(a) 講義用 Web site http://www.yoshizoe

1 変数，総和の記号（宿題）— HW (1)（統計学基礎 §0.2–§0.4）
（解答例）
1. 変数の分類
(a) 講義用 Web site http://www.yoshizoe-stat.jp/mva/data/contents.html に掲載さ
れている Boston Housing Data (bonstonh.dat) について
(1) 変数 X1 から X14 のうち，質的変数（カテゴリカルデータ）は X4 Charles River (1
if tract bounds river, 0 otherwise)．
0/1 と数値化されているが，数値そのものには意味がない．なお，Charles River は
Boston と Cambridge の境界をなす川で，毎年，Harvard vs Yale のボートレースが行
われる．
(2) 離散型量的は X9 （アクセシビリティを段階で表示している）．段階ではなく，職業別
の分類コードのように数値の大きさに意味がない変数であれば「質的」
その他の変数はすべて「連続型量的」．判断のためには変数の定義を確認すること，い
くつか実際の数値を見ること．
C=categorical, Qc=quantitative/continuous, Qd=quantitative/discrete
Qc X1: per capita crime rate,
Qc X2: proportion of residential land zoned for large lots,
Qc X3: proportion of nonretail business acres,
C
X4: Charles River (1 if tract bounds river, 0 otherwise),
Qc X5: nitric oxides concentration,
Qc X6: average number of rooms per dwelling,
Qc X7: proportion of owner-occupied units built prior to 1940,
Qc X8: weighted distances to five Boston employment centers,
Qd X9: index of accessibility to radial highways,
Qc X10: full-value property tax rate per $10,000,
Qc X11: pupil/teacher ratio ,
Qc X12: 1000(B - 0.63)^2 I(B < 0.63) where B is the proportion of blacks,
(I: indicator function)
Qc X13: % (percentage) of lower status of the population,
Qc X14: median value of owner-occupied homes in $1000.
(3) X9 は離散的な量的変数であり，その分布の表現には棒グラフが用いられる．連続的な
変数として表現されるアクセシビリティの尺度も広く利用される．その表現はヒスト
グラムが適当である．
詳しい解説は，参考資料にあげた「ips」の第１章「データをよく見る：分布」を参照
のこと．
(b) 講義用 Web site statistics_1_1.pdf の 27 ページ．
• 「練習問題 1.1」
(a) データセットの個体：データの各行が「個体 individual / observation」を表して
いる．この問題では，
「メーカーと車種」と記されている自動車の種類である．
(b) 変数は「車のタイプ」から「燃費」の 5 つ．なお「メーカーと車種」は個体の識別
符号 ID であり，
「変数ではない」ことに注意．
カテゴリカル変数は「車のタイプ」と「変速機のタイプ」の 2 つ．
• 「練習問題 1.2」
個体は「統計の授業を受けていた生徒」，変数は「専攻」
「点数」
「評価」の 3 つ，その
うちカテゴリカル変数（質的変数）は「専攻」と「評価」，量的変数は「点数」．ここで
の評価は A, B, . . . となっていて，これは質的変数．ただし，評価が得点で 60, 75,. . . な
どとなっていたら，量的変数である．その区別のためは，評価の定義を確認する必要
がある．
前問と同様，
「氏名」は識別符号であり，分析の対象となる変数ではないことに注意．
2. 数値の組 {a1 , · · · , an } および {b1 , · · · , bn } について，
(1)
∑
∑
∑
(ai + bi ) = (a1 + b1 ) + . . . + (an + bn ) = (a1 + . . . + an ) + (b1 + . . . + bn ) =
ai + bi
(2) c を定数とするとき
∑
∑
(cai ) = ca1 + . . . + can = c(a1 + . . . + an ) = c ai
特別な場合として ai = c (i = 1, . . . , n) とおくと
