Universität Bielefeld H. Matzinger, G. Elsner WS 2005/06 Übungen zur Einführung in die angewandte Mathematik Blatt 8 Aufgabe 1 Wie viele dreistellige Zahlen kann man mit den Ziffern 4; 5; 6; 7; 8 schreiben, wenn a) jede Ziffer höchstes einmal auftreten darf, b) Ziffern wiederholt werden dürfen, c) jede Ziffer kleiner oder gleich der nachfolgenden ist? Aufgabe 2 Bei einem Festakt wurde ein Tisch für 8 Ehrengäste reserviert. Aus Versehen wurden die Tischkarten mit den Namen der Gäste nicht an die Plätze gelegt, so dass die Ehrengäste ihren Platz am Tisch zufällig wählten (d.h., dass alle Sitzkonstellationen als gleichwahrscheinlich angenommen werden dürfen). a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit saßen alle Ehrengäste auf den Plätzen, die für sie eigentlich durch die Platzkarten vorgesehen waren? b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit saßen 6 (bzw. 5. bzw. 4) der Ehrengäste auf den für Sie vorgesehenen Plätzen? Aufgabe 3 a) Wie viele Mg̈olichkeiten gibt es, aus 12 Personen einen Viererausschuss zu bilden? b) Auf wie viele Arten kann man 5 Zirkuskarten auf 9 Schüler verteilen, wenn ein Schüler höchstens eine Zirkuskarte bekommen soll? c) Eine Krankheit kann durch 6 verschiedene Wirkstoffe bekämpft werden. Aus Kostengründen werden nur 3 dieser Wirkstoffe einer Salbe beigemischt. Wie viele Möglichkeiten gibt es dafür? Aufgabe 4 Von 5 angegebenen Lösungen einer Testfrage sind genau 2 richtig. Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden die richtigen erraten, wenn der Prüfling ohne jede Sachkenntnis 2 Antworten zufällig ankreuzt? Aufgabe 5 Schreiben Sie (a + b)8 als Summe mit möglichst wenigen Summanden! Aufgabe 6 Beim Lotto ,,5 aus 42” werden aus einer Lostrommel (Urne) nacheinander fünf der von 1 bis 42 numerierten Kugeln als Gewinnzahlen und anschließend eine als Zusatzzahl gezogen. Auf einem Lottozettel müssen 5 Zahlen durch Ankreuzen erraten werden. Die gezogenen Kugeln werden nicht in die Trommel zurückgelegt und die Reihenfolge der gezogenen Zahlen bleibt unberücksichtigt. a) Wie viele Möglichkeiten der Ziehung gibt es? Was ist die Wahrscheinlichkeit für die Gewinnklasse I (,,5 Richtige”)? b) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit für den Jackpot (,,5 Richtige mit Zusatzzahl”), für die Gewinnklasse II (,, 4 Richtige mit Zusatzzahl”), für die Gewinnklasse III (,,4 Richtige”), für ,,3 Richtige mit Zusatzzahl” und für gar keinen Gewinn! Zusatzaufgabe: Aus einer Urne mit 3 Kugeln, die mit a; b bzw. c beschriftet sind, werden nacheinander mit Zurücklegen 2 Kugeln entnommen. a) Welche (und wie viele) Ergebnisse kann dieses Experiment haben, wenn die gezogenen Buchstaben ohne Berücksichtigung der Reihenfolge interessieren? b) Legen Sie eine Tabelle der folgenden Form a × × × .. . b c × .. . .. . Ergebnis a;a a:b .. . Zeichenkette × ×|| ×| × | .. . an und füllen Sie sie für alle möglichen Ergebnisse entsprechend aus (× bedeutet: ist gezogen worden). Eine Zeichenkette entsteht, wenn man die Kreuze einschließlich der Trennstriche zwischen den Spalten für a, b und c notiert. c) Wie viele Trennstriche gibt es bei einer Tabelle wie unter b) bei n unterschiedlich beschrifteten Kugeln? Aus wie vielen Zeichen besteht jede Zeichenkette bei n Kugeln, von denen k Kugeln wie in a) gezogen werden? Zeigen Sie damit, dass es bei der Ziehung von k Kugeln aus einer Urne mit n Kugeln mit Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge insgesamt n+k−1 verschiedene Möglichkeiten gibt. k d) Bei einem Sonderangebot kann man sich eine Kiste (12 Flaschen) aus 3 verschiedenen Getränkesorten beliebig zusammenstellen. Wie viele Möglichkeiten gibt es?
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