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NMR-Diffusionsexperimente
•
•
Messung mikroskopischer, stochastischer
Molekülverschiebungen im µm-Bereich:
(i) Brown`sche Bewegung
(ii) kapillare Perfusion
Messgrösse: Diffusionskonstante D oder ADC
( „apparent diffusion coefficient“)
•
Gemessener ADC ist von „Gewebegeometrie“ und
gewählten Messparametern abhängig:
(i) ADC als Funktion der zeitlichen Skala
(ii) Richtungsabhängigkeit der
Molekülmobilität (Anisotropie)
→
Aussage über Gewebemikrostruktur
•
Kombination mit NMR-Bildgebung ermöglicht
ortsaufgelöste in vivo Messungen (µm ↔ mm)
•
In vivo Einsatz:
- Frühdiagnose des akuten Schlaganfalles
- Strukturdarstellung und
Gewebeveränderung (Anisotropie)
- Perfusion
Klassisches Diffusionskonzept:
Fick’sche Gesetze
1. Fick’sche Gesetz:
r r
r
J = − D ∇c ( r , t )
J
r
J
c(r)
Ort r
= Teilchenfluss
D
r
∇c
= Diffusionskonstante
= Konzentrationsgradient
c(z)dz
Jz(z+dz)
Jz(z)
dz
r
rr r
∂c( r , t )
= −∇ J ( r , t )
∂t
Massenerhaltung !
2. Fick’sche Gesetz:
r
r
∂c( r , t )
= D∇ 2 c ( r , t )
∂t
Diffusionsgleichung
Selbstdiffusion der Wasserprotonen
"Brown‘sche Molekular-Bewegung"
Mittlere in der Zeit ∆ durch stochastische Bewegung
zurückgelegte Strecke R:
b
R = 2D∆
EinsteinSmoluchowski
a
Diffusionszeit [s]
Diffusionkonstante [mm2/s]
Beispiel:
Freies Wasser: DH20= 2.5 •10-3 mm2 /s
Wasser in grauer Gehirnmasse: DGM= 0.8 •10-3 mm2/s
Eingeschränkte Diffusion:
Verschiebungsquadrat
Freies Wasser
Eingeschränktes
Wasser
L
Diffusionszeit ∆
Freie und eingeschränkte Selbstdiffusion
X0
freie Diffusion,
L2 = nD∆
Einstein-Smoluchowski
Beziehung; n=2,4,6
eingeschränkte
Diffusion, I
(2D∆) 1/ 2 << (L − X0 )
2L
eingeschränkte
Diffusion, II
∆ >> L2 / D
Paralle Platten mit
Abstand 2L
(2D∆)1/2
0
Zeit
Anisotrope Diffusion:
D
Molekulare Bewegung
in geordneten Strukturen:
D (Tensor)
D (Scalar)
 Dxx

