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宿題 1 の模範解答
Masayuki Kubota
TA のオフィスアワーについて
TA：久保田昌幸
オフィスアワー : 金曜 4 限
赤門総合研究棟 420 号室
宿題についての質問などは、オフィスアワーに質問に来てください。
宿題の返却について
宿題は赤門総合研究棟 420 号室前に置いておきますので、各自持ち帰ってください。
レーティングについて
宿題には A, A-, B, C のレートをつけています。
• A : だいたい合っている。
• A- : 少し間違っているか、書き方が間違っているところがある。
• B : 間違いがある。
• C : 全部間違っている。
宿題の体裁について
雑な字で書かれた宿題については、採点しません。
丁寧に書いてください。
1
問1
• 任意の w ∈ [w2 , w1 ] をとる。戦略プロファイル (s1 , s2 ) = (w, w) はナッシュ均衡
である。
Proof. この戦略プロファイルにおける各入札者の利得は、
u1 (s1 , s2 ) = w1 − w ≥ 0
u2 (s1 , s2 ) = 0
となる。
任意の s′1 ∈ [0, ∞) をとる。s′1 < w のとき、入札者１は落札できないので、彼の
利得は 0 となる。s′1 > w のとき、入札者１は落札できるが、彼の支払いは w よ
′
りも高くなる。したがって、任意の s′1 ∈ [0, ∞) について、u1 (s1 , s2 ) ≥ u1 (s1 , s2 )
が成立している。
任意の s′2 ∈ [0, ∞) をとる。s′2 < w のとき、入札者２は落札できないので、彼の
利得は 0 となる。s′2 > w のとき、入札者２は落札できるが、彼の利得は w2 − w
′
で、負となる。したがって、任意の s′2 ∈ [0, ∞) について、u2 (s1 , s2 ) ≥ u1 (s1 , s2 )
が成立している。
補足 of 問１:
• 証明をする問題の解答は、まず『何を証明するか』を書いて、その次に『証明』
を書きましょう。
• ナッシュ均衡は完備情報を前提とした解概念です。不完備情報を仮定して解かな
いように。
• 以下のような間違った解答が散見されました。
(間違った解答の内容)w ∈ (w2 , w1 ), (s1 , s2 ) = (w, w) とする。入札者１が w2 と
w の間の指値に変えると、入札者２は利得が負になってしまい、入札者２も入札
2
者１と同じ指値に変えるだろう。そうすると、入札者１はさらに低い価格で落札
できるということだから、入札者１は指値をこのように変えるだろう。したがっ
て、(s1 , s2 ) = (w, w) はナッシュ均衡ではない。
この例では『入札者１が w2 と w の間の指値に変えると、入札者２は利得が負に
なってしまい、入札者２も入札者１と同じ指値に変えるだろう』の部分が間違い
です。自分の戦略は相手の戦略に依存できないので、『自分の戦略を変えたら、
相手も戦略を変えるから』といったことは考えられません。考えたいのならば、
モデルそのものを作り直す必要があります。
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問２
• 拡張版定理２−３：入札者 n 人。w1 ≥ w2 ≥ · · · ≥ wn 。S1 = S2 = · · · = [0, ∞)。
同じ指値の場合には若い番号の入札者に落札とする。この時、(s1 , s2 , . . . , sn ) =
(w2 , w2 , . . . , w2 ) が一位価格入札におけるナッシュ均衡になる。
Proof. 省略（本論の定理２−３の証明の２段落目の『入札者２』を『入札者１
以外の任意の入札者 i』とすればよい）。
• 拡張版定理２−４：拡張版定理２−３と同じ状況を考える。落札者が w2 より低
い支払いをするナッシュ均衡は存在しない。
Proof. 任意の戦略プロファイル s = (s1 , . . . , sn ) を考える。落札価格が w2 より
低い、つまり
max[s1 , . . . , sn ] < w2
と仮定する。入札者１と入札者２のどちらかは必ず非落札者である。その非落札
者は、落札価格 max[s1 , . . . , sn ] と w2 の中間値を指値すれば、自身の財評価より
も安く落札でき、非落札時の利得ゼロをうわまわる。したがって、s はナッシュ
均衡でない。
補足 of 問２:
• 拡張版定理２−３の設定の元で s = (w2 , w2 , w′ , . . . , w′ ) とすると、w′ ≤ w2 であ
れば s はナッシュ均衡になります。
• 『同じ指値の入札者がいる場合、評価額の高い入札者に落札』は、間違いです。
オークションの運営者は、入札者の評価額を知りません。
• 拡張版定理２−４の答えで、『wn より低い....』という解答が多かった。
また、どちらの方が強い主張なのか、という質問があった。
『w2 より低い支払いをするナッシュ均衡は存在しない』が成立するならば、
『wn
より低い支払いをするナッシュ均衡は存在しない』は成立します。
よって、『w2 より低い....』の方が強い主張となります。
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