n
∑
c=
i=1
(3) 定義から導かれる
偏差の合計は
∑
n
∑
ai = (a1 + . . . + an ) = nc．
i=1
xi = nx̄ という表現をしっかり記憶すること．これに注意すると，
n
∑
i=1
(xi − x̄) =
n
∑
i=1
xi −
n
∑
i=1
x̄ =
n
∑
i=1
xi − nx̄ = 0
2 第 II 章, III 章進んだ問題— HW (1a)
(1) Jensen の不等式：
(
)
(i) f が凸関数なら，任意の a に対して，点 a, f (a) を通る直線 y − f (a) = b(x − a) が f (x)
より大きくなるように傾き b を選ぶことができる．
（図左）
凸関数
6
y = f (x)
f (a)
"
"
"
"
"
"
6
"
"
"
凹関数
"
y = f (a) + b(x − a) "
f (a)
"
"
"
"
"
" y = f (a) + b(x − a)
"
"
"
- x
a
"
"
" y = f (x)
"
- x
a
(ii) 凹関数の場合は（図右）
∑
(iii) 任意の関数 g(x) >
= 0 に対して， g(xi ) >
= 0 となることは明らかである．
f (x) が凹関数なら，前問から a = x̄ に対して b を適当に選ぶと f (x̄) + b(xi − x̄) − f (xi ) >
=0
]
∑
∑
∑[
f (x̄) + b(xi − x̄) − f (xi ) = nf (x̄) + b (xi − x̄) − f (xi ) =
となるから，その合計は
∑
∑
nf (x̄) − f (xi ) >
= 0 となる（途中で (xi − x̄) = 0 という性質を利用している）．
∑
(iv) x > 0 の場合，y = log x は凹関数だから，log x̄ >
log xi /n となる．
=
∑
∑
(v) 加重平均 x̄w =
wi xi / wi に対して，f (x) が凹関数なら適当な b を選んで f (x̄w )+b(x−
x̄w )−f (x) >
= 0 とできる．x = xi とおけば f (x̄w )+b(xi −x̄w )−f (xi ) >
= 0 だから，この式にウ
]
∑ [
ェイト wi > 0 をかけて合計すると非負である．すなわち， wi f (x̄w )+b(xi −x̄w )−f (xi ) =
(∑ )
(∑ )
∑
∑
∑
wi f (x̄) − wi f (xi ) >
wi f (x̄w ) + b wi (xi − x̄w ) − wi f (xi ) =
= 0 となる
∑
∑
∑
ここではウェイトつき偏差合計について， wi (xi − x̄w ) =
wi xi − wi x̄w = 0 という
∑
∑
性質を利用している（ wi xi = ( wi )x̄w に注意）．
∑
対数関数 log x が凹関数であることから，加重算術平均 x̄w について，log x̄w >
= wi log xi =
∏ i
log Gw となる（Gw = xw
i が加重幾何平均の定義）．
なお，すべての xi が等しい倍に限って等号が成立する．
(vi) y = 1/x は x > 0 の範囲で凸関数だから，同様の議論で算術平均 x̄ は調和平均 H =
)−1
(∑
(∑ −1 )−1
wi x−1
xi /n
より大きい．さらに，加重算術平均 x̄w は加重調和平均 Hw =
i
より大きい．
(2) 中央値の性質：簡単のため，観測値はすべて異なる場合について示す．いま x1 < x2 < · · · < xn
∑
とする．g(m) = ni=1 |xi − m| の，区間 xk < m < xk+1 における形を調べると，それは次のよ
うに直線である．
g(m) =
∑
(m − xi ) +
i<k
= (2k − n)m −
∑
(xi − m) = km −
i>k
∑
i<k
xi +
∑
i>k
∑
i<k
xi
xi +
∑
i>k
xi − (n − k)m
その傾き (2k − n) は k < n/2 なら負，k > n/2 なら正である．すなわち g(m) は xk < m < xk+1
において k < n/2 なら減少関数，k > n/2 なら増加関数である．
数学が苦手な学生は，n = 2 および n = 3 の場合について，y = g(m) のグラフを描くとよい．
等しい観測値が存在する場合は，問題文のように k1 , k2 を定義すればよい．上記では k1 = k,
k2 = n − k となる．
以下は明らかだから解説は省略する．
(i) n が奇数のとき m = xk (k = (n + 1)/2) は g(m) を最小にすることを示せ．
(ii) n が偶数のとき xk <
= xk+1 (k = n/2) を満たす m は g(m) を最小にすることを示せ．
=m<
（注）中央値は，#{xi < m} < n/2 かつ #{xi > m} < n/2 を満たす m として定義される．

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