D =  D yx
D
 zx
Dxy
D yy
Dzy
D
Dxz 

D yz 
Dzz 
Anisotrope Diffusion in Muskelfasern:
D_ = 0.45 D H2O
/
D/
H2O
.7 D
0
=
O
H2
Spin-Echo NMR Experiment
90x
180x
HF
Zeit
Gradient
SE
exp(− TE / T2 )
Signal
TE/2
TE/2
Magnetisierungsverhalten:
z
z
z
z
y
x
Resultierende
Echoabschwächung:
y
x
x
E(TE) = M / M o = exp(− TE / T2 )
Gepulstes Gradienten Spin-Echo NMR Experiment
Stejskal and Tanner. J.Chem.Phys. 42,288 (1965)
90x
180y
HF
Zeit
δ
g
Gradient
∆
SE
exp( − bD )
Signal
TE/2
TE/2
Spin-Labeling:
g
-g
Ort
stationäre
Spins
r
g
r
r1
r
r2
mobile
Spins
∆Φ = 0
r r
∆Φ = γ ⋅ g ⋅ ∆( r2 − r1 )
Zeit
Pulsed Gradient Spin-Echo NMR: q-space
Larmor Beziehung:
Diffusionsgradient:
ω =γ ⋅ Bo
BDiffusion
r r
ω = γ ( B0 + g ⋅ r )
r r
= g ⋅r
90x
180y
HF
δ
Zeit
g
Gradient
Zeit t=0
r
r
∆
r
R
r
r′
Zeit t=∆
narrow pulse limit: δ << ∆
Phasenverschiebung nach Gradientenpulsen
1.
δ r r
r
φ ( r ) = γ ∫ g ⋅ r dt
2. φ ( rr ′) = γ
0
∫
δ
0
r r
g ⋅ r ′dt
Resultierende Netto-Phasenverschiebung
r
r
r r r
r r
r r
∆ φ = φ ( r ′) − φ ( r ) = γδ g ( r ′ − r ) = γδ g ⋅ R = 2πq ⋅ R
Def. q-Vektor
r
r γδg
q=
2π
[Dim. λ−1]
Transversale Magnetisierung für einzelnen Spin
rr
M xv / M 0 = exp( i∆Φ ) = exp( i 2πqR )
Echoabschwächung für Spinensemble
1022 Spins
N
r
M xy / M 0 = E (g , ∆ ) = ∑ exp( i∆Φ n ) = exp( i∆Φ )
n =1
Ensemblemittelwert
Resultierende Echoabschwächung:
r
r
r
rr r
E ( g , ∆ ) = E ( q , ∆ ) = ∫ P ( R, ∆ ) exp( i 2πq R )dR
Propagator
r
P ( R, ∆ ) =
Wahrscheinlichkeit, daß sich ein beliebiger
Spin während der
r
Beobachtungszeit ∆ um die Strecke R bewegt hat
r
E (q, ∆)
FT
r
P ( R, ∆ )
r
r
q⇔R
r
r
k ⇔ r NMR-Bildgebung
Echoabschwächung E im Propagator-Formalismus:
r
E(g, ∆) =
r
rr
r r r r r
ρ
(
)
(
'
,
)
exp(
γδ
( r ' − r )) dr 'dr
r
P
r
r
∆
i
g
∫∫
r r
r
ρ ( r )dr = Wahrschein lichkeit einen Spin an der Positi on r
währe nd des ersten Gradienten pulses zu finden
rr
r
P( r r ', ∆ )d r ′ = Wahrschein lichkeit einen Spin der währen d des
r
1. Gradienten an der Position r war zu einem
späteren Zeitpunkt ∆ (während des 2. Gradienten )
r
an der Stelle r ' zu finden
Average Propagator:
r
r
rr
r
P ( R, ∆ ) = ∫ ρ ( r ) P( r r ', ∆ )dr
r
P ( R , ∆ ) = Wahrschein lichkeit , daß sich ein beliebig gewähltes
r r
Mole kül in der Probe um (r '− r ) bewegt hat
Echoabschwächung für Spinensemble
r
r
r
rr r
E ( g , ∆ ) = E ( q , ∆ ) = ∫ P ( R , ∆ ) exp( i 2πq R ) dR
Propagator-Beispiele:
E(q)
Diffusion
(homogenes
Medium)
q
P ( Z , ∆ ) = ( 4πD∆ )
−3 / 2
Z2
exp( −
)
4 D∆
E(q, ∆) = exp(−4π 2q 2 D∆)
Fluss
Bewegung
P ( Z , ∆ ) = δ ( Z − v∆ )
E(q, ∆ ) = exp(− i 2πq ⋅ v∆ )
Propagator
Eingeschränkte Diffusion
X0
P (Z , ∆)
freie Diffusion,
Z
2
= 2 D∆
Einstein-Smoluchowski
a
eingeschränkte
Diffusion
-a
Z
a
Propagator= AC-Fkt.
∆ >> a 2 / D
P ( Z , ∞) = ∫ ρ ( z ) ρ ( z + Z )dz
Echoabschwächung E(q,∆):
∆ << a 2 / D
∆ = a2 / D
E ( q, ∞) = sin c(πqa )
∆ >> a 2 / D
q
2
Diffusionsexperimente: Theorie
r
∂M xy
∂t
r r
r2 r
= γ ( M × B ) xy + D∇ M xy
Blochsche Bewegungsgleichung
r2
∂c
= D∇ c
∂t
2. Fick’sches Gesetz:
Diffusionskonstante
Lösung für bipolare Gradienten:
Resultierende
Echoabschwächung:
E(b) = M / M o = exp(− bD)
δ
Def. b-Wert: b = γ g δ (∆ − )
3
[s/mm2]
2
2
2
Maß für Bewegungssensitivität
Bsp.:
DGehirn ≈ 1.0⋅ 10 −3 mm 2 / s
g = 10mT/m, δ = 40 ms, ∆ = 100 ms
}
b ≈ 1000 s / mm 2
Echoabschwächung:
auf 1/e !
Gesamteffekt: Relaxation + Diffusion
E(TE, b) = exp( − TE / T2 ) ⋅ exp(−bD)
Resultierende GesamtEchoabschwächung:
Diffusionsbildgebung mit NMR
90x
180y
HF
Zeit
δ
κ
Gradient
g
∆
κ
exp( − bD ) ⋅ exp( − TE / T 2 )
Signal
TE/2
TE/2
Schicht
Lese
Phase
Anforderungen an Bildgebungstechnik
• Hohes S/R, K/R
• geringe Bewegungssensitivität
• quantitativ !
ADC-Bestimmung mit DW-NMRT
• NMR-Signal als Funktion von Diff.-Gradienten:
S ( g , ∆ ) = S0 exp{− γ 2 g 2δ 2 ( ∆ − δ / 3) D}
Hardware
Messgrösse
• mind. 2 Messungen mit unterschiedlichem b
• pixelweise Berechnung des ADC-Wertes:
ADCPixel =
b = 2 s/mm2
ln( S0 / S )
b1 − b0
ADC-Karte
D [ µm2/s ]
3000
b = 650 s/mm2
1500
0
Anisotrope Diffusion: Spurbildgebung
b= 1000 s/mm2
b= 0 s/mm2
 D xx

