indem man die sich entsprechenden Einträge der Ausgangsmatrizen addiert / subtrahiert
 Ergebnis ist eine Summen- oder Differenzmatrix
 Summen- oder Differenzmatrix haben die gleiche Dimension, wie A und B ( m  n ).
Beispiel:
a 
a
A   11 12  ;
 a21 a22 
b b 
B   11 12  ;
 b21 b22 
a b 
a b
A  B   11 11 12 12 
 a21  b21 a22  b22 
1 2
 ;
A  
3
4


 2 3
 ;
B  
4
5


 3 5

A  B  
7
9


Rechenregeln
 es gilt das Kommutativgesetz A  B   B  A
 es gilt das Assoziativgesetz
( A  B)  C  A  ( B  C )
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
Multiplikation
Voraussetzung
Matrizen lassen sich nur dann miteinander multiplizieren, wenn die Spaltenanzahl der ersten
Matrix mit der Zeilenanzahl der zweiten Matrix übereinstimmt.
A und B müssen zueinander passen!
Beispiel:
A( 2,3)  B(3, 2 )
a
a
  11 12
 a21 a22
 b11 b12 

a13  
   b21 b22 
a23  

 b31 b32 
A und B lassen sich multiplizieren, da die Zeilenzahl von A der Spaltenzahl von B entspricht
Beispiel:
a
a  b b 
a
A( 2,3)  B( 2, 2)   11 12 13    11 12 
 a21 a22 a23   b21 b31 
A und B lassen sich nicht multiplizieren, da die Zeilenzahl von A der Spaltenzahl von B nicht entspricht
Wie multipliziert man Matrizen?
 Bei der Multiplikation einer Matrix A mit einem Skalar werden alle Elemente der Matrix mit
dem Skalar k multipliziert.
 b b   k  a11 k  a12 

B  k  A mit B  k   11 12   
 b21 b22   k  a21 k  a22 
 Zwei Matrizen A und B werden multipliziert C  A  B , indem das Element
cik in der i -ten Zeile und k -ten Spalte von C durch eine Produktsumme der
i -ten Zeile von A und der k -ten Spalte von B gebildet wird:
m
cik   aij  b jk
j 1
 Dimensionsbetrachtung:
Die Multiplikation von einer m  n -Matrix A mit einer l  m -Matrix B
(Spaltenzahl von A ist m , Zeilenzahl von B ist m - A und B passen zueinander!)
ergibt A B - eine l  n -Matrix.
 Das Matrixprodukt C  A  B hat so viele Zeilen wie die Matrix A und so viele Spalten
wie die Matrix B .
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Beispiel:
Multiplikation einer 3 2 -Matrix mit einer 4  3 -Matrix  4  2 -Matrix
A( 2,3)  B(3, 4)  C( 2, 4)
 a11 a12

 a21 a22
 b11 b12 b13 b14 
 c
a13  
c
c
c 
   b21 b22 b23 b24    11 12 13 14 
a23  
  c21 c22 c23 c24 
 b31 b32 b33 b34 
Multiplikation einer 2  3 -Matrix mit einer 3 2 -Matrix  2  2 -Matrix
 1 0 
   1 1  2  3  3  9 0  2  8  3  2   20 10 
 1 2 3 

    3 8   
  

 4 5 6   9  2    4 1  5  3  6  9 0  5  8  6  2   35 28 


 zur Berechnung kann man zwei Finger zu Hilfe nehmen:
der linke die fährt die entsprechende Zeile von A entlang,
der rechte die entsprechende Spalte von B ;
die Summe der Produkte steht dann auf der Position c( Zeile; Spalte)
Rechenregeln
 die Matrizenmultiplikation ist nicht kommutativ:
 die Matrizenmultiplikation ist distributiv:
 die Matrizenmultiplikation ist assoziativ:

A B  B  A
A  ( B  C)  ( A  B)  ( A  C)
( A  B)  C  ( A  C )  ( B  C)
( A  B)  C  A  ( B  C )
Transponieren einer Matrix
Voraussetzung
Es gibt keine Voraussetzungen. Jede beliebige Matrix lässt sich transponieren.
Wie transponierte man eine Matrix?
 eine transponierte Matrix AT erhält man durch Vertauschen der Zeilen und Spalten
der Matrix A .
 aus den Zeilen macht man Spalten oder umgekehrt:
 1 2 3
 ;
A  
 4 5 6
1 4


