1-CAS-Parabel

Technische Universität München
Zentrum Mathematik
Dr. Hermann Vogel
DGS-Praktikum
1-CAS-Parabel
1-CAS-Parabel
Computer-Algebra-Systeme (CAS) wurden für Termumformungen mit Ganzzahlarithmetik entwickelt.
Werte können natürlich approximativ als Gleitkommazahl ausgegeben werden, vgl. x = und x  .
GeoGebra verbindet (ab 4.4) den Vorteil der Eingabe
über ein Grafikfenster bei DGS mit der formalen Darstellung bei CAS und enthält zumindest alle schulrelevanten CAS-Befehle. So kann man z.B. den Wert
für die Variable a über einen Schieberegler im Grafikfenster steuern.
Man kann die Befehle in der Werkzeugleiste nach Eingabe der Terme wählen oder direkt eingeben, vgl. Zeile
2: Faktorisiere[138]. Mit dem Ergebnis aus Zeile 3
kann man unter $3 ($ & Zeilennummer) weiterarbeiten.
Aufgrund der Ganzzahlarithmetik faktorisiert GeoGebra
z.B. x2 - ¼ aber nicht x2- 2, da √2 irrational ist. Beachte
Im CAS-Teil ist a=5+b eine Gleichung,
a:=5 setzt den Wert von a auf 5.
Im DGS-Teil werden bei Eingabe von (a+b)^2 in der
Eingabezeile für a und b stets Werte verlangt.
Zur Diskussion einer polynomialen Funktion z.B. f(x):=x^2+a*x-2 kann man alle reellen Nullstellen durch Lösen der Gleichung f(x)=0 bestimmen, auch die Nullstellen der Ableitung f‘(x)
und diese in P := (x ,f(x)) einsetzen. Dazu setzt man: A:=Ersetze[P,$13]. Den Scheitel erhält
man direkt auch als B:=Extremum[f]. Alle definierten Objekte erscheinen im Grafikfenster.
Bei nichtpolynomialen Funktionen ist zur Nullstellensuche ein geeigneter Bereich anzugeben
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2-CAS-Gleichungen
3-CAS-Schnittpunkt
2-CAS-Gleichungsumformungen
&
3-CAS-Schnittpunkt
Mit dem CAS-Tool von GeoGebra kann
man Gleichungsumformungen durchführen.
Dies soll am Beispiel der quadratischen
Ergänzung zur Lösung einer quadratischen
Gleichung vorgeführt werden.
Gebe die Gleichung x^2 + 2bx + c = 0 ein.
Zu Gleichungsumformungen setzt man die
Gleichung in Klammer ($1) und die gewünschte Umformung dahinter, vgl. Zeile 3 und
Zeile 6.
Mit dem Befehl LinkeSeite[<Gleichung>]
bzw. RechteSeite[<Gleichung>] kann
man Termumformungen auf einer Seite
durchführen, vgl. Zeile 4 und 5.
Um aus Zeile 6 beide Lösungen zu erhalten, muss man diese einzeln bestimmen.
Löse[$6,x] reicht leider nicht.
Der Befehl Löse[$1] liefert direkt beide Lösungen in x, vgl. 2-CAS-Gleichungen.ggb
Leider kann GeoGebra (noch) keine kubischen Gleichungen mit Variablen lösen,
z.B. Löse[x^3-3x-a=0,x] liefert { }
Füge im Grafikfenster einen Schieberegler
für die Variable a ein und versuche
nochmals obige Gleichung zu lösen.
Probiere auch KLöse oder NLöse.
Betrachte auch:
3-CAS-Schnittpunkt.ggb.
Gibt man im CASFenster eine Gleichung der Form
f(x,y) = 0 ein, so
wird die dadurch
implizit gegebene
Kurve im Zeichenfenster ausgegeben. Probiere
x^3-2xy+y^2 = 0.
Beachte in Zeile 5
die Substitution
von x =1 und y = 3
in P := (x,y).
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4-CAS-Skisprungschanze
4-CAS-Skisprungschanze
Eine Skisprungschanze soll aus zwei Parabelbögen bestehen. Der eine hat den Scheitel in
A=(0,0) mit der Öffnung a nach oben, der andere in B=(bx,by) mit Öffnung –b nach unten.
Bestimmen Sie die Parameter a und b so, dass sich die Parabelbogen an der Stelle xp in
einem Punkt P berühren.
Setze dazu im Grafikfenster zunächst die Punkte A=(0,0), B=(5,6) und xp=(3,0) auf der xAchse.
Definiere danach im CAS-Fenster der Reihe nach f(x), g(x) gemäß der Scheitelform sowie
xp:=x(xp). Welche Bedingungen müssen die Funktionen f und g an der Stelle xp erfüllen?
Man erhält zwei Gleichungen GL1 und GL2, deren Lösung die gesuchten Werte für a und b
als Liste liefert. Durch Substitution von a und b in f(x) und g(x) erhält man die gesuchten
Funktionen f1(x) und g1(x) mit dem Berührpunkt P=(xp,f1(xp)). Diese Objekte werden direkt im
Grafikfenster dargestellt und man kann damit weiterkonstruieren, z.B. die Strecke xpP.
Man kann nun im Grafikfenster die Punkte xp und B verschieben und erhält stets die
gesuchte Lösung, wobei man im CAS-Fenster die Werte von a und b ablesen kann.
Probiere auch

