Lösung Übung 3 - Rechts- und Wirtschaftswissenschaften

Vorkurs Mathematik
für Wirtschaftsingenieure
und Wirtschaftsinformatiker
Übungsblatt 3
Musterlösung
Fachbereich Rechts- und Wirtschaftswissenschaften
Wintersemester 2015/16
Aufgabe 1 (Definitionsbereiche)
Bestimme den maximalen Definitionsbereich D für
a) ξ : D 7→ R : x 7→
p
ex + x
2
x −1
b) θ : D 7→ R : x 7→
2
e x +2x−3 + x 2 +2x−3
x 2 +2x−3
c) χ : D 7→ R : x 7→
1
sin(x)−cos(x)
p
Lösungsvorschlag:
a) Wegen der Wurzel im Zähler kann die Funktion maximal auf R+
0 definiert sein. Weiterhin darf der Nenner nicht 0
werden. Somit finden wir D = R+
\
{1}
0
b) Zuerst müssen wir wieder beachten, dass unter der Wurzel nichts negatives steht. Wir wissen bereits, dass die
Nullstellen der Funktion g(x) = x 2 + 2x − 3 die Stellen x 1 = 1 und x 2 = −3 sind (vgl. Aufgabe „7a)“). Wegen
des positiven Vorzeichens vor dem x 2 ist diese Parabel nach oben geöffnet. Somit gilt g(x) ≥ 0 für x ≥ 1 und
x ≤ −3. Dies sind aber genau die Nullstellen des Nenners, der ja nicht 0 werden darf. Wir erhalten nun für den
Definitionsbereich: D = {x ∈ R | x < −3 ∨ x > 1} = (−∞, −3) ∪ (1, ∞)
c) Hier ist nur zu beachten, dass der Nenner nicht 0 wird. Das ist genau dann der Fall, wenn sin(x) − cos(x) = 0 gilt.
Ferner gilt für cos(x) 6= 0:
⇔
⇔
⇔
Diese Gleichung ist erfüllt für x = π4 , x =
5π
4 ,
sin(x) − cos(x)
sin(x)
sin(x)
cos(x)
tan(x)
x=
Der Definitionsbereich ergibt sich somit zu D = R \
9π
=0
= cos(x)
=1
=1
, ... , beziehungsweise x =
o
(4k+1)π k
∈
Z
4
n4
(4k+1)π
4
mit k ∈ Z.
1
Aufgabe 2 (Monotonie II)
Finde jeweils eine Funktion f , die auf dem von dir gewählten Intervall I :
a) monoton fallend
b) streng monoton fallend
c) monoton fallend und zugleich monoton steigend
d) streng monoton fallend und zugleich streng monoton steigend
ist.
Lösungsvorschlag:
a) f (x) = −x ist auf I = [0, 1] monoton fallend.
b) f (x) = −x ist auf I = [0, 1] sogar streng monoton fallend.
c) Jede konstante Funktion f (x) = c, c ∈ R ist monoton fallend und zugleich monoton steigend.
d) Es gibt keine Funktion, die streng monoton fallend und zugleich streng monoton steigend ist!
Aufgabe 3 (Polynome)
Klassifiziere alle Polynome, die achsensymmetrisch zur y -Achse, bzw. punktsymmetrisch zum Ursprung sind. Mache
dir dazu erst wieder die Bedingung klar, die jeweils erfüllt sein muss, und prüfe diese für ein allgemeines Polynom
p(x) = a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + an x n nach.
Lösungsvorschlag:
Die Bedingung für Achsensymmetrie bzgl. der y -Achse lautet p(x) = p(−x). Für unser allgemeines Polynom folgt
dann p(−x) = a0 + a1 (−x) + a2 (−x)2 + ... + an (−x)n = a0 − a1 x + a2 x 2 + ... + an (−1)n x n Das Vorzeichen wird also
bei allen ungeraden Potenzen von x umgekehrt und bleibt bei allen geraden erhalten. Hat das Polynom nun keine
ungeraden Potenzen(d.h. alle Koeffizienten mit ungeradem Index sind 0), bleiben alle Vorzeichen erhalten und es gilt
genau p(x) = p(−x). Es liegt also Achsensymmetrie vor, wenn alle Potenzen gerade sind.
Die Bedingung für die Punktsymmetrie lautet p(x) = −p(−x). Bei unserem allgemeinen Polynom müssen nun alle
Koeffizienten mit geradem Exponent 0 werden. Ein Polynom ist also punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn es nur
ungerade Exponenten enthält.
Aufgabe 4 (Ableitungsregeln)
Berechne die Ableitung der folgenden Funktionen f i : R → R mit i ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.
a) f1 (x) = e3x−5
q
b) f2 ( y) = sin
x+
1
x3