A   2 5
 3 6


T
 das Gleiche erreicht man durch Spiegelung an der Hauptdiagonalen mit den Elementen
a11, a22 , ...
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Rechenregeln
( AT ) T
( A  B)T  AT  BT
( A  B )T  B T  AT
Zweimaliges Transponieren einer Matrix
führt wieder zur ursprünglichen Matrix.
Die Transponierte einer Summe von Matrizen
entspricht der Summe aus den Transponierten der Matrizen.
Die Transponierte eines Matrizenproduktes
entspricht dem Produkt der transponierten Matrizen
- in umgekehrter Reihenfolge (!).
Symmetrische und antisymmetrische Matrizen
- gilt A  AT bzw. aik  aki , so handelt es sich bei A um eine symmetrische Matrix.
- gilt A   AT bzw. aik  aki , so ist die Matrix antisymmetrisch
 für alle Elemente auf der Hauptdiagonalen einer antisymmetrischen Matrix muss
daher aii  0 gelten.
Vektoren
- wie leicht vorzustellen, lassen sich auch Vektoren in Form einer Matrix darstellen
- häufig begegnen uns dabei die Begriffe Spaltenvektor bzw. Zeilenvektor:
T
 x
 
 y   ( x y z)
z
 
 hat man 2 Spaltenvektoren a und b der Länge (Dimension) n , so ist ein Matrixprodukt
der Form a  b nicht definiert.
Die beiden „Matrizen“ a und b passen nicht zueinander; die Spaltenanzahl von a und
die Zeilenanzahl von b stimmen nicht überein.
 definiert sind dagegen die Produkte aT  b und a  bT

aT  b :
 b1 
 
aT  b  (a1 a2 a3 )   b2   a1b1  a2b2  a3b3  X
b 
 3
a T sei ein Zeilenvektor mit n Spalten; b sei ein Spaltenvektor mit n Zeilen
 die Matrizen „passen zueinander“
 Ergebnis ist eine 1 1 -Matrix (eine Zahl), das Skalarprodukt

a b :
T
 a1 
 a1b1 a1b2
 

a  b   a2   (b1 b2 b3 )   a2b1 a2b2
a 
a b a b
3 2
 3
 31
T
a1b3 

a2b3 
a3b3 
a sei ein Spaltenvektor mit n Zeilen; bT sei ein Zeilenvektor mit n Spalten
 die Matrizen „passen zueinander“
 Ergebnis ist eine n  n -Matrix, das dyadische Produkt oder Tensorprodukt
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
Invertieren einer Matrix
Multipliziert man eine Zahl mit ihrem Kehrwert, lautet das Ergebnis stets 1.
Das sollte so auch für Matrizen gelten!
Multipliziert man eine Matrix A mit ihrer inversen Matrix A1 , ergibt sich die Einheitsmatrix.
Beispiel:
 2 1 0   0 1 2 1 0 0

 
 

A  A   1 2  2   1 2 4   0 1 0  E
 0 1 1   1 2 5  0 0 1

 
 

1
 Wir sehen hier eine „fertige“ inverse Matrix.
Leider lässt die sich nicht so einfach ermitteln, wie der Kehrwert einer Zahl.
 Im Lichte der Matrixmultiplikation betrachtet besteht die Ermittlung der Komponenten der
inversen Matrix darin, ein Gleichungssystem aus 9 Gleichungen mit 9 Unbekannten zu lösen.
 Das ist langwierig.
Zur Berechnung hat man sich daher Verfahren erdacht, die z.T. noch langwieriger sind:
 mit Hilfe des Gauß-Jordan-Algorithmus
 mit Hilfe der Adjunkten
 mit Hilfe der Cramerschen Regel
Voraussetzung für die Existenz einer Inversen
 Nur quadratische Matrizen können eine Inverse besitzen.
 nicht für jede quadratische Matrix existiert allerdings eine Inverse
 existiert für A die Inverse A1 , so heißt die Matrix regulär - andernfalls heißt sie singulär
Oft lohnt es sich, zu prüfen, ob eine inverse Matrix existiert!
 Matrizen, deren Zeilen oder Spalten linear abhängig sind (Determinante = 0) haben keine
inverse Matrix; Voraussetzung also det( A)  0
Wie berechnet man eine inverse Matrix?
 wir betrachten ein Vorgehen nach der Cramerschen Regel
Beispiel:
Gegeben ist eine Matrix A . Berechne die Inverse!
 2  1 0   x11