Löse[ <Gleichung in x> ]
Bsp.: Löse[x^2 - 4x = 0]

Löse[ <Gleichung>, <Variable> ]
Bsp:

Löse[ <Liste von Gleichungen>, <Liste von Variablen> ]
Bsp:
Löse[x^3 + 3xy - a^2 = 0 , y]
Löse[{2a^2 + 5a + 3 = b, a + b = 3}, {a, b}]
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5-CAS-Punkt-Richtungsform
6-CAS-Koordinatendarstellung
5 & 6-CAS-Punkt-Richtungsform / Koordinatendarstellung
Eine Ebene E ist im R3 in Punkt-Richtungsform gegeben
durch Um zu prüfen, ob ein Punkt P in der Ebene liegt, ist das
(überbestimmte) Gleichungssystem
mit 3 Zeilen und 2 Unbekannten zu lösen.
Gebe im Grafikfenster einen Schieberegler pz von 7 bis 9
ein, definiere dann im CAS-Fenster die Vektoren a, u, v, p
und die Punkt-Richtungsform durch c(,):= a+u+v.
Für pz = 8 hat das Gleichungssystem c = p eine Lösung,
sonst nicht, vgl. 5-CAS-Punkt-Richtungsform.ggb.
U:=Ersetze[c,{Element[Element[$8,1],1], μ = 0}] liefert
den Punkt U auf der Geraden
, die man in
der Eingabezeile des Grafikfensters mit X=a+*u
erzeugen kann. Leider liefert dort X=a+*u+*v (noch)
nicht die Ebene E. Siehe auch Zugriff auf Listeneinträge.
Im File 6-CAS-Koordinatendarstellung.ggb wird die Koordinatendarstellung von E mit dem Skalarprodukt[u,v]
(kurz u*v) und dem Kreuzprodukt[u,v] (kurz uv)
bestimmt: (uv)*(x,y,z) - (uv)*a = 0 mit dem skalierten
Normalenvektor n=1/5*(uv) von E.
H:=$5 / sqrt(n n) und HNF(x, y, z):=LinkeSeite[$6]
liefern die Hesse-Normalform von E, in die man leider
(noch) nicht einfach A einsetzen kann; HNF(A) geht nicht,
aber z.B. Ersetze[HNF, {x,y,z},Reduzieren[u]] -> 4/√
Bei GeoGebra kann man Vektoren und Matrizen als Listen
von Listen definieren und z.B. Mb oder cM berechnen.
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