D =  D yx
D
 zx
Spur:
Dxy
D yy
Dzy
D xz 

D yz 
D zz 
Spur-Bild : (Dxx+Dyy+Dzz)/3
Spur, Trace = Summe der Diagonalelemente, rotationsinvariant
Tr(D)/3 = (Dxx+D yy+Dzz)/3=(D ||+ 2D— )/3
Anisotrope Diffusion: Effektiver Selbstdiffusionstensor Deff
Deff
Diffusionstensor
im Zelleigenen System
Messtensor
in GradientenReferenzsystem
(
Deff = R -1 D R =
Rotationsmatrix
R=
)
D||
0
D=
(
0
D_
(
)
Dxx Dxy
Dyx Dyy
)
cosθ - sinθ
sinθ
cosθ
x
y
Messrichtung
Orientierung:
GradientenReferenzsystem
r
g
D||
D—
Deff=D||
Tensorbildgebung:
mindestens 7 Messungen,
Eigenwert/Eigenvektorberechnung
RESULTAT:
RESULTAT:Diffusionellipsoid/Bildpixel
Θ
Deff=D|| cos2(Θ)+D— sin2(Θ)
Anisotrope Diffusion: Quantifizierung der Anisotropie
ADC
ADC Pixel =
Anisotropie
ln( M 0 / M )
b1 − b0
• Messung der richtungsabhängigen Diffusionskoeffizienten Dii (i=x,y,z)
• Berechnung der Eigenwerte λ und Eigenvektoren
• Quantifizierung der Anisotropie erfolgt mit verschiedensten
Indexkarten: FA, VR
Volumenratio VR
VR ∝
λ1 ⋅ λ2 ⋅ λ3
λ3
fraktionelle Anisotropie-Index FA
(0-1; isotrop-nicht-isotrop)
FA ∝
∑i(λi − λ )
2
∑λ
i i
2

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