 
A  A   1 2  2    x21
 0 1 1   x

  31
1
x12
x22
x32
x13   1 0 0 
 

x23    0 1 0   E
x33   0 0 1 
 wir schauen uns die Multiplikation an:
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 E(1,1)  1 ergibt sich aus:
2 x11  x21
1
E( 2,1)  0 ergibt sich aus:
x11  2x21  2x31  0
E(3,1)  0 ergibt sich aus:
 x21  x31  0
 wenden man die Cramersche Regel auf das Gleichungssystem an, ergibt sich:
1 1
0
x11 
2
0 1
A
0
2 1
2
1
; x21 
2 1 1
0
1 0 2
1
0 0
0 1 0
A
1
; x31 
2
A
0
2 1
; A1
2
0 1
0
 2 1
1
 analog verfahren wir mit der 2. Spalte und erhalten x12 , x22 und x32
sowie der 3. Spalte und erhalten x13 , x23 und x33
 x11

 die Komponenten der inversen Matrix A   x21
x
 31
1

1

0


0
 x11 


2


1

0
A1   x21 


2


1

 x  0
 31




1
0 1
0
2 2
1 1
A
1 0
0 2
0 1
A
1 1
2 0
1 0
A
x12
x22
x32
x32 
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0 0 1
A
2 1 0
1 2 1
0 1 0
A
0 

2 2 
1 1 


A
0 0 

0 2 

1 1 

A

1 0 
2 0 

1 1 

A




0 1
0
1 2 2
0 1 1
x12 
A
2 0 0
1 1 2
x22 
x13 

x23  berechnen sich damit:
x33 
x13 
0
1
2
1
x23 
0
2
1
x33 
0
Seite 12
1

0
0

 2
1 
1
A 
1
A
 0
 2

 1

 0
1
0
2
2
0 1
1
2
0
2
0
1 1
1 0
0 1 1
2 0 0
1
2
0 2
1 1 2
1
0 1
1 1
0 0 1
2 1 0
0
2
1
1
1
0 1 0
0
2
0
1 0
2
0 

2 2
1 1 

0 0 
0 2 

1 1 
1 0 

2 0 

1 1 
0 1
Rechenregeln

Die Inverse eines Matrizenproduktes entspricht dem Produkt der jeweiligen Inversen.
( A  B) 1  B1  A1
(Reihenfolge bei der Multiplikation beachten!)

Die Inverse der transponierten Matrix entspricht der Transponierten der inversen Matrix.
( AT )1  ( A1 )T

Die Inverse einer Matrix ist ebenfalls invertierbar.
Die Inverse der Inversen ist wieder die Matrix selbst.
( A1 ) 1  A

Multipliziert man die inverse Matrix mit einem Skalar k  0 , so gilt
(k  A)1  k 1  A1
Dr. Hempel – Mathematische Grundlagen, Matrizen und Determinanten
Seite 13
 Anwendungen; Gauß-Jordan-Verfahren
-
oben wurde bei der Lösung verschiedener Probleme (insbesondere das Lösen von linearen
Gleichungssystemen) auf die Cramersche Regel zurückgegriffen
gern wird zur Lösung derartiger Probleme auch der Gauß-Jordan-Algorithmus verwendet
mit dem nach Carl Friedrich Gauß und Wilhelm Jordan benannten Verfahren lässt sich die
Lösung eines linearen Gleichungssystems berechnen; es erweitert das nach Gauß benannte
Eliminationsverfahren.
 es sei beispielsweise folgendes Gleichungssystem gegeben:
x y z 0
4x  2 y  z  1
9x  3y  z  3
 Mit den Koeffizienten wird eine s.g. erweiterte Koeffizientenmatrix des gebildet:
 1. Spalte: Faktoren von x , 2. Spalte: Faktoren von y , 3. Spalte: Faktoren von z
4. Spalte: rechte Seite des Gleichungssystems.
1 1 1 0


