Di↵erenzierbarkeit Folge: ⇣ 1 ⌘0 g Di↵erenzierbarkeit g 0 (a) (a) = Dort wird oft so vorgegangen: g (f (x)) x g 2 (a) d dx (1), (2) bedeuten: d dx (f ) : C 1 (R) ! C 0 (R) mit = f 0 (x) ist R-linear. Beweis: Exemplarisch für die Produktregel: Für x ! a gilt (fg )(x) x (fg )(a) a = = ! f (x)g (x) f (a)g (x) + f (a)g (x) f (a)g (a) x a f (x) f (a) g (x) g (a) g (x) + f (a) x a x a 0 f (a) · g (a) + f (a) · g 0 (a). Hier wurde benutzt: f , g di↵erenzierbar und daher auch stetig in a. 3x 4 x2 p(x) = + 2x 2: p 0 (x) = 12x 3 2x + 2, p 00 (x) = 36x 2 (4) p (x) = 72 = = 3 · (4 · 3 · 2 · 1) = 3 · 4!, G. Skoruppa (TU Dortmund) 2, p 000 (x) = 72x, = 0. WS 2015/2016 249 / 286 g (f (x)) f (x) g (f (a)) f (x) · f (a) x 3 4 5 6 u!f (a) g (u) = g (f (a)) + g 0 (f (a)) · (u g (f (x)) g (f (x)) x g (f (a)) g (f (a)) a G. Skoruppa (TU Dortmund) f (a)). a: 0 g (f (a)) · (f (x) f (a)) + "(f (x))(f (x) f (a)). f (x) f (a) f (x) f (a) = g 0 (f (a)) · + "(f (x)) x a x a 0 0 0 0 ! g (f (a)) · f (a) + 0 · f (a) = g (f (a)) · f 0 (a). 2 = Mathematik für Chemiestudierende I WS 2015/2016 h(x) := (x 5 13)2010 : Komposition der äußeren Abbildung g (x) := x 2010 mit innerer Abbildung f (x) := x 5 13: h = g Mit g 0 (x) := 2010x 2009 und f 0 (x) = 5x 4 : h0 (x) = g 0 (f (x)) · f 0 (x) = 2010(x 5 sin x) 1 = cos2 x 2 cot x). = (1 + Ist f in a und g in f (a) di↵erenzierbar, so ist g 1 + tan2 x. 2 0 251 / 286 f. 13)2009 · 5x 4 . x 2 (x 4 + 2x). Es ist ) h (x) = 5(sin (x + 2x) ) · (sin (x 4 + 2x)2 )0 f in a di↵erenzierbar mit 4 2 4 = 5(sin (x 4 + 2x)2 )4 · (sin (x 4 + 2x)2 )0 = 5(sin (x 4 + 2x)2 )4 · cos (x 4 + 2x)2 · ((x 4 + 2x)2 )0 = 5(sin (x 4 + 2x)2 )4 · cos (x 4 + 2x)2 · ((x 4 + 2x)2 )0 f )0 (a) = g 0 (f (a)) · f 0 (a). Mathematik für Chemiestudierende I h(x) := (sin (x 4 + 2x)2 )5 = x 5 sin x h(x) = (sin (x 4 + 2x)2 )5 = 5(sin (x 4 + 2x)2 )4 · cos (x 4 + 2x)2 · 2(x 4 + 2x)(x 4 + 2x)0 Beweis: Steht in Schulbüchern gerne in einer nicht astreinen Form: G. Skoruppa (TU Dortmund) f (a)) + "(u)(u Beispiele: Satz 9.8 (Kettenregel) (g f (a) = 0 Hier der saubere Beweis mittels Satz 9.3. Da g in f (a) di↵bar ist, gibt es ein "(u) mit lim "(u) = 0 und (x) = an · n! . d 1 n . dx ( x n ) = x n+1 d 2 2 dx (x sin x) = 2x sin x + x cos x. d sin x x cos x sin x . dx ( x ) = x2 0 cos x cos x sin x( sin tan0 x = cos (x) = cos2 x 1 0 1+tan2 x 0 cot x = tan (x) = = tan2 x g 0 (f (a)) · f 0 (a). sein kann. Extrembeispiel: f sei eine konstante Funktion. 