0 a 1 - SUUGAKU.JP

年番号
1
行列 A = '
0
a
1 ¡1
?，E = '
1 0
0 1
?，O = '
0 0
0 0
? が A2 +A+E = O
の関係を満足しているとき，次の問いに答えよ．ただし，a は実数とする．
2
氏名
xy 平面上に 2 点 O(0; 0)，A(4; 3) を直径の両端とする円がある．図のよ
うにこの円と x 軸との原点以外の交点を B，線分 OA に関して B と反対側
の円周上に ÎCOA = 45± を満たす点 C をとり，線分 CA の延長線と x 軸と
の交点を D とする．以下の問いに答えよ．
(1) a の値を求めよ．
(2) A3 を，(1) で求めた a の値を用いて求めよ．
(3) E + A + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8 + A9 + A10 を，(1) で求
めた a の値を用いて求めよ．
(4) A の逆行列 A¡1 を，(1) で求めた a の値を用いて求めよ．
（豊橋技術科学大学 2014 ）
(1) 4AOD の外心を P として，ÎOPD の大きさを求めよ．
(2) 点 D の座標を求めよ．
(3) 4AOD の外接円の方程式を求めよ．
¡!
(4) ÎAOB の二等分線と線分 AD との交点を E とし，OE を成分表示せよ．
（豊橋技術科学大学 2014 ）
3
A と書かれた青，赤，黄，緑の 4 個の球と，B と書かれた青，赤，黄，緑の
4
4 個の球がある．これらの球を袋に入れて，この袋から球を取り出すとする．
以下の問いに答えよ．ただし，答えは既約分数で示せ．
(1) 球を 1 個ずつ 4 回取り出す．取り出した球は色を確認したら袋に戻し，次
1
(x > 0) を曲線 C とする．曲線 C と直線 y = mx の交点を
x
1
点 P，曲線 C と直線 y =
x との交点を点 Q とする．ここで傾き m を
2
1
の実数とする．以下の問いに答えよ．
m>
2
曲線 y =
(1) 点 P と点 Q の座標をそれぞれ求めよ．
の球を取り出すとする．このとき，以下のア，イの問いに答えよ．
(2) 点 Q における曲線 C の接線 L の方程式を求めよ．
ア．4 回のうち，同じ色の球を 2 回以上取り出す確率を求めよ．
(3) 接線 L と直線 y = mx の交点の座標を，m を用いて表せ．
イ．4 回のうち，異なる 2 色の球をそれぞれ 2 回ずつ取り出す確率を求めよ．
(4) 原点 O と点 P，原点 O と点 Q を結ぶ線分をそれぞれ OP，OQ とする．曲
線 C と OP，OQ で囲まれた部分の面積 A を，m を用いて表せ．
(2) 4 個の球を同時に取り出すとする．このとき，以下のア，イ，ウの問いに答
(5) 点 P および点 Q から y 軸に垂直に引いたそれぞれの線分と，y 軸および曲
えよ．
線 C で囲まれた領域を y 軸のまわりに 1 回転してできる体積を，m を用い
ア．4 個の球を同時に取り出したとき，A と書かれた球が 2 個，B と書かれ
て表せ．
た球が 2 個である確率を求めよ．
イ．4 個の球を同時に取り出したとき，少なくとも赤球が 1 個含まれ，かつ
（豊橋技術科学大学 2013 ）
A と書かれた球が 2 個，B と書かれた球が 2 個である確率を求めよ．
ウ．4 個の球を同時に取り出して文字を確認した後，袋に球をすべて戻して
もう一度同時に 4 個の球を取り出す．この合計 8 個の球のうち，A と書
かれた球が 6 個で，B と書かれた球が 2 個である確率を求めよ．
（豊橋技術科学大学 2014 ）
5
3 個のサイコロを同時に投げるとき，以下の問いに答えよ．ただし，答えは
既約分数で示せ．
(1) 3 個のサイコロの目の積が奇数となる確率を求めよ．
(2) 3 個のサイコロの目の積が偶数となる確率を求めよ．
(3) 3 個のサイコロの目の積が 3 の倍数となる確率を求めよ．
(4) 3 個のサイコロの目の積が 3 の倍数で，かつ，奇数となる確率を求めよ．
(5) 3 個のサイコロの目の積または和が 3 の倍数となる確率を求めよ．
（豊橋技術科学大学 2013 ）
6
3
;，B(0; 0; 2) と，xy 平面上を動く点 P(s; t; 0)
2
がある．また，線分 BP を u : (1 ¡ u) に内分する点を Q とする．ただし，s
空間に 2 点 A #0; 0;
と t は実数であり，0 < u < 1 である．
7
三角形 A0 B0 C は辺 A0 B0 の長さが a，ÎA0 = 60± ，ÎB0 = 90± の直角三角形
であり，三角形 A0 0 B0 0 C0 は辺 A0 0 B0 0 の長さが a，ÎA0 0 = 45± ，ÎB0 0 = 90±
の直角三角形である．右図に示すように三角形 A0 B0 C の 3 つの辺上にそれ
(1) 点 Q の座標を u; s; t を用いて表せ．
¡!
¡!
(2) jAQj = jABj を満たす u を s と t を用いて表せ．
p
¡!
¡!