 4 2 1 1
 9 3 1 3


 umformen mit dem Ziel, im linken Teil die Einheitsmatrix zu erhalten:
 zu Zeile 2 addieren wir (  4  Zeile1 ); zu Zeile 3 addieren wir (  9  Zeile 1)
1 1
1 0


0  2  3 1
 0  6  8 3


 Zeile 2 dividieren wir durch (  2 ); zu Zeile 3 addieren wir (  3  Zeile 2 )
1 1
1
0 


 0 1 3 / 2  1/ 2 
0 0 1
0 

 zu Zeile 1 addieren wir (  1  Zeile 3 ); zu Zeile 2 addieren wir (  3 / 2  Zeile 3 )
1 1 0
0 


 0 1 0 1/ 2 
0 0 1
0 

 zu Zeile 1 addieren wir (  1  Zeile 2 )
 1 0 0 1/ 2 


 0 1 0 1/ 2 
0 0 1
0 

 Diese Matrix stellen wir wieder als Gleichungssystem dar:
Dr. Hempel – Mathematische Grundlagen, Matrizen und Determinanten
x  1/ 2; y  1/ 2; z  0
Seite 14
 Adjunkte einer Matrix
Die Adjunkte einer Matrix ist die Transponierte der Kofaktormatrix.
Adj( A)  Cof ( A)T
 nun wissen wir es genau! Aber keine Angst - Ähnliches ist uns schon begegnet:
beim Entwicklungssatz nach Laplace
 Die Formel für den Kofaktor lautet
Aij  (1)i  j  Dij
der Kofaktor Aij ergibt sich durch Multiplikation eines Vorzeichenfaktors ( 1) i j
mit einer Unterdeterminante Dij
Dij ergibt sich, wenn man die i -te Zeile und die j -te Spalte der Matrix A streicht.
Adjunkte berechnen – Beispiel:
Gegeben ist die Matrix A
 4 3

A  
5 7
Zu berechnen ist die Adjunkte Adj(A) der Matrix A .
 1. Kofaktoren berechnen:
mit Aij  (1)i  j  Dij erhalten wir ( Dij ist die entsprechende Unterdeterminante):
2. Kofaktormatrix aufstellen
A
Cof ( A)   11
 A21
A12   7  5 


A22    3 4 
3. Kofaktormatrix transponieren

Die Adjunkte einer Matrix ist die Transponierte der Kofaktormatrix.
A
Adj( A)  Cof ( A)T   11
 A12
A21   7  3


A22    5 4 
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Seite 15

Invertieren einer Matrix mit Hilfe der Adjunkten
 die Formel zur Berechnung der inversen Matrix mit Hilfe der Adjunkten lautet
A1 
1
 Adj( A)
A
 die Adjunkte ist die Transponierte der Kofaktormatrix (siehe oben);
es folgt also für die Berechnung der inversen Matrix:
A1 
1
 Cof ( A)T
A
 4 3

5 7
Beispiel 1: wir verwenden die Matrix aus dem Abschnitt „Adjunkte“: A  

A  det( A)  4  7  3  5  13
A12   7  5 


A22    3 4 
A21   7  3 
A
  

Adj( A)  Cof ( A)T   11
 A12 A22    5 4 
1
1  7  3

A1   Adj( A)  
A
13   5 4 
A
Cof ( A)   11
 A21

- siehe oben
- siehe oben
 2 1 0 


Beispiel 2: wir verwenden die Matrix aus dem Abschnitt „Invertieren“: A   1 2  2 
 0 1 1 


