UltimateMath-Jr 2014 UltimateMath-jr 入試数学 c Darumafactory -1- 3 第 4 章 数と式—整数の問題1 【問題 1】省略 【問題 2】 ( ) ( ) n n2 + 2 = n n2 − 1 + 3 = (n − 1) n (n + 1) + 3n は 3 の倍数であるから、 n = 3, n2 + 2 = 3 n = 2 だから、n = 3 である。 【問題 3】 (1) 整数 A を 3 で割った剰余が r であることを A ≡ r と表す。 a ≡ 0 ⇔ a2 ≡ 0 a ≡ ±1 ⇔ a2 ≡ 1 が成り立つ。a2 , b2 , c2 の3の剰余の組み合せは、 {0, 0, 0} , {0, 0, 1} , {0, 1, 1} , {1, 1, 1} の 4 通りであるが、これらのとき、d2 の 3 の倍数ではないから、 {0, 0, 1} , {0, 1, 1} であるが、 {0, 1, 1} のときは d2 の剰余が 2 となって、不可。よって、 {0, 0, 1} である。すなわちちょうど 2 個が 3 の倍数である。 (2) a = 2m ⇒ a2 = 4m2 ( ) a = 2m + 1 ⇒ a2 = 4 m2 + m + 1 第 4. 数と式—整数の問題1 UltimateMath-Jr より、平方数を 4 で割った剰余は 0 か 1 である。a2 , b2 , c2 の 4 の剰余の組み合せは、 {0, 0, 0} , {0, 0, 1} , {0, 1, 1} , {1, 1, 1} の 4 通りであるが、d2 の 4 の倍数ではないから、 {0, 0, 1} だけが適す。すなわち、a, b, c のちょうど 2 個が 2 の倍数である。 以上より、a, b, c のうち少なくとも1つは6の倍数である。 【問題 4】 (1) ak を b で割ったあまり = aj を b で割ったあまり (1 5 k < j 5 b − 1) とすると、 a (j − k) = bM となる整数 M があるが、a, b は互いに素であり、1 5 j − k < b − 1 であるから、a(j − k) は b の倍数にならない。よって、a · 1, a · 2, a · 3, · · · · · · , a · (b − 1) を b で割った余りはすべて異 なる。 (2) (1) より、 ak = bM + 1 となる M が存在する。したがって、ax + by = 1 を満たす整数 x, y が存在する。 次の2つは同値である。 ( i ) a, b は互いに素である。 ( ii ) ax + by = 1 を満たす整数 x, y が存在する。 【問題 5】 (1) x + y + z = xyz 1 1 1 ⇔ + + =1 yz zx xy x 5 y 5 z だから、 1 1 1 1 1 1 5 2, 5 2, 5 2 yz x zx x xy x c Darumafactory -4- 第 4. 数と式—整数の問題1 UltimateMath-Jr これより、 3 ⇔ x2 5 3 x2 ∴ x=1 15 このとき、 1 + y + z = yz ⇔ (y − 1) (z − 1) = 2 ∴ y − 1 = 1, z − 1 = 2 よって、 (x, y, z) = (1, 2, 3) (2) n = 3 のとき、 x3 + y 3 + z 3 = xyz 相加平均・相乗平均より、 √ x3 + y 3 + z 3 = 3 x3 y 3 z 3 3 x3 + y 3 + z 3 = xyz = 3xyz ∴ xyz 5 0 これは矛盾。よって、正の実数 (x, y, z) は存在せず。 【問題 6】省略 【問題 7】 (1) b c = + d (a, b, c, d ∈ N) a a ⇔ b = c + ad のとき、a, b が共通素因数 p をもてば、a, c も共通素因数 p をもち、その逆も成立するから、こ の対偶をとれば、 a, b が互いに素であることと、a, c が互いに素であることは同値である。 (2) 7n + 1 28n + 5 =1+ 21n + 4 21n + 4 1 =1+ 1 3+ 7n + 1 と表わせて、7n + 1 と 1 は互いに素であるから、7n + 1 と 21n + 4 も互いに素であり、21n + 4 と 28n + 5 も互いに素となる。 c Darumafactory -5- 第 4. 数と式—整数の問題1 UltimateMath-Jr 【問題 8】 (1) pCk = p! (1 5 k 5 p − 1) (p − k)!k! において、(p − k)! も k! も p より小さい自然数の積であるから、p を約数にもたないので pCk は p の倍数である。 (2) an = np − n とおく。 p an+1 − an = (n + 1) − (n + 1) − np + n = pCp−1 np−1 + pCp−2 np−2 + · · · + pC1 n は p の倍数であるから、 an が p の倍数ならば、an+1 も p の倍数である。しかも、a1 = 0 も p の倍数である。よって、 an は p の倍数である。 フェルマーの小定理である。有用な定理である。 c Darumafactory -6-
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