1 2 ! Di↵erenzierbarkeit Allgemein gilt für ein Polynom p(x) = an x n + . . . n-ten Grades: p f (a) a Übersehen wird dabei bei (1), dass auch beliebig nahe bei a der Nenner f (x) Di↵erenzierbarkeit (n) f (a) . a Nun wird formuliert: Da f stetig, gilt f (x) ! f (a) für x ! a, also p (5) (x) Mathematik für Chemiestudierende I g (f (a)) f (x) · f (a) x Setze u := f (x) und dividiere danach durch x Beispiele: 1 g (f (a)) (1) g (f (x)) = a f (x) WS 2015/2016 250 / 286 = 5(sin (x 4 + 2x)2 )4 · cos (x 4 + 2x)2 · 2(x 4 + 2x)(4x 3 + 2). G. Skoruppa (TU Dortmund) Mathematik für Chemiestudierende I WS 2015/2016 252 / 286 Di↵erenzierbarkeit Di↵erenzierbarkeit Satz 9.9 (Ableitung der Umkehrfunktion) Sei I ⇢ R ein Intervall. Ist f : I ! R streng monoton und stetig, so ist es bekanntlich stetig umkehrbar (vgl. Satz 8.24). Ist f in a di↵bar mit f 0 (a) 6= 0, so ist f f Beweis: 1 lim f (yy) y !b 10 (b) = 1 1 in b = f (a) di↵bar mit 1 = f 0 (a) 3 f 0 (f 1 (b)) ⇡ ⇡ , [ streng mon. steigend mit Bildmenge R. 2 2 ⇡ ⇡ Für die Umkehrfunktion schreibt man arctan : R !] , [ 2 2 (Arcustangens). Es gilt: tan x ist auf ] . arctan0 x = x 2R Es gilt lim arctan x = ± ⇡2 . x!±1 f b 1 (b) y =f (x) = lim f 1 (f (x)) f 1 (f (a)) f (x) f (a) x!a p 1 Beispiel: ( n x)0 = (x n )0 = 1 p n · ( n x)n 1 = 1 n x a x!a f (x) f (a) = lim 1 x n 1 n = n1 x 1 n n = 4 1 f 0 (a) . 1 = n1 x n 1 cot x ist auf ]0, ⇡[ streng mon. fallend mit Bildmenge R. Für die Umkehrfunktion schreibt man arccot : R !]0, ⇡[ (Arcuscotangens). Es gilt: . arccot0 x = Mit der Kettenregel kann man nun zeigen: (x r )0 = rx r Denn: Sei r = pq , dann (x r )0 = ((x p ) G. Skoruppa (TU Dortmund) 1 q 1 r 2 Q. , 1 s.o. )0 = q1 (x p ) q 1 · px p Es gilt lim arccot x = ⇡, 1 = pq x Mathematik für Chemiestudierende I p q p+p 1 = rx r WS 2015/2016 1 x! 1 . 253 / 286 G. Skoruppa (TU Dortmund) Di↵erenzierbarkeit arcsin0 x = p 1 x2 1 x 2] , p 1 1 x 2R lim arccot x = 0. x!1 Mathematik für Chemiestudierende I 255 / 286 x2 , x 2] y y =arccos x y =arcsin x ⇡ 2 ⇡ y = arccot x ⇡ 4 x 1, 1[ Mathematik für Chemiestudierende I WS 2015/2016 254 / 286 G. Skoruppa (TU Dortmund) ⇡ 2 y =arctan x ⇡ 2 G. Skoruppa (TU Dortmund) WS 2015/2016 Beweise: Die Umkehrbarkeit folgt aus der strengen Monotonie der Funktionen, die wir später mit Di↵erentialrechnung leicht nachweisen werden. Die Ableitungen werden als Anwendung der Di↵erentation der Umkehrfunktion in der Vorlesung hergeleitet. y 1, 1[ cos x ist auf [0, ⇡] streng mon. fallend mit Bildmenge [ 1, 1]. Für die Umkehrfunktion schreibt man arccos : [ 1, 1] ! [0, ⇡] (Arcuscosinus). Es gilt: arccos0 x = 1 , 1 + x2 Di↵erenzierbarkeit Definition und Satz 9.10 (Umkehrungen der trigonom. Funktionen) ⇡ ⇡ 1 sin x ist auf [ , ] streng mon. steigend mit Bildmenge [ 1, 1]. 