A  det( A)  4  1  4  1

 A11

Cof ( A)   A21
A
 31
A12
A22
A32
A13   0  1  1
 

A23    1 2 2 
A33   2 4 5 
 0 1 2


Adj( A)  Cof ( A)    1 2 4 
 1 2 5


 0 1 2


1
1
A   Adj( A)    1 2 4 
A
 1 2 5


T

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- selbst rechnen
- selber prüfen
- stimmt!
Lösung siehe oben
Seite 16
 Orthogonale Matrix Q
Eine orthogonale Matrix ist eine quadratische, reelle Matrix, deren Zeilen- und Spaltenvektoren
paarweise orthonormal zueinander sind.
Wann sind Vektoren orthonormal zueinander?
- die Vektoren stehen senkrecht aufeinander - rechnerisch sind zwei Vektoren orthogonal,
wenn ihr Skalarprodukt gleich Null ist.
- die Vektoren sind normiert; sie haben die Länge 1; es sind Einheitsvektoren.
Es folgt also:
Bilden die Spalten einer quadratischen Matrix ein System zueinander orthogonaler
Einheitsvektoren, so heißt diese Matrix orthogonale Matrix.
Eigentlich müsste man die beschriebene Matrix orthonormale Matrix nennen.
Dieser Begriff ist aber unüblich.
Eigenschaften
- die Inverse einer orthogonalen Matrix ist gleichzeitig ihre Transponierte.
Q1  QT
-
die transponierte Matrix Q T ist ebenfalls eine orthogonale Matrix
-
das Produkt einer orthogonalen Matrix mit ihrer Transponierten ergibt die Einheitsmatrix.
Q  QT  E
-
das Produkt zweier orthogonaler Matrizen ist wieder orthogonal
eine orthogonale Matrix ist über den komplexen Zahlen diagonalisierbar
die Determinante einer orthogonalem Matrix hat entweder den Wert +1 oder -1.
eine orthogonale Matrix mit der Determinante +1 beschreibt eine Drehung.
Man spricht dann auch von einer eigentlich orthogonalen Matrix.
eine orthogonale Matrix mit der Determinante -1 beschreibt eine Drehspiegelung.
Man spricht dann auch von einer uneigentlich orthogonalen Matrix.
eine orthogonale Matrix, die die Drehung eines Vektors beschreibt, heißt Drehmatrix
Anwendungen
 Multiplikation mit einer orthogonalen Matrix dreht oder spiegelt Vektoren.
Länge und Winkel zwischen den Vektoren bleibt erhalten.
Solche Abbildungen heißen Kongruenzabbildungen
Beispiele orthogonaler Matrizen
1. Die orthogonale Matrix
0 1

Q  
1 0
beschreibt eine Spiegelung an der Geraden y  x .
Dr. Hempel – Mathematische Grundlagen, Matrizen und Determinanten
Seite 17
Diese Spiegelung vertauscht die x1 - und x2 -Komponente eines Vektors:
 0 1   x1   x2 
      
Q  x  
 1 0   x2   x1 
2. Gegeben ist die Matrix A . Prüfen Sie diese auf Orthogonalität!

x2  

y2  


 3 / 2
;
a1  

1
/
2


  1/ 2 
 ;
a2  
 3 / 2
x
A  (a1 , a2 )   1
 y1
3
2
1
2
1
 
2
3

2 
a1  ( 3 / 2) 2  (1 / 2) 2  1
a2  (1 / 2) 2  ( 3 / 2) 2  1
a1 , a2  ( 3 / 2)  (1 / 2)  (1 / 2)  ( 3 / 2)  0
Die Vektoren der Matrix haben einen Betrag von 1 – sie sind normiert.
Die Vektoren stehen senkrecht aufeinander – die Matrix ist orthogonal.
Auf Orthogonalität prüfen
will man prüfen, ob eine Matrix orthogonal ist, ist es am einfachsten, die Eigenschaft Q  QT  E
zu prüfen.
Beispiel
0 1
 um eine orthogonale Matrix?
1 0
Handelt es sich bei der Matrix A  
Wir prüfen...
 0 1  0 1 1 0
  
