素因数分解

数学資料(2015/1/25)
作成者：江南学習塾／三ツ口丈祐
素因数分解
素因数分解とは，ある自然数を「素数だけの積」に分解して表すことである。
☞復習：素数とは「1 と自分自身でしか割り切れない自然数（1 は除外する）」である。
2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,…
(例１)100 を素因数分解する
100=2
50=2
一番右の 22
2
25=2
5=22
2 5
52
52 が答えになる。（理由）2 も 5 も素数だから。
2
50 は答ではない。（理由）50 は素数ではなく，50=2
2
2
25 に分解できるから。
25 は答ではない。（理由）25 は素数ではなく，25=5
次に示すように，100 を 10
10 に分解しても，4
5 に分解できるから。
25 に分解しても，最後は同じ答
になる。
100=10
100=4
10=2
5
25=2
5=22
2
2
5=22
5
52
52
(例２)192 を素因数分解する
192=2
96=2
=2
2
6
2
2
2
2
48=2
2
2 2
3=26
2
24=2
2
2
2
525=2
2
12=2
2
2
2
2
6
3
3 は素数だけの積なので，これが答である。
(例３)4200 を素因数分解する
4200=2
2100=2
5
21=2 2
2
2
2
23
7 は素数だけの積なので，これが答である。
52
5
1050=2
=2
3
2
2
2
5
5
3
2
3
7=2
5
3
105
2
5
7
☆答の書き方☆
上の例のように，小さい素数から大きい素数への掛け算で書く（例３では，23
3
52
7）。
☆素因数分解を上手にやる方法☆
（１）2 桁の数の素因数分解は九九を活用する。例えば，81=9
となる。また，63=7
9=7 3
3=32
9=3
3
3
3=34
7 となる。
（２）3 桁以上の数の素因数分解は以下の手順で行なう。
（手順１）偶数は 2 の倍数だから 2 で割る。2 で割ったものが偶数になれば，更に 2 で
割る。
（手順２）1 の位に 5 が出てきたら，5 で割る。
（手順３）1 の位に 1,3,7,9 が出てきたら 3 で割ってみる。3 で割れない時は 7 で割る。
7 で割れない時は 11 で割る。11 で割れない時は 13 で割る。この割り算の順序
は 3→7→11→13→17→19→23→29→31→37→41・・・・と続く。
1
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作成者：江南学習塾／三ツ口丈祐
(例４)471240 を素因数分解する
471240=2
235620=2
2
=2
2
2
5
3
3927=2
=2
2
2
5
3
3
=23
32
5
7
11
117810=2
2
2
7 187=2
2
2
5
58905=2
2
3
2
3
5
2
2
5
11781
1309
3
3
7
11
17
17
右のような筆算を使うと簡単にできます。
(例５)1705 を素因数分解する
1705=5
341=5
ここでは 341=11
11
31
31 を見つけられるかが鍵になる。
(例６)2015 を素因数分解する
2015=5
403=5
ここでは 403=13
13
31
31 を見つけられるかが鍵になる。
☆素因数分解に役立つ知識☆
次の知識があると素因数分解が楽にできる。
(1)3 の倍数の見分け方
ある自然数の各位の数の和が 3 の倍数なら，その自然数は 3 の倍数である。
(例)12573：1＋2＋5＋7＋3=18（3 の倍数）。だから 12573 は 3 の倍数。
(2)7 の倍数の見分け方
ある自然数を一の位と十の位の間で分割して２つの数を作る。その２つの数のうち，
一の位の数を 2 倍して，もう一方の数から引く。この引き算の答が 7 の倍数になれば，
その自然数は 7 の倍数である。
(例)12579→1257 と 9。1257−9
2=1239。1239 が 7 の倍数であれば，12579 は
7 の倍数だが，直感ではわからない。そこで 1239 が 7 の倍数かどうか調べる。
1239→123 と 9。123−9
2=105。105 は 7 の倍数（7
15）なので 1239 は 7 の倍
数であり，12579 も 7 の倍数である。念のため 105 についても調べてみると，105→10
と 5。10−5
2=0。0 は 7 の倍数だから（7
2
0=0），105 は 7 の倍数。
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(3)11 の倍数の見分け方
ある自然数の各位の数を，上位から下位に向かって差と和を交互に行なう。
この計算の結果が 11 の倍数になれば，その自然数は 11 の倍数である。
(例 1)60060→6−0＋0−6＋0=0。0 は 11 の倍数だから(11
0=0)，60060 は 11
の倍数である。
(例 2)874467→8−7＋4−4＋6−7=0。0 は 11 の倍数だから(11
は 11 の倍数である。
3
0=0)，874467

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