3
上にあり，かつ jAQj = jABj が成
(3) 点 Q が yz 平面に平行な平面 x =
4
り立つとき，点 P は必ずある円 C の上にある．円 C の中心の座標と半径を
ぞれ点 D1 ，A1 ，B1 をとり，正方形 B0 D1 A1 B1 を作る．次に，三角形 A1 B1 C
の 3 つの辺上に点 D2 ，A2 ，B2 をとり，正方形 B1 D2 A2 B2 を作る．これを
繰り返し，正方形 Bj¡1 Dj Aj Bj を作る．その正方形の面積を Sj とおく．た
だし，j = 1; 2; Ý である．同様な操作で，三角形 A0 0 B0 0 C0 にも正方形
Bj¡1 0 Dj 0 Aj 0 Bj 0 を作り，その正方形の面積を Sj 0 とおく．これらの図形に
求めよ．
ついて以下の問いに答えよ．
（豊橋技術科学大学 2011 ）
(1) S1 を a を用いた式で示せ．
(2) Sj を a と j を用いた式で示せ．
(3) 三角形 A0 B0 C 内に正方形を描くことを無限に繰り返すとき，正方形の面積
の総和 ST が三角形 A0 B0 C の面積 S0 に占める割合を求めよ．
Sj+2
(4) cj =
で定義される一般項 cj を持つ無限級数は，収束するか発散す
Sj 0
るかを，根拠を式で示した上で答えよ．
（豊橋技術科学大学 2011 ）
8
別々に製造される部品 A と部品 B を 1 個ずつ組み合わせて製造する製品が
9
図に示す正六角形 ABCDEF がある．点 P は最初頂点 A にあって，
ある．製品の不良は各部品の不良のみに由来し，部品 A に不良が生じる確
1
1
率は
，部品 B に不良が生じる確率は
である．製品を製造した後，検
9
4
査するまで各部品が不良であるかどうかは分からないとする．以下の問いに
が出たとき，点 P は左まわりに二つ隣の頂点 E に移動する．
答えよ．
サイコロを 1 度投げて点 P が移動するのを 1 試行とし，この試行
(1) 合格品（不良が無い製品）が製造される確率を求めよ．
(2) 製品を 5 個製造した後，検査を行ったとき，4 個以上が合格品である確率
を求めよ．
サイコロを投げて，1 または 2 の目が出たとき，点 P は右まわり
に一つ隣の頂点 B に移動する．一方，3; 4; 5; 6 のいずれかの目
を指定された回数だけ繰り返す．以下の問いに答えよ．
(1) 最初の試行後の点 P の位置を P1 ，続く 2 回目の試行を行った後の点 P の位
置を P2 とする．このとき，A，P1 ，P2 の 3 個の点を頂点とする三角形が正
(3) この製品 1 個の販売価格は 1; 200 円である．また，部品 A の 1 個あたりの
製造費用は 300 円であり，部品 B の 1 個あたりの製造費用は 100 円である．
製品 1 個あたりの利益は，以下の式で計算される．
（製品 1 個あたりの利益）=（販売価格）¡（製品 1 個あたりの費用）
製品 1 個あたりの費用が部品 A と B の製造費用のみと考えてよいとき，製
品 1 個あたりの利益の期待値を求めよ．なお，不良品（不良のある製品）は
販売しないため，上式の（販売価格）項が 0 となり負の利益（損失）が生じ
ることを考慮せよ．
1
にす
8
ることができる．しかし，この工作機械の導入費用として 500; 000 円が必
(4) 新たに工作機械を導入することで，部品 B に不良が生じる確率を
要であり，これに加えて部品 B の 1 個あたりの製造費用は 100 円増加する．
10; 000 個製品を製造するとき，工作機械を導入する場合としない場合でど
ちらが有利か，工作機械を導入する場合の製品 1 個あたりの利益の期待値を
示した上で判定せよ．ただし，工作機械の導入費用は 10; 000 個の製品の製
造でまかなうものとする．また，販売価格および部品 A の製造費用は (3) と
同じとする．
（豊橋技術科学大学 2011 ）
三角形になる確率を求めよ．
(2) 2 回の試行後に点 P が頂点 C にある確率を求めよ．
(3) 6 回の試行後に点 P が頂点 D にない確率を求めよ．
（豊橋技術科学大学 2010 ）
10 図に示す点 O を原点とする直交座標空間に点 P(1; 0; 0) をとる．点 P を，
xy 平面内で原点 O を中心として図に示す矢印の方向に角度 µ 回転させた位
11 y = f(x) = (x + 2)e¡x を曲線 A，y = ax + 2a を直線 B とする（ただ
し，a は a Ë 0 の実数）．以下の問いに答えよ．
置に点 Q をとる．さらに，点 Q および z 軸を含む平面内で，点 O を中心と
(1) f(x) の極値を求めよ．
して点 Q を矢印の方向に角度 µ 回転させた位置に点 R をとる．ただし，角
¼
度 µ の範囲は 0 5 µ 5
とする．以下の問いに答えよ．
2
(2) f(x) の増減表を示せ．ただし，f(x) の第 2 次導関数まで求め，変曲点も
増減表に示せ．
(3) 曲線 A が直線 B に接するとき，a の値を求めよ．
(4) 曲線 A と直線 B が接するとき，曲線 A と直線 B および y 軸で囲まれた部
分の面積 S を求めよ．
（豊橋技術科学大学 2010 ）
(1) 点 R の座標 (xR ; yR ; zR ) を，角度 µ を用いて表せ．
¼
であるとき，角度 µ の値を求めよ．
(2) ÎORP =
3
(3) 点 R から平面 x + y = 0 に下ろした垂線の長さ l を，角度 µ の関数で表せ．
(4) (3) で求めた垂線の長さ l が最大となるときの角度 µ の値とそのときの l の
値を求めよ．
（豊橋技術科学大学 2010 ）

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