c) f3 ( y) = cos(x y)
p
d) f4 (x) = 2x 2 + 1
1
e) f5 (x) = 7x 3 − 5x 2 + 2x 2 − 1
f) f6 (x) = 2x · e−x
4
g) f7 (x 2 ) = sin2 (x 2 ) + cos2 (x 2 ) 7
2
h) f8 (t) = ln(x t 2 )
i) f9 (ρ) =
cos(3 yρ)
2
ρ 5 +ρ
j) f10 (Φ) = tan
ϕ 2 +ϕ 3
4ϕ+ p1ϕ
Lösungsvorschlag:
a) f10 (x) = 3e3x−5
b) f20 ( y) = 0
c) f30 ( y) = −x · sin(x y)
d) f40 (x) = p4x 2
2x +1
2·
= p 2x2
e) f50 (x) = 21x 2 − 10x +
2x +1
1
p
x
f) f60 (x) = 2 · e−x + 2x · e−x · (−1) = 2e−x · (1 − x)
4
g) f70 (x) = (1 7 )0 = (1)0 = 0
h) f80 (t) =
i)
f90 (ρ)
=
2x t
x t2
=
2
t
2

−3
(−3 y sin(3 yρ)) ρ 5 +ρ −cos(3 yρ) 25 ρ 5 +1
2
2
ρ 5 +ρ
0
(Φ) = 0
j) f10
Aufgabe 5 (Polstellen und Extrema)
Bestimme Polstellen und Extrema der folgenden Funktionen, überlege dir, wie sie sich im Unendlichen verhalten und
skizziere sie dann:
a) f1 (x) = sin(x)
b) f2 (x) =
1
sin(x)
c) f3 (x) =
1
x2
d) f4 (x) =
1
x 2 +1
e) f5 (x) =
1
x 2 −1
3
Lösungsvorschlag:
9π
a) f1 (x) = sin(x) hat keine Polstellen, die Extrema liegen bei x = ..., π2 , 5π
2 , 2 , ... (Maxima) und bei
π 3π 7π
x = ..., − 2 , 2 , 2 , ... (Minima).
1
sin(x) hat Polstellen bei
π 3π 7π
..., − 2 , 2 , 2 , ... (Maxima).
b) f2 (x) =
x=
9π
x = ..., −π, 0, π, ... und Extrema bei x = ..., π2 , 5π
2 , 2 , ... (Minima), bzw.
c) f3 (x) =
1
x2
d) f4 (x) =
1
x 2 +1
hat keine Polstellen und ein Maximum bei x = 0.
e) f5 (x) =
1
x 2 −1
hat zwei Polstellen bei x = 1 und x = −1 und ein Maximum bei x = 0.
hat eine Polstelle bei x = 0 und keine Extrema.
Aufgabe 6 (Additionstheoreme∗ )
Leite die Additionstheoreme her:
a) sin(ϕ + ψ) = sin(ϕ) · cos(ψ) + cos(ϕ) · sin(ψ)
b) cos(ϕ + ψ) = cos(ϕ) · cos(ψ) − sin(ϕ) · sin(ψ)
c) tan(ϕ + ψ) =
4
tan(ϕ)+tan(ψ)
1−tan(ϕ)·tan(ψ)
Lösungsvorschlag:
Wir nutzen hier die im Skript vorgestellte Euler’sche Formel e iϕ = cos(ϕ)+ i sin(ϕ). Daraus sehen wir, dass der Cosinus
der Realteil und der Sinus der Imaginärteil der imaginären Exponentialfunktion ist.
a)
sin(ϕ + ψ) = Im(e i(ϕ+ψ) )
= Im(e iϕ · e iψ )
= Im ((cos(ϕ) + i · sin(ϕ)) · (cos(ψ) + i · sin(ψ))
= Im (cos(ϕ) · cos(φ) − sin(ϕ) · sin(ψ) + i · (cos(ϕ) · sin(ψ) + sin(ϕ) · cos(ψ)))
= cos(ϕ) · sin(ψ) + sin(ϕ) · cos(ψ)
b) Wie in der „a)“, ersetze allerdings den Imaginärteil durch den Realteil.
c)
sin(ϕ + ψ)
cos(ϕ + ψ)
cos(ϕ) · sin(ψ) + sin(ϕ) · cos(ψ)
=
cos(ϕ) · cos(ψ) − sin(ϕ) · sin(ψ)
tan(ϕ + ψ) =
=
=
cos(ϕ)·sin(ψ)
cos(ϕ)·cos(ψ)
+
sin(ϕ)·cos(ψ)
cos(ϕ)·cos(ψ)
cos(ϕ)·cos(ψ)
cos(ϕ)·cos(ψ)
−
sin(ϕ)·sin(ψ)
cos(ϕ)·cos(ψ)
tan(ψ) + tan(ϕ)
1 − tan(ϕ) · tan(ψ)
5

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