x, y - Info Shako

微積分２（平成 22 年度 2 学期第 2 回クイズ：9 月 7 日実施）
次の関数の
( (x, y) = (0, 0) における連続性を調べよ。
(
(
x−y
1
2
(x,
y)
=
̸
(0,
0)
(x,
y)
=
̸
(0,
0)
x
sin
x+y
y
（1）f (x, y) =
（2)f (x, y) =
(3) f (x, y) =
0
(x, y) = (0, 0)
0
(x, y) = (0, 0)
(
(
y
sin(x+y)
(x + y ̸= 0)
|x| (x, y) =
̸ (0, 0)
x+y
（5）f (x, y) =
（4） f (x, y) =
0
(x, y) = (0, 0)
0
(x + y = 0)
問題
x3 y
x6 +y 2
0
(x, y) ̸= (0, 0)
(x, y) = (0, 0)
答え (1) たとえば、 x 軸に沿って、(x, 0) → (0, 0) とすると、lim(x,0)→(0,0) f (x, 0) = lim(x,0)→(0,0) 1 = 1 と
なる。（または、y 軸に沿って、(0, y) → (0, y) とすると、lim(0,y)→(0,0) f (0, y) = lim(0,y)→(0,0) (−1) = −1 と
なる。）ゆえに、lim(x,y)→(0,0) f (x, y) ̸= f (0, 0) であるので、原点で連続ではない。
¯
¯
¯
¯
（2）¯sin 1y ¯ ≤ 1 なので、次の不等式が成り立つ。
¯
¯
¯ 2
1 ¯¯
¯
|f (x, y)| = ¯x sin ¯ ≤ x2
y
ゆえに、
lim
(x,y)→(0,0)
|f (x, y)| ≤
lim
(x,y)→(0,0)
x2 = 0
であるから、lim(x,y)→(0,0) f (x, y) = f (0, 0) となるので、原点で連続である。
（3）
y = mx3 とすると、
x3 y
mx6
m
= 6
=
2
+y
x + m2 x6
1 + m2
x6
となる。このとき、y = mx3 に沿って x → 0 とすると、
lim f (x, mx3 ) =
x→0
m
1 + m2
となり、極限値は m に依存する。ゆえに、極限値 lim(x,y)→(0,0) f (x, y) は存在しないので、原点では連続では
ない。
（4）
z = x + y とおくと、
lim
x+y→0
sin (x + y)
sin z
= lim
=1
z→0 z
x+y
となる。ゆえに、lim(x,y)→(0,0) f (x, y) ̸= f (0, 0) であるので、原点では連続ではない。
0
（5） x 軸に沿って、(x, 0) → (0, 0) とすると、lim(x,0)→(0,0) f (x, 0) = lim(x,0)→(0,0) |x| = lim(x,0)→(0,0) 1 =
1 となる。（ただし、y 軸に沿って、(0, y) → (0, y) とすると、lim(0,y)→(0,0) f (0, y) = lim(0,y)→(0,0) 0y =
lim(0,y)→(0,0) 0 = 0 となるので、注意すること。）ゆえに、lim(x,y)→(0,0) f (x, y) ̸= f (0, 0) であるので、原点
で連続ではない。

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