2 2 ⇡ ⇡ Für die Umkehrfunktion schreibt man arcsin : [ 1, 1] ! [ , ] 2 2 (Arcussinus). Es gilt: 2 1 , 1 + x2 1 x ⇡ 2 Mathematik für Chemiestudierende I WS 2015/2016 256 / 286 Di↵erenzierbarkeit Di↵erenzierbarkeit Nun soll das qualitative Verhalten einer Funktion genauer gekennzeichnet werden. Ein wichtiger Punkt: Extremalstellen. Warnung: Oh. Stetigkeit falsch: Beispiel letztes Bild : Kein abs. Minimum da! Auch bei (halb-)o↵enen Intervallen falsch. Beispiel x1 |]0,1[ . Definition 9.11 (Maximum, Minimum, Extremum) Sei f : D ! R eine Funktion und a 2 D. Letzter Satz: reine Existenzaussage. 1 Gilt f (x) f (a) für alle x 2 D, so heißt f (a) das absolute Maximum und a eine absolute Maximalstelle von f (in D). Wie aber findet man Extremalstellen? ! Di↵erentialrechnung! 2 f hat in a ein lokales Maximum wenn es ein " > 0 gibt mit f (x) f (a) für alle x 2 D mit |x a| < ". a heißt dann eine lokale Maximalstelle. Bild: 3 4 Analog definiert man die Minimum“-Begri↵e. ” Maximum“ und Minimum“ fasst man unter dem Namen ” ” Extremum“ zusammen: absolutes Extremum, lokales Extremum, ” absolute bzw. lokale Extremalstellen. G. Skoruppa (TU Dortmund) Mathematik für Chemiestudierende I WS 2015/2016 Ist z.B. f 0 (c) > 0, so folgt der Graph von f nahe bei c dicht der steigenden Tangente. Rechts von c werden die Werte größer, links von c kleiner sein: T Gf c Damit hat man in inneren Punkten c keine Extremalstelle, wenn f 0 (c) > 0 (bzw. f 0 (c) < 0). 257 / 286 G. Skoruppa (TU Dortmund) Di↵erenzierbarkeit Mathematik für Chemiestudierende I WS 2015/2016 259 / 286 Di↵erenzierbarkeit y Mathematischer: abs. Max. Satz 9.13 (Punktaler Steigungssatz) lok. Max. lok. Max. Sei f : D ! R in c di↵erenzierbar mit f 0 (c) > 0. Dann existiert " > 0 mit f (x) > f (c) lok. Min. a b f (x) < f (c) x Ein stetiges f : [a, b] ! R besitzt ein absolutes Minimum und ein absolutes Maximum. Mit den absoluten Minimal- bzw. Maximalstellen xm , xM 2 [a, b] gilt c " < x < c. Beweis: Sei f 0 (c) > 0 (*). Gäbe es kein " wie oben behauptet, so hätten insb. auch alle "n := Eigenschaft nicht. Also existiert jeweils ein an 2]c, c + n1 [ mit f (an ) f (c). Damit aber f (aann) fc (c) 0 und mit an ! c f ([a, b]) = [f (xm ), f (xM )]. limn!1 Beweis: ohne! Tiefere analytische Aussagen nötig: Satz von Bolzano/Weierstrass! Mathematik für Chemiestudierende I für alle x 2 D mit c < x < c + ", Analog kann man das für f 0 (c) < 0 formulieren. Satz 9.12 (Der Satz über die Existenz von Extrema) G. Skoruppa (TU Dortmund) für alle x 2 D mit WS 2015/2016 258 / 286 f (an ) f (c) an c = f 0 (c) 0 im Widerspruch zu (1). Die anderen Aussagen folgen analog. G. Skoruppa (TU Dortmund) Mathematik für Chemiestudierende I WS 2015/2016 1 n die 2 260 / 286 Di↵erenzierbarkeit Di↵erenzierbarkeit Satz 9.14 (Notwendiges Kriterium für Extrema im Inneren, Hinreichendes Kriterium für Extrema am Rand) Sei f : [a, b] ! R eine Funktion. 