  
  E
A  AT  
1 0 1 0  0 1
...und kommen zu dem Ergebnis, dass es sich bei der Matrix A um eine orthogonale Matrix handelt.
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Seite 18
 Drehmatrix
-
bereits oben erwähnt wurde:
 eine orthogonale Matrix, die die Drehung eines Vektors beschreibt, heißt Drehmatrix
 diese Drehmatrix hat die Determinante +1.
 oft nennt man sie auch Rotationsmatrix.
Drehmatrix im R 2
- im zweidimensionalen Raum lautet die Rotationsmatrix
 cos 
R  
 sin 
-
 sin  

cos  

die Drehung eines Vektors r im mathematisch positiven Sinn (gegen den Uhrzeigersinn) um
einen Winkel  erreicht man mit
  cos 
R  r  
 sin 
 sin    x   x  cos   y  sin    x'  
   
     r'
cos    y   x  sin   y  cos    y' 

die Komponenten des Bildvektors r ' ergeben sich demnach zu
x'  x  cos  y  sin 
y'  x  sin   y  cos
Beispiel
  2
Der Vektor r    soll um 30° Grad gedreht werden.
1
  cos 30  sin 30   2 
   
R30  r  
sin
30

cos
30


 1
x'  2  cos 30 1 sin 30  1,23
y'  2  sin 30  1 cos 30  1,87
mit
Ergebnis
  cos 30  sin 30   2   1,23 
     r '  

R30  r  
 sin 30 cos 30   1 
1,87 
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Seite 19
Drehmatrix im R 3
-
eine Drehung im 3-D-Fall ist schwieriger zu beschreiben, als im zweidimensionalen Fall.
dreht sich der Körper nur um einen festen Punkt, so genügen zur eindeutigen Lagebeschreibung
drei voneinander unabhängige Winkel
die Drehung kann als Hintereinanderschaltung von elementaren Drehungen um Achsen des
körperfesten Systems aufgefasst werden
 dabei ist die Reihenfolge der Drehungen von besonderer Bedeutung
- relativ einfach gestaltet sich die Drehung um jeweils eine Achse:
 Drehung um die x -Achse
0
0 
1


Rx ( )   0 cos   sin  
 0 sin  cos  


 Drehung um die y -Achse
 cos  0 sin  


Ry (  )   0
1
0 
  sin  0 cos  


 Drehung um die z -Achse
 cos   sin  0 


Rz ( )   sin  cos  0 
 0
0
1 

 die dabei verwendeten Drehwinkel werden als „Kardan-Winkel“ bezeichnet
 eine Drehung um alle 3 raumfesten Achsen nacheinander in der Reihenfolge x, y, z
ergibt eine Drehmatrix
  cos 
 
 sin     0
cos     sin 
cos  cos 
0
1

R   0 cos 
 0 sin 

0


  cos  sin   sin  sin  cos 
 sin  sin   cos  sin  cos 

0 sin    cos 
 
1
0    sin 
0 cos    0
 sin 
cos 
0
 cos  sin 
cos  cos   sin  sin  sin 
sin  cos   cos  sin  sin 
0

0 
1 
sin 


 sin  cos  
cos  cos  
Führt man die Elementardrehungen nacheinander um die
momentanen Achsen aus
- zuerst um die z -Achse,
dann die gedrehte x -Achse und
dann wieder um die (nun gedrehte) z -Achse,
so heißen die Drehwinkel „Euler-Winkel“  ,  , 
Dr. Hempel – Mathematische Grundlagen, Matrizen und Determinanten
Seite 20
 die entsprechende Drehmatrix lautet:
 cos

