Geometrische Bestimmung der Parabeltangenten

Technische Universität München
Zentrum Mathematik
Dr. Hermann Vogel
DGS-Praktikum
CAS-Parabeltangenten
Geometrische Bestimmung der Parabeltangenten
Die beiden Files CAS-Parabeltangenten1.ggb und CAS-Parabeltangenten2.ggb zeigen
die Möglichkeit, die Parabeltangenten durch einen Punkt P der Parabel oder parallel zu einer
Geraden g samt Berührpunkt B geometrisch ohne den Ableitungsbegriff zu bestimmen.
Analog zum Kreis schneiden (nicht vertikale) Geraden eine Parabel in zwei reellen Punkten
(Sekante), genau einem Punkt (Tangente) oder zwei konjugiert komplexen Punkten (Passante). Suche daher (nicht vertikale) Geraden, welche die Parabel in genau einem Punkt treffen.
Setze zunächst im Zeichenfenster einen Schieberegler für den Wert a, definiere dann im
CAS-Fenster die Funktion f(x) := a x^2 und wähle einen Punkt P auf dem Graphen von f.
Eine Gerade g durch P ist bestimmt durch die Funktion g(x) := m (x - x(P)) + y(P) mit
variabler Steigung m. Bestimme nun m so, dass die beiden Schnittpunkte von g und der
Parabel zusammenfallen. Löse dazu die Gleichung g = f (vgl. Zeile 3) und setze die Lösungen gleich (bzw. die Differenz gleich 0, vgl. Zeile 5). Da die beiden Lösungen in Zeile 3 in
einer Liste ausgegeben werden, muss zur Definition von D auf die Elemente des Ergebnisses $3 mit dem Befehl Element[ <Liste>, <Position des Elements> ] zugegriffen werden.
Löse[D=0, m] liefert den gesuchten Wert von m (vgl. Zeile 6) und damit die Tangente in P
als g_t := Ersetze[g , $6] (vgl. Zeile 7).
Verändere nun den Wert von a oder verschiebe den Punkt P auf der Parabel.
Mit dem Schieberegler für den Wert m0 im Zeichenfenster wird in Zeile 9 die Gerade g0
durch P mit der Steigung m0 definiert als: g_0(x):=Ersetze[g, m=m_0] . Man kann dann m0
so wählen, dass g0 Tangente an die Parabel in P ist, vgl. CAS-Parabeltangenten1.ggb.
Um das CAS-Protokoll zu kommentieren, sind in Zeile 4 und 8 Texte eingefügt. Dazu klickt
man die Zeilennummer mit der rechten Maustaste an und wählt Text. Dort findet man auch
Lösche Zeile.
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Technische Universität München
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Dr. Hermann Vogel
DGS-Praktikum
CAS-Parabeltangenten
Statt dem Punkt P auf der Parabel wird im File CAS-Parabeltangenten2.ggb nach Definition von f(x) := a x^2 mit den Werten a und m der beiden Schieberegler im Zeichenfenster eine allgemeine Gerade g(x):=m*x + t mit variablem y-Abschnitt t betrachtet.
Bestimme nun t so, dass die beiden Schnittpunkte von g und der Parabel zusammenfallen.
Löse dazu die Gleichung g = f (vgl. Zeile 3) und setze die Lösungen gleich (bzw. die Differenz gleich 0, vgl. Zeile 5).
Löse[D=0, t] liefert den gesuchten Wert von t (vgl. Zeile 7) und damit die Parabel-Tangente
als g_t := Ersetze[g , $7] (vgl. Zeile 8).
Um den Berührpunkt B zu bestimmen, ersetze mit Ersetze[Element[$3,1],$7] in der ersten
Lösung aus Zeile 3 die Variable t durch das Ergebnis der Zeile 7. Das liefert in Zeile 9 den xWert der zusammenfallenden Schnittpunkte, d.h. den Berührpunkt B := Ersetze[(x, f(x)),$9]
(vgl. Zeile 10).
Verändere nun die Werte von a oder m.
Mit dem Schieberegler für den Wert t0 im
Zeichenfenster wird in Zeile 12 die Gerade
g0 durch P mit der Steigung m0 definiert als:
g_0(x):=Ersetze[g, t=t_0] . Man kann dann
t0 so wählen, dass g0 eine Parabel-Tangente
ist, vgl. CAS-Parabeltangenten2.ggb.
In beiden Files sieht man das Zusammenspiel der Dynamischer Geometrie Software (DGS)
mit dem Computer-Algebra-System (CAS), d.h. Änderungen im Zeichenfenster werden im
CAS-Teil übernommen und umgekehrt. Es können aber Probleme bei zeitaufwendigeren
CAS-Routinen auftreten, da nach jeder kleinen Änderung im Zeichenfenster das Konstruktionsprotokoll und das CAS-Protokoll zum Neuaufbau der Figur durchlaufen werden muss.
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