1 2 3 f di↵bar in c 2]a, b[ mit Extremalstelle in c ) f 0 (c) = 0. Beispiel: Betrachte f : [ 1, 1] ! R mit f (x) = 3|x| x 3 . Als stetige Funktion nimmt f ein abs. Max. und ein abs. Min. auf [a, b] an. Details vgl. Vorlesung. f di↵bar in a mit f 0 (a) > 0 ) a ist lokale Minimalstelle (für f 0 (a) < 0 lokale Maximalstelle). f di↵bar in b mit f 0 (b) > 0 ) b ist lokale Maximalstelle (für f 0 (b) < 0 lokale Minimalstelle). Beweis: Alles einfache Folgen des punktalen Steigungssatzes. Warnungen: 1 Die Umkehrung von 1., also f 0 (c) = 0 ) f hat bei c ein ” Extremum“ist falsch! Man betrachte f (x) := x 3 . Also ist das Kriterium in 1. (also der Test auf f 0 (c) = 0) nicht ausreichend, um ein Extremum nachzuweisen. Mathematiker sagen: Nicht hinreichend“. G. Skoruppa (TU Dortmund) Mathematik WS 2015/2016 ” für Chemiestudierende I Wir sind nun auf der Suche nach hinreichenden Kriterien, um auch lokale Extrema dingfest zu machen . . . 261 / 286 G. Skoruppa (TU Dortmund) Di↵erenzierbarkeit 2 Ist f auf [a, b] stetig und in ]a, b[ di↵bar, so gibt es ein c 2]a, b[ mit f 0 (c) = Stellen c mit f (a) . a Bild: (vgl. Vorlesung) = 0. Spezialfall: Suche nach den absoluten Extrema einer stetigen Funktion f : [a, b] ! R Sammle mit letzter Checkliste alle Kandidaten und vergleiche deren Werte! Die Stelle mit größtem (kleinsten) Wert (! absolutes Maximum (Minimum)) ist absolute Maximalstelle (Minimalstelle). G. Skoruppa (TU Dortmund) f (b) b Geometrische Deutung: Es gibt eine Tangente an f , die parallel zur Sekante durch die Punkte (a, f (a)) und (b, f (b)) verläuft. Randstellen des Definitionsintervalls, sofern zum Intervall gehörig. f 0 (c) 263 / 286 Satz 9.15 (Mittelwertsatz der Di↵erentialrechnung (MWS)) Die Umkehrung von 2. bzw. 3., also z.B. a lokale Minimalstelle ” ) f 0 (a) > 0“, ist auch falsch.Man betrachte f (x) := x 3 auf dem Intervall [0, 1]. Checkliste für das Suchen von Extremalstellen 1 Stellen, an denen f nicht di↵erenzierbar ist. 3 WS 2015/2016 Di↵erenzierbarkeit Also sind die Kriterien in 2. und 3. keine notwendigen“ Kriterien. ” 2 Mathematik für Chemiestudierende I Mathematik für Chemiestudierende I WS 2015/2016 262 / 286 Kinematische Deutung: Gibt f (t) den Ort eines geradlinig bewegten Objekts zur Zeit t an, dann ist f 0 (c) die Momentangeschwindigkeit zur Zeit t = c und f (b)b fa(a) die Durchschnittsgeschwindigkeit im Zeitintervall [a, b]. Die Durchschnittsgeschwindigkeit wird also irgendwann mal als Momentangeschwindigkeit realisiert. G. Skoruppa (TU Dortmund) Mathematik für Chemiestudierende I WS 2015/2016 264 / 286
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