R   sin 
 0

 sin 
cos
0
0 1
0
 
0    0 cos 
1   0 sin 
 cos cos   sin  cos  sin 

  sin  cos   cos cos  sin 

sin  sin 

  cos   sin  0 
 

 sin     sin  cos  0  
cos    0
0
1 
 cos sin   sin  cos  cos  sin  sin  

 sin  sin   cos cos  cos   cos sin  

sin  cos 
cos 

0
 die Eulerwinkel sind also ein Satz dreier unabhängiger Parameter, mit denen die Orientierung
eines festen Körpers im dreidimensionalen Raum beschrieben werden kann.
 die Drehlage wird aus einer beliebigen Lage durch eine Abfolge dreier Drehungen um spezielle
Achsen erzeugt
- die erste Drehachse ist eine raumfeste Achse, die beiden anderen sind vorher schon
mitgedrehte Achsen
 Euler-Winkel dienen u.a. dazu bekannten Koordinaten eines Ortsvektors in die zu einem verdrehten Koordinatensystem gehörenden umzurechnen
Bezeichnungen: raumfestes oder Labor-System und körperfestes oder Körper-System
 die Umrechnung erfolgt mit Hilfe der ober gezeigten Drehmatrix, mit der der Ortsvektor zu
multiplizieren ist
 die umgekehrte Umrechnung von körperfesten in raumfeste Koordinaten wird analog durchzuführen
- die dafür notwendige Drehmatrix lässt sich aus der Drehmatrix der Vorwärts-Drehung
bestimmen
- die Matrix für die Rückdrehung ist die transponierte zur Matrix der Vorwärts-Drehung
- oft finden sich auch Begriffe wie „passiven Drehung“ bzw. „Koordinatentransformation“
(dabei wird das Koordinatensystem gedreht) oder
„aktive Drehung“ (dabei wird der Ortsvektor gedreht; man erhält einen neuen Ortsvektor),
das Koordinatensystem bleibt dabei unverändert
 Wie berechnet man eine passive Drehung?
- man benutzt die Inverse der Drehmatrix R 1
- wegen RT  R  E gilt: RT  R1
- wir müssen die Drehmatrizen nur transponieren (nicht invertieren), um von einer aktiven
auf eine passive Drehung zu kommen.
Dr. Hempel – Mathematische Grundlagen, Matrizen und Determinanten
Seite 21
 Bild einer Matrix
-
ein weitere Begriff in Verbindung mit Matrizen ist der Begriff "Bild einer Matrix"
was ist das und wie wird es ermittelt?
 Das Bild einer Matrix ist gleich den linear unabhängigen Spalten.
 betrachten wir die Multiplikation einer Matrix A mit einem Vektor x :
 a11 a12

 a21 a22
 


a
 m1 am 2
 a1m   x1   b1 
    
 a2 m   x2   b2 


       
    
 amm   xm   bm 
Ergebnis ist ein Vektor b
 damit ergibt sich die Frage, welche Menge an Vektoren b als Lösungen auftreten können.
 bei Funktionen läge x im Definitionsbereich, für b ergäbe sich der Wertebereich
 bei Matrizen wird uns das durch das Bild der Matrix gegeben.
das Bild gibt also den ‚Wertebereich der Matrix‘, die Menge an Vektoren b als Lösung, an

wie berechnet man den Wertebereich der Matrix, das Bild einer Matrix?
Beispiel:
 1 3 2


A   2 4 4
 3 5 6


- wir multiplizieren diese Matrix nacheinander mit den drei Einheitsvektoren des R 3 :
 1 3 2 1  1

    
 2 4 4   0   2 ;
 3 5 6  0  3

    
 1 3 2 0  3

    
 2 4 4  1   4 ;
 3 5 6 0  5

    
 1 3 2 0  2

    
 2 4 4  0   4
 3 5 6 1 6

    
 wir erhalten die drei Spaltenvektoren unserer Matrix A
 diese drei Vektoren sind ein Bild, d.h. ein Teil der Wertemenge, der Matrix A ;
man schreibt:
 1   3   2 
     
img ( A)   2 ;  4 ;  4 
 3   5   6 
     
- es gibt noch mehr Bilder (unendlich viele); multiplizieren wir z.B. mit irgendeinem Vektor:
 1 3 2  0  4 

    
 2 4 4   0   8 
 3 5 6   2  12 

    
 auch dieser Vektor gehört zum Bild der Matrix.
Dr. Hempel – Mathematische Grundlagen, Matrizen und Determinanten
Seite 22
 1   3   2   4 
       
img ( A)   2 ;  4 ;  4 ;  8 
 3   5   6  12 
       
wir bemerken:
- dass es unendlich viele Bilder einer Matrix gibt
- alle Vektoren, die aus der Multiplikation der Matrix A mit einem beliebigen Vektor
hervorgehen, gehören zum Bild der Matrix
- alle Linearkombinationen dieser Vektoren gehören auch zum Bild der Matrix
 wir können damit den vierten Vektor aus dem Bild streichen,
da der dritte Vektor diesen gewissermaßen einschließt.
- Achtung: der dritte Vektor ist ein Vielfaches des ersten Vektors!
 wir können auch den 3. Vektor streichen!

