数学検定 第２７１回２級２次：数理技能検定
問題１
⑴ y ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c のグラフが３点（１，３），
（２，−４），
（３，−１９）を通るので
答
⑵ −４x 2 ＋５x ＋２≧０
…⑥
−４x ＋５x ＋２≦１
…⑦
2
を同時に満たす x の範囲を求める。
−４＝４a ＋２b ＋ c …②
⑥を変形すると，４x 2 −５x −２≦０
−１９＝９a ＋ ３b ＋ c …③
５± ５７
４x 2 −５x−２＝０の解は x ＝ より
８
５＋ ５７
５− ５７
⑥の解は ≦ x ≦ …⑥
８
８
2
⑦を変形すると，４x −５x −１≧０
③ − ①より ４a ＋ b ＝ −１１ …⑤
⑤ − ④より a ＝ −４，これと④より b ＝５，
また①より c ＝２がわかる。
２次関数 y ＝ −４x 2 ＋５x ＋２のグラフは
上に凸であり，最小値はない。
y ＝ −４x 2 ＋５x ＋２
2
５
５７
＝ −４ x − ＋
８
１６
５
５７
より，x ＝ のとき最大値 をとる。
８
１６
５
５７
（答）x ＝ のとき最大値 ，最小値はない
８
１６
⑴ （答）
５０
９９
⑵ ９９枚の中に奇数のカードは５０枚あり，
偶数のカードは４９枚ある。
３枚の取り出し方の総数は
９９・９８・９７
99Ｃ3 ＝ ＝１５６８４９（通り）
３・２・１
３枚に書かれた数の和が奇数となるのは，
「奇数カード３枚が取り出される」か「奇数カー
５± ４１
４x 2 −５x −１＝０の解は x ＝ より
８
５− ４１ ５＋ ４１
⑦の解は x ≦ ， ≦ x …⑦
８
８
⑥ ，⑦ の共通部分をとると
５− ４１
５− ５７
≦ x ≦ ，
８
８
５＋ ５７
５＋ ４１
≦ x ≦
８
８
５− ４１
５− ５７
≦ x ≦ ，
８
８
（答）
５＋ ５７
５＋ ４１
≦ x ≦
８
８
前者の取り出し方は全部で
５０・４９・４８
50Ｃ3 ＝ ＝１９６００（通り）
３・２・１
後者の取り出し方は全部で
４９・４８
50Ｃ1 × 49Ｃ2 ＝５０×
２・１
＝５８８００
（通り）
よって，求める確率は
１９６００＋５８８００ ７８４００ １６００
＝ ＝
１５６８４９
１５６８４９ ３２０１
ド１枚と偶数カード２枚が取り出される」のい
１６００
（答）
３２０１
ずれかの場合である。
問題３
２−２−１
３＝ a ＋ b ＋ c …①
② − ①より ３a ＋ b ＝ −７ …④
問題２
解
⑴ a ＝１のとき
2
x ＝ log（６a
）
＝２log 6 a ＋１ …①
6
S ＝６，V ＝１ y ＝log 6 a 3 ＝３log 6 a …②
であるから，点Ｐの座標は
a が a ＞０の範囲を動くとき，x は実数全
（ log 6６，log 6１）＝（１，０）
体を動く。
（答）（１，０）
⑵ 点Ｐの座標を（ x ，y ）とする。
１辺 a の立方体の表面積と体積は
S ＝６a 2 ，V ＝a 3
x −１ y
①，②から log 6 a を消去すると， ＝
２
３
３
３
これを整理して，y ＝ x −
２
２
３
３
よって，求める軌跡は直線 y＝ x −
２
２
であるから
（答） 直線 y ＝
Ｈ２７２６Ｇ０７
３
３
x−
２
２
２−２−２
問題４
問題５
２
a
⑴ a 1 ＝５より b 1 ＝ 1 −１＝ …①
３
３
n
n＋1
a n＋1 ＝２a n＋３（n ≧１）
の両辺を３ で割り
a n ＋1 ２ a n
１
n ＝ ・ ＋
３ ＋1 ３ ３n ３
これは
a n ＋1
２ an
n ＋1 −１＝ −１
３ ３n
３
と変形できるので
２
b n＋1 ＝ b n（ n ≧１） …②
３
２
（答） b n＋1 ＝ b n
３
２
２
⑵ ①，②より，{bn }は初項 ，公比 の等比数
３
３
列であるから
⑴ （答の例）
⑵ （答）９個
２
bn ＝ （n ≧１）
３
an
２ n
よって， n −１＝ であり
３
３
n
２
n
n
＋１ ＝２ ＋３
３
n
a n ＝３
n （答）a n ＝２ ＋３
n
n
交点数は３個
問題６
余弦定理
c ＋a −b
a ＋b −c
cosB ＝ ，cosC ＝
２ca
２ab
より
bc（ cosB ＋ cosC ）
１
＝ { b（c 2 ＋ a 2 − b 2 ）＋c（a 2 ＋ b 2−c 2 ）}
２a
１
＝ （ bc 2 ＋ ba 2 − b 3 ＋ca 2 ＋ b 2c −c 3 ）
２a
2
2
2
2
2
2
かっこの中身は
ba 2 ＋ ca 2 ＋ bc 2 ＋ b 2c −（ b 3 ＋ c 3 ）
bc−
a2 ＋
（b＋c）
（b＋c）
（b2 −bc＋c2 ）
＝（b＋c ）
＝（b ＋c（a
） 2 −b 2 ＋２bc −c 2 ）
{a 2 −（b 2 −２bc ＋c 2 ）}
＝（b ＋c ）
2
{a 2 −（b −c ）
}
＝（b ＋c ）
＝（b ＋c（a
） ＋b −c（a
） −b ＋c ）
と変形できるので
bc（ cosB ＋ cosC ） b ＋c
＝
（a −b ＋c（a
） ＋b −c ） ２a
（答）
問題７
b ＋c
２a
であるから，求める図形の面積 S は
⑴ （答）a ＝ −１，b ＝ −４
1
2
dx
｝
S ＝ ｛０−
（−x 2 −２x −１）
−1
⑵ ２つの放物線は
2
dx
｝
＋ ｛０−
（−x 2 ＋４x −４）
1
2
y ＝−x 2 −２x −１＝ −（ x ＋１）
2
y ＝−x 2 ＋４x −４＝ −（ x −２）
2
1
2
2
で，
それぞれ
（−１，０）
，
（２，０）
でx軸に接する。
２つの放物線の交点の x 座標は
dx ＋ 1（x 2 −４x ＋４）
dx
＝ （ x 2 ＋２x ＋１）
− x 2 −２x −１＝ −x 2 ＋４x −４
x3
x3
＝ ＋x 2 ＋x ＋ −２x 2 ＋４x ３
３
1
−1
すなわち，６x ＝３を満たすので，x ＝
１
−１≦ x ≦ のとき
２
１
２
−x 2 ＋４x −４≦ −x 2 −２x −１≦０
１
≦ x ≦２のとき
２
−x 2 −２x −１≦ −x 2 ＋４x −４≦０
−1
2
1
2
2
2
１ ８
１
１ １ １
１
＝ ＋ ＋ − − ＋ − − ＋２
３ ３ ２４ ２
２４ ４ ２
９
＝ ４
（答）S ＝
Ｈ２７２６Ｇ０７
９
４
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