 1   3 
   
img ( A)   2 ;  4 
 3   5 
   
- die verbleibenden Vektoren sind linear unabhängig
 das Bild lässt sich nicht weiter vereinfachen, ohne einen Teil der Lösungsmenge, des
Wertebereichs zu verlieren
 die Lösungsmenge besteht also aus 2 Vektoren sowie ihren Linearkombinationen
 Das Bild einer Matrix ist gleich den linear unabhängigen Spalten. (siehe oben)
Interpretation der Lösung
Da sich zwei Vektoren in der Lösungsmenge befinden, hat das Bild unserer Matrix die Dimension 2.
 damit haben wir auch direkt den Rang der Matrix berechnet;
der Rang einer Matrix entspricht der Dimension des Bildes
rang ( A)  dim( img ( A))  2

Verfahren, um die linear unabhängigen Spalten einer Matrix zu berechnen werden hier nicht
vorgestellt. Dazu wird auf die Literatur verwiesen.
Dr. Hempel – Mathematische Grundlagen, Matrizen und Determinanten
Seite 23
 Rang einer Matrix
-
eben fiel der Begriff „Rang einer Matrix“;
darunter versteht man die maximale Anzahl linear unabhängiger Spalten- bzw. Zeilenvektoren.
(In einer Matrix ist die größte Anzahl linear unabhängiger Spaltenvektoren stets gleich der größten Anzahl linear unabhängiger Zeilenvektoren)
Beispiel (von oben)
 1 3 2


A   2 4 4
 3 5 6


- wir hatten gesehen: die Vektoren sind linear abhängig;
die 3. Spalte ist ein Vielfaches der 1. Spalte
- die 1. und 2. Spalte sind linear unabhängig, der Rang dieser Matrix ist gleich 2:
rang ( A)  2 ;

Spezialfall: Rang einer quadratischen Matrix
 entspricht der Rang einer quadratischen Matrix ihrer Zeilen- oder Spaltenzahl,
wird sie reguläre Matrix genannt
reguläre Matrizen sind invertierbar, d.h. es lässt sich eine inverse Matrix berechnen
Beispiel einer regulären Matrix
 quadratische Matrizen sind regulär, wenn ihre Determinante von Null verschieden ist
1 3 2
A  2 4 4  10
1 4 7
die quadratische Matrix hat 3 Zeilen bzw. 3 Spalten; ihre Determinante ungleich Null
 die Matrix den Rang 3.
Beispiel einer singulären Matrix
 ist die Determinante einer quadratischen Matrix gleich Null,
wird sie singuläre Matrix genannt;
singuläre Matrizen besitzen keine Inverse
1 3 2
A  2 4 4 0
3 5 6
 was ist aber mit dem Rang?
- zum Rang dieser Matrix lässt sich die Aussage treffen, dass er kleiner als 3 ist
- wie aber lässt er sich ermitteln?
Dr. Hempel – Mathematische Grundlagen, Matrizen und Determinanten
Seite 24
 das ist nicht ganz einfach zu überschauen;
vielleicht ist es einfacher, den Rang mit Hilfe des Begriffs der Unterdeterminante festzulegen:
 der Rang einer Matrix ist die Anzahl der Zeilen (oder Spalten, resp.) der Determinante
oder der größten Unterdeterminante mit Nicht-Null-Wert
Beispiel:
der Rang einer 3 x 3 -Matrix ist rg ( A)  rank ( A)  3 , wenn A  0 ;
falls die Determinante A  0 , sucht man die größte Unterdeterminante.
1 3 2
A  2 4 4  0;
3 5 6
A11 
4 4
5 6
 4 ; A12 
2 4
3 6
0;
A13 
2 4
3 5
 2
 sowohl A11  0 , als auch A13  0
 die Matrix hat den Rang 2; rg ( A)  rank ( A)  2

Spur einer Matrix
Als Spur einer quadratischen n  n -Matrix bezeichnet man die Summe der Diagonalenelemente:
n
Spur( A)   a jj  a11  a22  ...ann
j 1
wozu auch noch diese Größe?
- z.B. zur Kontrolle unserer Rechnungen
- (für später:) die Spur einer diagonalisierbaren Matrix ist gleich der Summe der Eigenwerte
Dr. Hempel – Mathematische Grundlagen, Matrizen und Determinanten
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